指数函数教案汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇指数函数教案范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

一、中职幂函数教学单元的定位

1.课程定位

2.教案设计理念

在中职数学教学过程中，绝大多数执教教师发现，若没有数学认知和自我总结的实践过程，而是仅仅以结论提供方式的记忆式学习，往往容易造成学生解题时的困惑，这与其尚未真正掌握幂函数规律密切相关，故而本教案设计的核心原则在于避免以往的“告诉”式，而是以建构的理念，还学生以知识认知与理解掌握的主动权，鼓励学生在自我探究的过程中发现幂函数基本规律及其性质、属性，并同时结合教师的引导对知识进行确认与巩固，通过反复的、源自于幂函数性质规律各角度的练习，进行幂函数深入学习。“授人以渔”的指导思想让学生学会知识摸索与探求的基本学习规律和技巧。

3.教学基本情况分析

本节课程的授课对象为中职学生，基于其对函数一定量的基本概念与性质认知，函数研究思路与方法也有所熟悉，幂函数课程是结合并运用已知指数和对数函数概念、性质和图象及结题运用，开展教学的知识模块。但由于刚步入中职，对初中学习阶段的各种学习特点及习惯仍有所保留，而且能力和思维模式的发展仍属于转折成型期，所以教师须把握幂函数教学创新的体验、契机，对中职学生进行数学理性思维和类比等思维的培育，并获得幂函数教学的良好效果。

4.教材要求与目标设定

幂函数作为改革教材的重点内容，在现行中职类专业教学的数学教材中处于指数函数与对数函数之后，主要目的在于比对上述函数的复杂性之后，鼓励学生结合指数函数、对数函数进行归纳分析总结。

本教案所涉课程的主要内容为幂函数，主要以结合实例引用概括幂函数概念，在学生了解识记幂函数结构特征的基础上，了解其与指数函数和对数函数的区别，并通过特殊简单函数的图象比对进行观察、分析与总结。教学目标为结合一次、二次和指对函数的特性对比，培养学生数学的对比结合和相应的分析归纳能力，并提升其数形结合、特殊上升到一般、归纳类比的逻辑思维。

二、教学案例实施过程

1.以学生业已熟悉的各类简单函数的引出，进行学生函数思维的重新建立，如运用（1）p=k，（2）S=x2；（3）V=ax3；（4）r=■；（5）v=s・t-1提问学生上述函数在其“形状”变化上的一些共同特点，进而引出y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=■，y=■，再结合一定时间的学生讨论，引导学生归纳幂函数的变化特征为以x为自变量，a为特定常数作为其指数所构成的y=xa，这一函数称为幂函数。经过上述幂函数的引入教学，学生被自然地带入对于类似函数的思考研究中，从而获得一定程度的概念性认知。而且该方法突出了本教案设计的“用教材而不是教教材，要创造性地使用教材”的教学创新原则，尊重教材的同时适当创新教材展示与教学设计。

2.基于幂函数引入的课堂导入，使学生获得幂函数理解认知，并提示指出幂函数结构中的x自变量位置，并以其与指数函数的位置进行直观对比，从而将复杂的幂函数与指数函数结构易混淆问题变为简单且不易遗忘的形状识记。同时，可以配合一定量的各种幂函数举例辨别，分辨并总结各类幂函数，在此基础上又对幂函数的形式进一步探析。接着，对幂函数的一般形式进行进一步探析。当然基于课程的教案创新改革必须秉持一贯的教学目标及其实施，也不能一味地进行脱离教学规律的教法创新。

总之，作为逐步发展的教学教法创新过程中的教学革新，都需要广大教学工作者充分结合学生现实、教材现实、教学现实、教育发展现实，中职数学中的幂函数不能以简单的给定义、告性质、做练习的模式进行，更应充分结合学生特点及其自有知识结构体系与认知能力特性，进行综合性创新。

参考文献：

篇（2）

1焊接技术安全教学的必要性

《焊接技术》课程教学是从事机电行业的人必须熟练掌握的一门技术基本课程，通过学习可使学生了解焊接技术的安全、卫生防护及焊接设备的基本知识，树立安全文明生产意识，掌握常用的焊接工艺理论和操作方法，以提高其电气焊接操作技能，为今后走上工作岗位打下良好的基础。职业技术学校的学生年纪小，接触社会少，基础知识差，安全意识差，而焊接技术又存在强弧光幅射、触电、火灾、爆炸、中毒等危险，所以在焊接课程的课堂教学与车间实训过程中，必须全面地、系统地讲清楚手工焊接的危险有害因素及安全防范措施，做好全面的、细致的、万无一失的现场实训工作，确保学生的身体健康及生命安全。

2焊接技术教学过程的的危险性与原因

2.1焊接技术教学过程的的危险性在焊接技术教学过程中，由于焊接常用电能或化学能转化为热能来加热焊件，一旦对这些能源失去控制，就会产生一定的危险性。焊接过程中的危险因素主要有两方面：影响焊接生产安全的危险因素和影响人体健康的有害因素。

2.1.1影响焊接生产安全的危险因素

（1）爆炸和火灾：是焊接过程中易发生的工伤事故，而且发生的火灾和爆炸事故主要是在气焊、气割、焊条电弧焊焊接过程中。焊接过程中之所以容易发生爆炸火灾事故，一方面是由于焊工需要经常接触可燃易爆物品；另一方面是由于焊工需要经常接触压力容器和燃料容器，如乙炔发生器、氧气瓶、液化石油气瓶、乙炔瓶以及检修补焊时的罐、塔、柜、槽、箱和管道等，而且在大多数情况下使用明火，因此容易构成火灾和爆炸事故的条件。

（2）触电：利用电能转化为热能的各种焊接方法都有触电危险。焊条电弧焊操作触电的机会较多，尤其在容器、管道、锅炉内和钢架上的操作，四周都是金属导体，其触电危险性更大。特别是在高空作业中，触电事故还易引起高空坠落的二次事故。

2.1.2影响人体健康的有害因素

焊接过程中产生的影响人体健康的有害因素可分为物理有害因素与化学有害因素两大类。在焊接环境中可能存在的物理有害因素有电弧弧光、高频电磁波、热辐射、噪声及放射线等；可能存在的化学有害因素有电焊烟尘和有害气体等。在各种影响人体健康的有害因素中，由于接触电焊烟尘的人数最多，因此电焊烟尘是影响最大的有害因素。长期吸入电焊烟尘而发生的电焊工尘肺职业病，是当前焊接安全卫生工作中影响最大的一个主要问题。

2.2造成焊接技术危险性的原因

（1）焊接切割作业时，尤其是气体切割时，由于使用压缩空气或氧气流的喷射，使火星、熔珠和铁渣四处飞溅，当作业环境中存在易燃、易爆物品或气体时，就可能会发生火灾和爆炸事故。

