分数乘法教案汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇分数乘法教案范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

1、使学生正确掌握分式的乘除法的法则。

2、能熟练地运用分式的乘除法的法则进行计算。

教学分析

重点：分式的乘除法的法则是本节的教学重点。

难点：分子或分母为多项式的分式的乘除法是本节教学的难点。

教学过程

一、复习

1、复习提问：

(1)什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？(可叫一位学生回答．)

(2)用投影仪(或小黑板)出示以下题目：

下列各式是否正确？为什么？。

先让学生观察思考，最后老师作结论．

2、用类比的方法总结出分式的乘除法的法则。

由分数的基本性质类比地得到分式的基本性质，由分数的约分类比地得到分式的约分．由分数乘除法的法则同样可类比地得到分式的乘除法的法则．现在我们来学习分式的乘除法．(板书课题)

让学生回忆并回答什么是“分数的乘除法的法则”；用投影仪(或小黑板)出示分数的乘除法的法则，然后启发学生，用类比的方法叙述出分式的乘除法的法则．。

二、新授

用投影仪或小黑板出示分式的乘除法法则：

分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．

用式子表示即是：

例1计算

分析(1)题并引导学生解答：

①(1)题是几个分式进行什么运算？

②每个分式的分子和分母都是什么代数式？

③运用分式乘除法法则得到的积的分子、分母各是什么？

④积的符号是什么？

⑤怎样应用分式的约分法则使积化成最简分式或单项式？

随手板书解题过程：

分析(2)题并引导学生自解：

①(2)题两个分式进行什么运算？

②每个分式的分子、分母各是什么代数式？

③怎样应用分式的除法法则把分式的除法运算变成分式的乘法运算？

以下可由学生写出运算结果：

(用投影仪或小黑板出示以下小结内容)

小结：分子和分母都是单项式的分式乘除法的解题步骤是：

①含有分式除法运算时，先用分式除法法则把分式除法运算变成分式乘法运算；

②再用分式乘法法则得出积的分式；

③用分式符号法则确定积的符号；

④用分式约分法则使积化成最简分式或整式(一般为单项式)．

三、练习

课堂练习1：

计算：

分析、引导学生

①本题是几个分式在进行什么运算？

②每个分式的分子和分母都是什么代数式？

③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？(a2-4)=(a+2)(a-2)，a2-4a+3=(a-1)(a-3)，a2+3a+2=(a+1)(a+2)．

④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？

⑤怎样应用分式约分法则使积化成最简分式或整式(一般为多项式)？

随手板书解题过程．

课堂练习2：

计算：

小结：分子或分母是多项式的分式乘除法的解题步骤是：

①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；

②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；

③应用分式乘除法法则进行运算得到积的分式；

④应用分式约分法则使积化成最简分式或整式．

先分析：本题是分子或分母为多项式的分式乘除法混合运算，运算过程从左至右依次进行；因此，分式乘除法法则也适用于两个以上的分式相乘除．然后让学生自己做，教师巡视，并找出得出正、反两个结果的学生上台板书，让大家判断正误．

四、小结

(1)让两个学生分别用语言叙述和式子表示分式乘除法法则．

(2)课堂验收题：在余下的时间内让学生独立完成以下题目，下课时全收上来，批阅打分，以便检查课堂效果．(题目可用小黑板出示)．

计算：

五、作业

1．计算：

篇（2）

1．使学生明确分式的约分概念和理论依据，掌握约分方法；

2．通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法．

教学重点和难点

重点：分式约分的方法．

难点：分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化．

教学过程设计

一、导入新课

问：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什么？

答：(1)式中的左边分式的分子与分母都除以2a2b2，得到右式，这里a≠0，b≠0．(2)式中的左边分式的分子与分母都除以(x+y)，得到右式，这里(x+y)≠0．这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．

本性质．

问：什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？

答：把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数，这种运算叫做约分．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数(1除外)．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分．

二、新课

我们观察：

(1)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子与分母的公因式．

(2)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以它们的公因式(x+y)而得到的．

像(1)，(2)中分式的运算就是分式的约分．即把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式．

把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式．

为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与分母的公因式是什么？

答：因为分式的分子与分母都是单项式，取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式．

指出：分子或分母的系数是负数时，一般先把负号移到分式本身的前边．这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号，所以分式的值不变．

例2约分：

分析：(1)，(2)的分子、分母都是多项式，并且都能分解因式，可以先分解因式，再分别确定分子与分母的公因式．

请同学说出解题思路．

答：分式的分子、分母都是多项式，可以先分别因式分解，约分，把分式化为最简分式，再求值．

当x=45时，

请同学概括分式约分的步骤．

答：

1．如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂．

2．如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．

3．当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边．

请同学思考一个问题：将分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的值不变？

答：因为所给的分式都是有意义的，也就是说，分母的值不等于零．而分式的分子与分母的公因式一定是分式的分母的一个因式，根据分式的基本性质，约分后分式的值不变．

三、课堂练习

1．约分：

2．指出下列分式运算中的错误，并把它改正．

四、小结

把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．

分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．

如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．

分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如

x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．

五、作业

1．约分：

2．约分：

3．先约分，再求值：

课堂教学设计说明

篇（3）

重点理解二分法的基本思想，掌握运用二分法求函数零点的近似值的步骤和过程．难点理解精确度的概念，概括和理解求方程近似解的一般步骤（三）教学内容安排

1.提出问题：（教师可以利用多媒体等手段展示问题）有一条5km长的电话线路（大约100多根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何迅速查出故障所在？教师可以鼓励学生讨论，研究此问题，并提出一个可行的方案．2.新课导入：

求下列函数的零点：（1）（2）

学生回答计算的结果．教师总结：简单高次函数可以因式分解求出零点，不能因式分解的高次函数我们不能求出其零点，但是我们可以想办法来求零点的近似值．3.介绍数学史：

介绍法国数学家伽罗瓦(E.Galois,1811.10—1832.5)与挪威数学家阿贝尔（Abel,NielsHenrik,1802-1829）的事迹，并引出二分法．4.例题讲解：

例题：求函数的一个正实数零点（精确到）此时应采取教师引导，学生合作探究的教学模式．教师需引导学生解决下列问题：（1）如何寻找零点的近似解？（即二分法的原理，操作方法）（2）分到何时才能满足误差要求？（即二分法的精度要求）找到解决这两个问题的方法之后，首先由师生共同选择初始区间，教师可以利用数轴演示二分法的原理；让学生讨论绝对误差与区间长度的关系．教师引导学生用表格演示二分法逐次计算的结果．最后由学生归纳二分法解题的一般步骤，教师做最后总结．（可以通过计算机作图来验证学生的计算结果）5.练习巩固

