数学概念教学汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学概念教学范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

二、学生分析

学生对生活中确定一个物置有一些生活经验，因此，从身边的实例入手，能更好地理解有序数对。让学生充分体会物体的位置可用一组有序数对表达，建立数学模型。

三、教学方法

本节以学生为主体，教师为主导，从活动中得到有序数对的概念，并在活动中进一步理解有序数对的概念。在教学中，老师与学生互动，学生与学生互动，激发学生的求知欲，感受学习的

乐趣。

四、教学目标

知识目标：

1.有序数对的含义。

2.用有序数对表示生活中物体的位置。

3.用有序数对表示位置。

过程与方法：

通过身边实例感受有序数对表示位置，在活动中学习有序

数对。

情感与态度：

1.培养学生的合作意识，体会数学学习的乐趣。

2.感受用有序数对表示位置，位置可用有序数对表示，体会数形结合。

五、教学重点

1.有序数对的意义。

2.用有序数对表示位置。

六、教学难点

1.有序数对中有序的理解。

2.用有序数对解决实际问题。

七、教学过程

1.创设情境，引入新课

【活动1】在班里，老师想找一个学生，猜猜他是谁？

（1）他在“第5列”，你能确定他的位置吗？

（2）他在“第2排”，你能确定他的位置吗？

（3）他在“第5列，第2排”，你能确定是谁了吗？

问题：你认为确定平面上一个点的位置需要几个数据？

【活动2】你能很快找出以下位置的同学吗？（1，3）（3，1）（2，4）（4，2）（5，4）（4，5）。

列在前，还是排在前对位置是否有影响？

约定：“列在前，排在后”你有什么发现？

2.揭示概念，活动巩固

归纳：有序数对的定义_____记作_____。

【活动3】说出自己所在位置的有序数对（约定“列数在前，排数在后）。

【活动4】学生说出一个有序数对，说到的学生立马站出来。

【活动5】如果约定：排在前，列在后。你能说出所在位置的数对吗？

问：生活中还有哪些与有序数对有关的事情。

3.随堂练习，巩固提升

（1）这是几个学生写出来的有序数对，谁写对了？

A（5、9） B（x，y） C4，6 D（a b） E（b，9）

（2）在电影票上，将“7排6号”简记为（7，6），则6排7号可表示为_____。

（8，6）表示的意义是_____。

（3）如图1，甲处表示2街与5巷的十字路口，乙处表示5街与2巷的十字路口，如果用（2，5）表示甲处的位置，那么“（2，5）（3，5）（4，5）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）”表示从甲处到乙处的一种路线，请用有序数对写出1种从甲处到乙处的路线。（只能向右或向下走）

（4）如图2所示，如果点A的位置为（1，2），那么点B的位置为_____ ，点C的位置为 _____。

4.当堂反馈

（1）在电影票上（5，3）表示5排3号，则（8，6）表示的含义

10排5号则可用有序数对表示为 _____。

（2）如图所示3，如果点A的位置为（3，2），那么点B的位置为 _____，点C的位置为_____，点D和点E的位置分别为

_____，_____。

5.总结收获

6.延伸与拓展，自由设计

小组合作，设计队徽

要求：在网格纸内设计一个容易用有序数对描述的图形并用自己的语言描述这个图形所赋予的含义。

八、教学反思

本节课从学生熟悉的教室里的位置出发，得到有序数对的定义。指出有序数对可表示物体的位置。这节课设置了五个活动，活动一“猜谜”引出确定一个位置需要两个数据，引出数对的概念。活动二“找位置”体会表示位置的两个数据是有顺序的，引入有序数对的定义。活动三“说出自己所在位置的有序数对”让学生充分体会用数对表示位置。活动四“给一个有序数对猜猜位置在哪？”充分体会有序数对表示的位置。活动五“约定互换”体会有序数对的有序性。位置在学生的生活中并不陌生，采用活动进行教学，让学生充分参与到教学活动中，可以激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学就在身边，从而提高学习的积极性，达到较好的教学

篇（2）

数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映,是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是提高解题能力的前提,是数学学科的灵魂和精髓。因此,数学概念教学是“双基”教学的核心,是数学教学的重要组成部分,教师应引起足够重视。有些学生在课下与我交谈时说老师上课讲的题一听就会了,可是自己单独做的时候却无从入手,究其原因主要是对题目中涉及的相关数学概念理解不透彻,以致无法根据已知条件找到解题通道。另外,新教材有的地方对概念教学的要求是知道就行,需要某个概念时,就在旁边用小字给出,这样过高地估计了学生的理解能力,也是造成学生不会解题的一个原因。我结合新课标的学习和教学中的实践谈一些认识。

一、注重概念产生的基础,体验数学概念的形成过程

数学概念的引入,应从实际出发,创设情境,提出问题。通过与概念有明显联系、直观性的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念,形成感性认识,通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性。比如在概率概念的教学中,我首先让学生知道用概率度量随机事件发生的可能性大小能为决策提供关键性的依据,提问如何才能获得随机事件的概率呢?我让学生做掷硬币的实验,每人10次,最后我统计结果,把全班学生的结果汇总,计算出正面朝上的频数和频率。学生会发现所得的频率都在0.5附近摆动。此时我就把掷一枚硬币正面朝上的概率记为0.5,从而总结出概率就是频率的稳定值。如此通过学生亲自参与实验来让学生更好地理解概率的真正含义,使学生感觉到概率的概念就是他们亲自做出来的,还尝到了数学发现的滋味。

二、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念

新概念的引入,是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成苦干个层次,逐步加深提高。如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程:(1)用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义。(2)用点的坐标表示的锐角三角函数的定义。(3)任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出:①三角函数的值在各个象限的符号。②三角函数线。③同角三角函数的基本关系式。④三角函数的图像与性质。⑤三解函数的诱导公式,等等。可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。重视概念教学,挖掘概念的内涵与外延,有利于学生对概念的理解。

三、在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念

数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等。在教学中,教师应善于寻找、分析其联系与区别,这有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数值对应起来;另一种是高中给出的定义,是从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看,初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,函数可用图像、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。认真分析两种函数定义,其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质是一致的。当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的,要经历一个多次接触的较长的过程。

四、在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念

在数学概念形成之后,我通过具体例子,说明概念的内涵,认识概念的“原型”,引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用。这是数学概念教学的一个重要环节,此环节操作的成功与否,将直接影响学生对数学概念的巩固,以及解题能力的形成。学生通过对问题的思考,尽快地投入到新概念的探索中去,从而激发了好奇心、探索和创造的欲望,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。例如,当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后,进行向量的坐标运算,我提出问题:已知平行四边形的三个顶点A、B、C的坐标,试求顶点D的坐标。学生展开充分的讨论,不少学生运用平面解析几何中学过的知识(如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等),结合平行四边形的性质,提出了各种不同的解法,有的学生应用共线向量的概念给出了解法,还有一些学生运用学过的向量坐标的概念,把点的坐标和向量的坐标联系起来,巧妙地解答了这一问题。除此之外,我通过反例、错解等进行辨析,有利于学生巩固概念。高中数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念,概念教学是数学“双基”教学的重要组成部分。所以,通过数学概念教学,使学生认识概念、理解概念、巩固概念,是数学概念教学的根本目的。

篇（3）

关键词：数学概念概念教学阶段数学思维层次分析

概念是客观事物本质属性、特征在人们头脑中的反映。数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。在初中数学教学中，加强概念的教学，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数学思想的基础，搞清概念是提高解题能力的关键。在新一轮课改理念的引领下，结合我的教学实践，就数学概念教学的有关问题与大家共同探讨。