（2）在高空焊接切割作业时，对火星所及的范围内的易燃易爆物品未清理干净，作业人员在工作过程中乱扔焊条头，作业结束后未认真检查是否留有火种。

（3）气焊、气割的工作过程中未按规定的要求放置乙炔发生器，工作前未按要求检查焊（割）炬、橡胶管路和乙炔发生器的安全装置。

（4）气瓶存在制定方面的不足，气瓶的保管充灌、运输、使用等方面存在不足，违反安全操作规程等。乙炔、氧气等管道的制定、安装有缺陷，使用中未及时发现和整改其不足；

（5）在焊补燃料容器和管道时，未按要求采取相应措施。在实施置换焊补时，置换不彻底，在实施带压不置换焊补时压力不够致使外部明火导入等。

3如何加强焊接技术课程教学安全教育

3.1必须树立安全的观念和意识

安全的观念和意识的树立是提高安全教育效率和质量的保障，也是焊接技术课程教学的首要内容。只有让学生认识到焊接技术的危险性，让他们切实认识到树立安全观念和意识的必要性，才能促使他们认真学习和理解焊接技术的安全措施，按照正确的使用方法进行焊接技术的学习。

3.2场地教学中要听从教师的指挥

学生进入训练场地要听从指导教师安排，应注意作业环境的地沟、下水道内有无可燃液体和可燃气体，以及是否有可能泄漏到地沟和下水道内可燃易爆物质，以免由于焊渣、金属火星引起灾害事故。进入训练场地后未经同意或未了解设备性能，不能私自乱动场地内的设备及其它物品。学生必须在掌握相关设备和工具的正确使用方法后，才能进行操作。遇到问题立即向教师询问，禁止在不熟悉的情况下进行尝试性操作。

3.3做好焊接技术的操作安全教育

（1）学生焊接操作前要检查电器线路是否完好，二次线圈和外壳接地是否良好，检查周围环境，不能有易燃易爆物品。焊补燃料容器和管道时，应结合实际情况确定焊补方法。

（2）开动电焊机前检查电焊夹钳柄绝缘是否良好。电焊夹钳不使用时，应放在绝缘体上。推闸刀开关时，人体应偏斜站立，并一次推足，然后开动电焊机。停止时，要先关电焊机，再拉开闸刀开关。氧气瓶严禁与油污接触，不能强烈振动，以免爆炸。操作时必须佩戴防护用具，以免弧光灼伤眼睛和皮肤。气焊操作时，必须由指导教师调整好后，指挥学生现场操作，严禁学生私自操作。

（3）高空焊接切割时，禁止乱扔焊条头，对焊接切割作业下方应进行隔离，作业完毕应做到认真细致的检查，确认无火灾隐患后方可离开现场。应使用符合国家有关标准、规程要求的气瓶，在气瓶的贮存、运输、使用等环节应严格遵守安全操作规程。

4结语

焊接技术安全教育应是职业课程教学重点内容。焊接技术安全教育应该充分根据焊接技术自身固有的特点，结合学生的认知特点和水平，然后制定出合理的安全教育的教学目标，设计出具体的安全教学的内容和细节，从而有效提高焊接技术安全教育的质量和效率。加强焊接技术安全教育有两个重要环节：一是必须树立安全意识，二是必须掌握安全操作程序。做好这两点，是提高焊接技术安全教育效果的关键所在。

参考文献

篇（3）

3.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域。定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素

4.相同函数的判断方法：①定义域、值域;②对应法则(两点必须同时具备)

5.求函数的定义域常涉及到的依据为①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响

6.函数解析式的求法：

①定义法(拼凑)：②换元法：③待定系数法④赋值法7.函数值域的求法：

①换元配方法。如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域。②判别式法。一个二次分式函数在自变量没有限制时就可以用判别式法去值域。其方法是将等式两边同乘以dx2+ex+f移项整理成一个x的一元二次方程，方程有实数解则判别式大于等于零，得到一个关于y的不等式，解出y的范围就是函数的值域。

③单调性法。如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域

8.函数单调性的证明方法:

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1

第二步：作差¦(x1)-&brVBar;(x2)，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”;

第三步：判断差式¦(x1)-&brVBar;(x2)的正负号，从而证得其增减性

9、函数图像变换知识

①平移变换：

形如：y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿x轴方向向左或向右平移

|a|个单位，就得到y=f(x+a)的图象。

形如：y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿y轴方向向上或向下平移|a|个单位，就得到y=f(x)+a的图象

②.对称变换y=f(x)y=f(-x),关于y轴对称

y=f(x)y=-f(x),关于x轴对称

③.翻折变换

y=f(x)y=f|x|,(左折变换)

把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称

y=f(x)y=|f(x)|(上折变换)

把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

10.互为反函数的定义域与值域的关系：原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域;

11.求反函数的步骤：①求反函数的定义域(即y=f(x)的值域)②将x,y互换，得y=f–1(x);③将y=f(x)看成关于x的方程，解出x=f–1(y)，若有两解，要注意解的选择;。

12.互为反函数的图象间的关系：关于直线y=x对称;

13.原函数与反函数的图象交点可在直线y=x上，也可是关于直线y=x对称的两点

14.原函数与反函数具有相同的单调性

15、在定义域上单调的函数才具有反函数;反之，并不成立(如y=1/x)

16.复合函数的定义域求法：

①已知y=f(x)的定义域为A，求y=f[g(x)]的定义域时，可令g(x)ÎA，求得x的取值范围即可。

②已知y=f[g(x)]的定义域为A，求y=f(x)的定义域时，可令xÎA，求得g(x)的函数值范围即可。

17.复合函数y=f[g(x)]的值域求法：

首先根据定义域求出u=g(x)的取值范围A，

在uÎA的情况下,求出y=f(u)的值域即可。

18.复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数;单调性不同则函数是减函数。增增、减减为增;增减、减增才减

①f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性

②f(x)与c·f(x)当c>0是单调性相同，当c<0时具有相反的单调性

③当f(x)恒不为0时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性

④当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性

⑤当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)也是增(减)函数

设f(x)，g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)当f(x)，g(x)两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数

19.二次函数求最值问题：根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析，

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

a>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得;

a<0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得;

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

a>0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得;

a<0时：最大值在离对称轴近的端点处取得，最小值在离对称轴远的端点处取得

20.一元二次方程实根分布问题解法：

①将方程的根视为开口向上的二次函数的图像与x轴交点的横坐标

②从判别式、对称轴、区间端点函数值三方面分析限制条件

21.分式函数y=(ax+b)/(cx+d)的图像画法：

①确定定义域渐近线x=-d/c②确定值域渐近线y=a/c③根据y轴上的交点坐标确定曲线所在象限位置。

22.指数式运算法则23.对数式运算法则：

24.指数函数的图像与底数关系：

在第一象限内，底数越大，图像(逆时针方向)越靠近y轴。

25.对数函数的图像与底数关系：

在第一象限内，底数越大，图像(顺时针方向)越靠近x轴。

26.比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数，若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较

