等腰三角形的性质汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇等腰三角形的性质范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

例1(2009年黄冈)在ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50，则∠B等于__________度.

解析:由于顶角可能是锐角,也可能是钝角,所以应分两种情况.如图(1),由于AB=AC,由等腰三角形的性质可知∠B=∠C,又因为DEAB,所以∠AED=90o,而∠1=50o,所以可求得∠A=40o.根据三角形的内角和定理,可得2∠B+40o=180o,于是可求得∠B=70o.如图(2),∠B=∠C,∠1=50o,又因为DEAB,所以∠DAB=40o,再根据三角形的外角定理即可求得∠B=20o.综合两种情况,可知∠B等于700

例2(2009年怀化)如图,在RtABC中,∠B=90o,ED是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E.已知∠BAE=10o,则∠C的度数为()

A.30oB.40oC.50oD.60o

解析:由于ED是AC的垂直平分线,所以EA=EC,所以∠1=∠C(等边对等角);由于∠B=90o ,∠BAE=10o,所以∠3=80o,再由三角形的外角定理可知∠C=∠1=0o=40o.故答案是B.

说明:(1)几何计算最关键的是找出量与量的关系,有时可用列方程(组)的办法来解决;(2)在等腰三角形中求角度的计算,应牢记“等边对等角”这一性质.

考点2 求线段的长

例3(2009年朝阳)如图,ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DEAB于点E,DFAC于点F.若BC=2,则DE+DF=________.

解析:要求的是DE+DF的长,应设法把两段转化成一段.过B点作AC的垂线,垂足设为G,过D点作BG的垂线,垂足设为H,则四边形DFGH为矩形.接下去可考虑证明BDE和DBH全等:∠BED=∠DHB=90o,∠BDH=∠C=∠DBE,BD=DB,所以BDE≌DBH;然后利用三角形全等的性质可得DE=BH,这样即可把DE+DF转化成线段BG的长.而BG是等边三角形的高,根据BC=2,以及“三线合一”的性质,利用勾股定理即可求出BG,BG==.故DE+DF=.

例4(2009年牡丹江)有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6m,8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.

解析:在RtABC中,∠ACB=90o,AC=8,BC=6;由勾股定理得:AB=10,扩充部分为RtACD.扩充成等腰ABD应分以下三种情况:

①如图1,当AB=AD=10时,可求得CD=CB=6;得ABD的周长为32m.

②如图2,当AB=BD=10时,可求得CD=4.

由勾股定理得:AD=4,得ABD的周长为(20+4)m.

③如图3,当AB为底时,设AD=BD=x,则CD=x-6,

由勾股定理得:x=,得ABD的周长为26m.

说明:(1)“等边对等角”适用的条件是在同一个三角形中,在不同三角形中不能用;(2)“三线合一”指的是底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合,对于腰上的高、腰上的中线,底角的平分线则不成立.

考点3 与等腰三角形有关的证明

例5(2009年衡阳)如图,ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线,BEAE.

(1)求证:DAAE;

(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论.

解析:(1)由于AD、AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线,∠BAC+∠BAF=180o,可推出∠BAD+∠BAE=(∠BAC+∠BAF)=80o=90o,即∠DAE=90o,于是可证得DAAE;(2)从观察分析来看,可猜想四边形AEBD是矩形,然后进行推理,证明这个结论,在此基础上即可得出AB=DE.

例6(2009年定西)如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90，D为AB边上一点,求证:

篇（2）

阅读与思考

等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全等三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟悉以下基本图形、基本结论．

⑴

图1中，，，．

⑵

图2中，只要下述四个条件：

①；②；③；④中任意两个成立，就可以推出其余两个成立．

B

C

A

D

图1

A

D

B

C

1

2

图2

例题与求解

【例1】如图，在ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，

则∠A=___________．

（五城市联赛试题）

解题思路：图中有很多相关的角，用∠A的代数式表示这些角，建立关于∠A的等式．

A

B

C

D

E

【例2】如图，在ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB=∠CDF．

（安徽省竞赛试题）

解题思路：∠ADB与∠CDF对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高(中线)是一条常用的辅助线．

A

B

C

D

E

F

【例3】如图，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

（北京市竞赛试题）

解题思路：∠ABC的角平分线与AE边上的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．

A

E

B

C

D

【例4】如图，在ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M为ABC内一点，使∠MCA=300，∠MAC=160，求∠BMC度数．