使用计算器，用二分法求函数的一个正零点的近似值（误差不超过0.01）．教师巡视，学生作练习．要求同桌配合，一名同学负责作记录，另一名负责用计算器求值，尽快求解．6.拓展加深由二分法到算法．

（1）教师总结二分法的用途，拓展到算法，鼓励学生在学习前人算法的基础上，去寻求解决各类问题的算法．（2）介绍函数图象求解法．7.归纳小结：

教师总结二分法的解题步骤，让学生并领会、回顾本节所学的知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力，有利于发展教与学中存在的问题并能及时纠正．8.布置作业：

教材P100练习2.教材P102习题3.1B组1（四）教学资源建议

建议在教学过程中可以让学生使用计算器来计算相关的函数值，这样可以节省学生的计算时间．教师则可以利用多媒体教学手段协助学生发现、归纳方法，并且验证学生的计算结果．

（五）教学方法与学习指导策略建议

1.教学目标的落实：

篇（4）

《义务教育教科书·数学》（青岛版）六年制四年级下册第三单元信息窗三综合实践。

【教材简析】

本信息窗是在学生本课的教学内容是在学生已经学习掌握了乘法交换律、结合律，以及乘法分配律并能初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上进行学习的，对提高学生的计算能力有着重要的作用。通过创设情景走进小花园，引导学生梳理信息并提出问题，进而展开乘法分配律（二）的学习。

【教学目标】

1.结合已有的知识经验和具体情境，通过探索并了解掌握乘法分配律二，能根据运算律，解决相关的实际问题。

2.在探究学习过程中，让学生经历计算、比较、发现和概括规律的学习活动，发展比较，抽象，概括的能力，学会自主学习和合作交流学习的方法，增强用符号表达数学规律的意识。

3.在合作交流中培养学生勇于探索，敢于质疑，敢于思考的理性精神，获得积极的情感体验，体会探究的乐趣。

【教学重点】经历发现规律的过程，掌握乘法分配律

【教学难点】掌握乘法分配律二并能进行简算,理解乘法分配律的意义。

【教学准备】探究单，多媒体课件

【教学过程】

一、创设情境，感知规律

课件出示教材中的情境图。

谈话:今天咱们再次走进小花园，从图中你知道了哪些数学信息？

预设1;芍药每行12棵，牡丹每行8棵，共9行。

预设2:芍药园长15米，牡丹园长10米，宽都是8米。

提问：你能提出一个减法问题吗？

预设1:芍药比牡丹多多少棵？

预设2:芍药的种植面积比牡丹多多少平方米？

【设计意图】从学生熟悉的情景入手，创设走进小花园情境图，通过熟悉的情景图，调动学生的兴趣，激起学生思维的火花，积极主动的进入到新知识的学习中，培养学生发现问题，提出问题的能力，为下面的教学提供了素材。

二、研究素材，猜测规律

（一）分析素材，初步感知

提问：你会求芍药比牡丹多多少棵吗？先独立思考后小组交流。

预设1:先求芍药和牡丹分别有多少棵，再求芍药比牡丹多少少棵，列式为12×9－8×9，也就是先算12个9和8个9是多少，再把它们相减。

预设2：先求芍药比牡丹每行少多少棵，再乘行数求出芍药比牡丹少多少棵，列式为（12－8）×9，也就是求4个9是多少。

提问：比较这两种算法，你有什么发现？

预设1：得数相等，可以用=把两个算式相连，也就是12×9-8×9=（12-8）×9

预设2：都是求5个8是多少。

预设3：第一种方法比较简便。

（二）研究素材，发现规律

出示课件。

谈话：仔细观察以上各个算式，想一想他们与12×9-8×9=（12-8）×9有着怎样的联系？现在，小组合作，算一算两边的结果，比较两边的算式，是否相等？你发现了什么规律？

预设1:两边的算式相等。

预设2：两个数的差乘第三个数，等于把这两个数分别乘第三个数，再把积相减。

【设计意图】采取小组合作的学习方式，在合作过程中留给学生充足的自主探究时间，提高了学生自主学习的能力，让学生们畅所欲言，积极想办法找规律解决问题，帮助学生积累数学活动的经验，使学生在合作交流过程中体会数学的乐趣。

三、讨论交流，验证规律

谈话：这难道是一个规律吗?让我们一起验证一下吧！

预设：54×15-34×15=（54-34）×15

999×36-899×36＝（999-899）×36……

小结：因而我们可以说两个数的差乘第三个数等于把这两个数分别乘第三个数，再把积相减是一个规律。

提问:你能用字母表示这个规律吗？

预设1:(a-b)c=ac-bc

预设2:ac-bc=(a-b)c

提问：乘法分配律用字母怎么表示？

预设：（a+b）c=ac+bc

小结：两个数的差乘一个数也有类似乘法分配律那样的关系，也可以用于简便计算。

【设计意图】学生通过计算、比较、猜想、验证得出乘法分配率的规律，在探究的过程中学生能够充分观察、计算、比较，并获得正确的数学思想，进一步提高学生推理概括的能力，发展学生的推理能力。

四、反思回顾，提升方法

谈话:刚才我们通过计算两边的得数是否相同，接着通过比较猜想发现规律，再举例进行验证，最后得出了两个数的差乘第三个数等于把这两个数分别乘第三个数，再把积相减是一个规律。

【设计意图】通过小结，对知识进行梳理，让学生系统地所学知识形成知识树，内化数学思想方法，使学生在在掌握知识的同时，体验数学思想方法。

五、巩固拓展，应用规律

1.运用所学规律计算。

先独立思考，后全班交流并说一说是怎样做的。进一步加深对乘法分配律二的理解。

2

.运用规律解决生活中的实际问题。

通过解决购物问题，灵活运用乘法运算律。先独立解答，后全班交流，学会选择简便方法

3.

