勾股定理证明方法汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇勾股定理证明方法范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

作者简介：周化海（1965-），男，贵州水城人，理学硕士学位，中学高级教师，研究方向学校管理和教育教学研究；

黄绍书（1966-），男，贵州黔西人，理学学士学位，中学高级教师，研究方向学校管理和教育教学研究.

勾股定理的物理方法?C明还可以借助一厚度均匀的RtABC木板静止漂浮在水面上的模型给出.

在教学中注重交叉学科知识的相互渗透，全方位培养学生素质，提高他们综合应用各学科知识处理实际问题的能力是极为有效的.

篇（2）

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）04-206-01

何谓勾股定理？勾股定理又叫毕氏定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。据考证，人类对这条定理的认识已经超过了4000年。据史料记载，世上有300多个对此定理的证明。勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法。这是数学中任何定理都无法比拟的。

本文中仅介绍勾股定理的证明方法中最为精彩的两种证明方法，据说分别来源于中国和希腊。

1、中国方法：画两个边长为 的正方形，如图，其中 为直角边， 为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以 为边，右图剩下以 为边的正方形。 于是得 。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

2、希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形。 如图，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，

故 ，所以 ，

即正方形 的面积与矩形 的面积相等。

同理可证得，正方形 的面积与矩形 的面积相等。

所以 ，即 。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

篇（3）

    数学发展的历史包括两种典型的数学文化:一种是重视逻辑推理的希腊数学文化,一种是重视实际应用的中国数学文化.

    数学史家将古希腊数学按时间分期:第一期从公元前600年到前323年;第二期从公元前323年到前30年,也称亚历山大前期;第三期从公元前30年到公元600年,也称亚历山大后期[3].前两个时期,希腊数学文化认为,数学命题只有通过几何形式的逻辑推理论证才能说明其正确性,论证数学成为数学研究的主流,几何形式的逻辑推理证明成为数学成果正确与否的衡量标准.这个标准逐渐发展成为对数学研究的期望或理想,即期望数学成果能够通过几何形式的逻辑推理来论证.在“亚历山大后期”,古希腊数学突破了之前以几何为中心的传统,算术、数论和代数逐渐脱离了几何的束缚.这一时期受罗马实用思想的影响,论证数学不再盛行,如海伦的《量度》中有不少命题没有证明.但论证数学中的逻辑推理在数学研究中仍占有重要位置,如丢番图《算术》书中采用纯分析的途径处理数论与代数问题[4].逻辑推理从几何论证中脱离出来,逻辑推理解决问题的思想发展成为数学研究的新理想,即希望数学问题可以通过纯逻辑推理的方法解决.纵观整个希腊数学文化,数学研究成为满足上述两种理想而付出的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.究其本质,逻辑推理思想是几何论证与分析法解决问题的根本,是上述两种理想中最本质的思想,并且满足动机的定义.因此它是古希腊数学研究的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.

    中国古代数学在整体发展上表现为算法的建构和改进[5].所谓“算法”不只是单纯的计算,而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性的计算方法[4].算学的目的在于解决实际问题,而实际问题是层出不穷的,因此中国古代数学不仅经受住了统治者废除“明算”科的考验,甚至还有所发展,如元末明初珠算的普及.随着中国数学文化的形成,用数学知识解决实际问题成为算学的理想,即期望数学成果能够被实际应用.中国古代数学研究成为受这个理想而支配的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.实际应用满足动机的定义,因此它是中国古代数学发展的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.

    所以逻辑推理与实际应用是人类进行数学研究的两个动机,按动机的分类它们属于驱力,是从生理需要出发的内在动机.数学学习可以认为是有方向性的对已有数学成果的再次研究过程,可以看作是数学研究的特例形式.依据历史发生原理综合分析得出:人类进行数学研究的内在动机一定会在数学学习中表现出来,即激励人类研究数学的内在动机与激励学生学习的内在动机是一致的.

    从实际情况出发,逻辑推理可以作为生活中一种娱乐形式,如逻辑推理游戏、逻辑推理小说、逻辑推理电影等都深受公众喜欢;而实际应用也是大家十分感兴趣的,如通过应用基本的空气动力学知识制作航模.

    综上所述,逻辑推理与实际应用是数学学习动机,且这两个数学学习动机是学生共有的、内在的,也是在实际教学中易于对学生进行培养的数学学习动机.

    古希腊数学中的公理化思想是希腊数学文化的重要特点之一.公理化思想出现的标志是欧几里得的《几何原本》.在数学中引入逻辑因素,对命题加以证明,一般认为是从伊奥尼亚学派开始的,但毕达哥拉斯学派在这一方面作了重大的推进,他们的工作可以说是欧几里得公理化体系的前驱[3].因此公理化思想的提出要晚于逻辑推理思想,公理化思想是逻辑推理思想的发展.

    算法程序化思想是中国数学文化的另一个重要特点.算法程序化思想出现的标志是成书于公元前后的《九章算术》.实际应用思想虽没有明确的出现标志,但在《九章算术》成书前的《周髀算经》、《算数书》等书中涉及的数学知识都蕴含着明确的实际应用思想.算法的提出是为了解决一类实际问题,算法程序化为了使算法严谨、简明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于实际应用思想,且算法程序化思想是实际应用思想的发展.

    随着数学发展,公理化思想与算法程序化思想已应用到现代数学中,成为现代数学的特点.但它们不是贯穿整个古希腊数学与中国古代数学研究的内在因素,而是逻辑推理与实际应用数学思想发展的衍生物.公理化思想与算法程序化思想也可作为数学学习的动机,但适宜群体明显要少得多.数学发展至今,数学本身的文化区域性特点淡薄了,希腊数学文化与中国数学文化背后的驱力——逻辑推理与实际应用思想,早已相互融合.近代微积分的应用及理论的严密化过程就是一例.

    二、比较古今数学教材以研究初中教材两个学习动机的培养

    教材是教学中最重要的用书之一,是教师教学、学生学习的主要依据.《几何原本》、《九章算术》作为西方与中国的数学教科书都有千年之久.两本着作都反映了当时的数学文化背景.重视逻辑推理与重视实际应用分别成为教学思想包含在这两本书中.

    因为《九章算术》作为教材多将刘徽注释加入其中,所以将现行数学教材与《几何原本》、《九章算术及刘徽注》进行比较研究.为增加3者的可比性,选择它们共有的内容,且知识体系完备,预备知识基本一致,学生认知水平大抵相同的勾股定理部分作为比较对象.这种比较虽不能以点代面,但仍有较强的代表性与启发性.现行数学教材采用经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册[6],以第18章第1节勾股定理内容为标准,选择《几何原本》、《九章算术及刘徽注》部分内容进行比较.因《几何原本》的成书结构是公理化体系,利用已知命题证明未知命题,且命题后没有辅助理解该命题的习题,所以选择其中与勾股定理有关或利用勾股定理证明的命题作为比较对象.由于初中教材在讲解勾股定理时,预备知识中未包含圆、无理量及立体几何内容,故选择《几何原本》[7]第Ⅰ卷命题47、48,第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13作为比较对象.《九章算术及刘徽注》的勾股章是利用直角三角形性质求高深广远,因初中教材勾股定理的预备知识中没有相似三角形及勾股数组的内容,所以选择《九章算术及刘徽注》[8]勾股章[一]至[一四]题及[一六]题作为比较对象.

