小初数学学科素养连续性培养研究

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我国义务教育法将义务教育分为初等教育和初级中等教育两个阶段。由于身心发展的需要，学生在接受义务教育的过程中，需分别进入小学与初中进行学习，实际上这二者的教育教学是存在连续性的。因此，如果小学教师和初中教师缺乏对学生进行数学思维和学习方法上的连续性指导，学生很难快速转变思维习惯和学习方法，以致难以适应初中的学习与生活。因此，如何做好学生小学到初中数学学习的稳定过渡，是中小学教师面临的考验。当前,关于小初数学衔接问题的研究多侧重于对初中教师教学策略给出建议[1-4]，而关于小学数学教师教学建议的研究比较少。因此，本文通过对比《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）小学阶段与初中阶段数学核心素养表现的同异，给出小学数学教师在小初数学学科素养连续性和进阶性培养上的几点建议。

一、小初数学核心素养表现的联系与差异

与2011年版课标相比，2022年版课标中明确给出了义务教育阶段数学学科核心素养的构成，即数学课程要培养学生会用数学的眼光观察现实世界，要培养学生会用数学的思维思考现实世界，要培养学生会用数学的语言表达现实世界。2022年版课标中分别给出了小学、初中核心素养的主要表现及内涵。小学阶段的核心素养表现为：数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识和创新意识，这11个词分为感觉、能力、观念和意识四个层次；初中阶段的核心素养表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识和创新意识，这9个词分为能力、观念和意识三个层次。可以看出，小学阶段和初中阶段有6个相同的核心素养表现：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、应用意识、创新意识。剩余的核心素养表现如数据意识、数据观念等，虽不完全相同，却存在递进关系，这也说明小初阶段教师应在课标的指导下对学生的数学学科核心素养进行连续性和进阶性培养。与小学阶段相比，初中阶段虽然看上去少了感觉层次的表现，但实际上是因为学生的认知发展后，感觉层面的表现发展为能力层面，而这也是本文研究的重点。

二、关联小初素养表现，实现连续进阶培养

1.重视运算能力，完成平稳过渡

在小学阶段的核心素养表现中，能力层面的要求只有一个，即运算能力，并且运算能力也是初中需要继续培养的重要数学能力。此外，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中提到的高中数学学科核心素养的6个主要表现里依然有数学运算。因此可以说，运算能力的培养贯穿学生整个初等、中等教育阶段的数学教学。以人教版初中数学教材为例，七年级上册共4章内容，与运算直接相关的章节有3章；七年级下册共6章内容，与运算直接相关的章节共4章。七年级作为小初衔接的关键时期，共10章的学习内容中，要求学生具备一定运算能力的内容占了70%。这种情况在八、九年级的学习中依然有所体现。这是因为除了代数部分的相关学习内容，初中几何学习中也蕴含着大量计算内容。可以说，学生在初中学习的每一步都需要一定运算能力的支持，而初中运算的每一步也都是小学知识的再接力。如学生在八年级下学期学习二次根式的时候，常常会犯这样一个错误：941=321。出现这个问题的原因在于学生对带分数理解的错误，9和41之间应为加法关系而不是乘法。学生学习了整式及实数后，规范书写像2a、22这样的乘法关系需省略乘号，再加上初中对分数的表示中使用带分数和小数的形式并不多，就会导致学生遇见带分数时容易出现概念混淆，认为带分数的整数部分和真分数部分之间也是乘法关系。由于小初阶段所学知识联系紧密，尤其是初中阶段的学习对数域进行了多次扩充，但仍保持了原有的运算法则及运算律。因此，小学阶段学生运算能力的高低将直接对初中的进一步学习产生影响。由此可见，培养学生的运算能力是形成小学阶段数学学科核心素养的关键，也是初中阶段教学的重中之重，更是帮助学生平稳进行小初衔接的关键所在。

2.渗透抽象思维，引领学习蜕变

初中核心素养表现中的抽象能力实际上是小学核心素养表现中的数感、量感和符号意识的再发展。学生进入初中后第一次感觉数学学习困难，是在学习第二章“整式的加减”的时候。这是因为从这一章开始，初中的运算和小学运算产生了质的变化——运算的对象由数转变为字母。字母的运算其实与数的运算具有一致性，即原有的运算法则和运算性质均得以保持，不发生改变。但对学生而言，他们觉得数学开始脱离实际生活，产生了初中数学学习的第一次危机，这其实就是抽象能力不足导致的。在人教版一年级上册第一课“准备课”的教学内容中，学生需经历由看到生活中的事物联想到个数的过程，这其实就是通过对现实世界的观察和感知抽象出表示的符号——数字。由现实事物到数的抽象远比由数到字母的抽象难度大，但为什么小学生没有在上第一节数学课时觉得学习数学困难呢？原因在于，大部分学生在上小学之前已经学会了数数，因此学生走入课堂再次学习时，会感觉数的产生是一件很自然的事情，但他们并没有体会也没有体验到由物到数这一抽象的过程。以此为例，小学学习过程中并不缺乏抽象思维。但如果教师在教学过程中未能进行及时点拨，而学生又习惯了接受式的学习，那么学生将长期缺乏对抽象的思考，很难体会到数学的本质是抽象。到了初中，学生需要从抽象的事物中再抽象，学习内容脱离生活实际时，就会产生学习困难。因此，教师在教学过程中，尤其是对小学高年级学生而言，随着认知的增长，可以在教学过程中适当地引导学生思考，发现数和运算是数学抽象、点线面是数学抽象、运动变换也是数学抽象……让学生逐渐产生数学的本质就是抽象这一意识。还有一点值得教师关注的是符号意识，数学语言最大的特点是具有简洁性，而简洁性是符号给予的。用符号表示数量、表示图形其实也是一种抽象，因此，在学习数学符号的时候，也可以培养学生抽象思维。其实这一过程就是我们说的，让学生用数学的眼光看现实世界，并在学习过程中逐步建立了一个抽象的新世界，即数学的世界。