对乘法分配律二的延续巩固练习。

独立思考，后全班交流。引导学生总结运用乘法分配率进行简便计算的经验与方法

【设计意图】通过有层次练习不仅让学生进一步巩固了本节课的知识，更加体会到数学源于生活，让学生能自觉熟练的运用规律解决实际问题，内化数学思想方法，提升学生的数学思考能力以及数学素养。

六、反思回顾，总结提升

谈话：通过这一节课的学习，你有哪些收获？

预设1：学会了乘法分配律(二)能使计算简便。

预设2：学会了猜想验证总结的的数学方法方法。

预设3：我觉得生活中处处有数学。

篇（5）

开此先河的案例是2008年康明甩诉奉化市溪口公路运输有限公司客运合同损害赔偿纠纷一案。该案明确，按照《消法》及《浙江省实施中华人民共和国消费者权益保护法办法》(以下称《浙江省实施消法办法》)的规定，乘客享有消费者的地位，康明甩依照《消法》的规定提起诉讼，人民法院应当按照《消法》及《浙江省实施消法办法》的规定进行审理。乘客与公交公司之间存在客运合同关系，乘客可以依据《侵权责任法》中关于机动车交通事故责任的相关规定请求公交公司承担侵权赔偿责任，也可以依据《消法》有关经营者的损害赔偿责任的相关规定请求公交公司承担损害赔偿责任，两者属于请求权的竞合，乘客有权选择基于《消法》的损害赔偿请求权。至此，浙江省的机动车客伤事故案件，都按照《消法》及《浙江省实施消法办法》的规定进行审理。

之前，反对将公交车客伤事故案件纳入《消法》调整的理由有3个:1)乘客中属市政府规定的享受免费乘坐公交车的老年人，其免费乘坐公交车没有支付对价，不构成消费行为。2)公交公司企业性质是享受政府补贴和特殊优惠政策的不以营利为目的的公益性企业，不属于《消费者权益保护法》调整的经营者范畴。3)适用《消费者权益保护法》获得的赔偿比适用人身损害赔偿的相关法律获得的赔偿要高出几倍，显失公平。

现在法院在审理过程中，对上述3个理由已基本形成共识:1)免费并不等同于免责，持有免票卡的乘客，其免票是政府给与老年人的特殊照顾，其上车并接受了服务应视为消费者。2)因《消法》及《浙江省实施消法办法》的规定中并未限定对客运合同纠纷中的受害人在适用《消法》进行赔偿时，将享受国家补贴和特殊优惠政策的不以营利为目的的公益性企业排除在外或适用赔偿标准有所区别，故对公交公司不应适用《消法》的抗辩意见不予采纳。3)与乘客相比，公交公司在经济上更有优势地位，一般能够通过责任保险及提取利润等方式转移风险，故适用《消法》不构成对双方权责关系平衡性的损害。

二、适用《消法》赔偿的具体项目及其计算标准

笔者通过北大法律信息网司法案例库等信息渠道，收集到十个乘客与公交公司之间客伤事故的案例，通过对案情仔细的阅读和分析，笔者发现法官在残疾赔偿金、一次性生活补助费、营养费以及精神损害赔偿4个方面认识不同，故从上述4个方面对公交公司责任承担的司法现状绘制了如下表格，希望能够对此问题有一个直观且科学的分析和评价。

(一)伤残等级与赔偿倍数之间的关系

根据《浙江省实施消法办法》第54条第七款和第八款的规定:(七)残疾者一次性生活补助费，根据受害者伤残等级，按照当地年平均生活费的6倍至20倍计算;(八)残疾赔偿金，根据受害者伤残等级，按照当地年平均生活费的六倍至十五倍计算。该法条仅仅就赔偿标准的范围进行了规定，但具体伤残等级与赔偿倍数之间的关系没有相关法律进行规定。第一种意见认为应当参考《道路交通事故受伤人员伤残评定》的规定，将赔偿标准按照伤残等级平均分配，即残疾者一次性生活补助费从6倍开始，每级伤残提高14/9倍;残疾赔偿金从6倍开始，每级伤残提高1倍;第二种意见认为既然法律没有明确规定，法官对于伤残赔偿标准就有一定的自由裁量权，可以根据案件的具体情况进行判决。

笔者同意第二种观点，将赔偿标准按照伤残等级平均分配虽然具有可操作性，但毕竟不是法律明文规定，在适用的时候缺乏明确的法律支撑，这就需要法官在裁判时应当发挥一定的自由裁量权。事实上法官在判决时采用按照伤残等级平均分配的赔偿标准，实质上也是自由裁量权的一种体现。

(二)营养费是否应当支持

有些法院的法官支持了原告对营养费的诉讼请求，有些法院的法官不予支持，即使同一法院的不同法官也有不同的理解。持支持意见的法官认为，人身损害赔偿应当按照实际损失确定，营养费当然属于受害人实际损失。持反对意见的法官认为，《浙江省实施消法办法》第五十四条并没有将营养费列为赔偿项目，因此不能得到支持。

笔者赞同在高某某诉杭州市萧山某某有限公司城市公交运输合同纠纷案中，法官对营养费的认定:营养费本不属消法的法定赔偿项目，但鉴于被告仅认为费用过高，本院酌情支持。即若被告对营养费没有异议，或是对营养费的多少有异议，法官应当对营养费的诉讼请求予以支持，酌情予以支持;若被告对营养费的有无有异议，法官需严格依照法律规定对营养费的诉讼请求不予支持。

(三)有无精神损害赔偿

对城市公交运输合同是否应当支持精神损害赔偿存在争议。通常认为违约之诉中不应支持精神损害赔偿，原因在于，精神损害赔偿是当事人在订立合同时难以预见的，并且该种损害难以通过金钱加以确定，而在违约责任与侵权责任竞合的情形之下，权利被侵害者可以通过提出侵权之诉获得精神损害赔偿，若此时允许违约精神损害赔偿，责任竞合即无存在意义。笔者认为，《消法》对精神损害赔偿问题都作了原则性规定，而《浙江省实施消法办法》第53条明确了具体的标准:经营者提供商品或者服务给消费者造成精神损害的，应当给予五千元以上的精神损害赔偿。就城市公交运输合同来说，旅客和承运人之间除了订立运输合同外，承运人保证旅客在旅途中的安全和舒适感也是重要因素，旅客因承运人违约造成人身损害赔偿导致旅途安全目的未能实现时，其主张的精神损害赔偿应当得到支持。但公交公司与旅客之间的权利义务分配不对等，旅客以低廉的价格获得服务，而公交公司作为公益性企业，享受国家补贴和政策优惠，面对巨额的精神损害赔偿，将不利于公共事业的发展。因此，在城市公交运输合同纠纷中，应当对双方利益进行衡量，以精神损害赔偿达到惩戒的目的为标准。

三、不适用《消法》赔偿的情形

并不是所有在公交车上发生的客伤事故都要适用《消法》进行赔偿，根据《中华人民共和国合同法》(以下称《合同法》)第302条规定:承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任，但伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。由此可见，本文开头的事件，由于伤亡是因旅客自身故意造成的，公交公司无须承担赔偿责任。但是否只有伤亡是因旅客自身故意、重大过失造成的这种两种免责情形，承运人才不适用《消法》进行赔偿?在笔者接触的案件和搜集的资料里面，认为还有以下两种情况。

