一元一次方程教案汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇一元一次方程教案范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

1、进一步经历运用方程解决实际问题的过程。

2、提高学生找等量关系列方程的能力。

3、培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力。

4、学会用数学的眼光去看待、分析现实生活中的情景。

重点：

1.如何从实际问题中寻找等量关系建立方程，解决问题后如何验证它的合理性.

2.解决打折销售中的有关利润、成本价、卖价之间的相关的现实问题。

难点：

如何从实际问题中寻找等量关系建立方程.

学习指导：

一、知识准备

1.通过社会调查，亲历打折销售这一现实情境，了解打折销售中的成本价、卖价和利润之间的关系。进而能根据现实情境提出数学问题。

2.谈一谈：

请举例说明打折、利润、利润率、提价及削价的含义分别是什么？

3.算一算：

（1）原价100元的商品，打8折后价格为元；

（2）原价100元的商品，提价40%后的价格为元；

（3）进价100元的商品，以150元卖出，利润是元。

二、学习新课

一、思考：

1、把下面的“折扣”数改写成百分数。九折八八折七五折

2、你是怎样理解某种商品打“八折”出售的？

二、问题：1、说说“打折销售”中自己有过的亲身经历。

2、假设你是一个商店老板，你的追求是什么？

3、你是怎样理解商品的利润？

三、新知探讨

1、你认为商品的标价、折数与商品的卖价之间有怎样的关系？

2、结合实际，说说你从打折销售中可以获得哪些数学问题？

（1）某商店出售一种录音机，原价430元，现在打九折出售，比原价便宜多少钱？

（2）一种画册原价每本16元，现在按每本11.2元出售。这种画册按原价打了几折？

（3）、为庆祝“六一儿童节”，某书店所有儿童读物一律八折优惠，小明花了24元买了一套读物，请问这套读物原价是多少？

（4）一家商店将某种服装按成本价提高40%后卖出，已知每件服装的成本价是125元，每件服装获利多少？

2、例题：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？

如果设每件服装的成本价为x元，根据题意，

（1）每件服装的标价为：（）

（2）每件服装的实际售价为：（）

（3）每件服装的利润为：（）

篇（2）

教学分析

重点：含字母系数的一元一次方程的解法。

难点：含字母系数的一元一次方程的解法。

教学过程

一、复习

1．什么叫方程？什么叫方程的解？什么叫解方程？

2．试述一元一次方程的意义及解一元一次方程的步骤。

3．什么叫分式？分式有意义的条件是什么？

二、新授

1．含有字母系数的一元一次方程

引例：一数的a倍（a≠0）等于b，求这个数。

用x表示这个数，根据题意，可得方程

ax=b（a≠0）

在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。

含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零。

例如：解方程5x+6=3x+10与解方程ax+b=cx+d。

解：移项，5x-3x=10-6，ax-cx=d-b，

合并同类项，2x=4，（a-c）x=d-b，

x=2。当a-c≠0时，

x=.

可以看出，上述两个方程的解法及其步骤基本相同。只是最后一步，从2x=4与（a-c）x=d-b中求出x不同，其中2≠0是很明显的，所以得x=2。而a-c必须指明a-c≠0时x=.

例1解方程ax+b2=bx+a2（a≠0）.

解：移项，得ax-bx=a2-b2，

合并同类项，得（a-b）x=a2-b2。

因为a≠b，所以a-b≠0，方程两边同除以a-b，得

x=，x=a+b.

注意：方程的解是分式时，一般要化成最简分式或整式。

例2解方程。

解：去分母，得b（x-b）=2ab-a（x-a），

去括号，得bx-b2=2ab-ax+a2，

移项，得ax+bx=a2+2ab+b2，

分解因式，得（a+b）x=（a+b）2。

a+b≠0，x=a+b。

三、练习

练习：P90中练习1，2，3，4。

四、小结

本课内容：含有字母系数的一元一次方程的解法。

五、作业

作业：P93中习题9.5A组7，8，9。

篇（3）

（一）知识教学点：1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．

（二）能力训练点：通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神．

（三）德育渗透点：通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：用因式分解法解一元二次方程．

式）

3．教学疑点：理解“充要条件”、“或”、“且”的含义．

三、教学步骤

（一）明确目标

学习了公式法，便可以解所有的一元二次方程．对于有些一元二次方程，例如（x－2）（x＋3）＝0，如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x－2＝0或x＋3＝0，解起来就变得简单多了．即可得x1＝2，x2＝-3．这种解一元二次方程的方法就是本节课要研究的一元二次方程的方法——因式分解法．