27.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

①f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)Þ正比例函数f(x)=kx(k¹0)

②f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);f(x1-x2)=f(x1)÷f(x2)Þy=ax;

③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2);f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)Þy=logax

28.如果f(a+x)=f(b-x)成立，则y=f(x)图像关于x=(a+b)/2对称;

特别是，f(x)=f(-x)成立，则y=f(x)图像关于y轴对称

29.a>f(x)恒成立Ûa>f(x)的最大值

篇（4）

(2)能应用指数函数概念解决简单的数学问题；

(3)从图像和解析式的不同角度研究指数函数性质；

(4)培养学生主动学习、合作交流的意识，使学生获得研究函数的规律和方法。

二、教学重点与难点

(1)教学重点：指数函数的概念、图像和性质。

(2)教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质。

三、教学过程

1.利用电子白板的特点，创设有效的数学情景、提出问题、引入课题

电子白板投出：“某种细胞分裂的示意图”(如图1所示)， 提出问题：这种细胞每过30分钟就由1个分裂成2个，设想经过900分钟(15个小时)后会产生多少个细胞？

图1

学生回答后，教师在白板上拖动文本框，公布估算的数据：900分钟后细胞总个数10.74亿个。

教师提问：在上面这个问题中，细胞个数用y表示，分裂的次数用x表示，y与x之间的关系是什么？

学生得出公式y=2x( x∈N* )

问：如果经过990分钟(16.5小时)后细胞总数是多少？

师生用白板计算：990分钟后细胞总个数85.90亿个。

教师：y=2x 就是我们今天要学习的指数函数。

设计意图：利用白板创设问题情境，引出课题―指数函数，让学生体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律，激发学生学习新知的兴趣和欲望。

2.利用电子白板进行师生互动、探究新知，找出规律

(1)指数函数的定义

教师在电子白板上投影关系式 y=0.84x

叙述：我们在本章开始的学习中，接触到一个与y=2x 类似的关系式，y=0.84x。

问题：①y=2x 和y=0.84x这两个解析式有什么共同特征？(是指数形式)

②它们能否构成函数？(能)

③它们是否是我们已学过的函数类型？(否)

教师通过上述问题，引导学生观察上述两个函数的共同特点：指出指数函数的表达式的特点，指数是自变量。用字母a代替底数，上述两式可以表示成y=ax的形式。称作指数函数。

设计意图：人天生有模仿和尝试的欲望，学生此前已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，这时用白板创设一个看似认识，但又不同的函数，引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型，在具体问题中抽象出共性，激发学生的学习兴趣，建立概念。

(2)指数函数中底数的分类

问题：在指数函数中，底数可以为下列3类吗？

①a＜0

②a=0

③a=1

你能写出上述3种情况下的指数函数形式吗？

学生上台在电子白板上书写几个符合上述条件的指数函数形式。

教师引导学生分析上述底数与指数之间的关系，说明一般情况下不研究这3种情况的指数函数。本课我们主要研究当a＞0且a≠1时的指数函数的性质。

问学生： y＝2×3x是指数函数吗？

教师分析：有些函数式貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中a-1＞0，且a-1≠1。

例题讲解：下列函数为指数函数的有 ② ③ 。

①y=x2 ； ②y=8x； ③y=(2a-1)x(且a≠1)；④ y=(-4)x。

学生在白板上用拖动的方式，将②，③2个正确答案的序号拖到填空线上。

设计意图：底数的分类是本节课的难点，只有认识清楚底数a的特殊规定，才能理解指数函数的定义域；并为后续学习打好基础。让学生通过白板写出三种情况下的指数函数形式，然后指出问题，可使学生加深印象，再通过练习强化概念的理解和应用。

(3)指数函数的图像和性质

教师在电子白板上投影(见表1)：

表1 分析y＝ax的图像和性质

请学生分成小组讨论，完成上表中的图象和解析式。

学生活动：分成两组，一组讨论指数函数的解析式，另一组研究指数函数的图像；然后进行交流。

交流、总结：教师在电子白板上用几何画板软件，改变参数a的值，追踪y＝ax的图像，让学生在图像的变化过程中，观察图像的变化规律和指数函数的性质。

师生共同总结指数函数的图像和性质，教师边总结边在电子白板上分步显示表1的图像和解析式(见表2)。

表2 分析y＝ax的图像和性质

设计意图：通过学生的自主探索、合作学习，变被动为主动，学生成为学习的主人，让学习过程成为一种自觉的行动，从而加深学生对指数函数图像和性质的理解、记忆。

3.应用典型例题理解概念

(1)练习：在同一平面直角坐标系中画出y=3x和 y=(1/3)x的大致图像，并说出这2个函数的性质；

(2)例1：已知指数函数f(x)=ax的图像经过点 (3,27)，求f(0)，f(1)，f(-3) 的值。

(3)例 2： 比较下列各题中两个值的大小。

①1.82.5，1.83.2 ；②0.61.2 ，0.6-1.2 ；③1.50.6 ，0.61.5 。

根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

教师用电子白板讲解、画图、板书，与学生互动交流、小结。

设计意图：例题设计围绕所学的内容，引导学生理清思路，在熟悉指数函数单调性的基础上学会构造指数函数方法，利用单调性比较两个幂的大小。解题后及时引导学生进行小结，总结在数学活动中所获取的数学经验，领悟数形结合的数学思想方法。

4.巩固训练提升总结

(1)若函数y =(a－1)x 在R 上为减函数，则a的范围为

(2)已知下列不等式，比较m，n 的大小。

① am

② am>an ( a＞1 )；

③ m=a2.5，n=a3(a＞0，a≠1 )。

设计意图：检查教学目标是否达成，对学生出现的错误，师生及时用白板进行纠正。

四、教学反思

本节课的设计力求能体现新课程的教学理念，采用如下教学模式：创设情境学生活动意义建构形成概念知识运用回顾反思。

利用白板工具，改变教学方法，创设情境，从不同的角度理解指数函数，通过对比总结得到指数函数的性质，让学生体会研究方法。

白板的使用，增强了课堂教学的交互性，操作性，学生在动手操作的过程中学习知识，形成概念，探究方法，反馈练习，提高了教学的有效性。

参考文献

篇（5）

三角函数章节是高中阶段数学教材架构体系的构建“枝干”，同时也是教师讲解、讲授等实践的重点和难点。三角函数章节内容是初中阶段函数知识内容的“升华”，同时也是高等数学函数章节知识的“基石”，其作为一种基本初等函数，在解决生产、生活等实际问题中运用广泛。常言道：根基牢，地动山摇稳不倒。要达到科学、高效解决现实问题的目的，就必须“打基础”、“重训练”，强化书本数学习题解答的有效训练。案例教学是不同阶段数学学科教学的重点，同时也是其需要着力主攻的难点和薄弱点。而案例解答的现实意义和长远功效已经被教学工作者所共识。笔者现就三角函数章节案例的有效解答这一话题做探究和分析。