一、新旧理念下数学概念教学模式的层次分析。

传统的数学概念教学大多采用“属+种差”的概念同化方式进行。通常分为

以下几个步骤：

1、揭示概念的本质属性，给出定义、名称和符号；

2、对概念的进行特殊分类，揭示概念的外延；

3、巩固概念，利用概念解决的定义进行简单的识别活动；

4、概念的应用与联系，用概念解决问题，并建立所学概念与其他概念间的

联系。

这种教学过程简明，使学生可以比较直接地学习概念，节省时间，被称为是“学生获得概念的最基本方式”。但是，仅从形式上做逻辑分析让学生理解概念是远远不够的。数学概念具有过程——对象的双重性，既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。因此，必须返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型、概念的抽象过程、数学思想的指导作用、形式表述和符号化的运用等多方位理解一个数学概念，使之符合学生主动建构的教育原理。

美国教育心理学家布鲁纳曾指出：“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识。一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命。”就数学概念教学而言，素质教育提倡的是为理解而教。新课改理念下的数学概念教学要经过四个阶段：

1、活动阶段。

2、探究阶段。

3、对象阶段。

4、图式阶段。

以上四个阶段反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动。其中的“活

动”阶段是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受直观背景和概念间的关系；“探究”阶段是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、概括过程，学生在头脑对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质；“对象”阶段是通过前面的抽象认识到了概念本质，对其进行“压缩”并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个思维中的具体的对象，在以后的学习中以此为对象进行新的活动；“图式”的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式

二、新课改理念下的概念与法则的教学案例。

1、代数式概念

代数式（字母表示数）概念一直是学生学习代数过程中的难点，有很多学生

学过后只能记住代数式的形式特征，不能理解字母表示数的意义。代数式的本质在于将求知数和数字可以像数一样进行运算。认识这一点，需要有以下四个层次。

（1）通过操作活动，理解具体的代数式

问题一：让学生用火柴棒按下面的方式搭正方形，并请填写好下表：

正方形个数

1

2

3

4

……

100

……

n

火柴棒根数

问题二：有一些矩形，长是宽的3倍，请填写下表：

宽

1

4

7.5

11

长

周长

面积

通过以上两个问题，让学生初步体会“同类意义”的数表示的各种关系。

（2）探究阶段，体验代数式中过程。

针对活动阶段的情况，可提出一些问题让学生讨论探究：

①问题一中3n+1，与具体的数有什么样的关系？

②把各具体字母表示的式子作为一个整体，具有什么样的特征和意义？（需

经反复体验、反思、抽象代数式特征：一种运算关系；字母表示一类数等）。

这一阶段还包括列代数式和对代数式求值，可设计下题让学生进一步体会代

数式的特征：

①每包书有12册，n包书有________册。

②温度由t℃下降2℃后是_________℃。

③一个正方形的边长是x，那么它的面积是_________。

④如果买x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自来水费（每立方米b元），共花去_______________元钱？

（3）对象阶段，对代数式的形式化表述。

这一阶段包括建立代数式形式定义、对代数式的化简、合并同类项、因式分

解及解方程等运算。学生在进行运算中就意识到运算的对象是形式化的代数式而不是数，代数式本身体现了一种运算结构关系，而不只是运算过程。这一阶段，学生必须理解字母的意义，识别代数式。

（4）图式阶段，建立综合的心理图式。

通过以上三个阶段的教学，学生在头脑中应该建立起如下的代数式的心理表

征：具体的实例、运算过程、字母表示一类数的数学思想、代数式的定义，并能加以运用。

2、有理数加法法则

（1）运算操作：计算一个足球队在一场足球比赛时的胜负可能结果的各种

不同情形：

(+3)+(+2)——+5(-2)+(-1)——-3

(+3)+(-2)——+1(-3)+(+2)——-1

(+3)+0——+3…………

（其中每个和式中的两个有理数是上、下半场中的得分数）。

（2）探究规律：把以上算式作为整体综合进行特征分析：同号相加、异号相加、一个数与零相加等的过程和结果对照总结规律，理解运算意义。

（3）形成对象：把各种规律综合在一起成为一完整的有理数加法法则，并产生有理数和的模式：

有理数+有理数=①符号②数值

这一阶段还包括按照有理数和的模式及具体的运算律进行任意的有理数和的运算和代数式求值的运算等。

（4）形成图式：有理数加法法则以一种综合的心理图式建立在学生的头脑中，其中有具体的足球比赛的实例、有抽象的操作过程、有完整的运算律和形成的模式。而且通过以后的学习获得和其他概念、规则的区别与联系。

三、两种教学模式下学生学习方式的对比分析。

与新课改理念相比，传统的教学模式下学生的学习缺少“活动”阶段，对概念的形成过程没有充分体验，学生数学概念的建立靠教师代替快体验、快抽象。反映出的情况有：

（1）过快的抽象过程使得只能有一少部分学生进行有意义的学习，难以引发全体学生的学习活动，大部分学生理解不了数学概念，只能靠死记硬背。例如学生学习有理数运算很长时间，还经常出现符号运算错误，这就是学生对有理数运算没有理解而造成的。

（2）由教师代替学生快体验、快抽象出数学概念，即使是能跟随教师进行有意义学习的学生其学习活动也是不连贯的，建构的概念缺乏完整性。例如学生学习了代数式的概念，经常出现a+a+a×2=3a×2,25x-4=21x,5yz-5z=y等错误，这是因为学生没有进行必要的“活动”，使“探究”的体验不完整需用造成的。又如在求解方程中出现(x+2)2=1=x2+4x+4=1=……等错误，说明学生还停留于运算过程层面，对方程对象的结构特征不理解。

（3）学生建构概念的图式层面是学习的最高阶段，在现有教学环境下很多学生难以达到这一层面。例如，为什么要学习解方程？解方程的本质是什么？

四、新课改理念下数学概念教学的策略。

新课改理念下的数学概念教学是由学生活动、探究到对象、图式的学习过程，体现了数学知识形成的规律性。为此，我结合自己的教学实践对数学概念教学采取以下策略：

（1）教师要把“教”建立在学生“学”的活动中。

为了使学生建构完整的数学知识，首先要设计学生的学习活动。这需要教师创设问题情境，设计时要注意以下几个方面：①能揭示数学知识的现实背景和形成过程；②适合学生的学习水平，使学习活动能顺利展开；③适当数量的问题，使学生有充足活动体验；④注意趣味性，活动形式可以多种多样，引起全体学生的学习兴趣。

（2）体现数学知识形成中的数学思维方法。

数学思维方法是知识产生的灵魂，把握数学知识形成中的数学思维方法，是学生展开思维、建构概念的主线。学生学习中要给予提示、建议并在总结中归纳。另外，要设计能引起学生反思的提问，如“你的结果是什么？”“你是怎样得出的？”“你为什么怎样做？”……使学生能顺利完成由“活动”到“探究”，“探究”到“对象”的过渡。