    1.各种教材中勾股定理的内容

    (1)编写目的

    《全日制义务教育数学课程标准(修改稿)》(下简称为《标准》)中勾股定理的教学要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题[9].《几何原本》与《九章算术及刘徽注》虽没有类似的编写标准,但可以从它们的内容及成书体系分析得出.《几何原本》利用勾股定理转换面积间关系证明几何问题,即在直角三角形中,两直角边上正方形面积和与斜边上正方形面积可以相互转换.如第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13都是利用这种思想.《九章算术及刘徽注》利用勾股定理数量关系求得高深广远,解决实际生活的问题.

    (2)知识框架

    初中教材通过生活发现与几何直观探索,建立从实际到理论再到实际的知识体系,并运用定理解决简单问题.《几何原本》通过已知命题推导勾股定理,建立从理论到理论纯几何形式的知识体系,重在证明未知命题.《九章算术及刘徽注》通过给出3个简单几何问题“术”,建立从理论到实际的应用知识体系,旨在解决实际问题.3者建构的知识框架各不相同.

    (3)定理引入

    初中教材的导入分为两部分,分析毕达哥拉斯发现的定理特例与探究定理的一般形式.《几何原本》受公理化体系的影响,它的导入可以认为是定义、公理、公设及已知命题.《九章算术及刘徽注》的导入是3个已知两边求第三边的简单几何问题.

    (4)定理表述

    初中教材用特例猜想定理的一般形式给出勾股定理[6]:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么《几何原本》的勾股定理以命题形式给出:在直角三角形中,直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形[10].《九章算术及刘徽注》中的勾股定理以3个简单几何问题术的形式给出:勾股各自乘,并,而开方除之,即弦[8].3者对比,初中教材体现数形结合的勾股定理且形体现在边长上;《几何原本》中体现形的勾股定理且形体现在面积上;而《九章算术及刘徽注》体现数的勾股定理.各自的表述为其内容服务,它们之间存在一定差异.

    (5)定理证明

    初中教材利用我国古代赵爽的弦图(如图1、图2、图3),通过图形旋转证明定理猜想.这种证明方法是近年来学者们倾向于“古证复原”思想提出的.初中教材对定理证明如下[6]:

    赵爽注释的《周髀算经》对勾股定理的证明如下:案弦图又可以勾、股相乘为朱实二,倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实一亦成弦实[8].

篇（4）

例1 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图1,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到A B'C'D'的位置,连接CC',设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.

证明: 四边形BCC'D'为直角梯形,

S梯形BCC'D'=(BC+C'D')•BD'=.

RtABC≌RtAB'C',∠BAC=∠B'AC'.

∠CAC'=∠CAB'+∠B'AC'=∠CAB'+∠BAC=90?

S梯形BCC'D'=SABC+SCAC'+SD'AC'

=ab+c2+ab=.

=.a2+b2=c2.

说明:在近几年的中考试题中,考查勾股定理证明的试题有增强的趋势,主要是利用图形面积之间的关系证明勾股定理,一方面增进了同学们对证明勾股定理的数学史的了解,另一方面这类试题对培养同学们的探索精神也大有裨益.

二、勾股定理在计算中的应用

例2 如图2,在ABC中,∠CAB=120B=4,AC=2,ADBC,D是垂足.求AD的长.

解:过C作CEBE交BA的延长线于E,

AC=2,AE=1.

在RtACE中,由勾股定理得:

CE2=AC2-AE2=3,CE=,

在RtBCE中,由勾股定理得:BC2=CE2+BE2=28,

BC=2.SABCA=AB说明:当所给的图形有直角三角形时,我们可想到勾股定理的应用.

三、勾股定理的实际应用

例3如图3, 一架长5米的梯子 ,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识,论证你的结论.

解:是.证明如下:

在RtACB中,BC=3,AB=5,

根据勾股定理得AC==4米.

DC=4-1=3米.

在RtDCE中,DC=3,DE=5,

根据勾股定理得CE==4米.

BE=CE-CB=1.即梯子底端也滑动了1米.

说明:在用勾股定理解决实际问题时,关键是根据题意画出图形,把实际问题抽象成数学模型,然后运用勾股定理等解决,必要时还要用到方程(组)的方法求解.

四、与勾股定理有关的探索题

例4 图4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①、②、③、④、⑤、…,则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________.

解:观察图形可知①对应斜边长为,②对应斜边长为,③对应的斜边长为,……,第n个对应斜边长为.

五、勾股定理逆定理的应用

例5 已知a,b,c为ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状.

解: a2c2-b2c2=a4-b4 ,

c2( a2-b2)=( a2+b2) (a2-b2).

(1)当a2-b2≠0时,化简后得c2=a2+b2 ,

ABC是直角三角形.

(2)当a2-b2=0时,a=b, ABC是等腰三角形.

说明:本题结合因式分解的知识,综合考查了提公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的逆定理,同时还考查了等式的性质2:在等式两边不能同时除以一个可能为0的数,这往往是我们最容易忽视的地方,应引起大家的注意.

六、与勾股定理有关的创新题

例6 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图5所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=________.

分析:根据已知条件可知AC=EC,∠ABC=∠CDE=90CB+∠ECD=90伞CD+∠CED=90浴CB=∠CED,这样可得ABC≌CDE,所以BC=ED,

在RtABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

篇（5）

在具体的数学课堂教学上，可以从下列途径培养学生发现问题、提出问题的意识和能力;当然还可以从其他更多的途径进行训练。

1.从建立概念（或命题）的过程中发现问题、提出问题

在苏科版《数学》（八年级上册）《第3章勾股定理》、《3.1勾股定理证明》的教学中，通过画图，用三个正方形面积来验证了直角三角形斜边、直角边之间的关系，得到了一个正确的命题：勾股定理，而后介绍公元前1000多年前《周髀算经》记载的“勾三股四弦五”的结论。此时可引导学生对勾股定理来思考：对勾股定理可以提出哪些问题？举数例如下：