（北京市竞赛试题）

B

C

M

A

B

C

M

A

图3

N

解题思路：作等腰ABC的对称轴(如图1)，通过计算，证明全等三角形，又440+160=600；可以AB为一边，向点C所在的一侧作等边ABN，连结CN，MN(如图2)；或以AC为一边，向点B所在的一侧作等边ACN，连结BN(如图3)．

B

C

M

A

图1

D

O

B

C

M

A

图2

N

【例5】如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角∠BDC=1200的等腰三角形，以D为顶点作一个600角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形．求证：AMN的周长等于2．

（天津市竞赛试题）

解题思路：欲证AMN的周长等于2，只需证明MN=BM+CN，考虑用补短法证明．

B

A

C

D

N

M

【例6】如图，ABC中，∠ABC=460，D是BC边上一点，DC=AB，∠DAB=210，试确定∠CAD的度数．

（北京市竞赛试题）

解题思路：解本题的关键是利用DC=AB这一条件．

B

D

C

A

能力训练

A级

1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夹角为450，那么这个等腰三角形的底角为_____________．

2．如图，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，则∠FEM=_____________．

3．如图，在等边ABC的AC，BC边上各取一点P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于点O，则

∠BOQ=____________.

4．如图，在ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延长线取点D，使AD=AB，则D，B两点之间的距离是____________．

(第2题)

B

A

C

D

E

F

M

N

A

B

C

Q

P

O

(第3题)

A

B

C

D

(第4题)

5．如图，在ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（

）

A．900-∠A

B．900-∠A

C．1800-∠A

D．450-∠A

6．如图，在ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（

）

A．600

B．450

C．300

D．不确定

（安徽省竞赛试题）

A

C

B

E

F

第5题图

第6题图

7．ABC的一个内角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（

）

A．1400

B．800或1000

C．1000或1400

D．800或1400

(“希望杯”邀请赛试题)

8．三角形三边长，，满足，则三角形一定是（

）

A．等边三角形

B．以为底边的等腰三角形

C．以为底边的等腰三角形

D．等腰三角形

（北京市竞赛试题）

9．如图，在ABC中，AB=AC，D，E分别是腰AB，AC延长线上的点，且BD=CE，连结DE交BC于G，求证：DG=EG．

（湖北省竞赛试题）

A

B

C

D

G

E

10．如图，在ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CEBE，求证：CE=BD．

（江苏省竞赛试题）

A

B

C

D

E

11．已知RtABC中，AC=BC，∠C=900，D为AB边中点，∠EDF=900，将∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC，BC(或它们的延长线)于E、F，当∠EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图1)，易证：SDEF+SCEF=SABC，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

（牡丹江市中考试题）

A

B

C

A

B

C

A

B

C

E

D

F

E

D

F

D

F

图1

图2

图3

12．如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O为ABC内一点，且∠OBC=100，∠OCA=200，求∠BAO的度数．

（天津市竞赛试题）

B级

1．如图，在ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，则∠MNP=_________．

A

B

C

N

M

P

(第1题)

A

B

C

P

E

F

(第2题)

A

B

C

N

M

(第3题)

2．如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下4个结论：①AE=CF；②EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=SABC；④EF=AP．当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)．上述结论正确的是____________．

（苏州市中考试题）

3．如图，在ABC中，AB=BC，M，N为BC边上两点，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，则∠MAC的度数是____________．

4．如图，在ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB的大小是（

）

A．800

B．500

C．400

D．200

A

(第4题)

B

C

D

(第5题)

A

B

C

D

A

B

D

E

C

M

(第6题)

5．如图，在ABC中，∠BAC=1200，ADBC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（

）

A．200

B．250

C．300

D．450

6．如图，在ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC交AC的延长线于M，连CD，下列四个结论：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB-BC=2MC．其中正确结论的个数为（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

7．如图，已知ABC为等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，并且使AE=BD，连结CE、DE，求证：CE=DE．

A

B

C

D

E

8．如图，ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又ABC′、A′BC、AB′C都是ABC外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC．

⑴

证明：C′BD≌B′DC；

⑵

证明：AC′D≌DB′A；

⑶

对ABC、ABC′、A′BC、AB′C，从面积大小关系上，你能得出什么结论？

（江苏省竞赛试题）

A

B

C

D

A′

B′

C′

9．在ABC中，已知AB=AC，且过ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，试求ABC各内角的度数．

（江苏省扬州中学测试题）

10．如图，在ABC中，∠C=900，∠CAD=300，AC=BC=AD，求证：CD=BD．

A

B

C

篇（3）

1、等腰直角三角形的性质：

等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。

当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理等。等腰直角三角形三边比例为

2、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。

（来源：文章屋网 ）

篇（4）

师：这是一个什么三角形？为什么？

生：这是等腰三角形，因为AB=AC.

