解方程应用题汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇解方程应用题范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

2设未知数 选择一个适当的未知数用字母表示，并根据题目中的数量关系用含未知数的代数式表示有关的未知量

3列方程 根据相等关系列分式方程

4解方程 其过程可以省略

5检验 首先检查所列方程是否正确，然后检查所列方程的解是否符合题意

6写答 千万不要忘记单位

以上六个步骤，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量

现举例介绍，供同学们参考

例1 2008年5月12日，四川省汶川发生80级大地震，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少?人均捐款多少元?

分析:解答本题要注意利用如下相等关系：

第一天人均捐款数=第二天人均捐款数

解:设第一天捐款的人数为x人，则第二天捐款的人数为(x+50)人，依题意，得

=

解方程得, x=200

经检验, x=200是所列方程的解，且符合题意

所以两天捐款人数为x+(x+50)=450，人均捐款为 =24

答:两天共参加捐款的有450人,人均捐款24元

例2 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定:用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点跑回到起跑线(如图所示)；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜结果:甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完 事后，甲同学说:“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说:“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的12倍” 根据图文信息，请问哪位同学获胜?

分析：要判断哪位同学获胜，应把甲、乙两位同学跑完全程的时间分别求出来 不难发现，表示本题全部含义的一个相等关系为：

甲跑完全程的时间+乙跑完全程的时间=甲、乙两同学所用的全部时间的和

解:设乙的速度为每秒x米，则甲的速度为每秒12x米 依题意，得 +6+ =50

解之, x=25

经检验, x=25是所列方程的解，且符合题意

所以甲跑完全程的时间为 +6=26(秒),乙跑完全程的时间为 =24(秒)

答:乙同学获胜

例3 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元

(1)求第一批购进书包的单价是多少元?

(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元?

分析：解答本题要注意利用如下相等关系：

第二批所购书包数量=第一批所购书包数量的3倍

解:(1)设第一批购进书包的单价是x元，则第二批购进书包的单价是(x+4)元 依题意，得

= ×3

解方程得, x=80

经检验, x=80是所列方程的解, 且符合题意

答:第一批购进书包的单价是80元

(2)不难计算出,第一批所购书包数量为 = =25(个),第二批所购书包数量为25×3=75(个)

所以两批书包的全部售价为(25+75)×120元，即12000元

篇（2）

常言道：攻心为上，攻城为下。任何事情，要想取得成功，获得胜利，首先应该在心理上要战胜自己。面对列方程解应用题，相当一部分学生存在着畏惧心理，总认为此类题目难解、费时，即使勉强做出来，也难以确定该答案到底正确与否。很多学生都愿意将时间花在计算题上，不知道他们是否想过，放弃了列方程解应用题，即使其他题目弄个全对，能算优秀生吗？答案当然是肯定的。这类考生在列方程解应用题的这方一面的能力，永远是一片空白。况且，有些应用题本来就非常简单，由于畏惧心理的影响，再简单的题目，也人为的变得复杂起来。面对应用题，我们一定要克服畏惧的心理，勇于挑战，反复读题、审题，弄清题意，找出其中的等量关系，将文字语言转化为符号语言，顺藤摸瓜，认真思考，仔细分析，再复杂的问题也会迎刃而解。

2 分清方程的类型及特点

将军在排兵布将时，心中早就已经对地形、兵种、武器、天气等等一切情况有着周密的了解，同样的道理，我们在解方程之前，胸中也应该有一盘完整的棋局，即掌握方程的各种类型及其特点。我们要能够判断某个应用题大致涉及到的是一元方程还是多元方程，是一次方程还是高次方程。这样，我们才能思路正确的进行解题。

3 掌握列方程解应用题的一般步骤

列方程解应用题的一般步骤大致归纳为“审”、“设”、“列”、“解”、“检验”、“答”六个步骤，但是，每一步对解题都至关重要、缺一不可。因此，我们应该认真对待其中的每一步，绝对不能疏忽。

（1）“审”题，是指读懂题目，弄清题意，看看单位是否统一。看看题目告诉了我们哪些已知条件，要求我们解决什么问题。审题是列方程的基础，审题体现出作题者的文字功底和对数学语言的掌握程度，因此，我们应该在学习数学的同时，加强对阅读能力的培养和数学语言的理解、积累。

（2）“设”是指设未知数。在一道应用题中，往往含有一个或者一个以上的未知量，我们应该将这些未知量，在理解题意的前提下，用表示数的字母将其表示出来。当题目中只含有一个未知量的时候，我们通常用字母X表示，当题目中含有第二个未知量的时候，我们要么采取用含有一个字母的代数式去表示另一个数的方法去处理，要么用另外一个字母（如Y）表示。假设题目中还存在第三个未知量，我们就用与前面不相同的字母（如Z）表示，依此类推。然后根据各量之间的数量关系，将其它几个未知量用字母或含字母的代数式表示出来。