3.关注推理过程，建立逻辑关系

小学核心素养表现中的推理意识和符号意识再发展后成为初中核心素养表现中的推理能力。推理能力是最能体现数学思维的一种能力，在小学学习中逐步形成，到初中后强化提升。推理能力可以帮助学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养他们的科学态度与理性精神，也就是我们说的用数学的思维思考现实世界。在小学教学过程中，哪些地方可以培养学生的推理意识呢？笔者觉得最好的机会在尺规作图上。现阶段人教版小学数学教材中虽然没有明确给出尺规作图的概念，但存在一些相关的教学活动，如利用圆规和直尺设计美丽的图案等。用直尺和圆规作图可以引导学生把头脑中想象的图形数学表达出来，这不仅有利于学生认识和理解几何概念，也有利于学生建立几何直观，增强空间想象力和推理意识[5]。尺规作图容易被教师归为程序类或者操作类问题，这是因为基本尺规作图都是由一系列具体操作步骤构成的，学生只要按步骤操作一定能画出图形来，因此单纯的尺规作图可以归为程序类知识。实际上，尺规作图的步骤是有严格顺序的，这样就存在逻辑关系，而每一步骤操作又都有其目的且存在作图依据，因此只要对每一步操作追问一个为什么，连起来就构成了一个严谨的逻辑推理。所以，尺规作图的学习是帮助学生理解图形的生成过程、应用图形性质、发展推理能力的重要手段之一。在2022年版课程标准中，初中阶段的基本尺规作图由5种增至6种，新增过圆外一点做圆的切线。更大的改变是小学阶段也增加了尺规作图：在第二学段的学习中，学生需经历“用直尺和圆规作给定线段的等长线段，将三角形的三条边画到一条直线上”的过程，直观感受三角形的周长以及线段长度的可加性。第三学段的学习中，学生需经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三边，并说出其中的道理。教师在教学过程中，除了注重作图过程外，更应注重引导学生思考作图依据。比如，学生在学会作给定线段的等长线段后，可以拓展学习作给定线段为边长的等边三角形。按步骤学生很容易画出一个边长与已知线段相等的等边三角形，如图1。这一尺规作图操作步骤少且简洁，但是每一步都含有作图依据，且不可以改变作图顺序。比如为什么第一步做射线l，这里蕴含了一个任意性，射线位置是可以任意选取的，由于构造的三角形中有两个点在这条射线上，因此射线位置的任意性导致了随后构造的等边三角形位置的任意性。第二步：以A为圆心，a长为半径构造圆。作图目的是确定三角形的第二个顶点B的位置，作图依据是圆的半径相等，构造AB长使其与已知线段a长相等。这一步还有一个隐藏作图目的，在为点C的确定做准备，因为等边三角形三边相等，所以点C也在⊙A上。但此时C是运动的、不确定的，因此有了第三步：以B为圆心，a长为半径构造圆，作图目的是确定C点位置，作图依据是等边三角形三边相等及圆的半径相等，因此点C既在⊙A也在⊙B上，则点C为两圆的交点。两圆交点有两个，根据轴对称性，选一个即可。最后一步：连接线段，构造三角形。通过这个例子就可以看出，尺规作图的学习与研究可以帮助学生培养推理意识，因此建议教师在教学过程中不仅需注重图形生成过程，更要引导学生分析作图目的，理解作图依据。当然，仅凭新添的两个尺规作图来培养学生的推理意识是远远不够的，教师还可以在教学过程中，简化作图改为画图，区别在于学生可以应用有刻度的直尺还有量角器、三角板等常用数学工具。比如，用三角板画出一个长5cm宽4cm的长方形；使用三角板和圆规画一个边长为10cm和6cm的等腰三角形，看一看可以画几个等等。这样对各个学段的学生都可以设计一些画图活动，并说一说画图每一步的目的及依据，提升学生的推理意识。