(一)公交公司与乘客之间的客运合同没有成立

合同没有成立，乘客就不是消费者，公交公司当然不适用《消法》进行赔偿。最典型的案例是宁波的一位毛大爷从公交车后门上车跌落致残案。法官认为，公交公司以《宁波市公共汽车乘坐规则》的形式向公众告知无人售票公共汽车实行前门上车，系其对乘客做出的要约行为，毛大爷知晓乘车规则，但从后门上车的方式是对要约内容的变更，构成新的要约，除非得到公交公司方的事先同意或事后许可，否则合同依法不成立。(该案在《钱江晚报》、《都市快报》等报纸上面均有报道)故法院最后判决驳回毛大爷的诉讼请求;毛大爷可以基于侵权法律关系另行行使赔偿请求权。

(二)第三人不法侵害导致乘客发生人身损害，承运人尽到安全保障义务的，不承担赔偿责任

根据《合同法》第290条规定:承运人应当在约定期间或者合理期间内将旅客、货物安全运输到约定地点。第301条规定:承运人在运输过程中，应当尽力救助患有急病、分娩、遇险的旅客。上述条文要求承运人有义务通过各种方式保证乘客在运输期间的安全，但没有对承运人是否应对第三人侵权造成的乘客人身伤亡承担责任做出明确规定。最高人民法院民一庭经研究认为，在此情形下，应当参照现有法律及司法解释的规定，对这一问题的法律适用进行类推。可以参照最高人民法院《人身损害赔偿解释》第6条第2款规定[《人身损害赔偿解释》第6条第2款:因第三人侵权导致损害结果发生的，由实施侵权行为的第三人承担赔偿责任。安全保障义务人有过错的，应当在其能够防止或者制止损害的范围内承担相应的补充赔偿责任。安全保障义务人承担责任后，可以向第三人追偿。赔偿权利人起诉安全保障义务人的，应当将第三人作为共同被告，但第三人不能确定的除外之精神，在查明运输公司在运输过程中对旅客受到的伤害是否存在过错的前提下，确定运输公司应否承担相应的补充赔偿责任。

篇（6）

（一）知识教学点：1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．

（二）能力训练点：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．

（三）德育渗透点：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：用因式分解法解一元二次方程．

式）

3．教学疑点：理解“充要条件”、“或”、“且”的含义．

三、教学步骤

（一）明确目标

学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程．对于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x－2＝0或x＋3＝0，解起来就变得简单多了．即可得x1＝2，x2＝-3．这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．

（二）整体感知

所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

1．复习提问

零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．

“或”有下列三层含义

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

2．例1解方程x2＋2x＝0．

解：原方程可变形x（x＋2）＝0……第一步

x＝0或x＋2＝0……第二步

x1=0，x2=-2．

教师提问、板书，学生回答．

分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．

例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．

得，x＋5＝0或x-3＝0．

x1＝-5，x2＝3．

教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：（一）方程化为一般形式；（二）方程左边因式分解；（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

练习：P．22中1、2．

第一题学生口答，第二题学生笔答，板演．

体会步骤及每一步的依据．

例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．

解：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0．

x-2＝0或3-x＝0．

x1＝2，x2＝3．

教师板演，学生回答．

此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．

练习P．22中3．

（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.

解：原式可变形为（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．

[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0

即：（5x-4）（x＋8）=0．

5x-4＝0或x＋8＝0．

学生练习、板演、评价．教师引导，强化．

练习：解下列关于x的方程

6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．

学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度．

练习P．22中4．

（四）总结、扩展

1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”

四、布置作业

教材P．21中A1、2．

教材P．23中B1、2（学有余力的学生做）．

2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：

（1）化方程为一般形式；

（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；

（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

但要具体情况具体分析．

3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

五、板书设计

12．2用因式分解法解一元二次方程（一）

例1．……例2……

二、因式分解法的步骤

（1）……练习：……

（2）…………

（3）……

（4）……

但要具体情况具体分析

六、作业参考答案

教材P．21中A1

（1）x1=-6，x2=-1

（2）x1=6，x2=-1

（3）y1=15，y2=2

（4）y1=12，y2=-5

（5）x1=1，x2=-11，

（6）x1=-2，x2=14

教材P．21中A2略

（1）解：原式可变为：（5mx-7）（mx-2）＝0

5mx-7=0或mx-b＝0

又m≠0

（2）解：原式可变形为

（2ax＋3b）（5ax-b）＝0

2ax＋3b＝0

或5ax-b＝0

a≠0

教材P．23中B

1．解：（1）由y的值等于0

得x2-2x-3=0

变形为（x-3）（x＋1）＝0

x-3＝0或x+1=0

x1＝3，x2=-1

（2）由y的值等于-4

得x2-2x-3=-4

方程变形为x2-2x＋1=0

（x-1）2=0

解得x1=x2=1

当x=3或x＝-1时，y的值为0

当x=1时，y的值等于-4

教材P．23中B2

证明：x2-7xy＋12y2＝0

篇（7）

第一个误解是把“写教案”等同于“备课”。有学校把定期检查教师的教案作为管理教学质量的手段，认为教案的质量等同于教学质量，导致一些教师养成了为应付检查而写教案的习惯，使得备课成为被动的“抄写”活动，失去了主动的思考和学习，备课并没有成为上课的准备，而成为了“不得已而为之”的负担，备课没有成为主动的脑力劳动，而成了被动的体力劳动。

事实上，教案就是对课堂教学的一个计划和安排（Lesson Plan），应当是对备课中思考和学习的一个记录。这个记录可以写出来，也可以不写出来；可以写得很详细，也可以写得很简略，甚至也可以不写出来。教案是为教师自身教学所使用的，因此写出来还是不写出来、写得详细还是粗略，应当由教师依据自身情况和需要自由决定，而不应当按照某一种模式硬性地统一要求。备课的质量是由教师主动“思考和学习”的质量决定的，而不是由写不写教案或者教案写成什么样子决定的。备课的水平决定了教学质量，而教学质量最终是靠培养出来的学生的质量来检验的。因此，试图通过检查教案的方式检验教师的教学质量，显然是不妥的。