（二）整体感知

所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x2＋5x＋6＝0，因式分解后（x＋2）（x＋3）＝0，得x＋2＝0或x＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解．可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的关键．“如果两个因式的积等于零，那么两个因式至少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依据．方程的左边易于分解，而方程的右边等于零是因式分解法解方程的条件．满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单．

（三）重点、难点的学习与目标完成过程

1．复习提问

零，那么这两个因式至少有一个等于零．反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零．

“或”有下列三层含义

①A＝0且B≠0②A≠0且B＝0③A＝0且B＝0

2．例1解方程x2＋2x＝0．

解：原方程可变形x（x＋2）＝0……第一步

x＝0或x＋2＝0……第二步

x1=0，x2=-2．

教师提问、板书，学生回答．

分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．

例2用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．

解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．

得，x＋5＝0或x-3＝0．

x1＝-5，x2＝3．

教师板演，学生回答，总结因式分解的步骤：（一）方程化为一般形式；（二）方程左边因式分解；（三）至少一个一次因式等于零得到两个一元一次方程；（四）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

练习：P．22中1、2．

第一题学生口答，第二题学生笔答，板演．

体会步骤及每一步的依据．

例3解方程3（x-2）-x（x-2）＝0．

解：原方程可变形为（x-2）（3-x）＝0．

x-2＝0或3-x＝0．

x1＝2，x2＝3．

教师板演，学生回答．

此方程不需去括号将方程变成一般形式．对于总结的步骤要具体情况具体分析．

练习P．22中3．

（2）（3x＋2）2=4（x-3）2.

解：原式可变形为（3x＋2）2-4（x-3）2＝0．

[（3x＋2）＋2（x-3）][（3x＋2）-2（x-3）]＝0

即：（5x-4）（x＋8）=0．

5x-4＝0或x＋8＝0．

学生练习、板演、评价．教师引导，强化．

练习：解下列关于x的方程

6．（4x＋2）2＝x（2x＋1）．

学生练习、板演．教师强化，引导，训练其运算的速度．

练习P．22中4．

（四）总结、扩展

1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”