4.增强应用意识，激发学习兴趣

初中阶段数学核心素养表现中的数据观念、模型观念和应用意识这三个词语在小学阶段都是意识层面的。意识与观念的区别在于，意识是基于经验的感悟，观念是基于概念的理解。既然意识是经验的感悟，就需要学生真正经历过，积累了经验后，才能有所感悟。这也就是如何培养学生会用数学的语言表达现实世界。七年级下册最后一章为“数据的收集、整理与描述”。学完该章后，教师可以在暑假布置一个数学活动：学生自由分组，自拟调查题目，设计系列问题，构成调查问卷，进行一次抽样调查。学生需要发放调查问卷，收集数据，然后进行整理工作，最后使用统计图表进行数据的描述，完成一份调查报告。其实数据的收集与整理在小学低年级就已经开始学习了，学习的内容和初中也很接近，区别在于调查的内容较为简单，调查问卷以单题形式出现。因此，在小学学习数据的收集与整理时，也可以设计一些类似初一学生进行的实际应用类的数学活动。教师可以提前准备一些关于学校或者班级等主题的调查问题，供部分学生选择，对能力较强的学生，可以指导学生自拟调查问题。让学生真正经历数据的收集与整理过程。此外，教师还可以通过信息技术的使用，将学生整理的数据进行保存。等到后续学习条形图、扇形图等知识的时候，将低年级时收集的数据调出来接着深入研究，以提升学生的学习兴趣，提高知识的应用性。这种实际应用活动也不局限于统计，在其他知识的学习当中也可以存在，比如在学习测量时，可以以小组为单位，测量校内一些常见物品的长度和重量等。这样,学生不仅可以将教材中的知识进行实际应用，更可以用学过的知识和方法解决生活中的问题。学生有了活动经验，将所学用于生活，又在生活中再次学习，不仅对知识有了自己的加工和重新认知，更可以获得学习的成就感。在丰富多彩的学习实践中形成模型观念，发展应用意识。

三、回归教材，探寻联系

2022年版课标中明确指出，数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、知识结构和基本线索，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。教师想要在教学中逐步提升学生的数学学科素养，做好小初阶段学生的连续性培养工作，应尽可能做到熟悉小学和初中阶段的教材，对小初教学内容的异同有一定的了解。通过比较小学教材和初中教材目录不难发现，学生在两个阶段所研究的大部分数学对象是重复的，但是随着学生年龄的变化，认知能力和学习能力得以发展，教材中对同一数学对象的研究角度以及研究深度有了变化，这样就很容易理解为什么2022年版课标中小初核心素养的表现既存在联系又各有不同。以几何图形平行四边形为例，小学学习的主要内容为平行四边形的定义、平行四边形具有不稳定性和平行四边形面积计算等，初中学习的主要内容是研究平行四边形的性质和判定方法。在不同学习阶段对同一图形进行研究，这种学习本身就具有连续性和进阶性。因此，对小学高年级学生而言，教师可以布置开放性的题目，通过三角板和量角器的使用，寻找平行四边形边的关系及角的关系。通过测量的方法，小学生也可以发现平行四边形对边相等、对角相等的图形性质。当学生提出猜想后，教师可以通过几何画板绘制动画，让学生任意拖动改变平行四边形的角度及边长，通过信息技术的支持，让学生观察在运动变化过程中猜想是否仍然成立，对猜想进行举例验证。至于如何进行严谨的推理证明，证明过程中又有什么理论依据，这些学习工作可留给学生在初中完成。在此过程中，不仅能帮助学生进行小初学习的过渡，更可以激发学有余力的学生主动探索新知。由此可见，无论小学教师还是初中教师，熟悉、钻研小学和初中教材，教学中回归教材，对小初衔接工作至关重要。

对数学学科而言，小学与初中从教材内容到培养的学科核心素养，都具有整体性、一致性和阶段性，仅是在不同阶段具有不同表现。因此，两个阶段对学科核心素养的连续性培养工作应该是贯穿整个义务教育阶段，通过小学六年学习的积累，逐渐对初中的数学学习力产生影响。当然，这也需要教师在备课过程中，对小学、初中教材进行比较使用，不断实践，对教学内容进行思考，探索设计更多有助于学生学科素养培养的教学活动。

参考文献

[1]江涛，夏飞.小初衔接阶段数学教学的“关键点”[J].安徽教育科研，2020（21）：37-38+64.

[2]陆军.追求无缝：核心素养背景下小升初数学衔接教学的思考[J].中学数学，2019（12）：72-73.

[3]包丽.基于小初衔接的初中数学单元教学实践——以“分式”为例[J].黑龙江教育：中学版，2018（Z2）：44-45.

[4]王殿壮.小升初数学衔接的问题探究[J].中国校外教育，2018（17）：51.

[5]唐彩斌，史宁中.素养立意的数学课程——《义务教育数学课程标准（2022年版）》解读[J].全球教育展望，2022，51（06）：24-33.

作者:北京市第一七一中学 单位:北京市第一七一中学