（1）中国人老早就发现了勾股定理，那么外国人有没有发现勾股定理？如发现了，最早是什么时候、是谁发现的？（这个问题如何解答呢？咨询、查图书资料、网上搜索……）

（2）勾股定理有哪些应用呢？（求边长、计算、证明其他命题、图案设计、列方程……）

（3）如何证明勾股定理？（咨询、查图书资料、网上搜索……几何的、代数的、三角的、面积的、向量的……多种方法）

（4）到目前为止，勾股定理有多少种证明方法？（咨询、查图书资料、网上搜索……）

（5）勾股定理有逆定理吗？如有，如何证明它？

再如，学过勾股定理的逆定理之后，接着就建立勾股数的概念，可以要求学生对勾股数可提出哪些问题呢？举数例如下：

（1）填空：

32+（ ）2=52， （ ）2+62=102，52+（ ）2=132， 52+（ ）2=182，

72+（ ）2=252， 92+（ ）2=412，722+（ ）2=972，902+562= （ ）2。

从32+42=52及上面的练习可知：至少有一组勾股数3、4、5，即勾股数是存在的。那么，勾股数是有限的还是无限的？

（2）能不能建立公式求勾股数？

（3）勾股数与直角三角形是什么关系？

（4）古人是怎样发现勾股数的？

2.从问题中发现问题、提出问题

仍然以勾股数概念的建立为例，给出下列问题：

n是大于1的正整数，下列三个数n2-1、2n、n2+1是不是勾股数？

自然，可以让学生自己去判断这三个自然数是不是勾股数，很快就可以得出结论：这三个自然数是勾股数。于是，就可以引导学生思考、去探究、去提出问题：

（1）设自然数k，这三个数的k倍k（n2-1）、k（2n）、k（n2+1）是不是勾股数？如何判断呢？（这个问题是引导学生思考：由勾股数的定义去判断出，由一组勾股数就可以得到许多组勾股数）

（2）n取不同的值，就得到不同的勾股数，是不是就求出了所有的勾股数？（这个问题是引导学生思考勾股数是有限的还是无限的，怎样用有限去表达无限）

（3）这三个数是怎样得到的？（这个问题是引导学生思考、探求发现这三个数的途径）

3.从命题的证明过程中发现问题、提出问题

问题：如图：AD为ABC的高，∠B=2∠C，

用轴对称图形说明：CD=AB+BD。

给出如下解答：

（1）如图，在CD上取一点E使DE=BD，连结AE;ADBE，

AB=AE，∠B=∠AEB，

而∠AEB=∠C+∠CAE，

所以∠B=∠C+∠CAE;

又∠B=2∠C，

2∠C=∠C+∠CAE，

∠C=∠CAE，AE=EC，

AE +BD=DE+EC，

即AB+BD=DC。

篇（6）

数学史对于数学教育的价值已不仅仅停留在理论层面的讨论. 翻阅近两年的数学教育类杂志可以发现，越来越多的中小学数学教师也在撰文阐述自己在教学中使用数学史的一些体会和教学案例. 在课程改革不断深入的当下，数学史融入数学教学对于践行课改的理念，培养全面发展有理想、有道德的高素质数学人才等方面确实有着积极的推进作用. 本文将给出一个基于数学史的勾股定理教学设计思路，旨在抛砖引玉，期待一线教师在不断加强自身数学史修养的同时，开发出更多基于数学史的优秀教学案例.

提出问题

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 此定理在西方叫做毕达哥拉斯定理，相传，这是由古希腊数学家毕达哥拉斯及其徒众发现的，后人更渲染其事，说毕达哥拉斯诸人十分重视这项发现，特地宰了一百头牛向天神奉献答谢，所以中世纪时这条定理被称作“百牛定理”. 在历史上，这条定理的名称特别多，在不同时代、不同地区都有不同的名称，包括“木匠定理”“新娘之椅”等. 古希腊数学家欧几里得在公元前300年左右编写了著名的经典之作《几何原本》，其中一个定理就是毕达哥拉斯定理：

“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和.”

接下来的这个定理是毕达哥拉斯定理的逆定理：

“如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角.”

这两个定理合起来说明了直角三角形a，b，c三边的平方和关系：a2+b2=c2，界定了直角三角形.

我国是最早发现勾股定理的国家，据《周髀算经》记载，我国数学家早在公元前1120年就对勾股定理有了明确认识. 勾股定理从发现到现在已有五千年的历史，在西方，它被称为毕达哥拉斯定理，但它的发现时间却比中国人晚了几百年. 勾股定理是把直角三角形与三边长的数量关系联系在一起，体现了数形结合思想.

定理的证明

在新课程人教版教材（八年级下册）中，先是引用毕达哥拉斯的故事引出勾股定理，然后利用中国古代数学家赵爽的“弦图”证明了勾股定理. “弦图”是以弦为边长的正方形，在“弦图”内作四个相等的勾股形，各以正方形的边长为弦. “弦图证法”是依据“出入相补原理”，根据“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理的. 赵爽的“弦图证法”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，正因如此，这个图案被选为2002年北京召开的国际数学家大会会徽.

[图1]

引导学生探索其他解法

上述是我国古代数学家赵爽的“弦图”证法，即利用“以直角三角形斜边为边长的正方形的面积与四个三角形的面积之和等于外正方形的面积”来证明勾股定理. 这一方法给我们一定的启示，即围绕面积相等这一条，把原图形拆成几部分，然后根据面积相等实现定理的证明. 教师可以提示学生围绕这一观点，探索其他证明方法，学生提供的证法有可能和历史上大数学家的证法一致.

历史上的经典证明方法展示

发现勾股定理迄今已有五千年，五千多年来，世界上几个文明古国都相继发现和研究过这个定理，几千年来，人们给出了勾股定理的许多证法，有人统计，现在世界上已找到四百多种证法，下面列举其中具有数学思想的一些代表性证明方法. 如（1）欧几里得《几何原本》的证法；（2）比例证法；（3）另一种弦图证法；（4）总统证法；（5）帕斯卡拉二世的证明；（6）毕达哥拉斯的证法；（7）旋转证法. 限于篇幅，这些证明方法的证明过程在本文中省略不写.

基于上述分析，不难发现，历史上的勾股定理证明方法很多，据统计，有400多种，向学生展示不同的证明方法有很多益处，具体表现在：首先，给出勾股定理的多种证法，并非是比较证法之优劣，而是为了丰富教与学的内容知识，这也是数学史融入数学教学重要的功能之一. 其次，通过比较、分析各种证法的特色，可以让教师和学生在教与学上有所比较，以达到取长补短. 通过分析各种证法之不同，可以发现他们各自对于图形的依赖程度也不相同. 当我们试图理解某个版本的证法时，就好比与这位数学家进行对话，从而产生自我“历史诠释”. 再次，历史上的勾股定理证法还使我们认识到该如何呈现定理及其证明，以便可以兼顾到各个面向. 在教学中，若以历史文本为师，适时引入古人的原始想法，撷取前人的智慧，乃至前人所犯的错误，相信对于数学思想的发展与学生的学习过程能有更贴近的牟合，也能让学生对数学有更全面的观照. 最后，基于数学史数学教学所追求的目标之一，正是让学生在通过历史文本解决问题的过程中获得学习的乐趣，因此，数学历史文本中的任何地方可能都有意想不到的金矿等待挖掘，唯有辛勤发掘才可能使我们满载而归.

问题的推广

下面我们换个角度看勾股定理，定理会变成什么样呢？

推广一：勾股定理的不同表述方式

（1）直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度的平方之和.

（2）直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形.

（3）直角三角形直角边上两个正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积.