四、布置作业

教材P．21中A1、2．

教材P．23中B1、2（学有余力的学生做）．

2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：

（1）化方程为一般形式；

（2）将方程左边因式分解；

（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；

（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．

但要具体情况具体分析．

3．因式分解的方法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程．

五、板书设计

12．2用因式分解法解一元二次方程（一）

例1．……例2……

二、因式分解法的步骤

（1）……练习：……

（2）…………

（3）……

（4）……

但要具体情况具体分析

六、作业参考答案

教材P．21中A1

（1）x1=-6，x2=-1

（2）x1=6，x2=-1

（3）y1=15，y2=2

（4）y1=12，y2=-5

（5）x1=1，x2=-11，

（6）x1=-2，x2=14

教材P．21中A2略

（1）解：原式可变为：（5mx-7）（mx-2）＝0

5mx-7=0或mx-b＝0

又m≠0

（2）解：原式可变形为

（2ax＋3b）（5ax-b）＝0

2ax＋3b＝0

或5ax-b＝0

a≠0

教材P．23中B

1．解：（1）由y的值等于0

得x2-2x-3=0

变形为（x-3）（x＋1）＝0

x-3＝0或x+1=0

x1＝3，x2=-1

（2）由y的值等于-4

得x2-2x-3=-4

方程变形为x2-2x＋1=0

（x-1）2=0

解得x1=x2=1

当x=3或x＝-1时，y的值为0

当x=1时，y的值等于-4

教材P．23中B2

证明：x2-7xy＋12y2＝0

篇（4）

（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．

（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．

二、教学重点、难点

1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．

2．教学难点：（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．

三、教学步骤

（一）明确目标

在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．

（二）整体感知

通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？

（2）平方根的概念及开平方运算？

2．引例：解方程x2-4=0．

解：移项，得x2＝4．

两边开平方，得x＝±2．

x1＝2，x2＝-2．

分析x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．

练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．

3．例1解方程9x2-16＝0．

解：移项，得：9x2=16，

此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题

负根．

练习：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．

例2解方程（x＋3）2＝2．

分析：把x＋3看成一个整体y．

例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，

两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．

练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解．

例3解方程（2-x）2-81＝0．

解法（一）

移项，得：（2-x）2＝81．

两边开平方，得：2-x=±9

2-x＝9或2-x＝-9．

x1=-7，x2＝11．

解法（二）

（2-x）2＝（x-2）2，

原方程可变形，得（x-2）2=81．

两边开平方，得x-2＝±9．

x-2＝9或x-2＝-9．

x1＝11，x2＝-7．

比较两种方法，方法（二）较简单，不易出错．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．

练习：解下列方程：

（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；

在实数范围内解一元二次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学生注意不要丢掉负根，例x2＋36＝0，由于适合这个方程的实数x不存在，因为负数没有平方根，所以原方程无实数根．-x2＝0，适合这个方程的根有两个，都是零．由此渗透方程根的存在情况．以上在教师恰当语言的引导下，由学生得出结论，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．

那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？启发引导学生，抽象概括出方程的结构：（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数．

（四）总结、扩展

引导学生进行本节课的小节．

1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．

2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．

3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．

四、布置作业

1．教材P．15中A1、2、

2、P10练习1、2；

P．16中B1、（学有余力的学生做）．

五、板书设计

12．1用公式解一元二次方程（二）

引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0

解：…………

……例2解方程（x＋3）2＝2

此种解一元二次方程的方法称为直接开平方法

形如（ax＋b）2＝c（a，b，

c为常数，a≠0，c≥0）可用直接开平方法

六、部分习题参考答案

教材P．15A1

篇（5）

（一）知识教学点：

1．熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．

2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．

（二）能力训练点：

1．培养学生思维的严密性，逻辑性和灵活性．

2．培养学生的推理论证能力．

（三）德育渗透点：通过例题教学，渗透分类的思想．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．

2．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当＞0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．

三、教学步骤

（一）明确目标

上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当＞0时，有两个不相等的实数根；当=0时，有两个相等的实数根；当＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．

（二）整体感知

本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．

（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？

2．将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则＞0；如果方程有两个相等的实数根，则=0；如果方程没有实数根，则＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定值的符号，‘’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：

例1已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（1）方程无实数根．

解：a＝2，b＝-4k-1，c＝2k2-1，

b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）

＝8k+9．

方程有两个不相等的实数根．

方程有两个相等的实数根．

方程无实数根．

本题应先算出“”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．

练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．

t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？

学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．

教师评价，纠正不精练的步骤．

假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？

练习2．已知：关于x的一元二次方程：

kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．

和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到≥0．由k≠0且≥0确定k的取值范围．

解：＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．

原方程有两个实数根．

学生板书、笔答，教师点拨、评价．

例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．

分析：将算出，论证＜0即可得证．

证明：＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）

＝4m2-4m4-20m2-16

＝-4（m4＋4m2＋4）

＝-4（m2＋2）2．

不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．

-4（m2＋2）2＜0，即＜0．

（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．

本题结论论证的依据是“当＜0，方程无实数根”，在论证＜0时，先将恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．

本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．

此种题型的步骤可归纳如下：

（1）计算；（2）用配方法将恒等变形；

（3）判断的符号；（4）结论．

练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．

提示：将括号打开，整理成一般形式．

学生板书、笔答、评价、教师点拨．

（四）总结、扩展

1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：

（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．

（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知＞0，还是要证明＞0．

（3）要证明≥0或＜0，需将恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．

2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．

四、布置作业

1．教材P．29中B1，2，3．

2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．

（2、3学有余力的学生做．）

五、板书设计

12．3一元二次方程根的判别式（二）

一、判别式的意义：……三、例1……四、例2……

=b2-4ac…………

二、方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

（1）当＞0，……练习1……练习2……

（2）当＝0，……

（3）当＜0，……

反之也成立．

六、作业参考答案

方程没有实数根．

B3．证明：＝（2k＋1）2－4（k－1）＝4k2＋5

当k无论取何实数，4k2≥0，则4k2＋5＞0

＞0

方程x2+（2k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．

2．解：方程有实根，

＝[2（a＋1）]-4（a2＋4a-5）≥0

即：a≤3，a的正整数解为1，2，3

当a＝1，2，3时，方程x2＋2（a＋1）x＋a2＋4a-5＝0有实根．

3．分析：“方程”是一元一次方程，还是一元二次方程，需分情况讨论：

篇（6）

【教学目标】

【知识目标】了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。

【能力目标】通过讨论和练习，进一步培养学生的观察、比较、分析的能力。

【情感目标】通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。

【重点】二元一次方程组的含义

【难点】判断一组数是不是某个二元一次方程组的解，培养学生良好的数学应用意识。

【教学过程】

一、引入、实物投影

1、师：在一望无际呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？

2、请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）

这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：x+1=2(y-1)