第二个误解是备课内容追求全面，其结果是备课中需要思考的内容变得“复杂化”和“形式化”。比如，要求书写格式必须包括“课题名称、教学目标、重点难点、教学过程、板书设计”等，其中“教学目标”必须包括所谓的“三维目标”。一些地区开展的说课比赛中，组织者更是规定了“八股文”式的模板，规定说课内容要包括“指导思想与理论依据，教材分析与学情分析，教学目标与重点难点，教学流程与教具学具，教学评价与方式方法，教学特色与教学反思”，其中的“教材分析”必须包括多个版本教科书的对比分析，“学情分析”必须通过所谓的“前测”来进行。试想，在日常教学中，教师准备40分钟的一节课，怎么可能去认真思考如此烦琐的内容？在这样的模板下，教师的备课不是独立地思考和学习，而是在揣摩“检查者”或“评委”想法的基础上的“东抄西抄”，当然也就谈不上发挥教师的主动性和创造性了。这种追求全面的备课要求实质上是“把简单问题复杂化”，使人无法聚焦重点，自然就不能使得思考深入，只能是“用华丽的词汇掩盖空虚的内容”。

第三个误解是备课中的思维方式模式化。在不同地区、不同学校经常听到一些模式化的说法。比如，“必须要有生活情境，必须要有直观模型”，等等。无论是“生活情境”还是“直观模型”都属于教学的方法与手段，方法与手段是为内容和目的服务的。不同的内容和目的所适用的方法和手段可能是不同的。这些模式化的思维方式可能是来源于一线教师对所谓“专家”的迷信，认为专家说的都是正确的。中国教育的一个特点是众多的没有做过中小学教师的专家在指导着中小学教育教学。这样的指导可以说是利弊参半，最不可取的指导有两种类型，一种是把外国人的话变成晦涩的中文灌输给教师，使得教师误认为“外国的就是先进的”“听不懂的就是高深的”理论；第二种是“有想法、没办法”的所谓指导，这种“眼高手低”的指导给人的感觉是高高在上、可望而不可即，空谈理念和意义，对于教育教学中的实际问题说不出解决办法。这样“没错且没用”的指导只会使得一线教师慢慢习惯于高谈阔论式的教学研究，而对于教育教学中的实际问题却视而不见。

第四个误解是只关注教学内容，而忽视课堂组织形式的设计。什么样的任务适合独立思考？什么样的任务适合同伴交流？什么样的任务适合小组合作？每一个学习任务需要安排多少时间？完成任务后应当如何组织汇报？学生汇报过程中如何组织其他学生的倾听与交流？这些问题其实都是需要在备课过程中认真思考并有所安排的。

综上，备课作为教师上课前的准备活动，应当是一个个性化的活动，并没有统一的模式。备课永远不会有最好的模式，每一位教师都可以创造出最适合自己以及自己学生的备课方式。从某种意义上说，这也是“教无定法”的一种体现。

“变教为学”的教学从知识安排的角度说，强调突出本质和实现关联，所谓“突出本质”就是明晰知识属性，由此可以确定其学习的过程与方法。[1]“实现关联”的一个重要方面是把“新”内容与学生已经熟悉的内容建立联系，实现“化未知为已知”。为此，备课中需要思考和研究的一个重要问题就是辨别“新”知识。

二、辨别“新”知识

辨别新知识是确定学习目标的基础。这样的思考关注哪些内容对学生的学习来说是“新”的、哪些是学生已经熟悉的，这将成为设计“怎样学”的依据。下面以“小数乘法”和“小数除法”为例说明。“小数乘法”是在学习了“整数乘法”“小数的认识”以及“小数加减法”之后的内容，应当说是以上内容的重新组合，从数学的角度看，这种“重组”并没有出现什么新知识。但从学生的学习来说，就可能存在着学生所不熟悉的“新”内容。

学生之前对“乘法”的认识是“相同加数求和”，如果把这种认识用于对小数乘法的理解就会产生困难。比如，小数乘整数的“0.5×3”，可以理解为是“3个0.5相加”，也就是“0.5+0.5+0.5”，但是反过来“0.5个3相加”就不好理解了。类似地小数乘小数“0.5×0.3”，用“相同加数求和”也很难理解其含义。

“小数除法”也是类似，学生过去所熟悉的整数除法算式一般有两种理解方式，比如对于“24÷4”，第一种理解是“24中包含有多少个4”；第二种理解是“把24平均分为4份，每份是多少”。不妨把第一种理解简称为“包含除”，第二种简称为“等分除”。对于“22.4÷4”如果用“包含除”理解，那就是问“22.4中包含有多少个4”。这样的理解对于如图1的竖式计算过程就难以解释了。

图1计算过程实际上分为两步，用“包含除”的语言说，第一步算出了“22中包含有5个4”，剩余部分是“2.4”，比除数4小，就无法用“包含除”的语言继续解释下面的“2.4÷4”了。只能用“等分除”的语言叙述为“把2.4平均分为4份，每份是多少”，如果除数也是小数，同时被除数小于除数，那么无论是用“包含除”还是“等分除”都很难解释除法算式的含义。比如“0.1÷0.2”，既不能说成“0.1中包含有多少个0.2”，也不能说成“把0.1平均分为0.2份，每份是多少”。

另外，学生学习“整数乘法”和“整数除法”后会不自觉地形成两种认识，第一种认识是“乘法使得结果变大”“除法使得结果变小”。[2]第二种认识是做除法的时候“被除数总是大于除数”的。这两种认识在学习小数乘除法的时候都发生了变化。因此，在学习小数乘法和小数除法之前，首先需要学习的“新”知识不是程序化的“算法”，而是针对小数乘法算式和除法算式含义的理解。

三、为新、旧知识搭桥

辨明对学生来说可能的新知识后，需要思考的重要问题是如何把“新”知识变成“旧”知识，也就是把新知识与学生已经熟悉的知识或者经验建立联系。

对于“小数乘法”，一种较为普遍的学习方式是借助长方形的面积。图2正方形ABCD的边长为1，所以面积为1。

在图2正方形的AB边上截取0.5长度，AD边上截取0.3长度，那么长方形AEFG的面积就可以用“0.5×0.3”表示。类似于这样的方法在国内外小学数学教科书中普遍采用，比如人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书数学》五年级上册中对小数乘法的引入，就采用了求面积引入小数乘法。

在国外的数学教学中把用长方形面积展示小数乘法过程叫作小数乘法的“直观化（Visualization）”，比如对于“5.7×1.4”的计算过程和结果，就可以用下面的图形直观地展示出来。[3]

图4 小数乘法示意图

用长方形面积直观理解小数乘法，实际上是默认了一个前提，就是边长为小数的长方形面积可以用“长×宽”计算，这一点与学生之前的经验并不相符。所谓“长×宽”的长方形面积公式，学生最初是用“数方格”的办法学习的，数字“1”对应的是一个方格，边长都是整数。而在图4中数字“1”对应的是一个“大方格”，其中还包含了100个“小方格”，实际上是把小数变成整数进行理解，并没有揭示小数乘法的真正含义，仍然会对学生理解小数乘法构成困难。