推广二：“出入相补”原理的应用

所谓“出入相补”原理，是指一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和保持不变. 综观历史上有关勾股定理的证明方法，许多证法都是利用这一原理进行的，只是图形的分合移补略有不同而已. “出入相补”原理是我国古代数学家发明的一个证明几何图形面积和体积的非常重要的方法，下面，我们通过比较两个证明来说明某些问题.

赵爽和达・芬奇的证明方法（如图2所示）：

[图2：勾股定理的两种几何证明]

问题：这两种方法的联系是什么？

解答：如图3所示.

[图3：两种证明的联系]

可以看出，赵爽和达・芬奇对勾股定理的证明都使用了“出入相补”原理. 这两种来自不同时期、不同地域的方法背后有着更本质的联系，正因为这种本质联系，让我们找到了更多类似的证明方法. 它也展示了数学内部的一种联系. 正如韦尔斯在《数学与联想》一书中所说的：“这就是为什么数学强有力的一个理由. 数学家发现，两个表面不同的问题实际上是相同的，因此他只要解决一个也就解决了另一个. 认识到一百万个问题‘实质上’都是相同的，因此，你只要解决一个就解决了一百万个. 事实上，这就是力量！”我们的数学读本，应该多多向学生介绍这方面的内容，让学生感受这种力量，去认识事物之间的联系.

推广三：把直角三角形三边上的正方形改为一般的直线形

若把以直角三角形为边长的正方形改为一般的直线形，勾股定理就推广为：直角三角形斜边上的直线形（任何形状）的面积，等于两条直角边上与它相对应的两个相似的直线形的面积之和（如图4所示）.

[图4]

推广四：把直角三角形三边上的直线形改为曲边形

若把直角三角形三边上的相似直线形改为三个半圆，勾股定理就推广为：以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作半圆的面积和. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广：（习题18.1“拓展探索”问题11）：如图5所示，直角三角形三条边上的三个半圆之间有什么关系？

[图5][2][1]

若把上述斜边上的半圆沿斜边翻一个身，此时显然有“1和2的面积之和等于直角三角形的面积”. 其实这个结论早在公元前479年就已经由古希腊数学家希波克拉底得到，因1和2部分状如弦月，故称“希波克拉底月形”. 新课程（人教版八年级下册）在习题中体现了这一推广（习题18.1“拓展探索”问题12）：如图5所示，直角三角形的面积是20，求图中1和2的面积之和.

推广五：勾股定理与费马大定理

勾股定理是直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，写出公式就是a2+b2=c2. 丢番图的名作《算术》（第2卷问题8）中有一个与勾股定理类似的问题：将一个已知的平方数分为两个平方数. 丢番图在《算术》中以实例形式给出了这一问题的解答. 之所以在此独独提到丢番图的这一问题，是因为，大约16个世纪以后，正是在这一问题的启发下，费马在其旁白处写下了一段边注，从而诞生了一个让整个数学界为之苦思冥想了三百多年的问题. 费马在阅读巴歇校订的丢番图《算术》时，做了如下批注：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和. 我已找到了一个奇妙的证明，但书边太窄，写不下. ”1670年，费马之子萨谬尔连同其父的批注一起出版了巴歇校订的书的第二版，遂使费马这一猜想公之于世. 费马究竟有没有找到证明已成为数学史上的千古之谜. 从那时起，为了“补出”这条定理的证明，数学家们花费了三个多世纪的心血，直到1994年才由维尔斯给出证明.

推广六：勾股数

不言而喻，所谓勾股数，是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数（a，b，c），它们满足a2+b2=c2. 那么如何寻找更多的勾股数呢，方法如下.

1. 任取两个正整数m，n（m>n），那么，a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数.

2. 若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下方法确定另两个数：首先观察已知数是奇数还是偶数.

（1）若已知数是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数.

（2）若已知数是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1和加1所得的两个整数与这个偶数构成一组勾股数.

练习题：限于篇幅，仅列一题.

练习题 今有立木，系索其末委地三尺，引索却行去本八尺而索尽，问索长几何？（该题出自南宋杨辉《详解九章算法》，公元1261年）

现代文翻译：有一根直立的木头，一条绳索系在它的顶端. 已知这条绳索比木头长3尺，现在向后紧拉绳索，使它的另一端着地，这时绳索与木的距离为8尺，问这条绳索的长为多少？

篇（7）

1 引言的设计

三种教科书在这一章的开始都有引言和题图. 比如人教社版《数学》，放置了2002年国际数学家大会会场的照片，其中会徽非常醒目；照片旁边有三段文字作为这一章的引言. 其中第一段有这么一句话：

后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方. 你能发现这个关系吗?

笔者认为这段话存在两个问题. 第一，在引言部分就把结论明确地告诉学生，那么其后的“观察”、“探究”和“猜想”还有什么意义?第二，把结论告诉学生后再问学生你能发现它吗，同样没有任何意义. 就好象问一个已经吃好饭的人，你想吃饭吗?

我们认为，引言可以提出一个具体的问题情境来导入本章的学习，也可以给出本章的学习目标让学生明确这一章要学习什么. 但不可以把需要探究和猜想的结论展现在学生面前.

图1

人教社版《数学》还有一处类似的错误，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人画直角的方法来引入的，随后配了一幅插图(图1). 但是令人沮丧的是，从穿着看，画面中的人是古希腊人，而非古埃及人. 这个小错误对学生的数学学习也许不会产生大的影响，但是作为国家权威教科书出版单位，犯如此低级的错误也是不应该的.

2 定理的发现

数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子. 不过，在实际教学中，教师虽有探究式教学的理念，但在师生行为的设计上有两个难解的困惑：①通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a2+b2=c2，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系，因此教师常常把勾股定理作为一个事实告诉学生；②勾股定理的证明有难度，一般来说学生很难自行探究，寻得解决的方法.[2]教师通常是依据教科书来进行教学的，那么，我们来看一下教科书是如何设计的.

华师大版《数学》第48页安排了“试一试”：

测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：

根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、b、c之间的关系.

笔者认为，这个活动设计得非常不好. 为什么?一块任意的三角板，它的三边长很可能并非整数. 让学生猜想三边长分别为3、4、5或者5、12、13的直角三角形三边的关系，就已经不是十分容易的事(比如，学生容易得到3+5=2×4而不易得到32+42=52；也有学生由32=4+5和52=12+13猜想a2=b+c)，更何况来猜想三个非整数之间的平方关系. 教科书这样设计和处理，容易导致学生盲目的探究和盲目的猜想，在这“盲目”上浪费了不少时间，而且没有多大意义和价值.

3 勾股定理是“发现”而非“发明”的

华师大版《数学》第55页安排了“阅读材料”：《勾股定理史话》. 其中有这样一段话(下划线为本文作者所加)：

人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的. 国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯(Pythagoras)学派首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理.