师：同学们能用方程的方法来发现、解决问题这很好，上面所列方程有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？（含有两个未知数，并且所含未知数项的次数是1）

师：含有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1的方程叫做二元一次方程

注意：这个定义有两个地方要注意①、含有两个未知数，②、含未知数的次数是一次

练习：（投影）

下列方程有哪些是二元一次方程

+2y=1xy+x=13x-=5x2-2=3x

xy=12x(y+1)=c2x-y=1x+y=0

二、议一议、

师：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1)的x含义相同吗？y呢？

师：由于x、y的含义分别相同，因而必同时满足x-y=2和x+1=2(y-1)，我们把这两个方程用大括号联立起来，写成

x-y=2

x+1=2(y-1)

像这样含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

如：2x+3y=35x+3y=8

x-3y=0x+y=8

三、做一做、

1、x=6,y=2适合方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找到其他x,y值适合x+y=8方程吗？

2、X=5,y=3适合方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？

你能找到一组值x,y同时适合方程x+y=8和5x+3y=34吗？

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解

x=6,y=2是方程x+y=8的一个解，记作x=6同样，x=5

y=2y=3

也是方程x+y=8的一个解，同时x=5又是方程5x+3y=34的一个解，

y=3

二元一次方程各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

四、随堂练习、（P103）

五、小结：

1、含有两未知数，并且含有未知数的项的次数是一次的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解。

篇（7）

教学目标：

1.通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性。

2.掌握移项的方法，学会解ax+b=cx+d类型的一元一次方程，体会等式变形中蕴含的化归思想。

教学重点：

确定实际问题中的相等关系，建立形如ax+b=cx+d的方程，利用移项与合并同类项解一元一次方程。

教学难点：

确定相等关系并列出一元一次方程，正确地进行移项并解方程。

教学过程设计：

1.创设情境，提出问题

问题1把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则缺25本，这个班有多少学生？

师生互动：学生审题之后，教师提出问题：

（1）题中含有怎样的相等关系？

（2）应怎样设未知数，这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作列方程的依据呢？

学生发表见解后，教师引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路，学生自主分析相等关系，师生共同确定用含x的代数式表示相等的数量。

本题中除班级人数x外，这批书的总数是一个定值，它可以有两种表示方法：

每人分3本，共分出3 x本，加上剩余的20本，这批书共有（3x+20）本；

每人分4本，共分出4x本，减去缺少的25本，这批书共有（4x-25）本。

这批书的总数是一个定值，表示的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程。3x+20=4x-25。

设计理念：以学生身边熟悉的实际问题展开讨论，营造一种轻松的学习氛围，激发学生继续学习的愿望。根据学生情况，逐步放手，培养学生独立解决问题的能力。

2.尝试合作，探究方法

问题2方程3x+20=4x-25与前面学过的一元一次方程在结构上有什么不同？

师生互动：教师展示问题，学生独立思考，小组讨论，代表回答：方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项（3x与4x）和不含字母的常数项（20与-25），而上一节课中的方程中含x的项在等号的一侧，常数项在等号的另一侧。

设计理念：调动学生进一步学习新知识的积极性，渗透化归的思想。

问题2怎样才能将它转化为x=a（常数）的形式呢？

师生互动：学生思考、探索解决问题的方法：为了使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x；为使左边没有常数项，等号两边同减去20，利用等式的性质1，得：

3x- 4x = -25-20

教师说明：上面方程的变形，相当于把原方程左边的20变为-20移到右边，把右边的4x变为-4x移到左边。这种变形相当于把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。