对小数乘法算式真正的理解需要借助分数的思维方式，用分数的眼光看待小数及其乘法运算。比如0.5可以看作是或者，把0.3看作是。那么“0.5×0.3”就可以理解为“0.5的”或者“0.3的”。两者的相等关系可以从下面的图5中看出：

0.5的：

0.3的：

图5 0.5×0.3的理解图示

在实际的购物问题中就可能出现类似的计算，比如，“一个物品的价格是0.3元，买半个多少元？”这个问题可以用“0.5×0.3”来计算，实质上是用求“0.3的”进行思考的。行程问题中，如果一个人的步行速度是平均每分钟0.12千米，那么半分钟步行距离就可以用“0.12×0.5”来计算，也是运用了“求一个数的几分之几”的思维方式。

在这样理解的基础上，应当可以对小数乘法的

结果进行口算或估计。比如，“0.5×0.3”是“0.3的”，因此结果应当是“0.15”。再比如，“5.7×1.4”，由于“5.7”接近5的和6，“1.4”接近1.5。因此，可以知道“5.7×1.4”应当比“5的一倍半”大，比“6的一倍半”小，也就是这个结果应当介于7.5和9之间，在没有精确计算的时候，利用分数的思维方式已经估计出了准确结果所在的范围，这对将来算法的学习是十分有益的。

对于小数除法来说，最难理解的情况是“除数是整数部分为0的小数，并且被除数小于除数”，对于这样的情况可以利用“比和比例”的思维方式进行理解。比如，一个物品单价为0.2元，如果某顾客只有0.1元，可以买多少？这个问题可以通过计算“0.1÷0.2=0.5”来解决。这样的方法实质上是利用了“总价”与“数量”成正比例，也就是说“0.2元与0.1元之间的倍数关系”与“1个物品和0.5个物品之间的倍数关系”是一样的。这样的关系可以从图6的表格中明显看出：

总价（元） 0.2 0.1 …

数量（个） 1 0.5 …

图6 总价、数量关系图

这个时候“0.1÷0.2”既不是“等分除”，也不是“包含除”，而表达的是0.1与0.2之间的倍数关系，这实际上就是“比和比例”的思维方式。再比如，中国古代重量的计量单位有“斤”和“两”，两者的关系为1斤等于16两。因此有一个成语叫作“半斤八两”，表示势均力敌、不相上下的意思。如果在已知“半斤”等于“八两”的基础上问“0.2斤等于多少两”？其间的数量关系可以用图7的表格展示出来：

斤 0.5 0.2 ……

两 8 ？ ……

图7 半斤八两示意图

此时用“0.2÷0.5”得到的“0.4”就是0.2与0.5之间的倍数关系，由于“？”与“8”也符合这样的倍数关系，所以0.2斤对应的就是“8×0.4=3.2（两）”。

因此，对于小数乘、除法一种有效的理解方式是充分利用计量单位之间的比例关系。小学阶段含有这种计量单位的“量（magnitude）”主要包括描述物体“大小”的长度、面积、体积；描述物体“轻重”的重量（质量）；描述价值“贵贱”的人民币；描述经历“长短”的时间；描述“冷热”的温度；描述“快慢”的速度；描述旋转或者“张开程度”的角。凡此都可以成为理解小数乘、除法算式的素材，成为沟通新、旧知识的桥梁。虽然比、比例以及正、反比例等都属于六年级的课程内容，但相关的方法和思维方式是在数学课程中贯穿始终的。

以上关于“小数乘、除法”的课程内容具有“似旧不旧”的特点，也就是表面看没有新内容，而实际上存在着与学生已有知识和经验不同甚至相悖的内容。因此，备课中应当着力挖掘其中蕴含着的“新”内容，这些新内容将成为学生学习的重点和难点。

四、似新未必新

数学课程中还有一类与“似旧不旧”相对的课程内容，可以叫作“似新不新”，也就是表面看是新知识，而实际上学生之前对其已经具有了相当丰富的知识和经验。备课中一个重要工作就是把“似新”的内容与学生已经熟悉的内容沟通联系，使之成为“不新”的内容。“圆的面积”通常被认为是难教并且难学的课程内容。事实上如果沟通了圆与三角形的关系，学生完全可以自己推导出圆的面积公式。[4]如图8，首先把一个半径为r的圆面内部画出若干同心圆：

然后想象将这些同心圆逐一取出：

接下来想象将图9中所有同心圆从某处剪开并拉直，依次摆放在一起：

这样就形成了一个两条直角边分别为半径“r”和圆周长“2πr”的直角三角形。

所有变换过程并没有使得面积发生改变，因此图11三角形的面积与原来图8圆形面积相等，因此利用三角形面积公式就可以求出圆的面积为πr2了。这样的过程与之前学生所熟悉的将“平行四边形”转化为“长方形”求出平行四边形面积公式的过程是一样的。[5]另外，这样的过程实质上是利用了微积分中所谓“分割、求和、取极限”的方法，也是利用“离散量”研究“连续量”的过程。[6]

“变教为学”主旨在于让学生自己经历知识的发现与发明，这就要求教师备课中需要认真研究并且辨别新知识，进而沟通其与旧知识的联系，在此基础上为学生设计有效的学习任务和学习活动。

参考文献：

[1] 郜舒竹. “变教为学”说备课[J]. 教学月刊小学版（数学）. 2014，（1/2）.

[2] Anna O. Graeber and Dina Tirosh. Insights Fourth and Fifth Graders Bring to Multiplication and Division with Decimals[J]. Educational Studies in Mathematics， Vol. 21， No. 6 （Dec.， 1990）， pp. 565-588.

[3] Margaret Rathouz.Visualizing Decimal Mulyiplication with Drea Models：Oppor Tuniies and Challengesc.[J]. IUMPST： The Journal. Vol 2 （Pedagogy）， August， 2011. [k-12prep.math.ttu.edu].

[4]郜舒竹，夏宝霞. “几何直观”观什么[J]. 教学月刊小学版（数学）. 2013，（4）.