（3）“列”就是列方程。这是非常重要的关键步骤，一般先找出题目中的等量关系。如何去找题目中的等量关系呢？这又涉及到题目的阅读与理解问题，我们要回过头来，仔细研究题目中的各个数量之间的大、小、多、少、和、差、倍、分、增加、减少等等的关系，也就是说，谁比谁大多少，谁比谁的几倍或几分之几，谁增加了多少，谁又减少了多少等等此类问题。然后，字母或代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程，注意，单位要统一，要不然会前功尽弃。

（4）“解”就是解方程，即求方程的解的过程。在这里，一定要分清楚“解方程”与“方程的解”是两个意义完全不同的两个概念，解方程是指求未知数的值的过程，也就是指解题过程，而方程的解指使方程左右两边相等的未知数的值，是指数值，而且要求这些数值要能够使方程的左右两边相等。求出未知数的值，这一步要倍加小心、认真。要考虑到如何去掉方程中的分母，如何去掉方程中的括号，如何变号移项、合并同类型等等因素，如果是二元一次方程，我们还要考虑是采用求根公式法还是因式分解法等。

篇（3）

首先是“解”。这一步很简单，就是写个“解”字。目的是让学生知道解题开始了，便于培养学生用方程解决应用题的思维意识。

其次是“设”。这一步可分为两种情况。一种情况是问题只有一个。题目问什么，就设什么为x（加上单位）。另一种情况是问题有两个。特别是出现“分别”、“各”等字样时，就可以设较小的一个为x（加上单位），然后把另一个用含有x的算式表示。

再次是“列”。这一步就是根据题目中的关键词和等量关系列方程。这是用方程解决应用题的关键一步。列方程的主要方法有以下三种。

第一种是找关键词列方程。涉及的具体情形主要有四种。

1.加法：一般出现“一共”、“和”、“总共”、“共”等字眼时，结合实际题意可以用加法。

2.减法：一般出现以下字眼用减法。如“剩”、“还剩”、“剩下”、“差”等。

3.乘法：题意中出现“倍”、“积”、“乘积”、“已知单量求总量”等都用乘法。

4.除法：当题目中出现“商”、“除”、“除以”、“已知总量求单量”、“求几分之几”时一般用除法。

第二种是找等量关系列方程。常用到的等量关系有：

路程=速度×时间 现价=原价×折数

总价=单价×数量 工效=工作总量÷工作时间

利息=本金×利率×时间

还有各种图形的周长、面积、体积公式等。

第三种是画线段图列方程，见例1、例2。

接着是“求”。这一步就是要让学生求出方程中未知数的值。小学所学的方程主要有三种形式：Ax=B Ax+B=C Ax+Bx=C。其中“A、B、C”代表学过的各种数，“+、-、×、÷”代表运算符号。可以按照如下过程解方程求未知数。

最后是“答”。就是把所设出的未知数“x”替换成解方程得到的具体数值，目的是让学生知道此题已解答完毕。

上述五步是小学用方程解决应用题的主要步骤。应用题的最终解答，总要经历将抽象的题意转换成运算符号和数字的活动过程。如果教师在学生解答方程应用题后，再让学生反其道而思之，对此题进行改编，就发展其数学思维和提高其兴趣。下面通过具体例子加以说明。

例1.某校五一班学生喜欢看故事书的占60%，看科技书的占30%，喜欢看故事书的比科技书的多30人，五一班一共有多少人？

分析：题目中有三个量：已知条件“五一班学生喜欢看故事书的占60%，看科技书的占30%”。关键句：“喜欢看故事书的比科技书的多30人”。问题：“五一班一共有多少人？”

答：五一班一共有100人。

例2.小敏家九月份用水12吨，比八月份节约了25%，八月份用水多少吨？

分析：题目中有三个量：已知条件“九月份用水12吨”。关键句：“比八月份节约了25%”。问题：“八月份用水多少吨？”。

篇（4）

列方程解应用题因综合性强、涉及面广等特点，成为广大初中生难以攻克的“堡垒”、难以跨越的障碍，成为教师教学中的一个难点。

列方程解应用题，从表面分析，无疑涵盖两个内容：列方程和解应用题。这二者是手段和目的的关系，列方程是解应用题的方法，列方程的目的是解应用题，而解应用题通过列方程实现，列方程的核心是找等量关系。因此，笔者在列方程解应用题的步骤和方法及应注意的问题等方面谈谈几点实践性体会。

一、树立信心和耐心

列方程解应用题贯穿初中整个教学过程，七年级学习，八年级渗透，九年级仍然是重点。根据多年的教学实践观察，多数学生对列方程解应用题感到力不从心，往往束手无策，遇到这类题大都望题生叹。久而久之，对列方程解应用题失去信心，对数学学习失去信心和动力，拿到问题，思考不出解题思路就放弃的数不胜数，认为这类题难，不论怎么想都不可能解决，信心全无，耐心没有，决心消失殆尽，学习兴趣不再浓厚。

兴趣是最好的老师，教学列方程解应用题时，可以通过设计生活化问题，以学生身边实例进行教学，让学生感到列方程解应用题与自己息息相关，与生活密不可分。

二、抓住“四个步骤”