设计理念：通过学生的思考，观察和教师的讲解，认识“移项”变形，得出移项的方法，便于学生理解移项的原理。

师生互动：教师规范解这个方程的具体过程。

3x+20= 4x-25

解：移项，得

3x- 4x = -25-20

合关同类项，得

- x = - 45

系数化为1。

x = 45

设计理念：教师通过书写解方程的过程，可以提高学生解题的规范性。

问题4移项的依据是什么？

师生互动：学生思考后得出：移项的依据为等式的性质1。

设计理念：使学生进一步认识移项法则是由于解方程的需要而产生的，能在理解的基础上记忆法则。

问题5

以上方程中“移项”起了什么作用？

师生互动：学生思考回答，师生共同整理：通过移项，可以简化方程，使含未知数的项与常数项分别位于方程的左右两边，使方程更接近于x=a的形式。

设计理念：结合解方程的过程，让学生思考移项的作用，让学生体会化归的思想。

教师：解方程时经常要“合并同类项”和“移项”前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”，早在一千多年前，数学家阿尔一花拉子米就已经对“合并同类项”和“移项”非常重视了。

设计理念：回答教科书本节最初的问题，让学生重视移项的作用，同时感受数学知识悠久的历史。

3.例题示范：巩固新知

例3解方程：（1）3x+7=32-2x； （2）x-3= 3/2x+1

师生互动：学生口述解题，教师板书规范思路、格式。

设计理念：进一步巩固利用移项、合并同类项解方程的方法。

4.基础训练，巩固应用

练习解下列方程：

（1）6x-7=4x-5 ； （2）1/2x-6 = 3/4x

设计理念：通过练习，及时巩固新知识，加深对化归思想的理解。

5.小结

师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）本节课学习了哪些主要内容？

（2）移项的依据是什么？移项起到什么用用？移项时应该注意什么问题？

（3）解ax+b=cx+d型方程的步骤是什么？

（4）用方程来解决实际问题的关键是什么？

篇（8）

二、学情分析

学生在上节课已学习了用配方法解一元二次方程，通过观察、了解及测试发现学生已经具备了用配方法解一元二次方程的经验。在本节课中可以引导学生用配方法解一元二次方程的步骤自主探索一元二次方程的求根公式。通过例题的讲解，使学生会用公式法解一元二次方程。

三、教学策略选择与设计

1.设计理念 把课堂还给学生，让学生用自主、合作、探究、体验的方式去学习，使学生达到对知识的理解和掌握，形成自己的知识结构，使他们乐学、愿学、会学，以培养学生终身学习能力。

2.突破策略 复习用配方法解一元二次方程的一般步骤，根据配方法解一元二次方程的一般步骤来推导求根公式。

四、教学目标

1.理解求根公式的推导 加强推理技能的训练，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。

2.经历探索一元二次方程求根公式的过程 发展合情推理与演绎推理的能力。体会配方法的重要作用。体会公式法在解一元二次方程中的重要地位。

3.探索一元二次方程求根公式的过程 引导学生提出问题引发思考b2-4ac

4.培养学生学会用联系的观点 用旧知解新知的意识解决新的问题。提高学生学习数学的兴趣。敢于发表自己的想法、提出质疑，养成独立思考、合作交流等学习习惯。

五、教学重点及难点

重点：理解一元二次方程求根公式的推导过程及每一步的依据。用公式法熟练地解一元二次方程。

难点：经历一元二次方程求根公式的推导过程，解的过程中的有关根式的化简。

六、教学过程

1.温故知新 用配方法解方程2x2-5x-3=0（学生回顾用配方法求解一元二次方程的步骤与方法，独立解方程。一名同学板演。）

设计意图：通过此题让学生回忆配方法求解一元二次方程的步骤与方法。

2.自主探究

（1）你能用配方法解方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？请试一试。

（2）思考：b2-4ac的符号与方程的根有什么关系？

设计意图：通过此题引导学生用配方法自主探索一元二次方程的求根公式的推导过程。并弄清推导过程中每一步的依据。同时要求学生关注b2-4ac的符号与方程根的关系。旨在加强学生推理技能的训练，进一步发展学生的逻辑思维能力。

3.请你归纳 （通过方程式求根，得出公式法，培养学生的归纳总结能力。略）

4.实践应用 （解方程式巩固方法，略）

5.强化巩固 完成课本43页随堂练习

（学生自主完成，每小组出一人板演。组内自批自改。）

设计意图：在例题的基础上进一步强化和熟练根的判别式的应用意识，规范学生运用公式法求解一元二次方程的步骤，使学生能熟练地运用公式法正确地解简单数字系数的一元二次方程，并用之解决实际问题。

七、教学评价设计

按小组分展示得分和回答问题得分两项分别评价。

八、板书设计（略）

九、教学反思

本节课是在学生掌握了配方法的基础上，再讨论如何用配方法解一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程，从而得到一元二次方程的求根公式，于是有了直接利用公式求解一元二次方程的公式法，并引出用判别式确定一元二次方程的根的情况.总结出公式法解一元二次方程的一般步骤。