篇（4）

数学概念是关于对象的数和形的某一类本质属性的整体反映。它用简练、精确的文字指出了定义的对象最显明、最基本的本质属性。数学知识就是由一些最基本的概念组成。所以概念是数学逻辑的起点,是数学的浓缩,是学生学习数学知识的基石。以数学概念为载体,教师通过相关的数学思维过程训练,能培养学生主动获取知识及数学化思考的能力。然而在日常教学中,教师经常三言两语简单地介绍,然后举几个关于概念应用的例子。学生不能透彻理解概念,更谈不上灵活应用了。数学概念是关于对象的数和形的某一类本质属性的整体反映,它在数学教与学中有着举足轻重的地位。在概念教学中,教师应有效地创设问题情境,将学生组织到问题情境中去,引导他们分析,探讨问题,解决问题,帮助他们归纳,提炼概念的本质属性,最终获得概念,形成概念系统。

一、创设情境,形成新概念

动机是唤醒和推动创造行为的原动力。数学创造的动机可分为外部动机和内部动机。外部动机源自生产实际、日常生活中的问题对数学家的挑战。而内部动机来自数学活动中人们对数学理论和数学美的追求。在数学教学中,我们可以从数学的实际应用价值和数学自身魅力两方面激发学生进行数学“再创造”的动机。从这种意义上说,创设情境具有情感上的吸引,容易使学生产生学习的兴趣,形成寻求问题的心向。

1.在实验操作情境中形成概念。

实验操作具有较强的活动性,最能体现在“做中学”的思想。教师应通过有趣的实验操作,不失时机地提出问题,引导学生认真观察,积极思考,分析问题,解决问题,从而得出有关数学概念。我在讲解椭圆定义时,事先让每位同学准备一段没有弹性的线,同桌的两位同学合作,将线的两端固定,用笔沿着线画出图像。学生得出的图像有椭圆,也有线段。我引导学生,分析试验中的要素,得出椭圆的定义。

2.在生活情境中感悟概念。

数学概念,尤其是初等数学概念,虽然是高度抽象后形式化的产物,但仍然有许多蕴含着丰富的生活含义。在教学中,教师要充分运用直观的方法,使抽象的数学概念成为看得见、摸得着、想得来的东西,成为学生能亲身体验的东西,让学生借助自己的亲身感受,在感性认识的基础上,通过分析、比较、综合、抽象和概括等思维活动,建构概念的意义。如在讲解圆的概念时,我先提问:车轮是什么形状的?学生都能回答是圆的。接着,我提问为什么车轮都要做成圆的,能不能做成椭圆?如果由你来做车轮,需要注意什么?学生根据自己的经验,得出如果做成椭圆的车子开起来会一高一低,因为车轮上每一点到轴心长度不一样,只有做成圆形的,车轮上的每一点到旋转轴心的长度才相等。通过对这些问题的讨论,学生达到了对圆的本质属性的理解,在这基础上引入圆的定义。又如在讲解空间解析几何中的三个坐标平面将空间分为8个部分,很多学生想象不出来,我事先提出将一个西瓜切三刀,至多能切几片?在这基础上,学生很容易接受。

3.在问题情境中建构数学概念。

问题可以引起学生的认知失调,提高问题的关注,激发解决问题的动机,寻求解决的方法。在学习等差数列时,我常用几个有规律的数列让学生观察归纳,从而引出定义。

二、揭示概念的内涵和外延,加深对概念的理解

1.采用类比,加深概念的理解。

对类似的概念进行比较,为确定共同特征和发现差异提供了可能,这有助于进一步理解新概念的本质,更牢固地记住概念和避免错误。在学习立体几何时,我们可以通过平面与空间的类比,引导学生猜想出许多空间图形的性质。例如,由平面内直线a∥b,b∥c,则a∥c,可类比出空间内的平面α∥β,β∥γ,则α∥γ;与平行四边形类比可推出平行六面体的不少类似性质;球与圆类比可推出两球相切等球的有关性质;“面面垂直”与“线线垂直”,平面上两点间的距离与空间中两点间的距离等较多的类似性质等。

2.进行对比,巩固概念的理解。

在数学中,概念非常多,而且很相似。学生学习起来易产生混淆。采用对比法,可帮助学生加深对概念的理解,如指数函数和幂函数,对数函数和指数函数,排列与组合。教师可通过分析它们的区别,从而使学生分清各函数的性质,以便利用性质解题。把新概念与旧概念对照起来讲,这样不仅能使学生比较顺利地接受、理解新概念,而且能使学生从中看到新旧概念之间的区别与联系,对理解新旧概念都有帮助。如函数概念是反函数概念的基础,对于反函数概念的理解,是在函数概念的基础上,因为反函数也是函数,符合函数的概念。学生通过学习反函数,又加深了对函数概念的理解。因此运用对比法进行数学概念教学,尤其是对于相似的数学概念非常有效。

3.数形结合,加深概念的理解。

教师利用数形结合可将代数与几何问题相互转化,使得抽象的问题形象化,帮助学生理解看不见摸不着的概念。如在讲解一元二次不等式时,我注重对一元二次函数图像的讲解。在学生做练习时,我要求每位学生画出该不等式所对应的函数图像,根据图像进行解题,而不是死记硬背结论。我通过函数图像的讲解,让学生学会了“看图说话”,在以后的指数、对数、三角函数的教学中,使学生利用函数图像很容易掌握相应函数的性质。

三、注重应用,加深对概念的理解,培养学生的数学能力

对数学概念的深刻理解,是提高学生解题能力的基础;反之,也只有通过解题,学生才能加深对概念的认识,才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的内涵和外延。课本中直接运用概念解题的例子很多,教师在教学中要充分利用。同时,对学生在理解方面易出错误的概念,要设计一些有针对性的题目,通过练习、讲评,使学生对概念的理解更深刻、更透彻。

四、形成系统,形成概念系统

任何概念都不是孤立存在的,概念之间有着严密的系统性。如果学生只是孤立地、片面地了解一些零星的概念,那就不可能获得系统的数学知识,对数学概念本身也会缺乏深刻的理解。因此,教师必须在概念系统中教会概念,使学生更好地掌握概念。在一个阶段的教学之后,教师可以对学生学过的概念尽可能地进行系统分类,使学生更好地理解各概念之间的联系,帮助学生建构起良好的知识结构,形成系统。在这一阶段教师要引导学生对课堂教学内容及方法作适当的总结。一是建立新知识的内在联系,并纳入原有的知识系统,形成知识结构;二是对研究问题的方法进行回顾、反思。例如在学完抛物线后,及时让学生总结圆锥曲线的概念。

总之,数学概念的教学应强调概念的形成过程。教师要从问题出发,给出基本事实、实际背景,引导学生从中分析、抽象、概括出数学概念,让学生有条件去经历再发现、再创造的过程,获得良好的数学训练,使他们真正理解、掌握,并能应用这些概念。

参考文献:

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[2]张奠宙.数学教育研究导引[M].江苏:江苏教育出版社,1998.

[3]李善良.数学概念学习研究综述[J].数学教育学报,2001.8.

[4]李致洪.数学概念教学与思维训练[J].课程教材教法,2000.4.