一、三角函数案例解答应注重师生深入互通，体现双向性。

教育运动学说认为，案例的讲授是课堂实践体系的重要环节，是课堂实践进程的重要部分。案例的讲解应该体现并传承课堂教学的双边特点和双向特性，师与生对等交流、生与生合作探讨等多向、多边活动应渗透并融入在其中进程。但在实际的案例教学中，教者的个体讲解或学习主体的自行探索的单向问题不同程度地存在。因此，在三角函数案例解答中，教师要正确处理好师生之间的关系，将自身的引导功效发挥出来，组织和引领高中生进入到三角函数的案例讲解研析中，紧扣问题要解决的要求、思路的确定及方法的甄别等都需要深入互动、讨论，在深入的双边互通中，达到探究实效、共进互赢的期望。

如在“如图所示，α、β分别是坐标轴上的一个角，其度数分别是30°和300°，OM，ON分别表示角α和角β的终边。（1）分别求出与α，β两个终边的相同角集合；（2）求出始边在OM的位置，终边在ON位置的所有角的集合。”案例讲解中，教者实施互动式讲解活动，主要围绕在表示角的度数时，如何做好角度制或弧度制之间统一的话题，组织高中生开展解答问题活动。教者根据所出示的数学问题及要求，在他们自主研析的基础上，与他们围绕思路的确定及过程的确认进行双边探讨活动，一起分析研究解题思路，一起辨析解题过程，并明确告知他们，找出在[-π，π]范围内与α、β都有相同的角度，再根据任意角的概念和角集合的表示法，可写出终边落在阴影部分（含边界）时所有角的集合。同时在解决上述两个问题时要切实注意角度制和弧度制之间的同一性问题。

二、三角函数案例解答应注重讲练融会贯通，体现发展性。

教者是主体进程实践中的“引路人”，探究疑惑的“释惑者”，以及认知探索的“推进者”。教者的一项任务，就是通过有效、精准的“导引”形式，有力地推动他们开展探知和研析活动。高中生在研究、分析、探寻三角函数案例的进程中，会遇到许多“超越”自身学习实际能力的要求和标准。此时，教者就要发挥指导功效，在他们的解决三角函数案例的“练习”中，实施有效指导，弄清题意，理清层次，点明联系，从而确保三角函数案例解题深入推进。在此过程中，教师的“讲解”和学生的“练习”二者不是分割、不衔接的，而是联系、相贯通的，成为讲练合一的有机整体。

问题：已知角α终边上有一点P，它的坐标为（x，3）（x≠0），并且cosα=3/10x，求sinα和tanα的值。

学生进行解析实践：根据题意可知，这是关于三角函数与方程方面的综合性运用题，涉及三角函数的定义等内容。

教师适当点拨：在该问题中，要求出sinα和tanα的值，还是要求出点P的坐标x，同时要注意α所在象限的位置进行讨论。

学生围绕解题要求进行思路完善，并着手进行该问题解答活动。

教师强调：关键要注意α所在的象限不确定时要采取分类讨论的方法采用研析。

高中生按照教师点拨和强调，开展合作提炼解题方法活动，得出其解法。

三、三角函数案例解答应注重解析方略提炼，体现策略性。

在解析上述案例基础上，总结提炼环节，组织他们对刚才获得的解题思路及过程进行“回味”和“思索”，要求他们对其所确定的策略进行提炼和总结。高中生结合所得思路及所解过程，认识到：“该问题借助三角函数内容，运用到数形结合的思想策略。”高中生在教师有序引导下认识到：“该问题解答中，通过函数的图像性质及三角函数函数区间的求解实现了有效解答，这其中蕴含了数与形结合的解题方法。”

教师因地制宜，围绕“数形结合”解题思想进行专题讲解活动，对该解题思想的本质及注意事项等进行明确说明，并向高中生指出其在三角函数章节中的运用，并展示案例进行巩固强化，从而让高中生对该解题思想有切身、具体、深刻的认识和掌握，提高其解题技能和素养。

通过上述三角函数问题的讲解活动，高中生对解题思想方法运用有了更深刻的认知和运用。教育学指出，教学的目的在于传授技能及技巧，提高自主学习能力。因此，教师无论在三角函数章节，还是其他数学学科章节中，问题解答活动的讲解，应注重对解题方法或策略的讲授，对典型数学内容的应用，以题讲解，让他们通过亲身探究、实践和辨析，对其有感性认知。同时借助于教师的科学专题讲解，对其内涵、特点及事项等方面深层次掌控，深层次地认知和掌握知识，保证在其方法策略运用中自如、高效、科学。

教师应强化课堂活动进程中问题解答的组织和推动，注重内在能力素养的培养，将数学解题变为主体前进和发展的“跳板”，开展精心教学实践。

篇（6）

在函数的复习课中，我创设了这样的情境：圣诞节快到了，我们打算动手设计贺卡送给亲戚、朋友们，贺卡为矩形，宽x厘米，长y厘米，贺卡上部分为正方形，上面画上漂亮的图案；下部分写上祝福的话语，祝福话语需要的面积为64平方厘米.

二、提出问题

师：请同学们根据情境提供的信息，大胆地提出我们要研究的问题.

生1：这里有变量x和y，可是不知道它们是否具有函数关系？如果有，那么要求出y关于x的函数关系式.

师：恩，很好！

（板书）问题1：求出y与 x的函数关系式. 生2：如果函数关系式写得出，那么要求出该函数的定义域和值域.

师：对，定义域、值域是函数的重点，必须研究！

（板书）问题2：求出问题1中函数的定义域.

（板书）问题3：求出问题1中函数的值域.

生3：解析式、定义域、值域都研究了，我很想知道该函数的图像.

师：也是，解析式、定义域、值域是函数的三要素，都是从代数的角度来研究的，我们再从形的角度来研究该函数，先画出函数的图像.

（板书）问题4：作出问题1中函数的图像.

师：图像也作好了的话，我们还可以研究它的哪些性质呢？

学生纷纷讨论，发言，教师小结：

问题5：研究问题1中函数的单调性.

问题6：研究问题1中函数的奇偶性.

在提出问题的环节中，学生积极思考，踊跃发言，总共提出了6个问题，下面，带着6个问题进行探究.

三、探究、解决问题

探究基于情境，始于问题，探究既是知识的学习过程，也是重要的学习内容. 学生在具体探究知识的过程中，形成探究精神、协作精神，提高科学素养. 要想让学生真正掌握知识，培养能力，教师要放手让学生做，在做中体会，做中掌握，做中提高. 我分这样几步来完成这个环节的教学的：

第一步：让学生独立解决所有的问题.

第二步：分成6个小组，让学生在组内交流结果.