1.审题

所谓审题，就是认真读题目，理解题意，分析已知和未知，分清题设与结论。如甲乙两站之间的距离是660km，一列客车以90km/h的速度从甲站开往乙站，同时一列货车以75km/h的速度从乙站开往甲站，问经过多长时间相遇？

对于这个问题，要指导学生：拿到问题，首先找出已知条件：甲乙两站的距离，两列车的速度及车的运动方向――相对运动，以及一个隐含条件――两列车走完全程660km，未知条件，也就是开车多长时间两车相遇，即要求的是时间。

2.分析

分析的过程就是根据已知条件和未知条件，判断二者本质联系的过程。如上文的两列车相遇问题，务必清楚，两车相遇，简言之就是两车行驶的距离之和等于甲乙两站之间的距离。经过这样的分析，为找等量关系和解决问题奠定基础。

3.解答

解答过程又分为四步走：

（1）确定等量关系。仍然以两列车相遇为例：分析数量关系时，已经得到“两车行驶的距离之和等于甲乙两站之间的距离”的结论，而这个等量关系用数学语言――数学公式可以表示为：客车行驶的路程+货车行驶的路程=总路程。

（2）设未知数。设未知数，就是题目中要求的未知量，用未知数x等表示出来。这个题目中要求的是“经过多长时间两车相遇”，那么就可以直接将这个未知量设定为x，未知数的设定为实际问题转化为代数语言、为列方程埋下伏笔。

（3）列方程。以两车相遇问题为例，找到等量关系后，根据已知条件，总路程是660km，经过x小时后相遇，那么两辆车行驶的距离分别是90x和75x，那么，方程90x+75x=660便浮出水面。

（4）解方程。对于列方程解应用题的问题解决过程中，常见到学生习惯用“解之得”而忽略解方程的全过程，将x=？直接写出来，这样容易功亏一篑，容易解错，如果不能及时代入检验的话，出错率就会提高。

校对，简单说就是“检验”，既要验证x的值是否是方程的解，又要代入实际问题中，看是否合乎问题要求。如通过解方程，不难得出x=4（h），那么经过四小时相遇，货车走的路程是75x=75×4=300km，而客车行驶的是90x=90×4=360km，而两车行驶的距离之和300+360正好等于甲乙两站间的全程660km。这样，才足以说明所求的结果是正确的。

教师应该强调：列方程解应用题时的四个步骤，哪一步都不能放松和马虎，否则，容易出错。

三、找准等量关系

找等量关系，是列方程解应用题的关键环节，教师应引导学生掌握寻找等量关系的方法，从方法上找突破口。一般来说，找等量关系无外乎译式、列表、图例、图示等分析法。

找等量关系时，应注意以下几个问题：

1.未知数的设法可以多样化，可以根据自己的实际情况或者问题的需要采用不同的方法，从不同角度分析和设这个未知数。一般直接解法是问什么设什么为x。而这个问题也可以换个方法求解，即设相遇时，客车走了xkm，那么货车行驶了660-x，那么不难得出x/75=660-x/90，求出x，要求的时间是x÷75，这样问题就迎刃而解。

2.注意单位换算，一些问题中如果给出的单位不相同，那么，换算成统一的单位，才能找等量、列方程。如上面的实际问题，给出的两辆车的车速，单位是一致的，都是km/h，如果其中一辆是m/s的话，务必需要换算为统一的单位。

3.方程两边的代数式表达的必须是同一个属性的量。以行程类问题而言，等式左边是路程，右边不能是速度或者时间，反之亦然。关系属性量不一致，方程就没有任何意义。

列方程解应用题是初中数学重点内容之一。教学中，应认识到它的重要价值所在，并认真研究教法，“授之以渔”。这个部分才不会成为学生的弱点，教学才会大为改观，教学质量才会稳步提高。

篇（5）

“分散难点，各个击破”是列方程解应用题应该遵循的教学原则，所以，在学习代数式与整式加减时，就可着手训练学生把文字式的数量关系翻译成代数式的能力，使学生学会并习惯于用字母表示数，以培养学生的抽象思维能力.

其次，要训练学生善于把文字叙述的题目数学符号化，逐步实现学生从算术解题思路向代数解题思路的转化.在有些版本的教材里，在学生学习正负数有理运算的前后，结合小学里学过的一些简单算术题采取列方程的教学形式，再利用“等量加（减）等量和（差）相等”的原理来求解，然后，和它的算术解法相对照，使学生探究发现用算术方法解题就是把解题思路和解题方法联系起来考虑.这样思路既不容易清晰明白，步骤也不明确；反之，如果采用代数解法，步骤明确，方法新颖，而且有规律可循，就化难为易了.如此，既可以培养学生学习代数知识的兴趣，又为学生进一步学习列方程解应用题做好了铺垫.

再次，在列方程解应用题的入门教学时，多数题目是按照“三度量”关系来列等式的，如，距离=速度×时间，总价=单价×件数，工作量=工效×工时等等.这些公式在准备工作中也应该放在重要的地位上，而且这些知识都可以在学习代数式的相应章节里联系小学的旧知识加以拓展，使它在列方程解应用题的教学中起到正迁移的作用.