篇（5）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）11-0016

数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式或结构关系的特征概括，是对一类数学对象本质属性的真实反映。数学概念的教学既是数学教学的关键环节，又是数学学习的核心所在。因此，概念教学在数学课堂教学中起着举足轻重的作用，我们应该重视概念教学的这种不可替代的功能。那么，怎样在数学课堂中进行优化的概念教学呢？下面，笔者就结合自身的教学实践来谈几点看法。

一、数学概念的合理引入

概念的引入是进行概念教学的第一步，这一步走得如何，对学生学好概念至关重要。

1. 用具体实例、实物或模型进行介绍

学生形成数学概念的首要条件是获得十分丰富且合乎实际的感性材料。教师在进行概念教学时，应密切联系概念的现实原型，使学生在观察有关实物的同时，获得对所研究对象的感性认识。在此基础上，逐步上升至理性认识，进而提出概念的定义，建立新的概念。例如，在引入“函数”概念时，可以通过：（1）炮弹发射时，炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律h=130t-5t2；（2）温州某一天的气温随时间的变化规律；（3）从1990-2008年梧田镇居民生活水平的变化规律。这样有利于学生更好地理解概念，调动学生学习的积极主动性。

2. 在学生思维矛盾中引入新概念

由于学生利用旧有的知识解决问题会产生困难，因此，教师应激发学生学习新知识的积极性。如在“分层抽样”的概念教学中，通过问题：一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁- 49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了解这个单位职工身体状况有关的某项指标，从中抽取一个容量为100的样本，应如何抽取？在教师引导下，学生经过讨论，很快就达成共识：简单随机抽样和系统抽样均不合理，应寻求新的抽样方法。展示出新旧知识的矛盾，从而引入解决该问题更为合理的抽样方法：分层抽样。这样，学生不仅能正确地理解分层抽样的定义，而且还会发现这三种抽样方法的差异。

3. 用类比方法引入概念

当面对一个概念时，如果学生没有直接相关的知识，就可以通过类比的方法把不直接相关的知识经验运用到当前的问题中，类比是引入新概念的一种重要方法。例如，立体几何问题往往有赖于平面几何的类比，空间向量往往有赖于平面向量的类比。通过这样的类比教学和训练，使学生对概念的认识有一个升华。

4. 从数学本身发展需要引入概念

从数学的内在需要引入概念也是引入数学概念的常用方法之一，这样的例子随处可见。例如，整个数学体系的建立过程就体现了这一点：在小学里学习的“数”的基础上，为解决“数”的减法中出现的问题，必须引入负数概念。随着学习的深入，单纯的有理数已不能满足需要，必须引入无理数。在实数范围内，方程x2+1=0显然没有解，为了使它有解，就引入了新数i，它满足i2=-1，并且和实数一起可以按照通常的四则运算法则进行计算，于是引入了复数的概念。

二、数学概念的建立和形成

数学概念是多结构、多层次的。理解和掌握数学概念，应遵循由具体到抽象，由低级到高级，由简单到复杂的认知规律。因此，一个数学概念的建立和形成，应该通过学生的亲身体验、主动构建，通过分析、比较、归纳等方式，揭示出概念的本质属性，形成完整的概念链，从而加强学生分析问题、解决问题的能力，形成学生的数学思想。笔者认为可以从以下几方面给予指导：

1. 分析构成概念的基本要素

数学概念的定义是用精练的数学语言概括表达出来的，在教学中，抽象概括出概念后，还要注意分析概念的定义，帮助学生认识概念的含义。如为了使学生能更好地掌握函数概念，我们必须揭示其本质特征，进行逐层剖析。对定义的内涵要阐明三点：（1）x、y的对应变化关系。例如在“函数的表示方法”一节例4的教学，教师要讲明并强调每位同学的“成绩”与“测试时间”之间形成函数关系，使学生明白并非所有的函数都有解析式，由此加深学生对函数的“对应法则”的认识。（2）实质：每一个x值，对应唯一的y值，可例举函数讲解：y=2x，y=x2，y=2都是函数，但x、y的对应关系不同，分别是一对一、二对一、多对一，从而加深对函数本质的认识。再通过图象显示，使学生明白，并非随便一个图形都是函数的图象，从而掌握能成为一个函数图象的图形的条件特征。（3）定义域、值域、对应法则构成函数的三素，缺一不可，但要特别强调定义域的重要性。由于学生学习解析式较早，比较熟悉，他们往往只关注解析式，忽略定义域而造成错误。为此，可让学生比较函数y=2x，y=2x（x>0），y=2x（x∈N）的不同并分别求值域，然后结合图象分析得出：三者大相径庭！强调解析式相同但定义域不同的函数决不是相同的函数。再结合分段函数和有实际意义的函数，以引导他们对实际问题的关注和思考。

2. 抓住要点，促进概念的深化

揭示概念的内涵不仅由概念的定义完成，还常常由定义所推出的一些定理、公式得到进一步揭示。如在三角函数定义教学中，同角三角函数关系式、诱导公式、三角函数值的符号规律、两角和与差的三角函数、三角函数的图象和性质都是由定义推导出来的，可使学生清楚地看到概念是学习其他知识的依据，反过来又会使三角函数定义的内涵得到深刻揭示，加深对概念的理解，增强运用概念进行推理判断的思维能力。在教学中，教师应有意识地启发学生提高认识，引导学生从概念出发，逐步深入展开对它所反映的数学模式作深入的探究，以求更深刻地认识客观规律。

3. 运用比较， 区分异同

许多数学概念，由于表示它们的符号、词语和概念本身的含义相似，可能产生概念间的互相干扰、互相混淆。在教学中，教师应引导学生进行归类比较，分析两种概念的从属关系，区分它们的异同之处。如，充分条件与必要条件；排列与组合；三棱锥与四面体；否命题与命题的否定等等，从而促进学生对概念的本质有更深刻的认识。

三、数学概念的巩固与运用

数学概念的深刻理解并牢固掌握，其目的是为了能够灵活、正确地运用它。同时，在运用的过程中，又能更进一步地深化对数学概念的本质的理解。为此，在教学中应采用多种形式，引导学生在运算、推理、证明及解决问题的过程中运用数学概念。

1. 通过反例辩析，及时巩固概念

在中学数学教学中，很多数学概念（如函数、函数的单调性、奇偶性的定义等）都采用正面阐述的形式，而这些重要概念是解题的基础，若学生对其本质属性含糊不清，就会在解题过程中混淆、偷换概念，造成解题失误。为了准确把握概念的本质，可以利用反例来加深对概念的理解。如：

例：下列图形中，不可能是函数y=f（x）的图象是（ ）

通过观察、比较，学生们认识到：对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某种对应法则，变量都是唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。所以只能选A。

又如在教学“导数”这一章时，教材中是用割线的极限位置来定义切线的，为此，可以提出以下问题：为什么不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”？直线与曲线相切，是否一定只有一个公共点？对于这两个问题都要通过构造反例进行研究，前一个问题的反例是：抛物线y2=2px（p>0）与x轴、y轴都只有一个公共点，但只有y轴是它的切线，x轴显然不是它的切线；或者与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线也只有一个公共点。但它也不是其切线，因此与曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，它只符合圆、椭圆等一类曲线。后一个问题也可以举出下列反例，已知曲线C：y=■x3。可求出曲线C上横坐标为2的点处的切线方程是12x-3y-16=0，但它与曲线C的公共点除了切点外，还有另外一个公共点是（-4，-■）。通过此例可以说明：直线与曲线相切不一定只有一个公共点。当曲线是二次曲线时，能够保证直线与曲线相切有且只有一个公共点。所以，若能举出恰当的反例加以说明， 会起到正面强调所无法发挥的强化作用，使概念理解得更加深刻。