第三步：每个小组派代表解答对应序号的问题.

下面，我选取这个环节的几个片段共同探讨：

第2小组：开始，有人说定义域为{x|x ≠ 0}，后来，我们考虑了实际意义，x是宽度，必须大于0，所以定义域为（0，+∞）.

第3小组：

所以函数的值域是[16，+∞）.

师：大家对两种解法有什么评价呢？

学生讨论激烈，最终发现症结所在. 学生1的解答不够严谨，还得检验等号是否成立；而学生2的解答无破绽，完全正确.

师：无论用什么方法求值域，都不能忽视等号成立的条件. 如果等号不能成立的话，我们该怎么办呢？

生：还可以考虑函数的单调性.

师：不错，函数的单调性是求函数的值域的基本方法. 请第4组学生上来画出函数的图像，请第5组学生回答问题5，函数的单调性.

第4小组：画出图像.

第5小组：通过图像观察到函数在[0，8）上是减函数，在[8，+∞）上是增函数.

师：借助图形解决问题很有效，但不严谨，需要逻辑证明，要的是数与形的结合，即数形结合的数学思想. 研究函数的单调性的基本方法是定义法，关键是对f（x1） - f（x2）的化简、判断符号，在化简中找到分界点，对定义域按单调性划分，从而得到单调区间. 请大家课后完成，通过这种方法求出单调区间，同时求出函数的值域.

第6小组：根据图像说出函数的奇偶性，并按f（-x） = -f（x）进行证明.

师：判断函数的奇偶性时，首先考虑定义域，分析是否关于原点对称.

反思：在“情境—问题”的教学模式中，创设情境的方法有很多种，教师要根据具体的教学内容，设置恰当的问题情境，激发学生的兴趣，使学生的思维迅速进入最活跃的状态. 在“情境—问题”的教学模式中，问题既是探究的开端，又是教学的主线，因此如何提出问题是关键. 教师可根据不同的教学，不同的角度、不同的层次引导学生提出问题. 在“情境—问题”的教学模式中，探究、解决问题是非常重要的环节. 在学生自主探究问题的过程中，教师要善于引导，善于观察、善于启发、善于总结.

【参考文献】

[1]吕传汉，汪秉彝.中小学数学情境与提出问题教学探究. 贵阳：贵州人民出版社.

篇（7）

1.会用列表描点法画反比例函数y=k/x（k≠0）的图象；结合图象初步理解双曲线所在的象限，延伸性，对称性，及y随x的变化情况（增减性），体会其性质；

2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，并利用其性质解决实际问题.

二、过程与方法：

让学生自己尝试去画y=4/x与y=-4/x图象，在经历中逐步完善用描点法画y=k/x（k≠0）的步骤；在画图过程中引导学生去观察图象，发现其性质，并能自己归纳概括出y=k/x（k≠0）的性质，从而经历知识的归纳和探究过程，体会函数的三种表示方法相互转化，对函数进行认识上的整合。

三、情感态度价值观：

经历探究反比例函数性质的过程，渗透与他人交流，合作的意识和探究精神，培养学生探索、观察、独立思考的习惯，学会归纳总结，体会合作的喜悦，初步认识数学与人类生活的密切联系.

教学重点用反比例函数的图象与性质

教学难点结合函数的图象归纳反比例函数的性质

问题与情景

活动1

问题1：：还记得一次函数y=kx+b（k≠0）的图像

与性质吗？

那么反比例函数y=k/x（k≠0）的图象会是什么样？如何画一个函数的图像呢？――导入新课

师生行为

教师提出问题，学生独立思考

教师：上节课我们学习了反比例函数的定义，并体会了反比例函数的三种表达形式之间的联系

本节课我们来研究一下反比例函数的图像和性质.

教师关注：

1・学生能否正确使用“描点法”的方法来画图像，能否说出“描点法”的基本步骤：列表、描点、连线

2・引入课题，分析研究y=k/x（k≠0）

的图像和性质。通过画y=4/x与y=-4/x的图像展开问题。

设计意图

通过旧知识导入，引导学生用描点法画函数图像，并借助图像分析性质。体会分类讨论、特殊到一般的解决问题的方法。

活动2

1、画出y=4/x与y=-4/x的图像

1.学生在同一坐标系中做出y=4/x与y=-4/x的图像，各小组展示自己的作品。

教师引导学生交流：

1.如果在列表时所选取的数值不同，那么图像的形状是否相同？

2.连线时能否连成折线？为什么必须用光滑的曲线连接各点？

3.曲线的发展趋势如何？

让学生自己经历画y=的图像的过程，体会描点法画图象的基本步骤，培养学生动手操作能力，这一环节让学生先在小组内展示自己的作品，相互修正。让学生体会主动参与、合作探究的乐趣。

活动3：探究y=4/x与y=-4/x的性质。

引导学生观察图像，独立思考并小组内合作交流，分析，比较y=4/x与y=-4/x的性质。在探究过程中，教师引导学生从“形”加以观察，能否从“数”加以解释，重点关注：

1.学生能否用数学语言描述图象特征，从而得出图像是双曲线。

2.学生是否能否得出k的不同取值时，图像所在的象限不同，两分支位于不同的象限。

3.学生是否注意到y随x的变化情况是在每一象限内根据k>0和k

4.为揭示函数变化规律，引导学生分别在每一象限图像上任取两点A（x1，y1），B（x2，y2）观察当x2>x1时y2与y1的关系

5.不可能与轴相交，也不可能与轴相交。这一结论既可以通过观察图像得出，也可分析函数表达式得出。当x的值越来越接近于0时，绝对值y的值将逐渐变得很大；反之绝对值x的值变得非常大时，y的值将逐渐接近于0.图像的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴y轴相交.

（1）让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的

（2）体会数形结合的思想

（3）在学生探究，合作交流的过程中教师要适时的给予鼓励，时刻给他们自信。

自我点评

根据教学目标、教学重点和难点的分析，我首先引导学生回顾二次函数基本概念，用描点法画函数图象的方法，然后让学生自己经历画y=4/x与y=-4/x的图象，然后让学生小组展示作品，完善画y=4/x与y=-4/x图象。然后直观观察反比例函数的性质。分组交流讨论，教师点拨，最终归纳y=k/x（k≠0）的性质。最后进行了反馈练习，强化了知识。

探究过程中，我依托学习小组，让学生经历了从特殊到一般的探究过程，经历知识产生、形成的过程；体会了数形结合、分类讨论的思想；感受到了自己动手、主动探索、合作交流学习方式的乐趣；提升学生自己观察、分析、解决问题的能力

本节课突出学生在活动过程中的参与意识、探究方式、表达能力及合作交流的意识，突出了学生的主体地位使学生在轻松愉快的氛围中获得数学的“思想、方法、能力、素质”，同时获得对数学的情感。教师在整节课的活动中，扮演的是学生学习的参与者、合作者、指导者的角色。

不足之处是：

1.在组织小组活动中有些乱，因而给学生的时间不是太多，抑制了学生思维的拓宽，提升。

2.在引导学生主动提出问题时时机把握的不是太好。

3.学生的质疑，提出问题的质量需在平时的课堂教学中加强培养。

我的收获：

篇（8）

第九讲

三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换

2019年

1.(2019北京9)函数的最小正周期是

________.

2.(2019全国Ⅲ理12)设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:

①在()有且仅有3个极大值点

②在()有且仅有2个极小值点

③在()单调递增

④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是

A.