最后，学生在学习解方程的过程中，可严格训练，使学生能够准确无误地进行迅速合理的运算，且能正确验根.把列方程和解方程的两个步骤区分开来，这就把列方程解应用题的难点分散开来处理了，为日后列方程解应用题创造了良好的条件.

总之，列方程解应用题必须使学生闯过翻译关、思路关、列方程和解方程这四个关口，才能顺利利用方程解应用题.

二、列方程要重视不变量的研究

方程的形式一般为：f（x）=ξ（x）.其中x并不是变量，而是未求出的未知量，它是个确定量.这样就可以看出用等号连接起来的两个量f（x）和ξ（x）仅是形式不同而实质一样的确定量.不妨把这种量称为不变量.即一旦设定某未知量为x时，那么根据应用题中的内容，必然可以找到含有x的两个形式不同、实质一样、有相等关系的确定量f（x）与ξ（x）.

1.当确定量ξ（x）=c（常量）时，题目中一定存在一个明显的确定量c，它等于含有未知量x的确定量f（x），即f（x）=c，不妨把量c叫作显在不变量，我们可以它作为标准来列方程.

例1已知某战车在公路和小路上的速度分别为40千米/时，30千米/时.现这个战车在516小时内行30千米.问它在公路上和小路上行了多少千米？

解法1根据题意，战车在公路和小路上的速度是确定的，它所行的总路程和总时间也是已知的.若设战车在公路上行驶x千米，则在小路上行驶（30-x）千米.根据行程的“三度量”关系求出战车在公路和小路上分别用的时间.至此，就可用题目中已知的总时间516小时作为显在不变量，并以它为标准列得方程：x140+30-x130=516，x=20.

解法2如设战车在公路上行驶x小时，利用间接法同样可以求出战车在公路和小路行驶的里程数.为此，就可用题目中已知的总路程30千米作为显在不变量，并以之为标准列得方程：40x+30516-x=30，x=112.

比较两种解法，不难发现所设未知量的内容不同，显在不变量就不同，导致列方程的标准就有了改变，列方程和解方程也就因此有了繁简和难易之分.所以，我们在列方程解应用题时，首先，要考虑题目中是否有显在不变量，若有多个，就可以一个恰当的显在不变量作为列方程的标准，以简化解题过程.

2.当确立量ξ（x）不是表现为一个常量，而是一个含有未知量x的量，不妨把这个确定量称为潜在不变量.即在所给题目中虽然没有直接表现出某个常量作为显在不变量，但从已知量和未知量潜在的变化关系中可以确定出某个量是不变的，并可以用这个量作为标准列方程.

例2某学生骑自行车以12千米/时的速度下山，而后以9千米/时的速度过平路到达目的地，共耗时11112小时；他返回时，以8千米/时过平路，再以4千米/时上山回到家中，共耗时1.5小时.问学生家距目的地多远？

解法1解此题目，只要分别求出山路和平路长后，全长就水到渠成.但根据题意，不管该学生骑车往返速度怎样变化，题中虽然也未给出山路或平路的路程，但平路长和山路长总是个确定量，我们就可以用确定量山路长或平路长作为标准来列方程.

如果设山路长为x千米，因学生骑车往返所需的总时间是已知的，且骑车的速度变化也是已知的，这时路长就是个潜在不变量，通过学生往返的过程就可用平路长作为标准列出方程：911112-x112=81.5-x14，x=3.

解法2如设平路长为x千米，就可用山路长作为标准列方程：1211112-x19=4312-x18，x=6.

通过这个例子可以看出，方程的两边必须是同类的量；同时从上述两例也可得知，应用题按列方程的标准可分为显在不变量型和潜在不变量型两类.因此，在分析题意时，着重从各种数量变化关系里找出标准不变量列方程是解应用题的关键.

行文至此，我们完全可以明白，列方程的标准就是在审题过程中寻找到的某个确定的不变量，并以之作为列方程的依据.

三、列方程要认真分析语句

我们在研究应用题的过程中，不难发现题目陈述信息中包含了关于已知条件、结论、数量之间变化关系的三类语句，后者则是列方程的着眼点.因此，教师或学生在掌握了题目中的条件和结论的前提下，一定要从整体出发，认真思索，深入挖掘，着重分析有变化关系的语句，再从变化的形式里找出不变的因素，确定出列方程的标准依据，才能顺利地解决问题.这也就是通常所说的抓主要矛盾的方法.

例3某个任务，由甲独做，3天才能完成；由已做，6天才能完成.那么甲乙二人合做几天可以完成？

解此题比较简单，除了后面那个语句是关系语句和结论外，其他语句都是条件.但由于其中没有说明任务的工作量是多少.传统的教学法就把它看作单位1，这就比较抽象，使初学的人难于理解.实际上，它指的既可以是一件东西，也可以是一堆东西，多少虽然是不定的，但它有确定的内容，这是一方面.其次，此题也暗示着这任务虽然也是一个条件，但是它在解题的最后过程中却游离于题目之外，因此，它是一个参变量.为了把抽象事物具体化，便于理解，可以把它作为参数a考虑，使问题明朗化，并且具有直观性.因此，笔者认为参数的引入，是理解题意的桥梁、思考问题的手段，应该引起人们重视.