2. 通过开放性问题与变式， 深入理解数学概念

数学概念形成之后，通过开放性问题，引导学生从不同角度理解概念。这将影响学生对数学概念的巩固以及解题能力的形成。如在“等比数列”中设置问题：

例：已知{an }是等比数列且公比为q，请你构造出新的等比数列，并指出它们的公比。

变式：已知{an }，{bn }是项数相同的等比数列，公比分别为p，q，请你构造出新的等比数列，并指出它们的公比。

通过学生的讨论与辨析，让学生对等比数列的概念有了一个更深入的理解与认识。

3. 将所学概念纳入到相应的概念体系，形成一个整体

因为任何数学概念都不是孤立存在的，前后概念之间彼此联系密切，所以掌握概念必须在概念体系中把握。如在“抛物线的定义”教学中，教师引导学生将椭圆、双曲线与抛物线概念的本质属性进行比较，把焦点和相应准线相同的三种曲线在同一个图形中作出，使学生了解到三种曲线之间的逻辑关系，并把抛物线概念与椭圆、双曲线一起纳入到了圆锥曲线的概念体系中，形成一个整体。通过建立概念链或概念网络，使学生深入理解数学概念的本质，从而使所学概念类化。

4. 通过解决实际问题，深入理解数学概念的本质

很多数学概念都有其实际背景，它的产生必然离不开现实世界，离不开生活实际。反过来，在概念形成后，学会在实际问题中运用所学概念，这也是深入理解概念本质的有效途径。如学习“等比数列”概念之后，可解决实际问题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？利用统计中的“方差”概念，通过对几组数据的分析，判断某事件（如射击、成绩、机器性能等）的稳定性等等，通过解决这些实际问题，能够极大地提高学生运用概念的灵活性，并对概念的本质有更深入的理解。

总之，在概念教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材。优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。

参考文献：

[1] 陈敏.数学教学设计的取向与定位[J].数学通报，2012（8）.

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关键词 数学概念；教学

恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系。”数学概念是整个数学知识体系的基础，是进行数学推理、判断、证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。数学概念的教学既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心，其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延，是学生思考问题、推理证明有所依据，能有创见地解决问题。可以说掌握数学概念是学好数学的关键。因此，数学概念的教学也相应称为数学教学的重要环节。高中数学教学实践表明数学概念是数学中既不易教也不易学的内容。在数学教学中要自始至终抓住数学概念的本质属性及其内部联系，就要了解概念的体系，关注概念的引入，剖析概念的本质，掌握概念的符号，重视概念的巩固。

一、了解概念的体系

数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁而形成的学科体系。人们认识事物的本质特征通常不可能一次性孤立完成。事实上，学生“获得的知识，如果没有完满的结构把他联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命”。因此，数学概念的教学，要弄清楚学习这个概念需要怎样的基础，分析这个概念以后有何用处，它的地位和作用如何。这样，在讲授时就能主次分明，轻重得当，既复习巩固已学过的概念，又为后继概念作恰当的孕伏。例如，“绝对值”是贯穿整个中学数学的重要概念，先是在有理数中引入；接着在算术根中出现了，把绝对值得概念拓展到实数范围；最后在复数中，绝对值的概念扩展成了复数的模

二、关注概念的引入

传统的概念教学将获得知识结论作为主要目标，忽视了学生在知识形成过程中的重要作用，使学生的学习行为更多的表现为机械记忆，而不是理性分析。根据建构主义学习理论学习应是认知主体的内部心理过程，学生是信息加工的主体。高中数学新课标中提出了“过程与方法”这一教学目标维度，在这一维度下，新课程对学生的学习要求从原来的“知识性”向“过程性”转变。概念的引入是进行概念教学的第一步，这一步走得如何，对学好概念有重要的作用。

1.提供现实原型。著名教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟。”数学教学中，教师应立足教材，着眼学生的发展，把握核心知识内容，有效开展自主探究活动，向学生展示本质，是学生理解数学概念的形成过程。形成准确概念的首要条件，是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料。因此，在教学中要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，观察有关的实物、图示、模型，在具有充分的感性认识的基础上引入概念。例如在“异面直线”概念的教学中，教师应先展示概念产生的背景，如在粉笔盒这样一个长方体模型中，当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线称之为异面直线，接着教师可提出问题“什么是异面直线呢？”可让学生进行讨论，尝试叙述，再进行反复修改可得出异面直线的简明、准确而严谨的定义“我们把不在任何一个平面上的两条直线称为异面直线”。再让学生找出教室中的异面直线，再以平面为衬托作出异面直线的图，这样学生对异面直线的概念就有了一个较为明确的认识，同时也让学生经历了概念发生发展过程的体验。

2.从数学内在需要引入概念。例如，在实数范围内，方程x2+1=0没有解，为了使它有解，就引入了一个新数i，i满足i2=-1，它和实数一起可以按照通常的四则运算法则，进行计算。由此再引入复数的概念。于是方程x2+1=0就有解了。

3.用类比的方法引入概念。类比不仅是思维的一种重要形式，而且是引入新概念的一种重要方法。任何数学概念必定有与之相关的最近概念，因此教学中要以学生已掌握了的知识为基础，引导学生探求新旧概念之间的区别与联系，通过类比教学引出新概念。例如，二面角可类比平面角引入，平面与平面的位置关系可类比平面上直线与直线的位置关系引入，平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则概念的引入可以与物理学科中的位移的合成、力的合成进行类比引入等。

三、剖析概念的本质

概念在人们头脑中形成，仅是人们对概念认识的开始，对概念认识的深化必须从概念的内涵与外延上作深入的剖析。概念的内涵是指反映在概念中的对象的本质特征。概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象。内涵是概念的质的方面，即概念所反映的事物是什么样子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的适用范围，它说明概念反映的是哪些实物。以三角函数的概念为例，对六个基本三角函数的定义，应抓住其中一个，如正弦函数sinα=y，可这样进行分析：正弦函数的值本质上是一个“比值”，它是角α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值，因此它是一个数值；指出由于｜y｜≤r，所以这个比值不超过1，这个比值与点在角的终边上的位置无关，这可用相似三角形的原理来说明；这个比值的大小，随着α的变化而变化，当α取某个确定的值，比值也有唯一确定的值与之相对应。如此，以函数概念为基本线索，从中找出了自变量、函数以及对应法则，从而对正弦函数概念的理解就比较深刻了。经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，指出角的终边上的任意一点P（x，y）一经确定，就涉及x，y，r这三个量，任取其中两个量组成比值，有且仅有六个。因此，基本三角函数就有六个，从而对三角函数的外延，就揭示的非常清楚了。

四、掌握概念的符号

用数学符号表示数学概念既是数学的特点又是数学的优点。由于数学概念本身就十分抽象，加上用数学符号表示，就更加抽象了，因而在数学概念教学中使学生真正掌握概念符号的意义是十分重要的。例如，学生往往将正弦函数的符号“sin”看成一个数，从而得出如下的错误等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教学中，要始终给形式符号以具体的内容，时刻提醒学生注意符号的意义及使用符号的条件。

五、重视概念的巩固

初步形成的概念，巩固程度差，易受相近概念的干扰，适时利用变式训练有助于纠正学生的思维偏差。概念巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念后，及时进行复述，以加深对概念的印象。其次应重视在发展中巩固。第三是通过概念的应用来巩固。概念的应用要注意递进的过程，即由初步的，简单的应用，逐步发展到较复杂的应用。要引导学生在判断、推理、证明中运用概念，在日常生活、生产实践中运用概念，以加深对概念的理解，达到巩固概念的目的。例如，教学对数的概念后，可以通过以下四类练习题予以巩固：