由于学生初次接触求根公式，且形式和计算繁杂，且本人过高估计学生的能力，结果出现了以下主要错误：

1.a，b，c的符号问题 当方程中某项系数为负时，学生总是丢掉前面的负号;

2.代入数值后计算出错较多 通过本节课的教学，总体感觉调动了学生的积极性，能够充分发挥学生的主体作用，激发了学生思维的火花，具体有以下几个特点：

（1）让学生由浅入深，由易到难，提高了学生解决问题的能力，这是这节课中的一大亮点，在讲完例题的基础上，将更多的时间留给学生，这样学生感觉到成功的机会增加，从而有一种积极的学习态度，同时学生在学习中相互合作交流，相互学习，共同提高。

（2）课堂上多给学生展示的机会，让学生走上讲台，向同学们展示自己的聪明才智。

篇（9）

（一）知识教学点：

1．了解根的判别式的概念．

2．能用判别式判别根的情况．

（二）能力训练点：

1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．

2．进一步考察学生思维的全面性．

（三）德育渗透点：

1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．

2．进一步渗透转化和分类的思想方法．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况．

2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”

3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．

三、教学步骤

（一）明确目标

在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．

（二）整体感知

在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．

在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：

①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．

2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将

（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：b2-4ac．

3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“”表示．

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当＞0时，有两个不相等的实数根；

当＝0时，有两个相等的实数根；

当＜0时，没有实数根．

反之亦然．

注意以下几个问题：

（1）a≠0，4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．

（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．

4．例1不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；

（3）5（x2＋1）-7x＝0．

解：

（1）＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，

原方程有两个不相等的实数根．

（2）原方程可变形为

16y2-24y＋9＝0．

＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，

原方程有两个相等的实数根．

（3）原方程可变形为

5x2-7x+5=0．

＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，

原方程没有实数根．

学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．

强调两点：（1）只要能判别值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．

练习．不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；

（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；

学生板演、笔答、评价．

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．

又不论k取何实数，≥0，

原方程有两个实数根．

教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．

练习：不解方程，判别下列方程根的情况．

（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；

（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．

学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．

（3）解：＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1

＝4m2-8m2-4

＝-4m2-4．

不论m取何值，-4m2-4＜0，即＜0．

方程无实数解．

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．

（四）总结、扩展

（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．

①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“”表示

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当＞0时，有两个不相等的实数根；

当＝0时，有两个相等的实数根；

当＜0时，没有实数根．反之亦然．

（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．

四、布置作业

教材P．27中A1、2

五、板书设计

12．3一元二次方程根的判别式（一）

一、定义：……三、例……

…………

二、一元二次方程的根的情况……练习：……

篇（10）

一、素质教育目标

（一）知识教学点

会列二元一次方程组解简单的应用题，并能检查结果是否正确、合理．

（二）能力训练点

培养学生分析问题、解决问题的能力．

（三）德育渗透点

1．体会代数方法的优越性．

2．向学生进一步渗透把未知转化为已知的思想．

3．向学生进行理论联系实际的教育．

（四）美育渗透点

学习列方程组解应用题时，若能在错综复杂的关系中抓住问题的关键，就能迅速通过相等求解，从而渗透解题的简捷性的数学美，以及解题的奇异美．

二、学法引导

1．教学方法：尝试指导法、观察法、讲练结合法．

2．学生学法：本节主要学习列二元一次方程组和三元一次方程组解应用题的方法，尤其重点要掌握列出二元一次方程组解应用题，其分析方法和解题步骤都与前面学过的列一元一次方程解应用题类似，可在学习中进行类比从而加强理解．