设这个任务的工作量为a，且两人合作x天可以完成.根据“三度量”关系：工作量=效率×时间，得a13x+a16x=a，x=2.

例4某仪器制造厂按计划每天生产20台仪器，到预定期内尚差100台不能完成任务.若提高工效25%，到期就将超额50成任务.问原计划生产仪器多少台？预定期限是多少天？

篇（6）

著名的荷兰数学教育家弗莱登塔尔说过： “与其说学习数学，倒不如说学习‘数学化’.”方程就是将众多实际问题‘数学化’的一个重要模型。因此，会善用、活用一元一次方程这个数学模型，对提高学生的思维水平和应用数学的意识有很大帮助。笔者通过多年的教学实践，结合北师大版七年级上册第五章《一元一次方程》的内容，认为初中一元一次方程应用题的解题策略可以从以下几方面入手：

一、列方程解应用题的主要步骤：

1、审：理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

2、设：①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

3、列：根据等量关系列出方程。解应用题的关键是找等量关系。

4、解：根据解方程的基本步骤，求出未知数的值。

5、验：检查求得的未知数的值是否是这个方程的解，是否符合实际情形。

6、答：对题目中有关问题进行回答。

二、一元一次方程应用题的常用解题方法：

1.图示法：

对于一些较直观的问题，可以用示意图表示出题目中的条件及它们之间的关系。然后由示意图中有关基本量的内在联系找到相等关系，列出方程。比如用线段表示距离，箭头表示方向，此法多用于行程问题等。

2.列表法：

对于数量关系较复杂的应用题，有时可先画出表格，在表格中表示出各个有关的量，使题目中的条件和结论变得直观明显，从而找到它们之间的相等关系。此法多用于比例分配问题，等积变形问题，工程问题以及其它条件较多，关系较复杂的题目。

3.公式法：

学生熟识的公式诸如 “利润=售价-成本”、 “本息和=本金+利息” 、“路程=速度×时间”、“工作总量=工作效率×工作时间”等，直接套用这些公式就可以找出题目中的等量关系，列出方程。

三、一元一次方程应用题的常见类型：

1. 和、差、倍、分问题：（日历中的方程）

例1. 在一份日历中，任意框出一个竖列上相邻的四个数，观察他们之间是什么关系？如果框出的四个数的和为58，这四天分别是几号？

[分析] 观察、分析日历中相邻的两个数之间有什么关系？发现日历中相邻的数据横差1；竖差7

解：设竖列的四个数中最小的一个是 ，其余三数分别为 +7， +14， +21

由题意，得 + +7+ +14+ +21=58

解得： =4

答：这四个数是4号，11号，18号，25号。

总结：此题可采用“图示法”，可以借助“日历表”找到它们之间的相等关系

2. 销售问题：（打折销售）

例2. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

[分析]找出题目中隐含的条件：折扣后价格—进价=利润

解：设进价为 元

由题意，得80% （1+40%）— =15

解得： =125

答：进价是125元。

总结：此题可采用“公式法”，关键在于掌握销售问题的公式：售价-成本=利润

3. 比例分配问题：（“希望工程”义演）

例3. 我区某学校原计划向内蒙古察右后旗地区的学生捐赠 3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%. 问：初中学生和高中学生原计划捐赠图书多少册？

[分析]题目中存在两个相等关系：初中学生原计划捐赠册数 + 高中学生原计划捐赠册数=3500册 ；初中学生实捐赠册数 + 高中学生实捐赠册数=4125册

解：设初中学生原计划捐书 册，则高中学生原计划捐书（3500- ）册，由题意，得120% +115% （3500- ）=4125

解得： =2000 3500-2000=1500（元）

答：初中学生原计划捐赠2000册图书，高中学生原计划捐赠1500册图书。

总结：此题可采用“列表法”，使题目中的条件和结论变得直观明显，更容易找到它们之间的等量关系。

关于一元一次方程的应用题，在教学中要突出关于问题解决的策略、方法的引导。要引导学生会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，逐步用方程模型解决实际问题。

篇（7）

总结多年教学的经验，我认为对列方程解应用题这部分，分以下三步进行教学，效果较为理想。

第一步： 也是最重要的一步，做好从算术法到方程理念的改变

从算术法解应用题过渡到方程解是思考方法上的一次转折和飞跃。学生在列出含有未知数的等式过程中，要把未知数和已知数一样看待。这样寻找题中的等量关系就成了列方程解应用题的关键。在多个相关的基本数量关系中必有一个是主要的，那么寻找题中的主要数量关系也就是列方程解应用题的关键。