通过这些练习，可以使学生逐步学会运用对数概念进行判断、推理和证明。在运用的过程中，加深对对数概念的理解。

人类的认识过程是一个特殊的心理过程，对于数学概念的理解和掌握，智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学中要面向全体学生出发，从不同的角度，设计不同的方法，使学生对概念作辩证的分析，进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别，帮助学生掌握概念的内涵与外延；通过变式或变式图形，深化对概念的理解；通过新旧概念的对比，分析概念的矛盾运动，抓住概念之间的区别与联系来形成正确的概念。只有让学生深刻理解并掌握了概念，才能更好的帮助学生认识数学，进一步发展学生的数学思维，提高学生的理解能力。

参考文献

篇（7）

数学概念都是从现实生活中抽象出来的，如正负数、数轴、直角坐标系、函数、角、平行线等，都是由于科学与实践的需要而产生的。讲清它们的来源与实物作比较，这样学生既不会感到抽象，而且容易形成生动活泼的学习氛围。

（1）注意概念的引出

例如：怎样用数表示前进3米？后退3米？收入200元与支出200元等这些相反量呢？引出正负数的概念；用温度计、杆称这些实物，引出数轴这个概念；由对不同实物的分类，引出同类项概念等。首先从对实物的感受激发学生学习的兴趣，再由抽象的特征浓缩成数学概念，学生容易接受。

（2）注意概念的及时整理

对于概念的引出，要把握好时间度，如过早的下定义，等于是索然无味的简单灌输，但定义过迟，学生容易失去兴趣，同时使已有知识呈现零乱状态。因此，教师在教学过程中，要及时整理和总结，在学生情绪高涨的时候及时总结出定义。

（3）注意概念的多角度说明

因为教师提供的感性材料往往具有片面性，所以常造成学生错误地扩大或缩小概念。因此要从多角度各方面加以补充说明。如“垂线”这个概念，不但要用“”号来表示，而且要用多种特殊图形和实物来透视概念的含义。

二、注重刻划概念的本质，对概念进行分析。

一个概念在其形成过程中，往往附带着许多无关特征。因此教师应抓住重点，善于引导学生，这样学生便能把握着概念突现出来的实质，尽量减少乃至消除相关不利因素的干扰。

（1）讲清概念的意义

例如：“不等式的解集”这一概念，抓住“集”这一特征进行分析，即不等式所有解的集合。更通俗地说，就是把不等式所有的解集合在一起（象学生排队集合一样），组成了不等式的解集，最终表示成x>a等形式。只有理解了这个定义，学生在解决问题的时候，就不会有丢解的现象。

（2）抓住概念中的关键字眼作分析。

例如：“同类项就是含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的项。”这个概念中，抓住“相同”这一关键字作分析，相同的是什么？是字母和它的指数

两部分;“最简分式”的概念中，抓住“不含公因式”这一关键字眼。只有学生真正理解了概念，那么在解决问题的时候，才能得心应手，不会出现错误。

(3)抓住概念间的内在联系作比较。

对于有内在联系的概念，要作好比较，加深学生对概念本质的理解。例如：“一元一次方程”的概念，是建立在“元”、“次”、“方程”这三个概念基础之上的。“元”表示未知数，“次”表示未知数的最高次数，次数是就整式而言的，所以“一元一次方程”是最简单的整式方程。这样学生便于抓住“一元一次方程”的本质，并为以后学习其它方程的概念打下基础。

再如：“乘方”与“幂”之间的关系，“直角”与“90°”之间的关系，“方程的解”与“不等式的解”之间的关系，“最简分式”与“最简根式”之间的关系等等。做好有内在联系的概念、相似概念的比较，学生应用起来才会得心应手。转贴于

三、注重实际应用概念，对概念进行升华。

学习数学概念的目的，就是用于实践。因此要让学生通过实际操作去掌握概念，升华概念。概念的获得是由个别到一般，概念的应用则是从一般到个别。学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化具体化，而且能使学生对概念的理解更全面、更深刻。

（1）多角度考察分析概念。

例如，对一次函数概念的掌握，可通过下列练习：

① 如果Y=（m+3）X-5 是关于X的一次函数，则m=______.

② 如果Y=（m+3）X -5是关于X的一次函数，则m=______.

③ 如果Y=（m+3）X +4X-5是关于X的一次函数，则m=______.

④ 如果Y= 是关于X的一次函数，则m=______.

学生通过以上训练，对一次函数的概念及解析式一定会理解。

（2）对于容易混淆的概念，做比较训练。

例如学生学习了矩形、菱形、正方形的概念以后，可做以下练习：

下列命题正确的是：

① 四条边相等，并且四个角也相等的四边形是正方形。

② 四个角相等，并且对角线互相垂直的四边形是正方形。

③ 对角线互相垂直平分的四边形是正方形。

④ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

⑤ 对角线互相垂直平分，且相等的四边形是正方形。

⑥ 对角线互相垂直，且相等的平行四边形是正方形。

⑦ 有一个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。

⑧ 有三个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。

⑨ 有一个角是直角，且一组邻边相等的平行四边形是正方形。

⑩ 有一个角是直角的菱形是正方形。

教师在设计练习的时候，对相似概念一定要抓住它们的联系和区别，通过练习使学生真正掌握它们的判定方法和相互关系。

（3）对个别概念，要从产生的根源去考察：

例如“分式方程的增根”的概念。可从产生的根源去考察，教学时设计下列练习，让学生体会增根的概念：

① 分式方程 的根是 。

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在讲两个负数比较大小时，联系学生最熟悉的温度来展开；向学生提出“元旦这一天，北京的平均气温是-9℃，西安的平均气温是-5℃，哪个地方的平均气温高?”这样的问题，显然西安气温高，也就是-5＞-9，由于学生对两个负数比较大小的实际意义有一定的感知，因而对“两个负数，绝对值大的反而小”的结论理解就透彻。

二、利用直观教具，从感性到理性进行教学。

空间里线、面的垂直、平行关系，学生较难接受，如果让每桌两个学生拿一个长方体模型直观看一看，指一指哪些线、面是垂直的?哪些线、面是平行的?然后抓住本质特征说明线、面垂直、平行，使学生对其含义有清晰的了解。

三、采用对比方法，由此及彼进行教学。

分式教学中的许多概念可对比分数来引入。如：在小学里，4除3可以写成34 ，这里34 叫做分数：在初中代数里，若A和B都是代数式，那么AB (B≠0)叫做分式。还如：在小学里，34 = 3×24×2 = 681018 = 10÷218÷2 = 59在初中代数里，有

ab = a×mb×mab = a÷mb÷m （m≠0）。

四、巧用特例，逆行概念教学。

在扩充数集，引入无理数时，巧用求单位正方形的对角线的长，即求X2=2的解，可引入无理数、实数。又如：在讲“垂线段最短”这一性质时，抓住在直线外一点到直线上各点连结的所有线段中，垂线段是唯一的这一特例，得出性质。

五、注意概念产生的前提条件，准确把握概念。

不少数学概念产生有一定的前提条件，离开了前提条件，数学概念就无从谈起，例如讲“对顶角”这一概念时，要时刻注意是以两条直线相交为前提引入的，只有抓住这个前提条件，才能很好地理解对顶角，才能正确运用对顶角性质。还有平行线的判定公理和定理是以两条直线被第三条直线所截得到的角为前提的，如果让学生注意这一前提，学生运用就会得心应手。

六、注意关键字眼，提示本质特征。

点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段长度。讲这个概念要注意“长度”这个关键字眼，揭示“距离”这一实质。然后举例说明，“距离”是用数量来说明的，而不是“图形”本身。