这里有两处错误. 第一，勾股定理是“发现”还是“发明”的?我们知道，发明是创造，一种从无到有的过程；而发现是一种本来就有，从不认识到认识的过程. 那么，数学定理的证明方法，可以是一种从无到有的发明过程，而定理本身本来就存在，而后被人发现的. 教科书中一段话里对定理的产生使用了发明和发现这两个词语，就有一定矛盾和混乱. 第二，并不是因为毕达哥拉斯或其学派首先发现定理，而是因为在数学史上有明确记载，毕达哥拉斯或其学派首先证明该定理，才被称为毕达哥拉斯定理的. 同样的错误，我们可以在人教社版《数学》上看到，第74页有个小标签，上面写着：

在西方，一般认为这个定理是毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理.

相比较而言，北师大版《数学》则相对比较准确. 第8页有一则“读一读”：《勾股世界》. 最后一段话：

相传两千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.

4 问题情境应避免“人为”的创设

北师大版《数学》设置问题情境，用“旗杆问题”来引入新课题. 该问题是：

强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处. 旗杆折断之前有多高?

对于这一问题，如果考虑该题的现实性和科学性，横向的“12米”是容易测量的，那么纵向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通过直接测量的话，那么折断部分的15米应该也不难测量(唯一难测量的情况就是尺子的长度大于12米而小于15米). 所以这个问题的设计并不合理. 相对而言，教科书中的“梯子问题”在合理性上难以找到瑕疵. 比如华师大版《数学》第50页在给出勾股定理后安排了例1：

如图(图略)，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离AB. (精确到0.01米)

这里，梯子的长度是容易测量的，BC的长度也是容易测量的，而垂直距离AB确实是难测量的. 因为难以测量，我们便求助于计算，求助于数学. 这样就体现了数学是有用的.

我们再来看北师大版《数学》第9页例1：

我方侦察员小王在距离东西公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶. 他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?

从情境的合理性和科学性角度考虑，这一题应该问题不大；但我们来看另外一题：

飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米. 飞机每时飞行多少千米?

这一题出现在修订前的北师大版《数学》中，与前一题在本质上是一模一样的. 如果考虑一下这个4000米和5000米是小男孩或旁观者通过什么途径测到的，就不难明白，为什么教科书修订时把这一题改成前一题了.

我们再来看一题，北师大版《数学》第3节《蚂蚁怎样走最近》中安排了“随堂练习”：

甲、乙两位探险者到沙漠进行探险. 某日早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向正东行走. 1时后乙出发，他以5千米/时的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多远?”

我们在一本美国的几何教材《发现几何》第9.3节的练习B中看到了这道题目的原型[3]：

在火星正午时间，朗达・本德博士离开美国火星研究站，以60千米/时向东行进. 1小时后I.M.布赖特教授离开同一研究站，以50千米/时向北行进，去观察极地冰帽. 火星时间下午3时，博士与教授相距多远?答案精确到千米.

从这两个问题的表述上看，《发现几何》比北师大版《数学》更具想象和充满冒险. 北师大版《数学》只把学生带进沙漠，而《发现几何》却把学生带到了火星. 北师大版《数学》是让学生解决数学问题，或者说是“做数学”；而《发现几何》不仅是“做数学”，更是“玩数学”，让学生在一种轻松愉快的情境中解决数学问题，而这个过程是充满乐趣的.

笔者这里举了几个例子，是想说明教科书编写者在设计习题时采用不同的观念，有的是为数学而问题，有的是为学生而问题，或者为生活而问题. 不同的观念导致习题是“人为”还是“为人(学生)”的区别. 比如，“人为”的问题，为数学而问题，问题都是围绕数学而编写、杜撰的(前文那个“旗杆问题”就是为数学而数学). 从数学角度讲，它也许是严谨的，完美的，但它也许远离了学生的现实生活，也远离了学生的想象世界. 事实上，教科书在编写时，应该从学生出发，考虑问题情境的科学性和合理性，避免出现“人为”的题目.

5 赵爽的证明方法

赵爽如何利用弦图证明勾股定理，在数学史研究中是有争议的. 钱宝琮先生认为他采用代数方法，利用面积计算；而吴文俊、李文林先生则认为他采用几何方法，利用出入相补原理. 事实上，代数观点比较容易解释赵爽的文字，但这种思维方式不太符合赵爽时代的人们的数学思维习惯.

我们看到，对这样未形成定论的内容，教科书在处理时却显得有些草率.

人教社版《数学》在73页，明确给出了赵爽利用弦图证明勾股定理的基本思路，这是一种几何方法，用出入相补原理来证明的.

华师大版《数学》在52页安排了“读一读”，介绍了弦图和赵爽；之前“试一试”使用拼图和计算面积验证(或者证明)了勾股定理. 课文中没有明确给出赵爽的证明方法，但联系上下文，容易让学生认为赵爽是使用代数方法证明勾股定理.

北师大版《数学》第8页和第9页介绍了证明方法，将大正方形分割成四个直角三角形和一个正方形，然后通过计算面积验证勾股定理. 虽然没有明确指出赵爽的方法，但显然编者认为他是采用代数方法. 其后12页介绍了刘徽用出入相补原理证明勾股定理，但没有从几何方法介绍赵爽的弦图.

我们认为，对于未有定论的内容，教科书就不应该草率地把某种观点强加给学生，不可以对学生说，赵爽就是用这种代数方法证明勾股定理的，或者说赵爽就是用这种出入相补原理证明的. 数学教科书在涉及数学史时要特别注意一个问题，即在向学生展示史实，展示重要事件、重要人物与重要成果时，要尊重历史. 尊重历史就是要展现历史的本来面目，不能歪曲历史而误导学生，对有争议的以及没有最终定论的题材应给学生必要的说明. [4]所以，比较合理的做法是，教科书先重点介绍其中一种证法，随后简单介绍另一种，同时声明本书倾向于前一种观点；而学生可以接受前一种，也可以是后一种观点. 不过，不管是哪一种，学生都应该经过自己的思考，要有接受这一观点的理由.

参考文献

[1] 鲍建生，王洁，顾泠沅.聚焦课堂――课堂教学视频案例的研究与制作[M].上海：上海教育出版社，2005.180.

篇（8）

关键词：数学史 勾股定理 教材 比较研究

1、引言

数学史的教育价值以为大多数学者所承认，并越来越得到国内外数学教育界的重视。张奠宙先生曾经指出：在数学教育中，特别是中学的数学教学过程中，运用数学史知识是进行素质教育的重要方面。《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》也明确提出，数学是人类文化的重要组成部分，数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中，“教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料”。数学是积累的科学，它的发展并不合逻辑，数学发展的实际情况与我们学校里的教科书很不一致。根据历史发生原理，学生对数学的理解与数学本身的发展有很大的相似性。因此，一套好的教材若要返璞归真地反映知识的来龙去脉、思想方法的深刻、内涵以及科学文化的进步，就必须融入一些简略的数学史以启发思维、开阔视野、激发兴趣。这就使得在教材的修订与编写过程中，合理设计数学史内容及其编排方式显得尤为重要。本文仅对人民教育出版社和北京师范大学出版社初中数学教材（以下简称“人教版”、“北师大版”）中勾股定理一章的数学史进行比较分析。

2、调查与分析

本文首先对人教版《义务教育课程标准实验教科书数学（八年级下册）》和北师大版《义务教育课程标准实验教科书数学（八年级上册）》勾股定理一章中的数学史进行了统计，具体见下表。