①④

B.

②③

C.

①②③

D.

①③④

3.(2019天津理7)已知函数是奇函数,将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为.若的最小正周期为,且,则

A.

B.

C.

D.

4.(2019全国Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin

2α=cos

2α+1,则sin

α=

A.

B.

C.

D.

5.(2019江苏13)已知,则的值是_________.

6.(2019浙江18)设函数.

(1)已知函数是偶函数,求的值;

(2)求函数

的值域.

2010-2018年

一､选择题

1.(2018全国卷Ⅲ)若,则

A.

B.

C.

D.

2.(2016年全国III)若

,则

A.

B.

C.1

D.

3.(2016年全国II)若,则(

)

A.

B.

C.

D.

4.(2015新课标Ⅰ)

A.

B.

C.

D.

5.(2015重庆)若,则=

A.1

B.2

C.3

D.4

6.(2014新课标Ⅰ)若,则

A.

B.

C.

D.

7.(2014新课标Ⅰ)设,,且,则

A.

B.

C.

D.

8.(2014江西)在中,内角A,B,C所对应的边分别为,若,则

的值为(

)

A.

B.

C.

D.

9.(2013新课标Ⅱ)已知,则(

)

A.

B.

C.

D.

10.(2013浙江)已知,则

A.

B.

C.

D.

11.(2012山东)若,,则

A.

B.

C.

D.

12.(2012江西)若,则tan2α=

A.−

B.

C.−

D.

13.(2011新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=

A.

B.

C.

D.

14.(2011浙江)若,,,,则

A.

B.

C.

D.

15.(2010新课标)若,是第三象限的角,则

A.

B.

C.2

D.-2

二､填空题

16.(2018全国卷Ⅰ)已知函数,则的最小值是_____.

17.(2018全国卷Ⅱ)已知,,则___.

18.(2017新课标Ⅱ)函数的最大值是

.

19.(2017北京)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=___________.

20.(2017江苏)若,则=

.

21.(2015四川)

.

22.(2015江苏)已知,,则的值为_______.

23.(2014新课标Ⅱ)函数的最大值为____.

24.(2013新课标Ⅱ)设为第二象限角,若,则=___.

25.(2013四川)设,,则的值是_____.

26.(2012江苏)设为锐角,若,则的值为

.

三､解答题

27.(2018江苏)已知为锐角,,.

(1)求的值;

(2)求的值.

28.(2018浙江)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.

(1)求的值;

(2)若角满足,求的值.

29.(2017浙江)已知函数.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.

30.(2014江苏)已知,.

(1)求的值;

(2)求的值.

31.(2014江西)已知函数为奇函数,且,其中.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

32.(2013广东)已知函数.

(1)

求的值;

(2)

若,求.

33.(2013北京)已知函数

(1)求的最小正周期及最大值;

(2)若,且,求的值.

34.(2012广东)已知函数,(其中,)的最小正周期为10.

(1)求的值;

(2)设,,,求的值.

专题四

三角函数与解三角形

第九讲

三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换

答案部分

2019年

1.解析:因为,

所以的最小正周期.

2.解析

当时,,

因为在有且仅有5个零点,所以,

所以,故④正确,

因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,

下面判断③是否正确,

当时,,

若在单调递增,

则,即,因为,故③正确.

故选D.

3.解析

因为是奇函数,所以,.

将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为,即,

因为的最小正周期为,所以,得,

所以,.

若,即,即,

所以,.

故选C.

4.解析:由,得.

因为,所以.

由,得.故选B.

5.解析

由,得,

所以,解得或.

当时,,,

.

当时,,,

所以.

综上,的值是.

6.解析(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有,

即,

故,

所以.

又,因此或.

(2)

.

因此,函数的值域是.

2010-2018年

1.B【解析】.故选B.

2.A【解析】由,,得,或

,,所以,

则,故选A.

3.D【解析】因为,所以,

所以,所以,故选D.

4.D【解析】原式=.

5.C

【解析】

=,选C.

6.C【解析】

知的终边在第一象限或第三象限,此时与同号,

故,选C.

7.B【解析】由条件得,即,

得,又因为,,

所以,所以.

8.D【解析】=,,上式=.

9.A【解析】因为,

所以,选A.

10.C【解析】由可得,进一步整理可得,解得或,

于是.

11.D【解析】由可得,,

,答案应选D.

另解:由及,可得

,而当时

,结合选项即可得.

12.B【解析】分子分母同除得:,

13.B【解析】由角的终边在直线上可得,,

.

14.C【解析】

,而,,

因此,,

则.

15.A【解析】

,且是第三象限,,

.

16.【解析】解法一

因为,

所以,

由得,即,,

由得,即

或,,

所以当()时,取得最小值,

且.

解法二

因为,

所以

,

当且仅当,即时取等号,

所以,

所以的最小值为.

17.【解析】,,

①,

②,

①②两式相加可得

,

.

18.1【解析】化简三角函数的解析式,则

,

由可得,当时,函数取得最大值1.

19.【解析】角与角的终边关于轴对称,所以,

所以,;

.

20.【解析】.

21.【解析】.

22.3【解析】.

23.1【解析】

.,所以的最大值为1.

24.【解析】,可得,,

=.

25.【解析】

,则,又,

则,.

26.【解析】

因为为锐角,cos(=,sin(=,

sin2(cos2(,

所以sin(.

27.【解析】(1)因为,,所以.

因为,所以,

因此,.

(2)因为为锐角,所以.

又因为,所以,

因此.

因为,所以,

因此,.

28.【解析】(1)由角的终边过点得,

所以.

(2)由角的终边过点得,

由得.

由得,

所以或.

29.【解析】(Ⅰ)由,,

得.

(Ⅱ)由与得

所以的最小正周期是

由正弦函数的性质得

,

解得,

所以的单调递增区间是().

30.【解析】(1),

;

(2)

.

31.【解析】(1)因为是奇函数,而为偶函数,所以为奇函数,又得.

所以=由,得,即

(2)由(1)得:因为,得

又,所以

因此

32.【解析】(1)

(2)

所以,

因此=

33.【解析】:(1)

所以,最小正周期

当(),即()时,.

(2)因为,所以,

因为,所以,

所以,即.

34.【解析】(1).