第二步：适当的练习。

结合练习更好的理解和掌握列方程解应用题的方法和步骤。但从多年的教学经验来看，有相当的一部分同学不能达到教学的要求。所以我针对这一现象做了第三步的尝试。

第三步：在做好以上教学和练习的基础之上，注重对题目类型做出归纳和总结。

类型一：根据四则运算的意义列方程（如例1，两个量的大小比较等）

在例1的教学中，若用算术方法解，需要逆思考，思维难度较大，学生容易出现先除后减的错误。通常不作教学要求。这里用方程解，思路比较顺，体现了列方程解实际问题的优越性

这道题的数量关系，学生容易想到多种代数形式

黑色皮的块数×2－白色皮的块数＝4

黑色皮的块数×2－4＝白色皮的块数

黑色皮的块数×2＝白色皮的块数＋4

比较而言， ax±b=c形式更容易理解，有利于达成既学列方程，又学解方程的教学目标。因此，教材的解答,选用了把黑色、白色皮的块数关系看成一个数的几倍与另一数比大小的关系。也就是求比一个数的几倍多（或少）几是多少得问题。

类型二：逆向思考的还原应用题（如上车下车问题，收入支出问题，进货销售问题，）

如：原来有一些水果糖，卖出34千克以后，还剩41千克。又运来25千克，原来有多少千克水果糖？

原有的重量＋运来的重量－卖出的重量＝剩下的重量

x ＋ 25 － 34 ＝ 41

这类问题的过程越复杂，则用算术法解决的难度就越大，而相反也就越能显示出列方程解应用题的优越性。

类型三：两个量相比较的倍和或倍差问题（如例2，相遇问题，追及问题等）

例2创设了购买两种水果的现实问题情境。如果撇开各数量的具体内容，就它的数学意义来讲，可抽象为两积之和的数量关系。这种数量关系在生活中经常能遇到。而且，理解了两积之和的数量关系，也就容易理解两积之差、两商之差的数量关系。在例2中组成两积的四个因数，有两个是相同的，这就可以根据分配律，得到含小括号的方程。这些都使例2具有举一反三的典型意义。

教材给出了两种方程，其一为两积之和等于已知的总数，让学生自己解答。其二为含小括号的方程，介绍了把小括号内的式子看作一个整体求解的思路和方法，并留有空白让学生自己解完。

类型四：根据公式法列方程（已知三角形面积，梯形面积，圆锥体体积等，求底或高）

如:面积为15平方厘米的三角形纸片的底边长6厘米,这条底边上的高是多少厘米?

这一题目学生再用算术法解答时，在”除以2”的处理上出错或方法欠妥；而用方程解答这一类的应用题就显得异常自然且易于接受，优势非常明显。

三角形的底X三角形的高÷2 ＝ 三角形的面积

6 × h ÷2 ＝ 15

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【中图分类号】G633.6

经过多年的数学教学让我对解应用题有了一定的了解。我认为掌握各种应用题类型的数学模型（公式）是关键。只要我们多动脑劲，勤于归纳出各种类型应用题的数学模型，并进行运用，就可以提高解应用题的能力。并且让学生做到心中有数，以后就不会再那么怕见到应用题了。把实际问题转化为数学问题,即为数学模型。数学模型不同于一般的模型,它是用数学语言模拟现实的一种模型,即把一个实际问题中某些事情的主要特征、主要关系抽象成数学语言、符号,近似地反映事物的内在联系与变化过程。解决此类问题的关键步骤主要有两个:一是建立数学模型(建模);二是运用有关知识求解数学模型(解模或解方程)。建模就是构建适当的数学关系(如公式、函数、方程或图形),使原来的问题情境转化为易于解决的问题的解题方法,解模就是从题设条件和求解结论中得出启示,构造出一些新的数学形式,通过对这些数学形式的研究可以得出解题思路,从而达到解题的目的。

下面我以新人教版九年级（上）数学 第二十二章 一元二次方程 这一章中的应用题类型为例来说明归纳数学模型（公式）的重要性。这一章也是初中介段应用题的重点，特别是生活中的实际问题是我们学习解应用题的最终目的。其中：

一、传播问题中的数量关系模型

设共有m人患病，每轮平均一个人传播b个人，则一轮后，传染了mb人，这样共有m+mb人患病；第二轮后，又传染了(m+mb)b人，共有(m+mb)+(m+mb)b=m(1+b)2人患病。如此下去第三轮后有m(1+b)3人患病，第n轮后有m(1+b)n人患病。利用这一模型就能快速完成这方面的问题：

例：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

解析：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，则第一轮感染x台电脑，已有1+x台电脑被感染，第二轮中感染(1+x)x台电脑，利用上述数学模型m(1+b)n其中这里m=1,b=x,二轮n=2。依题意可列方程：（1+x）2=81（解得x=8） 所以，(1+x)3=729>700故超过700台。这类问题还有很多，比如“流行感冒”、生活中的“传播疾病”等等都可以用到以上数学模型得以解决。

