高中数学综合实践教学分析

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐一篇高中数学综合实践教学分析范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

在2017年版普通高中数学课程标准设计的数学课程结构中，将“数学建模活动与数学探究活动”[1]与其他内容并列成为四条主线之一，“数学文化融入课程内容之中”，并在课时、内容要求、教学提示及学业要求等方面都给出了具体的建议或要求，人民教育出版社出版的普通高中数学（A版）教科书据此分别编写了2个数学建模活动、2个数学探究活动、5个选学内容。课标指出，“数学建摸活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动”，而“数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动”[2]。课标和教科书都建议用课题研究的形式开展综合实践活动，在践行中将重新定义普通高中数学教与学的方式。

一、数学综合实践活动相关概念

1.数学建模活动

广义的数学建模活动包括高中数学教学中遇到的所有此类活动，典型代表是“4.2.1指数函数的概念”“5.6函数y＝Asin（ωx＋φ）”。狭义的数学建模活动仅仅指课标中有课时安排、教科书中编写的3个数学建模活动，即必修第一册162页的“数学建模建立函数模型解决实际问题”、选择性必修第三册141页的“数学建模建立统计模型进行预测”、必修第二册218页“9.3公司员工的肥胖情况调查分析”。上述两类建模活动的实施办法、目标是有差异的：广义数学建模活动解决的实际问题是教科书中给出的，建模的过程是在教师设计的问题指引下进行的，知识目标是确定的；狭义数学建模活动的实际情境选择更加多样，过程更加开放，模型的抽象更加复杂，学生活动自主性更强，知识目标弱化，重在用数学方法构建模型，解决实际问题，积累活动经验。换言之，广义数学建模活动是一个与既定目标无偏差的良构活动，而狭义数学建模活动是围绕既定目标全开放的探索活动。

2.数学探究活动

数学探究活动也有广义和狭义之分。就广义而言，在高中数学内容中有很多是可以用数学探究的方式学习的，比如“6.4.3余弦定理、正弦定理”“直线与平面垂直的性质定理”[3]，甚至还有不足一课时的探究内容，比如“不等式的性质”“双曲线的定义”等等，体现了数学的一般观念[4]。就狭义而言，数学探究活动特指必修第二册63页“数学探究用向量法研究三角形的性质”、选择性必修第三册39页“数学探究杨辉三角的性质与应用”。数学探究与数学探究活动、广义和狭义的数学探究活动之间的关系与“数学建模与数学探究活动”中的分析类似。3.文献阅读与数学写作“文献阅读与数学写作”是教科书中设置的选学内容，共有5个，比如必修第一册97页“函数的形成与发展”等。教科书中给出了“目标”“主题”“实施建议”“参考选题”“文献综述的结构”等。实施的建议是：选题，分组，分配任务，收集资料，素材汇总，交流讨论等。具体实践时依然可以参照课题研究的方式进行。“文献阅读与数学写作”是集中体现“数学文化”的载体，有助于学生系统了解数学发展史，理解数学，提升科学思维。

二、高中数学综合实践活动的开展

1.以课题研究开展数学综合实践活动的基本范式

基于教学实践探索，我们提炼了基本范式，其结构是相同的，但由于三种活动各自教学内容不同，所以也有差异。为了清晰表达，也为了方便阅读，分别用3个图表示三种综合实践活动的基本范式。其中“教师钻研”是教师备课环节。“示范……”对应课题的开题环节，之后是学生先体验，尝试开展课题研究；“中期交流”是学生之间进行思维碰撞，交流心得经验，并由教师指导课题研究的思路、方法，通过这个环节，学生更加理解课题研究“做什么”“怎么做”，之后继续完成课题研究；“结题报告”是展示交流课题研究成果，并进一步升华对研究对象的理解，之后完善成果，完成本课题的研究工作。