篇（9）

的《从感官到思维的体验》和2015年第1期课堂观察版刊登的《通过“实验型学习”建立数学概念》，都呈现了上海市金汇高级中学的蒋云鹏老师关于“实验型学习”的思考与探索。文章登出后受到很多读者的欢迎，很多读者觉得“实验型学习”这一提法内涵丰富、启发性强，不仅仅是简单的CAI。因此，从本期开始，我们会在“专题研究”栏目中陆续呈现一些这方面的研究成果，以蒋云鹏老师的典型案例研究为主

。当然，也希望广大读者踊跃来稿，积极参与研究、讨论。

蒋云鹏

（上海市金汇高级中学，201103）

一、函数教学中的主要困难及其成因

函数作为整个数学学科的核心内容，在教学设计和实施中，

主要存在以下几个

难以把握或解决的问题：第一，函数概念的建立和形成比较困难，学生所学习的函数知识往往比较肤浅、零散，没有达到和抓住本质；第二，

缺乏对函数各种表达方式的价值分析及优势比较，特别是忽视函数对应值列表的过程；第三，函数图像的产生过程缺失或冗长。

上述困难从表面上看，都是由于教学时间不够所导致的；

但实际上，

都是因为忽视了“实验型学习”的基本思路，或没掌握“实验型学习”的主要策略。

传统的函数教学，一般都是先给出某类

函数的

具体定义（解析式），再绘制其大致图像，然后根据图像说明其性质，

此后大部分时间则用于解题。在这样的教学中，可感实例的呈现多数比较匮乏，对应值列表常常作为绘制图像的一个步骤被一带而过，绘制图像的过程往往比较粗糙。

有些教师认为，这些内容并不重要，只要讲解一下，无需太多的体验与感悟，

也没有必要花时间理解与巩固；多数教师则是出于无奈，只能把函数的意义、列表、绘图这些核心内容

讲解得“半生不熟”。

“实验型学习”的突出特点是：呈现大量的事实材料和现象，使学习主体

通过视觉感受对应数值的计算、变化、联系以及数值转化成点的动态变化，体会那些解释不清或难以言表的“演绎”，从而经历学习的全部过程，并产生真实的深度体验；

同时，将大量的精确计算、描点这类没有思维含量的操作交由计算机在几秒钟内完成，从而留出时间用于对大量现象进行观察、思考和分析。

因而“实验型学习”能有效地解决上述困难。

二、函数教学的典型案例

【案例1】函数概念起始课

课始，教师提问：“谁知道自己家汽车的耗油量？这个数量是怎样测试出来的？”学生议论并大致回答后，教师出示表1，并说明：“表中是某辆车在从上海驶往南京的过程中记录下来的数据，你能知道该车的用油量吗？你能填写表中的空格吗？”学生尝试填写后，教师写出关系式y=12/100x，并让学生写出汽车行驶120千米、270千米时的用油量。学生尝试计算后，教师总结道：“用油量y随着汽车行驶路程x的变化而变化，对于每一个x的值，都能找到一个确定的y的值与之对应，这种一个变量x的变化确定另一个变量y的变化的关系，

称为函数关系。”

接着，教师举例道：“再比如，一条线段的长度r的变化确定了以此线段为半径的圆的面积S的变化。”然后，教师打开几何画板，作出一个圆；随着教师拖动圆的半径，计算机自动呈现了不同的半径值，并计算出不同的半径值对应的圆的面积值，同时生成了对应值表（如图1）。由此，教师总结道：“同样，S与r的关系也称为函数关系，我们称r为自变量，S是r的函数。”

此后，教师又举例道：“再比如，某天某地的气温T随时间t的变化而变化，正方体的体积随棱长的变化而变化……”然后，教师再请学生举例说明自己所知道的函数关系……

【案例2】二次函数概念起始课

……在介绍了二次函数的定义后，教师提问：“如何画出函数y=x2的图像？”学生回答：“列表、描点、连线。”然后，教师要求学生在事先准备好的学习单（其中列有表2）上进行填表、描点、连线。

填表、描点都进行得很顺利，但是，在连线时部分学生将所描的点按顺序用直尺连成了折线。教师看到后纠正说：“我们在学习反比例函数时曾强调过，要用光滑的曲线连线，画成几条线段的都是错误的，请同学们更正并牢记。”接着，教师打开几何画板，利用“绘制新函数”功能，直接绘制出y=x2的图像，让学生对照。

三、解决函数教学中主要困难的思路和策略

（一）通过大量的实验渐进地建构函数的意义

函数概念形成的关键是将研究的对象由静止、不变的现象转移到运动、变化的现象上，将注意力由单个常量的大小转移到两个变量的关系上。由于学生在之前的学习中长期面对的是独立不变的量（常数），缺乏观察变化情况、思考联系情况的经历和体验，因此，要实现这种转变是比较困难的。

案例1的设计者正是基于这种考虑，在引入函数概念时，运用了“实验型学习”的基本思路和策略：不急于下准确定义，而是通过学生已熟知的、经历过的（耗油量）问题，或当场看得到的、能经历的（圆的半径与面积）现象，让学生通过想象或感官去体验两个变量的关系；而且不惜举出大量的例子（包括学生自己举例）来说明这种关系，目的就是让学生增加一些经历，加深一些体验，产生“变量成对”的印象，为概念的形成奠定基础。

此外，案例1的设计者在这节函数概念起始课中，自始至终都没有给函数下精确的定义，而力求使学生在经过对大量的实例的观察、思考后，在所归纳出的“描述性定义”的辅助下，大致形成对函数意义的初步认识，即意识到：（1）两个变量之间会有确定的关系，一个变量会随另一个变量的变化而变化；（2）由于变量表示的事物有特定的意义，所以变量有一定的限制范围；(3)两个变量的对应值可以利用表格列出；(4)其中的规律可以利用代数式表达，从而简化和精准。

这种通过大量的实验（丰富直接的感官体验引发的思维活动）渐进地构建新概念的意义的做法，因符合学生本身的经验基础和认知习惯而显得自然，因在大量的可感事实的基础上获得认识而显得合理，是解决函数概念教学困难的有效思路和策略。

（二）突出对应值列表的过程，认清各种表示方式的价值和优势

对应情况（值）列表是一般人实际生活、工作和研究中最常用、最习惯的方法，也是最直接、最容易理解的函数表达形式。学生在学习函数时出现的概念模糊、思路狭隘、方法呆板等问题，往往都与忽视对应值列表的过程有关。很多学生在学习函数很长时间后，

仍然不知道各种函数的图像从何而来，而仅仅记住了它们的样子，导致了因果关系混乱。而且，很多学生在后面学习数列时，也不会列出项数与其对应值的表格以从中找到规律，甚至连“数列也是函数”“用函数方法研究数列问题”都需要专门花时间来教学。这些显然都是忽视函数对应值列表的过程而造成的恶果。