师：你怎么知道AB和AC的长度相等呢？

生1：因为ABD≌ACD，AB与AC是对应边，所以AB=AC.

生2：因为AB与AC重合，所以它们的长度相等。

师：很好，请你们观察图形，折痕左右两边重合吗？等腰三角形是轴对称图形吗？

生：折痕左右两边重合，等腰三角形是轴对称图形。

师：你认识等腰三角形的腰、底边、顶角、底角吗？（展示教具，学生回答）虽然前面我们学习了等腰三角形的知识，但是有关它的性质、判定都没有涉及，这节课我们进一步学习等腰三角形。（板书：等腰三角形）

【评析】教学伊始，执教老师就创设情境，让学生观察老师的操作过程，得到研究对象――等腰三角形后，再请学生观察图形，回顾等腰三角形的相关概念如腰、底边、顶角、底角以及等腰三角形的对称性，引导学生学会观察并发现问题，让学生感受到重合即相等，为后面探究等腰三角形的性质奠定基础。

二、实践操作，发现性质

活动2：请学生用纸剪出一个等腰三角形。

师：仔细观察剪好的等腰三角形，你发现这个等腰三角形有哪些线段相等？哪些角相等？

生独立观察，指出等腰三角形中相等的线段和相等的角。

师：请同桌之间互相交换等腰三角形，再次观察，你发现等腰三角形有哪些线段相等？哪些角相等？说一说这些线段和角在等腰三角形中的名称。

生1：等腰三角形的两条腰相等。

生2：等腰三角形的两个底角相等。

教师板书，等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。简写为：等边对等角。

【评析】教师让学生通过操作、观察、发现、归纳，得出等腰三角形的两个底角相等这一性质，体现了学生的学习主体地位。这样做有利于学生从研究一个等腰三角形拓展到其他等腰三角形，由特殊到一般，从而发现等腰三角形的特征，归纳得出等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。

三、关注折痕，引出三线

教师在剪好的等腰三角形的折痕上画一条虚线（见图2），请学生仔细观察等腰三角形，注意折痕，并思考还能发现哪些线段相等？哪些角相等？

学生先观察图形，然后分小组讨论，最后展示分享结果。

生1：BD=CD.

生2：∠BAD=∠CAD.

生3：∠ADB=∠ADC.

师：假如BD=CD，那么AD与BC是什么关系呢？

生：AD是BC的中线。

师补充说明AD是等腰三角形底边BC的中线。

师：刚才有位同学说∠BAD=∠CAD，想一想，AD与∠BAC是什么关系？

生：AD是∠BAC的平分线。

师补充说明AD是等腰三角形顶角∠BAC的平分线。

师：请同学们思考∠ADB=∠ADC等于多少度？为什么？

生：∠ADB=∠ADC=90°，因为∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB=∠ADC，所以∠ADB=∠ADC=90°.

师：AD与BC是什么关系？

生4：AD是BC边上的高。

生5：AD是等腰三角形底边BC上的高。

师：我们在表达线段的关系时要准确、完整，综上所述，AD是等腰三角形的什么？

生：AD是等腰三角形底边BC上的中线，是等腰三角形顶角∠BAC的平分线，是等腰三角形底边BC上的高。

【评析】教师让学生观察、发现，然后准确全面地归纳出等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称“三线合一”。

四、推理证明，验证性质

题目：利用实验操作的方法，我们发现并概括得出等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。你能运用逻辑推理来证明这个命题吗？

生：根据命题，我们可以画出图形（见图3），写出已知、求证。

已知：在ABC中，AB=AC.

求证：∠B=∠C

教师引导学生思考：结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形？从剪图、折纸的过程中你能够获得什么启发？

生1：我认为可以画一条辅助线（见图4），把三角形ABC分为两个三角形，通过证明两个三角形全等，可以得到∠B=∠C.

证明：作底边BC的中线AD，在ABD与ACD中，

因为：AB=AC

BD=CD

AD=AD

所以：ABD≌ACD（SSS）

∠B=∠C

师：这位同学使用的方法很正确，思路清晰，板书规范。请你们再想一想，还有别的证明方法吗？请结合图形说明你的思路。

生2：我的思路是作底边BC上的高AD，然后运用“HL”证明直角三角形ADB与直角三角形ADC全等，从而得到∠B=∠C.