七、注意动静结合，分析概念的矛盾运动，掌握相关概念的内在联系。

角的概念先是从静态角度引入的，接着从运动角度把角度看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转转到另一个位置所成的图形。这样从静止、运动两方面认识角，不但有利于学生认识某一具体的角，而且也有利于学生对锐角、直角、钝角、平角、周角的理解，从而对角概念能认识全面化。

八、注意区分概念，防止发生淡化。

数学中的概念是很严格的，虽一字之差便往往含义不同，且有概念极易相混淆。如两数的平方千口与千口的平方，可引导学生从下面三方面区分，一是前者表达式是a2+b2，后者表达式是(a+b)2；二是前者运算顺序先增方后求和，后者先求和，后平方；三是前者结果是和，后者结果是幂。

九、把概念教学与定理、公式教学融为一体，不断提高综合运用概念的能力。

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数学中的论证是由一连串推理组成的，严谨的推理来源于正确的判断，而正确的判断是依据概念和应用概念进行的。因此，数学概念的教学在数学教学中有着极其重要的地位，是提高数学教学质量的有力杠杆。我们知道，正确地理解数学概念是掌握知识的前提，是培养学生逻辑思维能力必不可少的重要条件。但是，如何进行数学概念的教学，怎样传授概念教学的方法，历来是数学教学十分关注的热点之一。根据自己多年来的本人教学体会，认为教好数学概念教学必须做到“五抓”:

一、抓概念的形成，正确理解概念

在教学一个新的概念时，首先要注意它是如何形成的，是如何从具体的事物中抽象出来的，此概念的内涵（就是概念所反映的本质属性的总和）是什么，它的外延（就是具有概念所反映的本质的所有对象的集合）是什么，只有这样，才能使学生正确理解概念.例如：“函数”这一概念定义为：“如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x)”.从定义可以看出，函数的概念的本质属性有：变量x的取值范围（定义域），对应法则f，每一个确定的x对应唯一确定的y值（y值的集合叫值域）.如果联系到我们前面学过的集合A到集合B的单值对应（也叫映射），应当发现，函数实质上就是定义域A，值域C以及A到C的对应法则f三部分组成的一个特殊的映射.

再如，讲授数列｛an｝的极限是A（即an=A），采用从直观描述，再由定性到定量，由浅入深地进行。（1）数列｛an｝的极限是A的描述是：当自然数n无限增大时，数列｛an｝无限趋近A.（2）什么叫数列｛an｝无限趋于A，就是| an-A|无限趋向于0，即当自然数n无限增大时，| an-A|无限趋近于0.（3）什么叫|an-A|无限趋近于0？就是|an-A|能任意小，即对预先指定的任意小的正数ε恒成立，通过对极限由表及里、由浅入深的认识，数列｛an｝的极限A可表述为“无论预先指定多么小的一正数ε，都能在数列中找到一项an，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε（即当n>N时, | an-A|

二、抓概念的要点，分层次掌握概念

数学概念的教学，要注意对概念逐字逐句加以推敲分析，善于剖析每一概念的层次要点，多层次、全方位地启发学生理解概念.例如：“奇函数”的概念，课本上是这样写的：“对于函数f(x)，如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x).那么函数f(x)叫做奇函数.“那么，这个概念的内涵是什么呢？通过深“深抠”，使同学们认识到：（1）对奇函数来讲， x与-x都应该在定义域中，即它们的定义域关于原点必须是对称的，这是一个隐含条件；（2）对定义域内任意一个x，都有f(-x)= -f(x),这就是说它的自变量，因变量之间有这样的一种特定的对应规律，即对于自变量的两个相反值x与-x，它们对应的函数值f(x)与f(-x)恰好是相反数；（3）这种特定的对应规律，反映在作图上，必然是函数的图象关于原点对称.这样一“抠”就使学生清楚地认识到奇函数的三条性质是从它的定义中引伸出来的，定义和性质是源与流的关系，因与果的关系.两者之间不是孤立的、割裂的，这样一步一步地使学生正确理解函数的奇偶性是函数定义域上的一个整体，而不是局部的性质.使学生深刻理解概念理论体系和理论发展中的科学价值，从系统上，本质上正确掌握概念。

三、抓关键，找本质强化概念

概念是对客观事物本质属性的概括和反映，要正确理解某一概念，必须引导学生全力找出概念的本质，把概念的本质属性向学生讲清楚，切忌让学生死记硬背。例如：“椭圆的定义”，课本上是这样定义的：“平面内到两定点的距离的和等于常数（大于两定点的距离）的点的轨迹叫做椭圆。”通常表示为椭圆就是集合；P={M| |MF1|+|MF2|=2a}不少同学死记这个公式，认为只要形式上符合这个公式，则M点的轨迹就是椭圆，认为满足方程|z-i|+|z+i|=2的点z的轨迹是椭圆，事实上，点z的轨迹是不存在的，因为定义要求动点到两定点的距离之和大于两定点的距离，即2a>|F1F2|，之所以发生此类的错误，主要原因是学生没有掌握概念的本质属性。

再如，集合的概念，课本上是这样说的：“像这样，把具有某种属性的一些对象，看作一个整体，便形成一个集合。”通过典型的例题分析，引导学生发现集合的本质属性是：集合的范围、集合的特征、集合的对象”。而形成集合的元素必须具备以下三点：（1）集合里的元素是确定的，这就是说，任何一个对象或者是这个集合的元素，或者不是这个集合的元素，二者必居其一。（2）集合里的元素是互异的。这就是说，一个集合里的元素都是彼此不同的，即在一个集合里元素不能重复出现如方程（x-1）2=0的实数解的集合里只有一个元素1。（3）集合里的元素是无序的，在一个集合里，通常不考虑它的元素之间的顺序，也就是说，集合的元素哪个在前，哪个在后是无关紧要的，只有让学生掌握了概念的本质属性，才能不出现象“花园里好看的花”、“较大的数”等组成的集合的错误。

四、抓变式、举反例深化概念

数学概念大都是从正面阐述的，从而导至教师讲解时，机械地讲授数学概念，如果在教学中，在学生正面认识概念的基础上引导他们从反面或侧面去剖析，那么就可以深化对概念的理解。例如，在讲授等比数列的定义后，可以向学生提问：“是否存在公比为0的等比数列？”通过分析讨论知道，这种数列是不存在的。而且学生可以得到一个新的发现――等比数列中的项是不能为0的，至此，学生对等比数列的概念加深了了解。

“曲线和方程”的对应关系比较抽象，学生不易理解，教学中，可先通过实例，使学生弄清曲线和方程的内在联系，再归纳出曲线和方程的一般关系。

（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点都适合这个条件而毫无例外（纯粹性）.