案例1的设计者正是基于这种考虑，每举一个例子后，都进行了对应值列表（实验）——其中有些数据是间接知道的，有些数据是借助计算机直接测量、计算出来的。这给学生的感觉是，他们看到的都是事实，没有强加的成分。最关键的是，对应值列表清晰地反映出变量变化的规律——如增还是减（单调性）、有无对称特点（奇偶性）、有无重复特点（周期性）等，都一目了然。对列表中数据的观察、分析充分了，图像的轮廓也就自然地在头脑中形成了；而经过分析、归纳发现的图像，无须强记，就会牢牢地固着在记忆中。这种主动的发现，比记住图像后反过来“利用图像说明性质”，学习效果要好得多。同时，

从思想方法的角度看，各种函数的部分特殊（自变量取正整数）对应值列表过程，实际上就是各种数列的研究过程。此过程处理得好，数列的学习就会容易得多，方法就会通透得多。

实际上，“实验型学习”能使函数对应值列表自然、高效地实现，并让学生自主地进行观察、分析，因而，特别有利于学生认清函数各种表达方式（列表、图像、解析式）之间的关系，并感受到对应值列表在实际研究中的必要性和优势。

（三）优化绘制图像的过程

如何描绘图像，一组对应变量由数转化为点体现了什么思想，图像为什么是“光滑的曲线”而非折线等，都是函数教学中极为重要的问题，事关整个函数思想和方法的形成。而这些问题在二次函数的教学中尤为突出，因为二次函数是初等数学的基础与核心内容，也是初中生第一次比较系统地借助函数图像研究函数性质的内容。

案例2的设计者似乎也注意到了这些问题，但其具体的做法有以下几点不妥：（1）在绘制图像前，没有让学生明白图像的意义，把握操作的过程。事先列表并规定了5个特殊的自变量值，忽视了学生的思考动因，限制了学生的思考空间。如果让学生自己取值，他们未必会只取这5个值，也未必会取得这么均匀、对称；而只有出现多种取值情况，才能比较、反衬出以上取值方法的合理性。（2）纠正学生错误的方法不妥，问题

的关键出在讲解反比例函数时，只“强调”了要用光滑的曲线连线，而没有解释为什么。“讲了多次，仍记不住”是许多教师共同的烦恼；而学生之所以总是记不住，就是因为他们总是不知道“为什么”，却要勉强地“记住”。（3）利用几何画板直接绘制出y=x2的图像，与在黑板上手绘图像、利用挂图或PPT等展示图像都一样，没有呈现实验的过程，只是告知预设的结果，使学生没有思考的机会，更没有质疑的余地，被动接受，当然难学难记。

结合上述分析，可以对案例2作如下改进和优化：首先，利用几何画板设置自变量x，计算出y=x2，然后，顺次选取

x、x2，列出动态表格。这里，教师可以通过键盘任意输入不同的x的值，x2的对应值将自动生成在动态表格中（如果硬件条件许可，学生可以在自己的移动终端上进行这些及以下操作）。当感觉表格中的数据够了时，就可以利用“绘制表格数据”功能将表格中的所有点（x，x2）绘制在坐标系中。此时可让学生观察点的分布情况，并尝试说出（或画出）函数的图像。如果出现折线图，教师则只需让

篇（10）

授课教师可根据教材知识的内容，将知识在教案中转化成其他问题的形式，让学生融入一种与知识相关问题的情景中，让学生通过对问题的观察思考，试着寻找适合的不同方法，从而积累所学知识点，丰富感性认识，在问题情境中逐步提高解决问题的能力。教学中提出与所学知识点相关的问题，突出重点，启发思考。在高中数学课堂教学中引导教学法的运用，不仅可以增强学生的求知欲，而且可以促进课堂的有序进行，提高课堂教学效率。

例如，在讲“函数模型及其应用”一课时，教师提供函数和方程的相关公式及相应的图像等，通过类比，讨论提出大胆猜想。通过相应的例题使学生感受建立函数的方法，首先就是结合图形，通过数形达到解决函数问题的目的，同时解决了函数和方程的区别问题。

二、学生为主导，引入数形结合教学思想

教材的研读需要达到把握课本基础知识，教师培养学生研读的基本技能，就需要重视数学思想方法的应用，更应注重对学生进行数学思想方法的培养，将这些思想引入课堂，学生把握了这些思想对今后的数学学习和数学知识的应用将产生深刻的影响。对于高中生不应该只是对当前知识的学习，更应该将解决问题的思想拓展到其他问题，从高中阶段就重视引入数学思想的教学方法，将为学生后续学习打下坚实的解题的思想基础。

例如，在讲“函数与方程”的时候，从问题的数量关系入手，根据学生的预习情况，将问题转化为不同的设问，可将未知数与图形结合起来，适当设定未知数，结合定义和已知条件、隐含条件，建立已知量和未知量之间的数量关系，以方程式或方程组的形式表达出来，从而使问题得到解决的思想方法，因此数形结合思想对解决与等量有关的数学问题十分有效。

三、增加教学的多样性，提高学习效率

数形结合的形式可以是静态的图像等，也可以是动态的媒体文件等。将教材中的难以理解的数学思维转化为可以接受的形象化的数形，将函数的几何特征与数形紧密结合在一起，对于教师来说，可以不用针对教学内容制作枯燥乏味的教案，再进行按部就班的讲解；对于学生来说，将这种方法引入教学不仅可以对知识进行形象化处理，还能接受到动态的数形结合，在愉悦身心的同时学到了知识，提高了学习效率。

例如，在上《指数函数》时，我可以利用课件的优势，将单纯的作图方式转化为动态的作图方式，通过转化使学生理解指数函数的增长速率与指数函数的特征，当中省了许多列表描点的时间，同时利用此课件除了可弥补教学教具的不足外，还可以让学生在多元化的教学氛围中，提高对指数函数特性的理解，加深印象，从而提高课堂学习效率。

四、注意学生的接受能力，把握引导作用

数形结合教学也有一定的不足之处，如果教师只是一味按照自己的教学思路授课，完全不顾学生的感受或者是学生的接受能力，则效果肯定不佳。因此，教师在课堂教学中，应适当走动，尽量用身体语言提示、交流教学信息，加上适当的形象化语言教学，调节课堂气氛，也调动学生积极参与教学，加强对学生心理产生的正面效应，发挥数形结合教学和教师引导的双重作用，提高课堂教学效率。

例如，在讲《幂函数》一节时，学生对定义的理解，主要在于书上的介绍，很少学生能自己感悟出幂函数定义。于是教师制作了一个实践性的教案，为学生提供教学用具，教师提供y=x，y=x ，y=x ，y=x ，y=x 等典型的幂函数的图像，让学生看得真切，清晰，充分鼓励学生进行猜想和假设，更有利于学生接受，从而有助于培养学生的观察、归纳、发现能力及创新意识。

五、以学生为中心，掌握数形结合的应用