生3：我的思路是作顶角∠BAC的平分线AD，然后运用“SAS”证明ABD与ACD全等，从而得到∠B=∠C.

师：这3位同学的证明思路、推理方法都是对的。通过学习等腰三角形的性质，我们又掌握了证明两个角相等、两条线段相等以及线段互相垂直关系的新方法。

【评析】教师让学生体验证明两个角相等到证明两个三角形全等的过程，了解添加辅助线与解决问题思路的相关性，进一步理解等腰三角形的性质及意义――它既是三角形全等知识的运用和延续，又是证明两个角相等、两条线段相等、线段垂直关系的更为简捷的途径和方法。

五、解读性质，注重表达

师：等腰三角形性质2的“三线合一”是指什么？对此，我们可以将其分解为下面3个结论：①等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和高；②等腰三角形底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线；③等腰三角形底边上的高也是顶角平分线和底边上的中线。

师： AB=AC，∠BAD=∠CAD

BD=CD，ADBC

请同学们用符号语言表达第②、③两个结论。

生1： AB=AC，BD=CD

ADBC，∠BAD=∠CAD

生2： AB=AC，ADBC

∠BAD=∠CAD，BD=CD

【评析】教师让学生在反复比较的过程中概括得出等腰三角形共同的、本质的特征，进一步培养了学生运用数学语言符号进行表达的能力，使学生真正理解“三线合一”的含义。

六、学以致用，巩固新知

（一）填空。

1.如图5，在ABC中，AB=AC，∠A=36°，则

∠B= .

2.如图6，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，则

∠A= .

（二）自制水平仪。教师选用教学时用的等腰三角板一个，铅垂一个，1米长的细绳一根，展示：用水平仪测量讲台是否处于水平状态，请学生说明测量时用到了什么数学知识？学生回答，相互补充，并说明理由。

【评析】教师设计角度计算题，学生需要综合运用等腰三角形、三角形的内角和等知识解决问题，这样做有利于学生进一步掌握等腰三角形的性质1，同时引导学生将与角有关的知识系统化，有助于学生优化知识结构。此外，教师设计活动操作题，能够让学生体会到数学知识在生活中的实际应用，体现了学习数学的价值。

七、学会总结，提高更快

师：我们是如何探究等腰三角形的性质呢？

生：动手操作，通过观察、发现、归纳性质，最后证明性质。

师：你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？

生1：在同一个三角形中，相等的边所对应的角相等。

生2：根据“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的高（或顶角平分线）也是底边上的中线，从而有线段相等。

生3：根据“三线合一”的性质，等腰三角形底边上的高（或底边上的中线）也是顶角平分线，从而有角相等。

【评析】通过小结，学生掌握了本节课所学的核心知识――等腰三角形的性质及应用。

【总评】这节课，学生在学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究特殊的三角形――等腰三角形。学习目标是：探索并证明等腰三角形的两个性质；能够利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等；结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。

篇（5）

（一）教学知识点

1．等腰三角形的概念．

2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用．

1．经历作（画）出等腰三角形的过程，从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．

2．探索并掌握等腰三角形的性质．

（三）情感与价值观要求

通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．

教学重点

1．等腰三角形的概念及性质．

2．等腰三角形性质的应用．

教学难点

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教学方法

探究归纳法．

教具准备

师：多媒体课件、投影仪；

生：硬纸、剪刀．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？

[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．

[师]那什么样的三角形是轴对称图形？

[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．

[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．

Ⅱ．导入新课

[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．

[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．

[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本P138探究中的方法，剪出一个等腰三角形．

……

[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．

[师]有了上述概念，同学们来想一想．

（演示课件）

1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．

2．等腰三角形的两底角有什么关系？

3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？

[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．

[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．

[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．

[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．

[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．

[生齐声]它们是同一条直线．

[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．

[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

[师]很好，大家看屏幕．

（演示课件）

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．

（投影仪演示学生证明过程）

[生甲]如右图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为

所以BAD≌CAD（SSS）．

所以∠B=∠C．

[生乙]如右图，在ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

所以BAD≌CAD．

所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．

[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．

（演示课件）

[例1]如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，

求：ABC各角的度数．

[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．

[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到

∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，

再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．

再由三角形内角和为180°，就可求出ABC的三个内角．

[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．

（课件演示）

[例]因为AB=AC，BD=BC=AD，

所以∠ABC=∠C=∠BDC．

∠A=∠ABD（等边对等角）．

设∠A=x，则

∠BDC=∠A+∠ABD=2x，

从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．

于是在ABC中，有

∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，

解得x=36°．

在ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．

[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．

Ⅲ．随堂练习

（一）课本P141练习1、2、3．

练习

1．如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．

答案：（1）72°（2）30°

2．如右图，ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数，图中有哪些相等线段？

答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC，BD=DC=AD．

3．如右图，在ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

答：∠B=77°，∠C=38.5°．

（二）阅读课本P138～P140，然后小结．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P147─1、3、4、8题．