2.比较中理解数学综合实践活动的基本范式

（1）分散课时，重新定义教与学

①重新定义课上、课下的功能。课题研究不同于大家熟悉的教学方法。“示范……”环节在课上进行，教师讲解，并由学生初步确定选题。之后的“中期交流”“结题报告”环节也都在课上进行，以学生展示交流、质疑问难为主，教师予以点拨指导。至于课下“自主……”环节，则个体研究与团队合作并行。课上、课下的工作是按照研究对象的逻辑顺序连续推进、逐步深入的，并非重复训练。课上完成需要交流碰撞的、方法方向探讨的、思维层面的工作，课下完成个体独立钻研、小组合作研究的任务。②重新定义课时的使用。课时的使用方式与传统教学有着本质的不同。“数学建模活动与数学探究活动”在必修部分课标建议课时是6课时，在选择性必修部分建议课时是4课时。教师教学用书中每个“文献阅读与数学写作”的建议课时是1课时。不论课时多少，其使用方法都不同于传统：要分散使用。换言之，即“示范……”“中期交流”“结题报告”不能连起来上。比如，在做数学探究活动“用向量法研究三角形的性质”时，4月3日开题，之后留给学生一周的时间进行个体自主探究，小组内部以及组与组之间进行交流，教师随时予以帮助。4月10日进行“中期交流”，4月29日“结题报告”[5]。从“中期交流”到“结题报告”之间之所以间隔这么久，是因为在“中期交流”中学生提出的探究问题涉及到教师之前没有预想到的知识，师生都需要进一步学习。此外，学生还需要将其他小组展示的研究成果进行梳理、理解，互相借鉴、融合，形成一个完整的研究报告。这些工作都是在课余时间进行的，所以整体跨度比较长。期间教师予以关注、督促、指导，并根据进展情况确定结题时间。数学综合实践活动课不能因下课铃声而终止，要创造条件让学生尽情交流研讨，确保课下有效的探索研究，确保课题研究过程要真实、思维有深度、成果能创新、热情会提升。③重新定义学习的物理空间。数学综合实践的课堂也需要突破传统课堂的物理空间。在学生自主做课题环节，因研究对象不同需要匹配不同的物理空间。比如，完成数学建模活动“介质与距离对WIFI信号强弱的影响”，就需要到操场进行测量收集数据[6]。课标中所给“案例15测量学校内、外建筑物的高度”需要走出校园收集数据。完成文献阅读与数学写作，学生需要大量查阅资料。结题报告活动，可以在自己班级进行，还可以扩大范围，增进交流，比如，开展全校评比活动，因此需要在学校的报告厅举行。数学综合实践活动拓展了学生的学习空间，根据活动内容选取适当的空间，保障课题研究的顺利进行。

（2）转变角色，教师成为导师

在基本范式中教师的工作分三段：备课钻研，主导开题，指导做题。不同于传统教学，在课题研究过程中，教师更重要的工作是对学生的指导，包括组建团队、选题的指导，学生课下自主开展的课题研究活动，以及课上展示交流。数学综合实践活动的备课对教师提出新的挑战，教师要先自己亲自体验。做设计的过程就是教师自己开展课题研究的过程，并将自己的经验提炼概括用于指导学生，因此需要较长时间，即使对于常规教学经验丰富的教师也是如此。比如在“用向量法研究三角形的性质”时，教师前期备课写出了约2万字的内容，包括从最基本、最核心的三角形闭合回路向量表达式出发，用向量的不同运算方法探索性质，再基于所得结论，综合运用向量方法继续探索的全过程，获得结论30余条，从学生最熟悉的三角形中线交于一点到梅涅劳斯定理等，构建了它们之间的关系结构图，整体上把握了该数学探究，做到了完全可以俯瞰学生数学探究[7]。“对数的起源与应用”虽然是一课时的教学内容，但备课历时却是比较长的，主要用于学习、甄选、处理史料等[8]。数学综合实践活动的过程中，教师对学生的指导是综合性、全方位的。在数学建模活动的开题课上，要指导学生用数学的眼光观察世界，开阔思路，确定选题；在数学探究活动的开题课上，要帮助学生明确研究对象的一般观念，在其指引下发现和提出问题，推进研究；在文献阅读与数学写作的开题课上，要指导学生学会阅读文献，确定写作主题。与常规的辅导作业相比，在数学综合实践活动过程中教师遇到的问题更丰富、更具挑战性。要帮助学生选题[9]；要指导学生收集数据[10]，评判学生所选模型的合理性；要亲自演算，了解学生探究的思路，判断其研究方向的可行性[11]；要在数学历史当年的背景下理解数学史料等等[12]。教师还要解决学生思想认识方面的各种问题。有的学生认为做数学综合实践活动不如刷题有效，有的学生遇到困难就要放弃等等，都需要教师予以指导，需要教师鼓励其完成活动，收获成就感，从根本上解决认识问题。