从上表可以看出，在勾股定理这一章中两版本初中数学教材都呈现了大量的相关史料，但在数学史的呈现方式和选材上，又各有侧重点。据上表，两版本教材在本章各出现数学史14处、13处，主要分布在正文、习题、专题和阅读材料中。（在人教版中是以“阅读与思考”呈现相关数学史料的，而北师大版则以“读一读”这一栏目呈现史料，为统一起见，统称阅读材料；这里的“专题”多是指在有关知识内容旁边以框架的形式将某些内容作简短介绍。）此外，北师大版第一节（探索勾股定理）和第三节（蚂蚁这样走最近）的引入是在历史名题“折竹抵地”和“蜘蛛与苍蝇”问题的基础上改编的，虽然表面文字上看不出历史的影子，但是我们在统计时仍把这两处归为数学史料。

2.1 勾股定理证明的教材编排

2.1.1教材中对勾股定理的证明的设计模式

在正文中对勾股定理的证明上，两版本教材采取了不一样的处理形式。人教版在出示赵爽弦图后，结合三组图对弦图的证明做了详尽的解释，直至得出最终答案：。而北师大版在正文两处分别呈现了弦图的两种证法以及对青朱出入图证法（无字证明）的解释。与人教版不同的是，北师大版在这两处更注重学生的实际动手操作。如在弦图证明时，不像人教版那样对弦图证明进行一步一步的解释，而是简洁的介绍了用弦图证明的“割补”思路，最后以“这里所有三角形和正方形的面积都能够求出，相信同学们可以比较容易地验证勾股定理了”这句话结束，接下来的工作是由学生自己完成，学生经过计算很容易就验证了定理的正确性。在介绍“青朱出入图”证法时，通过“你能将两个小正方形中多出的部分剪下正好补到大正方形上去吗？”设问，水到渠成让学生自己动手、动脑、动嘴操作。在这之后还设计了“做一做”栏目，共4问，前三问主要是让学生亲身经历拼“青朱出入图”这一过程，这样留给学生更多的是动手操作的机会；而最后一问 “利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流”不仅为学生提供了实践的机会，还能充分调动学生思维，有利于学生从多方、多角度思考问题；此外，学生在交流各自观点的同时，不仅丰富了自身思维，看到自己与他人思路的区别，还有利于表达能力的发展。

2.1.2其他证明方法的编排模式

两版本都不同形式的出现了勾股定理的几种证明方法，除在正文中对赵爽弦图证明做相关解释外，人教版还以阅读材料的形式呈现了勾股定理证明的另外三种方法（毕达哥拉斯证法、弦图的另一种证法及总统证法）。由于“阅读与思考”这一栏目用方框框起来，并且是放在勾股定理这一节最后，这就容易使教师和学生认为，这些内容是补充材料，可学可不学，可看可不看。再加之受现行考试制度和传统考试文化的影响，大多数教师对这些内容要么略微提一下，要么是要求学生下来自己看，还有一部分教师根本就对这些内容视而不见，直接越过。作为学生来说，本来学习压力就大，平时一本本做不完的练习册，加之有的学生还要进行课外辅导。哪有时间去看这些考试不考的内容，就算是有时间，这个年龄阶段的学生还想在这难得的空余里玩一会，做点平时想做但没时间做的事情。据本人的了解，能主动去看这些内容的学生毕竟是少数。这样以来，这些数学史对大多数学生来说就失去了其本身应有的地位和价值，难以发挥其所期待的育人功能。

与人教版的设计模式不同的是，北师大版除了在正文中介绍了弦图的两种证法和对青朱出入图的解释外，把勾股定理的另外三种证法（总统证法、达芬奇的实验研究法以及毕达哥拉斯的证法）分别放在了不同小节的习题当中。这样教师和学生就不得不重视这些数学史内容了，因为课后习题大都是教师先布置给学生做，最后教师再“处理”。暂且先不说这种设计模式是否发挥了数学史的真正价值。但从某种层面上说，教师和学生至少会被“逼着”关注这些内容。学生在做这些习题或当教师处理这些习题时，就会了解到证明勾股定理的其他证法，同时也有利于学生从多方面多角度看问题，有利于发散思维能力的培养。因此，从这一层面上可以说，在勾股定理证明法的编排模式上北师大版较人教版更为合理。

2.2其他内容的设计

人教版在章前图文并茂，不仅呈现了2002年北京国际数学家大会的会标“赵爽弦图”，还简要解释了勾、股、弦所表示的含义，并在此基础上提出了两个问题，进而交待了这一章所要学习的主要内容。这样的设计不仅激起了学生的求知欲、好奇心，还能让学生在学习新知识之前对本章要干啥有一个大概的了解，同时也便于学生在学习完这章后的自我评估。比起北师大版在章前简单列出各文明古国关于勾股定理说法的设计更为人性化。

两版本教材在介绍数学家时，都是简要的说明数学家的生平（如国籍、年代、出生地等）及做出的贡献，并没有体现数学家遭遇的困惑、挫折、失败的经历。使学生觉得数学家所想到的定理是理所当然的，未能体现数学家在创作过程中斗争、挫折以及数学家所经历的艰难漫长的道路。相比北师大版，人教版在此有一个特色，也是人教版整套教材的特色，即在介绍数学家时附有数学家的头像（本章附有毕达哥拉斯图像），这样能唤起学生对数学家及数学史的亲近、肃穆之感。而北师大版在这方面就稍显逊色，根据刘超的统计，在初中六本教材中人教版有五处附有数学家图像，而北师大版仅有一处（并不是此章）。

3、几点思考

3.1教材采用历史名题进行引入，但是引入过于平淡，体现不出实际价值。

人教版在勾股定理及其逆定理的开始分别以数学家的故事和古埃及人得到直角的方法引入数学知识，而北师大版在第一、三节都是以实际问题情境引入数学内容的，但这两处的情境都来源于数学历史名题。两版本在此对数学史用的都比较浅显，没有深挖史料背后隐藏的数学思想方法，数学史只是作为一个情景用来引出相关内容的，显得过于平淡和简单，也显示不出实际的一个教学价值。这只是数学史融入教学的初级阶段，但我们并不能说这种融入方式是低级的或是不好的。一方面，初级阶段是数学史融入教学，进入高级阶段不可逾越的阶段，具有重要意义，比如激发学习兴趣、调动积极性；另一方面，教材的这种设计也体现了教材的灵活性和多样性，便于教师在不同情况对内容的重新加工。因此，对这两种引入方式我们不可妄加断言其好坏，唯独希望各相关领域人员对数学思想、方法做认真的思考，对数学史料进行加工和创造，深挖史料背后隐含的价值，充分发挥数学史的作用和价值。