（二）1．预习课本P141～P143．

2．预习提纲：等腰三角形的判定．

Ⅵ．活动与探究

如右图，在ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：AE=CE．

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质．

结果：

证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在ADP和ADC中

ADP≌ADC．

∠P=∠ACD．

又DE∥AP，

∠4=∠P．

∠4=∠ACD．

DE=EC．

同理可证：AE=DE．

AE=CE．

板书设计

§14．3．1．1等腰三角形（一）

一、设计方案作出一个等腰三角形

二、等腰三角形性质

1．等边对等角

2．三线合一

三、例题分析

四、随堂练习

五、课时小结

六、课后作业

备课资料

参考练习

一、选择题

1．如果ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（）

A．某一条边上的高;B．某一条边上的中线

C．平分一角和这个角对边的直线;D．某一个角的平分线

2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（）

A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°

答案：1．C2．C

二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．

求这个等腰三角形的边长．

解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得

篇（6）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

等腰三角形的边、角问题是初中数学教材中的重点内容，在运用其性质解决关于等腰三角形中的边角问题时由于题目繁多，学生总觉得困难，尤其是学生在遇到等腰三角形“边角计算问题”，“等腰三角形的各边的取值范围”和等腰三角形“三线合一”问题时经常会出现这样和那样的问题，作为教师觉得头痛，同时再加上等腰三角形的底边垂直平分线和对称轴之后，这样就出现了“五线合一”，学生更觉得糊涂分不清了。

1有关等腰三角形的边角计算的讨论问题

1.1等腰三角形的边的问题

（1）已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为9 cm，则它的周长为多少？

（2）已知等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4 cm，则它的周长为多少？

分析时要分类考虑，是否构成三角形，若构成在求周长，否则就没有。

第（1）题：5、5、9或5、9、9都能构成等腰三角形，所以周长为19 cm或23 cm；

第（2）题：4、4、9构不成三角形，而4、9、9能够成等腰三角形，此周长为22 cm。

（3）等腰三角形的一个角为400，它的另外两个角为多少？

（4）等腰三角形的一个角为1000，它的另外两个角为多少？

分析时也要分类考虑：

第3题：当400为顶角时，另外两个角分别为700，700；当400为底角时，另外两个角为400，1000。

第4题：当1000为顶角时，另外两个角分别为400，400；当1000为底角时，就构不成三角形。

1.2如何确定“等腰三角形的各边的取值范围”的问题

1.2.1已知等腰三角形的周长，如何确定腰长和底边长的取值范围

为了学生便于理解和掌握，笔者在教学中，做一个等腰三角形的教具：用两条相等的木条AB、AC做等腰三角形的两腰，用一条橡皮筋BC做等腰三角形的底边，做成一个等腰ABC。

操作方法：先从等腰ABC的顶点A上拉，要求两腰AC、AB重合，使底边BC为零。两腰之和与等腰三角形的周长相等，每一条腰等于周长的1/2，为了保证三角形的成立，必须每一条腰小于周长的1/2，必须大于零；然后将等腰ABC的底角的顶点B、C拉直，两腰之和等于底边，即底边等于周长的1/2，为了保证三角形的成立，必须底边小于周长的1/4，底边必须大于零，否则不能构成三角形。所以有以下的结论：