三、重点·难点·疑点及解决办法

（一）重点与难点

根据简单应用题的题意列出二元一次方程组．

（二）疑点

正确找出表示应用题全部含义的两个相等关系，并把它们表示成两个方程．

（三）解决办法

通过反复读题、审题，分析出题目中存在的两个相等关系是列方程组的关键．

四、课时安排

一课时．

五、教学具学具准备

投影仪、自制胶片．

六、师生互动活动设计

1．通过提问，复习列一元一次方程解应用题的步骤，尤其相等关系的寻找问题．

2．师生共同探索新知识—列二元一次方程组解应用题的一般步骤．

3．通过反馈练习，检查学生掌握知识的情况，以便有针对性地进行差漏补缺．

七、教学步骤

（一）明确目标

本节课主要学习列二元一次方程组解应用题．

（二）整体感知

列二元一次方程组解应用题的关键在于通过准确的审题迅速寻找出两个正确的相等关系来列二元一次方程组．

（三）教学过程

1．创设情境、导入新课

（1）根据下列条件设适当的未知数，列出二元一次方程．

①甲、乙两数的和是10．

②甲地的人数比乙地的人数的2倍还多70．

③买4支铅笔、3支圆珠笔共花了1.6元．

（2）甲、乙两工人师傅制作某种工件，每天共制作12件．已知甲每天比乙多制作2件，求甲、乙每人每天可制作几件？

①列出一元一次方程和二元一次方程组解题．

②比较一下，两种方法得到的结果是否相同？是列一元一次方程容易，还是列二元一次方程组容易？

学生活动：第（1）题口答，第（2）题在练习本上完成．

【教法说明】第（1）题为根据相等关系列二元一次方程打下了基础；第（2）题通过两种解法的比较，让学生体会列方程组的优越性，这样引入课题，可以引起学生学习新知识的兴趣．

2．探索新知，讲授新课

例1小华买了80分与2元的邮票共16枚，共花了18元8角，80分与2元的邮票各买了多少枚？

分析：（1）题中有几个未知数？分别是什么？

（2）题中有几个相等关系？分别是什么？

学生活动：观察、分析后回答．

未知数：80分邮票枚数与2元的邮票枚数．

相等关系（1）80分邮票枚数＋2元邮票枚数＝总枚数．

（2）80分邮票总价＋2元邮票总价＝全部邮票总价．

学生活动：设未知数、根据相等关系列方程．

解：设共买枚80分邮票，枚2元邮票，根据题意得

解这个方程组，得

答：80分邮票买了11枚，2元邮票买了5枚．

强调：（1）选定几个未知数，根据问题中的条件找几个相等关系，这几个相等关系正好表示了应用题的全部含义．

（2）列方程组解应用题时，解方程组过程在练习本上完成．

（3）得到结果后，要检验是不是原方程组的解，是不是符合应用题的实际意义，然后再写答句．

反馈练习：P351，2．（只列不解）

例2小兰在玩具工厂劳动，做4个小狗、7个小汽车用去3小时42分；做5个小狗、6个小汽车用去3小时37分．平均每1个小狗与1个汽车各用多少时间？

仿照刚才分析例1的方法，分析问题．

学生活动：拟题、自由提问，其他学生抢答．

教师根据学生的拟题板书．

两个未知数：平均做1个小狗的时间与1个小汽车的时间

（1）做4个小狗的时间＋做7个小汽车的时间＝3时42分

（2）做5个小狗的时间＋做6个小汽车的时间＝3时37分

解题过程由学生完成，一个学生板演．

解：设平均做1个小狗用分，做1个小汽车有分，根据题意，得

解这个方程组，得

答：平均做一个小狗用17分，做1个小汽车用22分．

【教法说明】例2用拟题训练的方法让学生自己去尝试分析问题，不但能活跃课堂气氛，而且能促进学生积极思维，培养学生分析问题、解决问题的能力．

反馈练习：P353，4．

学生活动：口答、设未知数、列方程组．

3．变式训练，培养能力

用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有150张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底，可以正好制成整套罐头盒？

分析：此题的相等关系不明显，应启发学生认真思考，找到第二个相等关系．

相等关系：（1）制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝150张．

（2）盒底总数＝2×盒身总数．

解：设用张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，可以制成整套缺头盒．根据题意，得

（四）总结、扩展

我们这节课学习了二元一次方程组的应用，你能简单归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤吗？

学生发言后，老师适当补充、纠正．

八、布置作业

（一）必做题：P391，2，3．

（二）选做题：P41B组2．

（三）补充题：给定两数5和3，编一道列出二元一次方程组求解的应用题，使得这个方程组的解就是给定的两数．

参考答案

（一）1．到甲地130人，到乙地70人．

2．有28个队参加篮球赛，20个队参加排球赛．

3．长38㎝，宽16㎝．

（二）解：设一辆大车、一辆小车一次分别可运货吨、吨，根据题意，得

解得

4×3＋2.5×5＝24.5（吨）

九、板书设计

投影幕