3.2数学史与教材的整合与立足于学科本源，返璞归真，适度形式化。

两个版本教材中虽然说数学史料都比较丰厚翔实，但编排方式单一，多以成人的语言呈现出来，较为抽象，概括；在教材设计上又大多表现为阅读与思考（选学内容），历史图片，数学家故事等形式，以至于多事在章末的阅读材料形式出现居多。我觉得，数学史的内容的呈现方式应该是多样化的，除了目前已有的形式外，还应结合学生的心理年龄特征，知识接受水平对数学史进行选择，编排，比如卡通，连环画等形式，也可以将数学游戏等编排进其中，这样学生学习起来更加容易接受和容易理解，也更能实现数学史的教育价值。

3.3应加强与现在信息技术的相结合

现代信息技术的发展使得计算机已经成为数学文化与数学教育现代化之间的桥梁。《义务教育数学课程标准（修订稿）》在基本理念中明确提出：“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计要注意信息技术与课程内容的整合开发并向学生提供丰富的信息资源”。而两版本教材除了让学生自己上网搜索相关内容外（并没有提供相关网站），并没有涉及与信息技术有关的内容。而“勾股定理”作为几乎是全世界中学都要介绍的定理，其证明方法就有400多种，并且这些证法反映了东西方不同的文化，在教材中却没能与信息技术挂上钩，是不是有点可惜。这应引起两版本教材编写者的重视，以便在教材修订时注重相关数学史与信息技术的整合。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（修订稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.1.

[2]马复主编.义务教育课程标准实验教科书（八年级上册）[M].北京：北京师范大学出版社，2006.

[3]林群主编.义务教育课程标准实验教科书（八年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[4]张维忠，汪晓勤等.文化传统与数学教育现代化[M].北京：北京大学出版社，2006.4.

[5]王亚辉编.数学史选讲[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2011.1.

[6]罗新兵等.高中数学教材中数学史分布的特征和模式研究——以北师大版数学必修教材为例[J].数学教育学报，2012.2.

[7]刘超.人教版初中数学教材中数学史的调查分析[J].中学数学杂志，2011.6.

篇（9）

时钟随着指针的移动嘀嗒在响:“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士,“分”是士官,“小时”是带队冲锋陷阵的骁勇的军官。所以当你百无聊赖、胡思乱想的时候,请记住你掌上有千军万马;你是他们的统帅。检阅他们时,你不妨问问自己——他们是否在战斗中发挥了最大的作用?

——菲·蔡·约翰逊

数学教学实质上是数学思维活动的教学,在数学教学中要充分调动学生的主体作用,注重教学过程,改变被动接受知识的局面,实现课堂教学素质化,才能真正提高课堂教学质量和效率。下面说说我在教学中的做法,通过这个例子来具体地说明数学课上如何提高课堂效率。

课例:《勾股定理的证明》

教学目标:勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的。它是直角三角形的一条非常重要的性质,是几何中最重要的定理之一;它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系;它可以解决直角三角形中关于边的计算问题,是解直角三角形的主要根据之一,在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力,通过实际分析、拼图等活动,使学生获得较为直观的印象;通过联系和比较,理解勾股定理,以便正确地进行运用。

例如,勾股定理证明教学过程中,教师可这样实施:

一、故事引入,激发兴趣

为了激发学生学习勾股定理的兴趣,可以由下列故事引入:三千多年前有个叫商高的人对周公说:把一根直尺折成直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦等于5。

这样引起学生的学习兴趣,激发学生的求知欲。

教师紧接着问:是不是所有的直角三角形都有这个性质呢?

教师要善于激疑,使学生进入乐学状态。这样做将学生的注意力吸引到课堂上来,学生全神贯注地听课,课堂效率得到提高。

二、自学教材,主动探究

教师将教材知识整合,制作成幻灯片,以此指导学生自学教材。通过自学感悟、理解新知,体现了学生的自主学习意识,锻炼了学生主动探究知识的能力,养成了学生良好的自学习惯。

1.通过自主学习,教师设疑或学生提疑。如:怎样证明勾股定理?通过自学,中等以上的学生基本都能掌握,这时能激发学生的表现欲。

2.通过合作探究,引导学生摆脱网格的限制,研究任意直角三角形三边的数量关系。渗透由特殊到一般的思想方法。

3.教师引导学生按照要求进行拼图,观察并分析;(学生每人准备四个大小一样的直角三角形)(1)这两个图形有什么特点?(2)你能写出这两个图形桔黄色部分的面积吗?(3)你得到什么结论?

这时教师组织学生分组讨论,调动全体学生的积极性,达到人人参与的效果,接着全班交流。先由某一组代表发言,说明本组对问题的理解程度,其他各组作评价和补充。教师及时进行富有启发性的点拨,最后,师生共同归纳,形成一致意见,最终解决疑难。

三、巩固练习,强化提高

1.出示练习,学生分组解答,并由学生总结解题规律。课堂教学中动静结合,以免引起学生思维疲劳。

例1.某楼房三楼失火,消防员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防员取来6.5米长的梯子,梯子的底部离墙基2.5米,请问消防员能否进入三楼灭火?

2.出示例1:学生试解,师生共同评价,以加深对例题的理解与运用。针对例题再次进行巩固练习,进一步提高学生运用知识的能力,对练习中出现的情况可采取互评、互议的形式,在互评互议中出现的具有代表性的问题,教师可以采取全班讨论的形式予以解决,以此突出教学重点。

四、归纳总结,练习反馈

引导学生对知识要点进行总结,梳理学习思路。分发自我反馈练习,学生独立完成。

五、课后作业

1.课本第81页1、2、3题。

2.通过报刊、资料或上网查阅中外名人对勾股定理的证明方法以及勾股定理的发展史。

教学反思:本节课教学目标明确,重点突出,注重对知识形成过程的教学。但是在准备这节课时还是不够充分,比如引例比较简单,可以适当增加。在本节课后,我又搜集了一些关于勾股定理的典故,充实本节课的内容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人,也知道这一定理的特例,也就是勾3、股4、弦5,并用它来测定直角,之后才渐渐推广。

2.金字塔的底部,四正四方,正对准东西南北,可见方向测得很准,四角又是严格的直角。而要量得直角,当然可以采用作垂直线的方法,但是如果将勾股定理反过来用,也就是说:只要三角形的三边是3、4、5,或者符合的公式,那么弦边对面的角一定是直角。

3.到了公元前540年,希腊数学家毕达哥拉斯注意到了直角三角形三边是3、4、5,或者是5、12、13,他想:是不是所有直角三角形的三边都符合这个规律?反过来,三边符合这个规律的,是不是都是直角三角形?他搜集了许多例子,结果都对这两个问题作了肯定的回答。他非常高兴,杀了一百头牛来祝贺。以后,西方人就将这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。

篇（10）

数学概念、数学定理（公式、法则等）是数学思维的细胞，是学生学习数学知识的基础，也是数学思维的起点，在数学教学中具有重要的地位.数学概念和数学定理（公式、法则等）的形成过程所蕴含的数学家的思想方法、思维方法及研究方法，更是数学学习的精髓所在.在数学定理教学中，对数学定理的形成过程进行精心设计，将凝结在数学定理中的数学家的观察、试验、归纳、概括、推理与证明等思维活动打开，并设计一定的载体（如教学情境、教师讲解、学生探究和反思、变式训练等），用以展开这些数学思维活动，使得学生的学习思维与数学家的思维同步，并逐步使其思维结构与数学家相似，让学生在体验数学家思维活动的过程中提高数学素养，发展创造性思维能力，这是数学定理教学的关键所在.下面谈谈笔者对数学定理（公式、法则等）教学的浅见.