（1）腰的取值范围

等腰三角形的腰的取值范围这样确定比较简便：腰长小于等腰三角形周长的1/2，必须大于周长的1/4。

例如：等腰三角形的周长为20厘米，试确定等腰三角形的腰的取值范围？

分析：设等腰三角形的腰长为X厘米

20/4

（2）底边取值范围

等腰三角形的底边的取值范围这样确定比较简便：底边长小于等腰三角形周长的1/4，且大于零。

例如：等腰三角形的周长为20厘米，试确定等腰三角形的底边的取值范围？

分析：设等腰三角形的底边长为X厘米

1.2.2已知等腰三角形的腰长，如何确定底边长的取值范围

根据三角形的三边不等关系可知：底边长大于零而小于腰长的两倍。

例如：等腰三角形的腰长为15厘米，试确定等腰三角形的底边的取值范围？

分析：设等腰三角形的底边长为X厘米

1.2.3已知等腰三角形的底边长，如何确定腰长的取值范围

根据三角形的三边不等关系可知：腰长大于底边长的1/2即可。

例如：等腰三角形的底边长为18厘米，试确定等腰三角形的腰长的取值范围？

分析：设等腰三角形的腰长为X厘米

X>18/2，即X>9。所以：等腰三角形的底边长的取值范围是X>9。

2等腰三角形中“五线合一”

（1）等腰三角形中的“五线”指的是等腰三角形的顶角平分线AD、底边上的中线AD、底边上的高AD、底边上的垂直平分线MN和对称轴MN。

（2）等腰三角形中的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高指的是线段。

如图：线段AD是等腰三角形顶角∠BAC的平分线，底边BC上的高线，也是底边BC上的中线。

（3）等腰三角形的底边垂直平分线和对称轴指的是直线。

篇（7）

考查等腰三角形的题目时，学生很容易漏解，主要是学生没有认真分析题意，或者是没有考虑周全，解题经验还不够丰富。我们在平时的教学中要多提醒学生，即考查等腰三角形的题目，一般都会指明哪两条边相等，如果不指明就要分类讨论，分类讨论在等腰三角形中的运用非常广泛，如等腰三角形没有指明腰，或者指明了腰，但没有给图，就要分顶角为锐角或钝角，下面我们通过例题来展现分类讨论思想在等腰三角形中的运用。

一、等腰三角形涉及边的问题时，可以按照“腰”和“底边”来分类讨论，但要利用三角形三边关系来判断三角形是否存在

例1.（1）等腰三角形有两边长为4cm和7cm，则周长为

厘米。（15cm或18cm）

（2）等腰三角形的周长为24cm，一边长为6cm，则其余两边长为 厘米。（9cm和9cm）

练习1：等腰三角形有两边长为3cm和7cm，则周长为

厘米。（答案：17cm）

二、等腰三角形中涉及“高”的内角求解问题，可以按照三角形类型分类讨论

此时学生最容易犯的错误是画一个顶角是锐角的等腰三角形，导致漏解，这一点也提醒我们老师在教学中应多画顶角是钝角的三角形，才不会形成思维定式。

例2.ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且ADC为等腰三角形，则∠BCD等于 .（22.5°或67.5°）

练习2：等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 .（30°或150°）

三、在等腰三角形内角求解的问题中，可以按“顶角”“底角”来分类讨论

例3.已知一个等腰三角形的两内角度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为 （20°或120°）

练习3：等腰三角形的一个外角等于100°，则这个等腰三角形的顶角为 .（80°或20°）

四、在等腰三角形中涉及中线的问题，也需要分类讨论

例4.已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个等腰三角形底边的长。（1）

练习4： 已知一个等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成9和12两部分，求这个等腰三角形底边和腰的长。（当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm）

五、在方格纸或平面直角坐标系中，给出等腰三角形其中一线段或两个顶点的坐标，未指明是腰还是底边，求等腰三角形第三个顶点的个数或坐标

例5.用3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，并且A、B在最中间小正方形的相对格点上，如果点C也是图中的格点，且使得ABC为等腰三角形，则点C的个数为 .（答案：8）

练习5：在平面直角坐标系中，点A在第一象限，A（2， 1），点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 个。（答案：4）

本题还可发散为点P在坐标轴上，则符合条件的点P有几个？

例6.已知A（2，0），B（0，2），试在x轴上确定点M，使MAB为等腰三角形，写出所有满足条件的点M的坐标。（0，0），（-2，0），（2+2，0），（2-2，0）

六、等腰三角形与四边形的结合问题，求相关线段的长度

例7.在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连结DP交AC于点Q.若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，ADQ恰为等腰三角形.

（分析：若ADQ是等腰三角形，则有DA=DQ或QD=QA或AQ=AD

①当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，ADQ是等腰三角形；

②当点P运动到与点B重合时，由四边形ABCD是正方形知QD=QA，此时ADQ是等腰三角形；

③设点P在BC边上运动时，有AD=AQ，可算出当CP=4-4时，ADQ是等腰三角形.）

总之，学习等腰三角形，必须熟练运用等腰三角形的性质，看到等腰三角形题目要能联想到它的性质，如，等边对等角、三线合一，还有等腰三角形容易出现分类讨论，要让学生养成分类讨论等数学思想在等腰三角形中的应用。

篇（8）

分析：等腰三角形被一条中线分成的两部分，一部分是由一腰和另一腰的一半组成的，另一部分是由底和一腰的一半组成的.哪部分为12，哪部分为9呢？从下面两图形（图1）中可以看出，存在两种可能，故应当把两种情况都考虑进去.