二、增长（降低）率问题中的数量关系模型

若设第一年产量a为，年平均增长或降低率为x，则第二年的产量为a(1±x)1，第三年的产量为a(1±x)2，第n年的产量为a(1±x)n-1。即增长或降低一年为a(1±x)1，增长或降低二年为a(1±x)2，增长或降低n年为a(1±x)n。即数学方程模型：

原有量（1+增长率)n＝现有量原有量（1-降低率)n＝现有量 n表示增（减）的次数

例1、2009年我市实现国民生产总值为1376亿元，计划全市国民生产总值以后各年都以相同的增长率来实现，并且2011年全市国民生产总值为1726亿元。

（1））求全市国民生产总值的年平均增长率？（2）求2010年至2012年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？

解析：利用以上数学模型增长或降低n年为a(1±x)n，

即原有量（1+增长率)n＝现有量这里是从2009年到2011年两年增长，所以a=1376，n=2取+号。根据题意设年平均增长率为x，则列方程为

1376(1+x)2=1726.解这个方程得x=0.12(12%)，

再求第二问（从2010年到2012年三年总值）: 1376(1+12%)+1726+1376(1+12%)2=5200(亿元).

三、利润问题中的数量关系模型。

利润＝每件的利润×件数 即利润＝（每件售价-每件进价）×件数

其中价格的调整对产品的销量的影响是这类问题的难点。一般销量的影响量可以用下边的通式计算：

销量的影响量＝调整价÷单位调整×单位产品销售影响量。

例：某电视机专卖店出售一种新面市的电视机，平均每天售出50台，每台盈利400元。为了扩大销售，增加利润，专卖店决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每台电视机每降价10元，平均每天可多售出5台。专卖店降价的第一天，获利30000元。

问：（1）每台电视机降价多少元？

（2）若你是店主，你准备降价多少可使本店在销售过程中获得最大盈利？

解析：利用上面的利润计算模型公式得 。

利润＝每件的利润×件数件数＝原件数+销量的影响量

销量的影响量＝调整价÷单位调整×单位产品销售影响量。

公式利润＝每件的利润×（原件数+调整价÷单位调整×单位产品销售影响量）

（1）设每台电视机降价x元，则列方程得 30000=(400-x)(50+x÷10×5)

解这个方程得x1=100,x2=200

答：每台电视机降价100元或200元.

（2）设所获得w为，每台电视机降价x元，得

w=(400-x)(50+x÷10×5)w=- 12(x-150)2+31250即当x＝150时，w最大=31250

答：降价150元可使本店在销售过程中获得最大盈利31250元。

四、比赛与握手问题中的数量关系模型

比赛问题分为单循环赛和双循环赛：

设共有x个队参加了比赛，每个队比赛的场数为（x-1）场

单循环赛：比赛的总场数为 12x（x-1）场；双循环赛：比赛的总场数为x（x-1）场。

其中“握手问题”与单循环赛相同。 12x（x-1）次 x是参与握手的人数

例1、学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个队参加了这次比赛？

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一、教学中存在的困惑

实际教学中，当我们引导学生探究出题目中的相等关系后，再列出方程求解。可是真正能做到这一步的同学实在是太少了，我们老师也不知讲过多少遍，但结果仍让我们多少感到有点的失落和遗憾，会的同学你不讲他也自然会，不会的同学你讲了他还是很难会。在我们农村中学，这一点尤为突出。

我曾经不知多少次的埋怨过我的学生，埋怨他们不认真思考，不认真学习。但是，当我发现许多的孩子焦急的脸上挂着汗水的时候，我明白了，不会的原因并不完全是他们不努力学习，更重要的原因应该是我还没有认识学生对应用题的认知规律，所以也就没有为这些孩子提供高效的引领和破解的方法。在不断的思考中我发现，对于基础相对比较弱的学生来讲，他们还处在“机械性”的解决应用题的层面，或者根据已知条件简单的列式，或者附带小学的一些算数求解的方法，或者生搬硬套一些自己不成熟的经验。

二、突破策略

学生不学不会那是学生的原因，学生学了不会我想应该是我的原因。于是，怎样才能大面积的提高学生破解方程应用题的能力和水平成了我一直思考的一个问题，鉴于学生基础比价薄弱以及还处在“机械性”的解决应用题的层面，所以，我尝试应用了《画表填空列方程》的方法，来进行应用题的破解探究。

下面根据2008年我市的一道中考题为例，详述具体的操作过程：

在某道路拓宽改造工程中，一工程队承担了24千米的任务。为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少千米？

先根据设未知数的方法，我们设原计划平均每天改造道路x千米。

具体操作过程如下：

第一步：先画一个三行四列的表格如下：

第二步：明晰“三要素”和“两情况”，并填到表格中。

第三步：结合所设未知数，将已知的量对号入座到表格中。

第四步：根据“三要素”之间的关系，列出计划和实际分别所需的时间。

三、教学反思

1.对于那些一见到应用题就一筹莫展的同学来讲，我们应当利用学生“机械性”操作的弱点，就让他们机械性的按上面的五个步骤进行操作，首先不管三七二十一先画出一个“三行四列”的表格来，然后从条件中找到“三要素”和“两情况”，接着将已知的量对号入座到表格中，然后根据“三要素”之间的关系将空缺的格子填出来，最后依据三要素中的某个量列出方程。