（3）转换身份，学生变身数学家

在数学综合实践活动中，学生的学习方式发生了彻底的改变。不仅仅是听课做作业，而是自己观察、发现值得研究的问题，并分析、解决问题；学习的特点不仅仅是模仿，更重要的是自主探索；不仅仅是汲取，还要分享贡献自己的智慧；不仅仅是个体学习，更需要团队的合作；不仅仅是做对答案，更重要的是有自己的创造。对于数学综合实践活动，一开始学生不适应，但只要他们被吸引进去，其韧性和创造力都是超乎预料的，这就是数学本身的魅力所在。要吸引学生，关键是要做真实、完整的数学综合实践活动。在“用向量法研究三角形的性质”中，学生一开始只是通过各种渠道收集罗列结论，在老师的指导下，他们转变方式，开始探究；探究过程中，学生几次推导失败，但在老师的鼓励下，独立推导出了塞瓦定理；学生还借助技术进行猜想，得到“奔驰定理”的一般形式。在完成课标“案例11正方体截面的探究”时，学生一开始是边写常规作业边开启数学探究活动的，但随着探究的推进，他们开始学习数学软件画图验证，精心推演求得垂直于体对角线的截面面积的变化规律，徒手绘制了漂亮的函数图象，结题时还总结出收获———“秒杀月考题”。在该探究过程中他们学到了空间中平面方程的求法，之后还用来解决线性规划问题，成就感油然而生，探究乐趣倍增[13]。在完成课标“案例15测量学校内、外建筑物的高度”活动中，学生不仅创造性地解决了测量远处建筑物高度的问题，还总结出了独特的解决生活中数学难题的“四维”思路，即在三维空间问题解决的基础上增加了学生的元认知，这就是创新[14]。在“介质与距离对WIFI信号的影响”案例中，建模失败的小组在结题汇报时，认真倾听其他小组的成功经验，顿悟了本组测量数据时的失误，这都是真实、宝贵的学习经验。观察发现，学生是容易被数学本身感染的，并能在其中心悦诚服地接受挫折，吸取经验教训，也能沉浸其中，在数学成就感的激发下克服困难，坚持探究，直至达成目标。当学生在结题课上骄傲地以自己的名字命名一个定理时，相信他已经找到了学习数学的新方法———像数学家一样探索数学世界的奥秘，并深刻地体会到了学习数学的乐趣所在。

3.相同范式下开展各具特色的综合实践活动

基本范式结构一样，但具体操作过程差异是很大的，这种差异是研究对象自身特点决定的。对于“介质与距离对WIFI信号强弱的影响”和“身高与鞋码关系问题”中的数学建模活动而言，相关联内容是函数，因此其研究的基本套路是：实际问题———函数模型———模型应用。实际问题的选择是第一步，要求学生用数学的眼光发现问题，比如有学生观察在学校供水处同学们取用饮用水情况，提出研究“温水与热水的比例为多少时口感适合”的问题；有学生观察校园内拐角处被汽车剐蹭的痕迹，提出研究“校园内转弯处适合的汽车车速”问题等等。之后要发挥代数运算的作用，发现变量之间的关系，探索变量之间的函数关系。这其中重要的是应用好函数研究的一般观念。“用向量法研究三角形的性质”和“正方体截面的探究”都是数学探究活动，但其一般观念是不同的。“用向量法研究三角形的性质”要知道研究的工具是向量，研究对象是三角形。在一般观念指引下，从向量的视角提出问题，比如用向量的线性运算对三角形中的基本组成元素进行运算能推导出哪些关系？用数量积运算呢？用它们的综合运算呢？再增加研究对象的元素，比如三角形中的中线、垂线、角平分线、重心、垂心等，再对之进行向量运算又可以得到哪些关系……“正方体截面的探究”则以立体几何研究的一般观念为指导，先研究最简单最基本的截面———三角形，以三角形的研究为示范，其他形状的截面可以类比进行。在研究三角形截面时，依据立体几何研究套路进行。先研究其存在性，再研究何时存在特殊的三角形，并予以论证或者反驳。完成对形状的研究之后，接下来研究其度量问题，即截面的面积和截面周长。依然是从一般性到特殊性展开研究，比如先研究任意一个截面面积的求法，再研究特殊截面面积的变化规律，如垂直于体对角线的截面等等。“对数的起源与应用”中所记述的数学文化的学习要有历史观，要“穿越”历史回到从前，在当时的数学背景下学习史料，置身于当时的社会环境中了解数学家的智慧和艰辛，从而感受数学家的伟大贡献。用课题研究的方式开展数学综合实践活动程序类似，但内涵差异大，不能机械套用。能否做好活动，起决定性作用的是“教师钻研”的深度，这就是新的学习对象、新的教学方式对数学教师提出的挑战。

4.深度体验中做一次真实的课题研究

对比实践效果可以发现，完整的、较大型的、开放的数学综合实践能让学生有深刻的体验，对学习方式改变产生较大的促进作用。因此建议第一次数学综合实践活动一定要大胆尝试，精心设计，确保成功，对后续的综合实践活动形成积极效应。例如，我们组织的一场数学建模活动的大型结题报告会震动了一个学校从校长到教师各个层面，促进了该校对课题研究的全新认知，并由他们推动了一个市的教学理念的变革。由此可见，一个成功的开端可以扫清开展数学综合实践活动的所有障碍，甚至打开教学方式改革的新局面。还可以用项目学习的方式开展数学综合实践活动，其本质与课题研究一致，只是加强了成果意识和评价引领[15]。不论哪一种方法，第一次开展数学综合实践活动时都是艰辛的，教师没有经验，学生不会做，只能依赖教师的指导，无论是课上的交流研讨，还是课下的自主活动，时刻需要教师给予指导。不过，只要完成一次，有了成功体验，后续学生将越来越独立，教师的组织和驾驭能力也越来越游刃有余。在课题研究过程中，师生共同成长，一起领略数学的风采，可谓“教学相长”“不亦乐乎”。

作者:薛红霞 单位:山西省教育科学研究院