所以三角形的腰长为8，底边长为5；或腰长为6，底边长为9.

例2已知一个等腰三角形的一条边上的高等于这条边的一半，求顶角的度数.

分析：这条边可能是底边，也可能是腰，所以需要分情况讨论.

解：(1)若这条边为底边时，如图2，ADBC，AD＝BD＝CD，则ABD和ACD为等腰直角三角形，所以∠BAC＝45O＋45O＝90O；

(2)这条边为腰时，

所以∠DAC＝30O，所以∠BAC＝150O.

故可知这个等腰三角形的顶角可能是90O或30O或150O.

例3 已知点A和点B，以它们为两个顶点作等腰直角三角形，则一共可作出（ ）.

A.3个 B.4个 C.6个 D.7个

分析：本题没有指明AB是腰还是底边，所以需分类讨论.

解：（1）以AB为底边，有C1、C2两个点符合要求，如图5；

解析：当10cm的边为腰，6cm的边为底时，其周长为10＋10＋6=26cm；当10cm的边为底，6cm的边为腰时，其周长为10＋6＋6=22cm.因此，该等腰三角形的周长是22cm或26cm.应选D.

请思考：若等腰三角形的两边长分别为9cm和4cm，求其周长时，还会有两解吗？为什么？（一解，22cm）

例5已知等腰三角形的周长为20cm，一边长为8cm，则其它两边长分别是______.

解析：若长为8cm的边是腰，则另一腰也是8cm，底边为4cm；若长为8cm的边是底边，则每一条腰长＝（20－8）＝6cm.故答案为8cm，4cm；或6cm，6cm.