篇（8）

教学内容：

教材第59页加减法与乘法的混合运算。

教学提示：

学生已经基本掌握了整数的四则计算，这些运算的运算顺序都是从左往右依次计算，为了打破学生的思维定势，教材选择具有现实性和趣味性的素材，由浅入深地促使学生理解混合运算顺序，目的是为了让学生了解在有加法和乘法的计算中，无论乘法在前和在后都要先算乘法。通过活动，结合具体情境，让学生在发现问题、解决问题的过程中，体会四则运算的意义，发展学生提出问题、解决问 题的能力。逐步提高他们的计算能力。这一内容的学习也为今后的小数、分数混合运算打下基础。

教学目标：

1、知识与技能： 初步理解综合算式的含义，掌握含有乘法和加、减法混合运算的顺序。

2、过程与方法： 经历对比、推理、总结混合运算的特点，培养学生合作意识。

3、 情感态度与价值观： 在学习活动中，感受数学与生活之间的联系。

教学重点：

掌握含有乘法和加、减法混合运算的顺序，并进行正确的计算。

教学准备：

多媒体课件、草稿本

教学过程：

一、谈话导入

师：同学们，你们到文具店买过学习用品吗?

生：买过。

师：买过什么文具?

生：买过2个笔记本和1支笔。

师：你买的笔记本每个几元，笔每只几元?

生：笔记本每个2元，笔每只1元。

师：，你们能帮他算一算一共要用去多少钱吗?

生：5元。

师：你怎么算的?

生：先算笔记本的钱2×2=4(元)，再算4+1=5(元)

师：说得很好。今天我们继续学习这类的问题。出示课题：加减法与乘法的混合运算。

设计意图：创设学生熟悉的生活环境，拉近了数学与生活的距离。提出有针对性的问题，为后面的学习做好铺垫。

二、小组合作探究新知

1、课件出示例题

师：生读题，说说要解决的问题。

生：买文具盒和书包一共用去多少元?

师：独立列分步算式解决问题。小组内说说你是怎么想的。

师：谁说说你是怎么想的?

生：先算6个文具盒多少钱，就是6×7=42(元)再算一共用去多少钱。就是42+55=97(元)

师：谁能把这两个算式合并到一起吗?

生：可以写成：6×7+55

生：还可以写成：55+6×7

师：这两个算式对不对。(小组讨论)

生：第一个对。因为先算乘法，第二个先算加法。

师：像上面的算式无论乘在前还是在后都应该先算，所以都对。在一个没有括号综合算式里，有乘又有加减。应先算乘，后算加减。

讲解：像同学们这样，分列了两个算式，一步一步去解答。我们把这种方法叫“分步解答”，这两个算式叫“分步算式”。我们还可把这两个算式合在一起列成一道两步的算式，这种算式叫做综合算式。在综合算式中，我们要先算乘除后算加减。

设计意图：再现学生熟悉的生活情景，激发学生的学习兴趣，调动学生的情感投入，把解决实际问题与计算教学紧密结合起来。

2、试试身手。

81-17×4

师：计算这道题时，应先算什么?后算什么?

生：先算乘法，后算减法。

81-17×4

=81-68

=13

再次总结：在一个没有括号综合算式里，有乘有加减。应先算乘，后算加减。

三、巩固新知

1、完成第59页试一试。

2、将下面两个算式合成一个综合算式。

(1)3×5=15

20+15=35

(2)6×8=48

48-18=30

3、亮亮今年7岁，爸爸的年龄是亮亮的5倍，爸爸比亮亮大多少岁?

答案：1、536、 1 2、20+3×5 6×8-18 3、28岁

四、达标反馈

1、24×3+19 (注意运算顺序)

2、森林医生。(改正错误)

16+40×8

=56×8

=448

3、小红拿50元钱去买8个6元一个的笔记本，应找回多少钱?

答案：1、91 2、16+40×8 3、2元

=16+320

=336

五、课堂小结

师：大家回顾一下，综合算式中有乘有加减应先算什么?再算什么?

生：先算乘，再算加减。

师：为什么?

生：因为加减是同级运算。

设计意图：让学生总结所学，在交流反思中，意识到学习方式的重要性和数学内容的延续性，激发学生进一步探究知识的欲望。

六、布置作业

1、我会列式计算。

3个7再加28是多少?

71减去6个8是多少?

2、我来算一算。

65-8×8

20+5×5

3、小明看一本故事书，看了4天，每天看6页，还剩13页没有看。这本故事书一共有多少页?

4、妈妈买来12盒月饼，每盒有9块。送给奶奶16块，还剩多少块月饼?

答案：1、49、23 2、1、45 3、37页 4、92块

板书设计：

加减法与乘法的混合运算

分步：7×6=42(元)

42+55=97(元)

综合：7×6+55

=42+55

=97(元)

在一个算式里有加减法和乘法，应先算乘法再算加减法。

看了四年级上册数学四则混合运算教学设计的人还看：

1.四年级数学上册预习提纲要点以及教案

2.2016年人教版四年级上册数学教学计划

3.小学四年级数学上册教学计划北师大版

篇（9）

高年级学生分数学习目标：学习整数乘分数的计算方法，让学生亲身经历探究整数乘分数的计算原理；能根据解决问题的需要，探究有关的数学信息，发展初步的分数乘法的能力；使学生感受到分数乘法与生活的密切联系，培养学习数学的良好兴趣。

高年级学生在对分数意义的理解、比较分数大小的表现、关于分数的四则运算能力、对分数除法的认识、对分数等值变换的理解等方面的学习情况良好，但对分数问题解决能力方面存在一些缺陷。

2. 制定方案与收集材料

小组负责人制定“研课”活动方案，分工合作，交流探讨，分类收集分数教学一些学术研究文献（理论类）、公开课录像和一些教学案例等。

3. 学习与研究

“研课” 小组成员教师T1负责制定一节高年级学生分数学习教案，初稿出来后，小组成员对教案初稿进行互相学习与研究，并对教案提出意见和建议，进一步完善教师T1的教案，形成共识。

4. 观课

确定公开课的时间，然后由教师T1讲授这节课，小组中的其他人将全部参与到课堂中进行观察。笔者认为，听课要注重几个环节：（1）复习导入：教师T1如何导入新课，有没有更好的方法；（2）讲授新课：教师T1的教学方法、组织如何？对教学内容如何处理，如何评价学生的学习等；（3）巩固练习：题量与难度如何处理；（4）课堂小结：小结的形式；（5）板书设计：板书设计是否科学、合理。

5. 再研究

研究是“研课”的中心环节。“研课”组成员对本课研讨有如下几点：

（1）对分数教学的研究

分数对于初学者来说是一个难点。有的学者认为，分数是学生在小学学习过程中遇到的最为复杂的概念之一，同时也有学者断言分数学习是学生数学学习中遇到的最为严重的障碍。分数之所以成为学生学习的“难点”，主要是因为：分数在日常生活中应用较少，不如自然数那么容易描述；分数的书写格式比较复杂；分数在数轴上不容易排列大小；分数的算法有很多法则，这些法则比自然数的算法要复杂。也有学者认为，分数教学和学习复杂性的主要原因之一是分数由多重结构组成。