（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明适合条件的所有点都在曲线而毫无遗漏（完备性）

只有具备了上述两个条件，才能称为“曲线的方程”和“方程的曲线”，为了使学生正确理解曲线和方程间的对应关系，可举实例从反面加以说明：

过点（2，0）平行于y轴的直线L与方程|x|=2之间的关系，如图1直线L上的点只具备条件（1）而不具备条件（2），因此，方程|x|=2不是直线L的方程，直线L也不完全是方程| x|=2的直线，它只是方程|x|=2所表示的图形(如图2)的一部分。

例2、到两坐标轴距离相等的点轨迹与方程y=x之间的关系，只具备条件（2），而不具备条件（1），如图3因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有两条直线L1和L2，直线L1上点的坐标都是方程y=x的解，但直线L2上的点（除原点外）的坐标就不是方程y=x是直线L1的方程，方程y=x不是所求的轨迹方程，通过上面两例，使学生对曲线和方程概念的理解等到了深化。

在教学中，寻求分式的多变形式，逐步培养学生灵活多变的思维能力，同时也加深了对概念的理解，如对数tg(α+β)= (tgα+tgβ)/(1- tgαtgβ)可变为tgα+tgβ=tg(α+β)・(1- tgαtgβ)也可变为（1- tgαtgβ）=(tgα+tgβ)/ tg(α+β)等。

篇（10）

1.学生偏向具象思维，抽象理解能力不足

数学概念是对数学现象和数学知识的高度概括，学生理解它需要强大的抽象概括的能力，但小学生由于年龄较小、生活阅历不足、形象性思维占主导等因素，抽象概括能力尚有欠缺，需要教师的耐心引导，这是在小学阶段开展数学概念教学的阻碍之一。另外，小学数学概念的学习全是由“已知推导未知”，对新概念、新知识的理解和掌握很大一部分取决于学生对前一部分的相关概念和知识的理解程度，犹如滚雪球一般越滚越大。但是，由于每个学生原有的知识经验基础并不相同，那么他们在“滚雪球”的时候差距就会越拉越大，本身拥有“大雪球”的学生能轻松地滚出更大的雪球，而只拥有“小雪球”的学生却需要耗费更多的时间和精力才能滚出同样大小的雪球。为避免这种失衡，教师要加强对个别只拥有“小雪球”的学生的引导和训练，尽力避免“一边倒”的局面。

2.教师不够重视，概念教学方法不足

虽然教学改革已进行了很长一段时间，但有些教师的教学思想陈旧，仍停留在对学生计算能力和解题能力提升的追求上，而轻视乃至忽视了概念教学的重要性，学生对数学概念的构建和理解还停留在死记硬背的阶段。大多数学生都只是“知其然而不知其所以然”的状态，做起题来灵活性很低，自主探究的热情也不高。不仅如此，一些教师在教学时只注重单个概念的剖析，却没有充分利用概念与概念之间的连续性和延展性，帮助学生构建概念体系，教学的效率很低。学生也没有经历各概念的形成过程，所以一旦在实际应用中遇到变量的改变可能就会十分茫然，手足无措。教师的观念在无形中也影响着学生，使得学生对概念的学习也不够重视，缺少抽象思维，学习松懈，自主探究能力低下，以致对很多概念模糊不清，问题堆积严重。

二、小学数学概念教学的基本原则

1.直观性原则

小学生由于知识和经验的不足，尚未形成良好的抽象概括能力，在学习过程中更依赖于个人的主观感受和生活经验，所以小学数学教师在进行概念教学的时候切忌生硬机械的分析讲解，不可脱离实际的案例和画面来进行教学。不管是实物教学还是多媒体教学，都是为了多方面刺激学生的感官，调动起他们的兴趣和学习积极性，对知识和概念有一个感性的认知，才能在后续的活动和做题练习中逐渐完成感性认识到理性认识的转变，将对概念的理解转化为解决问题的能力。

2.自主性原则

在素质教育和新课标的推动下，越来越多的教师和家长开始重视对学生多项能力的培养，其中自主学习和探究能力的培养可以说是各科目老师的重点。因为自主学习和探究能力的提升有助于让学生养成良好的学习习惯，对其长远发展有积极的意义。基于此，小学数学教师首先要改变陈旧的观念，合理安排课堂“教”与“学”所占的比例，营造轻松自在的课堂氛围，给予学生学习的主动权，以小组合作学习的模式加强生生互动，只帮助学生解决他们自己无法解决的问题，做到“少教多学”，给学生更多自由。

3.论与实践相结合的原则

意识指导行为，也来源于现实，学习任何知识都是如此。如果只学不用，那么一切的意识都将只是纸上谈兵，无法在实践中去证实自己的认识是否正确；如果只用不学，那么其能力永远都得不到提升，终究会在激烈的竞争中被淘汰。因而在小学数学概念教学中，教师要坚持理论与实践相结合的原则，多多开展相应的实践活动，为学生开拓运用理论知识的空间和平台，让知识去服务生活，提升学生对概念类知识的应用水平。

三、小学数学概念教学的优化策略

1.重视引入，让学生清楚记住数学概念

概念的引入是教师开展后继教学的前提，教师要善于找到教材和学生生活实际的结合点，利用故事情境、趣味游戏、设置悬念等手段引起学生的注意，唤起学生已有的经验，让学生通过观察和思考发现其中隐藏的数学概念，在脑子里形成一个最基础、最直接的印象。

例如，在学习“长度单位”这一课的时候，教师可先利用实物或多媒体向学生展示不同长度的线段，如直尺、皮带、梯子、马路等，向学生提问：“这四样东西谁最长呀？”“马路！”“那它比其他的三样长多少呢？”教室里一下鸦雀无声，“长这么多！”一个学生伸出手臂比划了一下，大家顿时哄堂大笑。这时又一个声音说：“得用尺子量了才知道！”这时教师就可以顺水推舟从“怎么量”引入长度单位的教学，让学生充分认识到长度单位的重要性，重视这一概念的学习。

2.体验过程，让学生经历数学概念的形成

每一个公式都有其推导过程，每一个概念的形成也需要一个构架的过程，而不是教师直截了当地告诉学生，学生一字不落地接受，教师若只注重教学的结果，而忽视对学生知识概念形成过程的引导，这对于其今后数学思维的形成和自主探究能力的培养是十分不利的，这样做无异于“捡了芝麻丢了西瓜”。小学数学教师要认识到学生的思维偏向于形象性思维，也要认识到学生的接受能力有限，还要认识到数学概念并不是孤立存在的，而是像一条链子一样相续相连的。在此认知基础上，教师要善于发现课程与课程之间的联系，引导学生利用已有知识和经验推导出新的知识、构建新的概念。

比如，“三角形”的概念就是在学生已经掌握了“角”的概念和性质之后才引进学习的，学生们虽然在生活中早已经接触了三角形，但对于“锐角”“钝角”“直角”等数学概念还没有一个明确的认识，教师可通过让学生自由画三角形，让小组讨论最先画的一个角对后画的两个角有什么影响和限制，最后慢慢推导出“三角形的内角和等于180°”这一性质，充分发挥学生的学习自主研究性，缩短思维结构和认知结构之间的差距，在理解新概念的同时有效地复习旧知识，从而牢固掌握各个概念的本质，构建知识网络。

3.强化实践，让学生应用概念解决问题

概念学习的最终目的是用来帮助人们解决实际问题，如果学生不能够从多个角度、多个层次去深入理解概念，一旦实际问题中的一两个变量与理论学习中的案例出现了偏差，或者换一个层面去阐述同一个概念，学生很可能就会不知所措。因而小学数学教师还有一个重要的任务就是为学生营造尽可能多的模拟情境和实际应用空间，让学生在诸多的练习中逐渐深化自己对各概念的理解，在遇到不同情况的时候也能灵活自如地去应对。

在“比的应用”这一课中，教师就可立足教材布置相应的实践作业，发动学生在具体可视的活动中去应用所学到的知识，满足他们的成就感。如让几个学生分为一组，根据各自的标准制作一份校园地图。校园都是同样的校园，但是由于每个小组所用的比例尺不一样，所以画出来的图也不尽相同。这时就可在课上组织学生评选出大小最适宜、图示最清楚的一份地图，共同研究到底在设置比例尺的时候应考虑哪些因素，才能使做出来的图效果最好。这能帮助学生达到深化概念、强化能力的目标。