篇（9）

那是一个非常晴朗的早上，我带着自己准备好的教案和课件，带着笑容走入了课堂。

我今天准备讲解的内容是《等腰三角形》，重点讲解的是等腰三角形的性质。在上课开始的时候，我一直按照自己准备好的内容有条不紊的进行着讲解。我先是为学生介绍了等腰三角形性质的重要作用，让学生充分的理解在平面图形、立体图形中这部分知识的重要性还引导学生认识到在实际生活、建筑、测量等方面，这些知识都会被广泛的运用，这节课的知识对于之前全等三角形具有深化作用，更是以后平行四边形定理的基础，在整个知识体系中具有承上启下的作用，于是我先是将这部分的知识的重要性传授给学生。在分析学情之后，我开始了正式授课的环节。我在导入的环节采取的是温故而知新的策略，让学生回顾已经学习到的知识，什么是轴对称图形？在学生回答问题之后，我在课件上展示一些美丽的图片，有上海世博会展馆的图片、有云南特色民居的图片，这些图片中都有一些比较明显的特点就是其中都有等腰三角形，引导学生观察出其中的特点。然后引导学生说出自己在实际的生活中听到或者见过的等腰三角形，例如金字塔、铁塔的结构，三脚架等等。在学生对等腰三角形形成基本认识的基础上，教师提出问题，什么是等腰三角形，你如何判断一个三角形是等腰三角形？在学生思考之后，我引进了本节课的重点知识，等腰三角形的性质。在将这节课的知识引入之后，我开始按照教学设计一点点的讲解教学内容。因此，在我上课开始的时候，就拿出来一个三角形的模型，让学生判断这个三角形是否为等腰三角形，你是怎么判断的呢？学生若是想要解决这个问题，就必须明确等腰三角形的概念，然后才能够指导怎么进一步的操作得出结论与答案，这就需要学生深层次的思考，需要师生之间与生生之间的互动，有的学生回答可以运用测量的方法，看看其中两边是否是相等的，有的学生说可以采取折叠的方法，将三角形折叠出来，看看其中两边是否会重叠与重合，这些方法都可以监测出来。接着教师在提出一个问题，同学们如何检查自己的课桌是水平的呢？有的学生说看看桌子的几条腿是不是一样长的，有的学生说看看桌子晃不晃就知道了……这个时候我准备了事先准备的测评仪，这种仪器是等腰三角形，其中三个顶点分别是ABC，底边是BC，D是BC上的中点，在A上挂一铅锤，当点D在铅垂线上时，则被测面水平：否则，被测面不平。这个时候学生感觉很神奇，学习的兴趣被激发起来，积极性、主动性不断提升。这个时候，我刚要接着讲解三角形的知识，这个时候，一个学生突然提出了一个非常尖锐的问题，他说为什么这种测平仪必须要求是等腰三角形的呢？测平仪的科学依据又是什么呢？这种测平仪真的是准确的么？这个时候课堂内部炸开了锅，学生纷纷的讨论起来，对测平仪这种东西产生了极大的兴趣，课堂一时之间不受我的控制，与我自己的教学计划也相去甚远，我的内心一阵烦躁，觉得这个同学真的是无事生非，我们要学习的是等腰三角形的知识，为什么提出一些不相关的问题呢？但是没有办法，作为数学教师，需要从学生的实际出发，解决学生的实际问题。于是我改变了原来直接进入等腰三角形性质讲解的环节，引导学生采取小组合作讨论的方式进行学习，并且将知识再一次带到等腰三角形的性质上来。我又一次的提出问题，大家都认为等腰三角形是一种特殊的三角形，那么他特殊在哪里呢？学生这个会后感觉到自己心里明白怎么回事，又不太会用语言描述出来，然后就采取小组合作的方式进行研究与探讨。我将学生划分为四个人为一组的学习小组。让他们观察课前我准备好的三角形，每个小组进行讨论，学生一致的出来的结论是等腰三角形一定是对称的，对称轴就是AD这条线，为了学生更直观的体验，我将课件中的几何画板运用到，将等腰三角形的对称轴以及如何对称的动态展示出来，使学生之间形成共识。之后，我又让学生自己做了一个等腰三角形，在画一画、折一折的过程中，感受等腰三角形的独特性，让学生对书中等腰三角形性质的结论有着深刻的认识，对等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形的平分线、中线、高是重合的有着实践上认知。本来是一位同学的问题，这个问题当初在我看来似乎是有些无理取闹、无事生非的意思，与我本来的教学计划也是相违背的，有一瞬间，我甚至是觉得这节课没有办法在进行下去了，甚至心中毫无头绪，所以我采取学生小组讨论合作的方式，为自己赢得了宝贵的时间，既然这个学生对测平仪有疑问，而测平仪又是本节课所学内容的等腰三角形的体现，更能够引导学生直观的得出结论，于是我就从这个仪器出发，让学生仔细的观察，尽量将学生的注意力拉回到本节课需要学习到的内容上。到此为止，学生的问题仍然是没有得到解答，教师可以故作悬念的道：“只是知道等腰三角形的性质还不够，要想知道这种测平仪为什么有这种功能，我们还需要知道，等腰三角形的性质该如何证明。”在这部分知识的学习中，我和学生之间的互动多了起来，我先是利用计算机技术，进行动态的展示，让等腰三角形的顶点沿着垂直的方向上下的移动，底下的两个端点左右移动的幅度相同，底角变化的规律相同。同时，我又展现出任意一个三角形，将这个三角形的右端点向左平移，只有平移为等腰三角形的时候，三线才会重合。这会对学生产生直观的感受，然后给学生几分钟的时间，让给学生结合已学知识，结合已知条件，写出证明的步骤。课程进行到这里，我已经将等腰三角形的特点、等腰三角形的性质、以及如何证明这些性质传授给学生，但是本节课的冲突还是没有得到解决。测平仪的依据是什么？测平仪真的准确么？这个时候可以引导学生自己去思考、交流与讨论，得出结论，同时复习巩固本节课的知识，更让学生明白运用已学知识，解决是实际问题的重要作用。

等腰三角形的内容虽然看起来简单，但是对于初中生来说，还是有点儿困难，我在教学中的教学设计，本来是打算冲突之后，直接进入到性质的讲解，将性质传授给学生，然后大量的习题反复训练，没有想到因为这位同学的“无事生非”，整个教学过程走向了更科学合理的道路，在本来的教学中，没有注重学生数学精神与创新能力的培养，在这位同学的“无理取闹”下，教学更注重学生的观察、想象与实践能力的提升。希望在以后的教学中，更多的学生“无事生非”，教学才能够更科学，学生才能够更好地追求真理。

篇（10）

等腰三角形可以是直角三角形，但是直角三角形不一定是等腰三角形。有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。

一般的等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。

（来源：文章屋网 ）