（2）对教学过程局部的研究（两道例题的研究）

从教学路线可以看出，本课遵循“情境-问题-探究-反思-概括-应用”的教学模式，属于“教师指导下的学生主动探究”模式。“研课”组成员主要对本课的例题讲解及板书作局部的研究。

教师T1设计了两道题：

例1：用分数表示图 1 中的阴影部分。

图1要求学生用分数表示阴影部分，对于前两个图形，学生全部都填写正确，分别是4/9和2/3，说明学生对分数的意义比较熟悉；但是图 1 中的第三个图形，就出现了几种不同的答案：

产生上述表1结果，主要是因为图形产生了误导。从答案我们可以看出，学生主要有两种认识：如果把前面的 4 个方块组成的阴影看成“单位 1”，那么答案就是5/4，如果把两个大的方块看作“单位 1”，那么阴影就是5/8，因此，学生对于“单位 1”理解透彻，没有出现偏差。从访谈中了解到，大多数学生认为“单位 1”就是“一个整体”，有的学生甚至解释得更加详细：把一个整体平均分成若干份，这个整体就是“单位 1”。

例2：要求学生根据25×4/5编写一道应用题，其实和创设一个问题情境类似。其中，编写的应用题比较合理的学生有31人，约占总体的55.4%。这些应用题包括购物、行程、年龄、读书、做工等问题。例如有位学生的编题：美术小组有25人，比航模小组的人数多1/4，航模小组有多少人？但有些学生编写的题目虽然符合题意，但是在生活中却不合理，其实，这道题是一道开放题，答案多种多样，可训练学生的发散性思维，是一道好题。

（3）对本课局部特征的研究

对于例1，学生无论是使用图形表示分数，还是使用数学符号表示分数，学生都能够熟练正确地完成。学生对于约分、通分等分数等值变换内容能够应付自如，说明他们对分数的基本性质理解深刻。另外，学生对于例2，熟悉分数应用题，能够熟练地解答。在访谈中，对于简单的分数应用题，他们可以很快找出“单位 1”，选择正确的运算。对此，学生透露出“诀窍”：比、是、总量……这些词语是关键，可以发现“单位 1”。 这些方法可以帮助学生很快地解答问题。

6. 修改教学设计

基于观察和反思，研课组的教师会对在上课过程中学生表现出某些错误理解的地方做出修订，如改变材料、活动、提出问题等。修改主要是局部的，这里改进两点：

（1）板书改进：充分利用黑板，呈现探究的全过程，凸显思维活动的变化。

篇（10）

教材的编排，给我们提供的信息是：几乎所有的知识都是以动态生长的姿态呈现的。教师只有充分的认识到了知识的这个特点，才有可能保证制定出科学的知识目标，才能保证对教学过程的策划由近及远，也才能保证教学设计对学生来说是有效多于有用。每次进行教学设计之前，我都喜欢认真的看教师用书，也会找很多资料放在案头。周围的同事经常取笑我写个教案象是在搞大制作，弄出来的东西其实就那么简单的几句话。我总是会说“磨刀，懂吗？”在他们羡慕我跟学生都轻松地时候，我就会故做神气道：“我是从很远的地方走来的……”。只有了解了知识，才能谈得上对教学知识过程的的设计。

二、教学设计要设计出“空间”

首先，要设计出学生可以自主活动的空间。任何一个知识，不管课堂上教师引导的有多么精彩，学生表现的是多么积极。但是，如果缺少了学生可以自觉活动的空间，我觉得那样的课堂即便是有效的，学生也始终是被动的，学生的积极与精彩都是被设计了的，缺少了生命力。曾经在上乘法的意义那节内容时，我是这样设计的：我在黑板上出示了一张画着用小木棍拼成的四个长方形。然后让学生提出想问的数学问题。“这里一共有几个长方形？”“这几个长方形一共用了几根小木棍？”待孩子们说出自己的问题后，我们一起一一进行解决。接着，我针对孩子们的加法算式说出了自己简便快速的算法：1×4=4与4×4=16。孩子们见到了好好奇啊，都说：“那是怎么回事？”对于孩子们的表现，我并没有急于进行下面的教授。我教他们拿出学具——小木棍（开学时就自己从家里准备好了的）。然后说：“你们也可以与同桌合作，摆出喜欢的图形，提出问题，然后看能不能也像老师一样用乘法解决。”孩子们根据自己的观察摆啊，说啊，投入到了积极探讨的过程中。相信大家都有了差不多结果的时候，我让想发表意见的孩子说了自己的心得。很多孩子都发现了乘法意义之所在。这个时候，我还是没有急于给知识下结论，我继续说：“再摆摆吧，看能不能把你的同桌难倒，让他写不出乘法算式，只能写出加法算式”。孩子们继续摆。这个时候，孩子自己出彩了：有个孩子给他的同桌摆出了一个三角形，一个正方形，并神气的问道“一共有几根小棒，能列出乘法算式吗？”他的同桌说出了1×7=7。他有那么短时的惊讶，但是并没有马上否定，慢慢的他脸上露出了笑容。这个完整的过程其实正是经历了学生自主活动的一个完整过程，这个过程也让学生对乘法的意义有了进一步的认识。这个过程是教不出来的。后来由摆小棒我让学生又列举出生活中更多的可以用乘法列算式的问题。到最后才让学生完整的说出乘法所表示的意义。这节内容的设计由学生经历发现——探索发现目标的特点——完整认识发现目标的特点——形成意义。学生可以自主活动的空间很足。这些空间让他们觉得数学是有趣的，数学是可以发现的、这些空间也让他们学到了知识并灵活运用知识。当后来在练习中我出“2×3+8=（ ）×（ ）时，学生就很容易的填出了2×7”。这样的内容也揭示了教学设计的下一个特点：其次，教学设计要设计出知识的发展空间。就接着上面的例子说，上面最后的练习，既灵活的检测了学生对乘法意义的掌握与运用能力，也为后来学习乘法分配律刻画了雏形。这个空间虽然没有让学生马上填补，但是它可以帮助学生让知识更丰盈，成长的更壮硕。另外，教学设计要设计出学生反思总结的空间。每堂课中总会有不同的小结时刻，但是多半小结都是针对知识。我想说的是，教师要设计出学生小结知识的机会，也要设计出学生小结学法，小结心情，小结他人长处的机会与空间。这样的空间会对提升孩子的学习能力与学习兴趣有很大的帮助，也是体现提升教学有效性的一个重要方面。

三、教学设计要有助于促使学生调动所有的知识去为新知识做准备