一、强调数学定理（公式、法则等）的发现过程

在传统的接受性学习中，学习数学往往以定论的形式直接呈现出来，学生学习数学定理（公式、法则等）是在记定理、背定理，往往看不到数学定理（公式、法则等）的发现过程，只看到完美的结论，正像波利亚所说：“只给出规则而不讲理由，则干巴巴的规则会很快被遗忘.”其实，数学家的发现过程是迂回曲折的，他们的思维活动通常是从具体的背景材料出发，通过观察、试验、类比、归纳等一套合情推理，提出需要证明的数学猜想.

在数学定理教学中，模拟数学家的思维活动，引导学生进行“似真性”的发现，让学生体会到寻求真理的兴趣和喜悦，这是数学教师主导作用之所在.

例如：在三角形全等的“边角边”条件这节课的教学中，笔者创设了下面的问题情境来引导学生探究发现.

问题1：如果已知一个三角形的两边及一个内角，那么它有几种可能情况？

同学们经片刻的思考与交流后得出两种：（1）两边及其夹角，（2）两边及一边的对角.针对学生答出的这两个问题，教师提出对这两个问题进行探究.

探究1：先画出一个ABC，再画出一个A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠A = ∠A′（即保证两边和它们的夹角对应相等），把画好的A′B′C′剪下，放到ABC上，它们全等吗？

探究2：先画出一个ABC，再画出A′B′C′，使AB = A′B′，AC = A′C′，∠B = ∠B′（即保证两边和其中一边的对角对应相等），把画好的A′B′C′剪下，放到ABC上，它们全等吗？

先由学生自己动手，利用直尺、三角尺、圆规等工具，对以上两个问题进行实验操作，并探究全等三角形的条件.在学生个人探究的基础上再全班交流，最后得到：

两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以它不能作为判定两个三角形全等的方法；

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可作为判定两个三角形全等的方法.

上面的探究活动，学生通过动手操作，为数学定理的学习积累活动经验，在“操作”中探究，在过程中感悟，在体验和感悟中理解数学定理的意义.这样学习的数学定理在认知结构中才会有所依托，才会巩固.

二、突出数学定理证明思路的探索过程

对数学定理（公式、法则等）的证明，如果仅用演绎推理，按教科书上的格式叙述过程，这就降低了教学的要求.“直截了当”固然节约了时间，但对学生来说却缺乏一个完整的认识过程.数学家真实的思维过程，常常被最终的简洁掩盖着，我们虽然不知道，但是我们可以仿真，作出示范.在思路分析中，应教给学生如何联想、探索、猜想、推理、转化，特别是分析思维受阻时，如何合理改变心向，变换策略，另辟蹊径，从而到达目的的思维过程.同时还应把学生有价值的解题思路发展下去.为了使这种思维过程卓有成效，教师必须对教材进行“再创造”.

例如，对于如何证明“勾股定理的逆定理”的教学，当学生通过猜想得到：“如果三角形的三边长a，b，c满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.”接下来证明猜想的正确性也就变成了学生自发的需要.先猜，于是我先让学生说说证明的思路.有的同学说，是根据勾股定理，因为a2 + b2 = c2，所以这个三角形是直角三角形.此种说法马上遭到部分同学的反对，理由是：在勾股定理中，题设是直角三角形，而在要证明猜想的题设中没有告诉我们ABC是直角三角形，所以不能应用勾股定理.这时一名学生站起来说他会证，并到黑板上板演解题过程，即如图1，作一个RtA′B′C′，使∠C′ = 90°，C′A′ = a，C′B′ = b，由题设，得A′B′ = c，那么ABC ≌ A′B′C′，所以∠C = 90°，所以ABC是直角三角形.

此时老师追问这名同学你是怎样想到这种方法的，这名同学说他是从课本上看的.老师继续追问这种证明的方法是什么方法. 全班大部分同学回答说是构造法，上节课证明勾股定理也是用构造法.这时老师指出：同学们说得好，构造法是一种重要的数学方法，通过这两节课的学习，大家对它有了初步的认识，今后在解题中要学会灵活运用.并提问全班同学：本题证明中用构造直角三角形的方法很妙，但思路是如何想到的啊？当同学们都在静静思考的时候，一名同学谈了自己的想法，他说：“我是这样想的：前面已学习过勾股定理，而问题1中的已知条件a2 + b2 = c2类似于勾股定理中的结论.如果想要应用已有知识，首先想到的是应用勾股定理，而要应用勾股定理就必须得有直角三角形这个条件，所以想到要构造一个直角三角形.”至此，学生完全明白猜想结论的证明及为什么这样去证明.

用构造的方法证明“勾股定理的逆定理”是很有思考性的问题，怎样构造？为什么这样构造？你是怎样想到的？等等，这对培养学生的数学思维能力极为有益.如果老师很突然地构造了直角三角形，按教科书宣读证明过程，就降低了教学的要求.长此以往，“机械学习”也在所难免.

三、重视数学定理（公式、法则、性质等）的引申和推广

数学概念的完整性和数学模型的普遍性是数学探索的主要内容，对数学定理进行引申和推广，也是数学家常用的研究方法.数学研究的很多问题都是某种形式的推广，将数学定理进行引申和推广，既符合数学知识本身发展的规律，也符合学生个体心理发展的规律.

例如，学习了三角形的中位线定理后，可进一步引导学生联想：如果将条件“三角形”改成“梯形”，那么又有什么新的结论？使学生的思维跨入新的高度.

又如，当学生学习了平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等”后，接着，教师继续引导学生探究这个定理的推广和特殊情况，即定理是否存在推广情况， 是否存在特殊情形，先让学生独立思考，再合作交流得到：

变式1：一组平行线（平行线族）截两条直线，所得的对应线段的比相等.

变式3：如图3中的实线部分，平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段的比相等.

变式4：如图4中的实线部分，若AB = BC，AE = DE，则BE = ■CD（三角形中位线定理对应的基本图形）.

变式5：如图5中的实线部分，平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段的比相等.

世间万物都在变化之中，但只说事物在变，不能说明什么问题，科学的任务是要找出变化中不变的规律.于是在得到上面的各种变式后，教师继续提出问题让学生思考：在上面的各种变式中，其不变的规律是什么？

学生思考后认为， 在“平行线”的条件下， 通过直线移动得到各种变式图形，但其“对应的线段比相等”是不变的.

学生经历对数学定理（公式、法则等）进行引申和推广的过程，不但使他们也像数学家一样经历了发明创造的过程， 而且使他们在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力.同时还使他们体验到新知识是如何从已知知识逐渐演变或发展而来的，从而理解知识的来龙去脉，形成良好的认知结构.