2.从步骤上看来，显得有点复杂了，但在每相邻的两个步骤之间却又是那么的简单可行，其实，这正是因为步骤多才把复杂的题给分解了，而且这五个步骤可以让学生机械性的记忆，然后就去将一些数据往里面套，套的时间长了，套的题目多了，学生自然而然的就领悟到老师的真正用意了，最后就可以脱离这个表格而能进行快速的思考解决问题了。

3.并不是所有的题都必须用“三行四列”的表格来解决，有些应用题是不必利用这种分析的方法的，那就要具体情况具体分析了。但是，笔者可以毫不隐瞒的告诉大家，我们经历的所有的方程或者是不等式（组）的应用题中，绝大部分的题目都可以通过列表来分析，只是列的表不一定是“三行四列”而已，笔者即将在今后和大家再谈其他的列方程的方法。

4.对于能通过列表找到方程的应用题，也未必就非刻意的去列表，比如，本来根据自己的思考就能很快作答的应用题，你非要通过画表填空，岂不是画蛇添足吗？当你处在“山重水复疑无路”的时候，可以借助一个“三行四列”的表格，进行按部就班的思考，将会带你走进“柳暗花明又一村”的境地，这种做法还是很有必要的。

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列方程解应用题既是对学生应用数学知识解决各种实际问题的技能技巧的一个检验，也是考查学生分析问题和解决问题能力的重要内容。列方程解应用题知识贯穿整个初中代数部分，从初一到初三都涉及列方程或列方程组解实际问题的内容。应用题是初中数学的重要内容，也是一个难点。由于应用题涉及的数学知识较多，综合性强，解法灵活，是开发学生智力、培养学生分析问题能力逻辑思维能力和创造能力的极好素材，因而它是近几年中考和初中数学竞赛中的热门题型之一。多数学生对应用题觉得无从下手，面对这些问题，教师应该更进一步地去研究和探讨这方面的内容。

列方程解应用题要求学生知识面广，基础扎实、思维灵活，但这样的学生毕竟较少，所以列方程解应用题是我们初中数学教学的难点和焦点。在教学中如何提高学生列方程解应用题的能力呢?我们不妨从以下几个方面进行探讨：

1.建立学生学习的信心和耐心

列方程解应用题来源于日常生活，我们可以利用一些生活中的实例来建立学生学习的信心和耐心。现代教育学家都持这样的观点：“学好科学文化基础知识的首要问题是学生有决心和信心去学习。”只要让学生将学习当做自己的事，教育也就成功了一半。

2.抓牢四个步骤

列方程解应用题一般要经过四个步骤：(1)审题。让学生认真研读题目、理解题意、分清题设和结论、明确目标。（2）分析。寻找题目中的条件和结论之间的本质联系，从而探索解题的途径。(3)解答。在把握好题目全局的基础上写出标准的解答过程，只有书写认真清楚，才能培养学生严谨的学习态度。(4)校对。解答完后要培养学生进行回顾、检验与讨论所得解答的习惯。因为这些问题对学生来讲并不简单，特别是对问题中隐含的某些限制条件，学生不一定能注意到。例如有这样一题:一次考试出了25道题，在所给的四种答案中选定一种。答对一题得4分，不答或答错一题倒扣1分，如果一个学生得90分，他答对了几道题?一位学生是这样做的：

解：设得90分的学生答对了X道题，由题意得方程：4X=90，解得X=22.5，即该学生答对了22.5道题。

另一位学生是这样做的：

解：设得90分的学生答对了X道题，则不答或答错25-X，由题意得方程：100-(25-X)=90，解得X=15，即该学生答对了15道题。

看上去上面的两种做法都是正确的。其实只要我们回到题目中认真分析一下不难发现两种皆错。第一个学生没有搞清楚这个题目隐含的条件：要么答对，要么答错或不答，即答案应该是非负整数，所以出现22.5道题的错误答案。第二个学生虽然得出整数解15道题，但是他没有从全局上把握好这个问题的实质，如果这个学生再仔细分析一下的话就会发现许多破绽：首先答对一题得4分，答对15道题只有60分，其次还要扣除答错或不答的10道题10分，这样的话答对15道题只能得50分而不是90分。因此学生在列方程解应用题时一定要抓牢四个步骤，以免出错。

3.找准等量关系

找准等量关系是列方程解应用题的核心，也是学生最无从下手的问题，因为它所涉及的知识面比较广，如：物理公式、价格问题、银行利率问题、溶液浓度问题、工程问题等。寻找等量关系的方法很多，包括译式分析法、列表分析法、线示分析法逆推法、图示分析法、层层分析法等。就初中数学中涉及的列方程求解应用题的题型，这里着重讨论前四种方法在初中数学教学中的运用。

（1）译式分析法。所谓译式分析法就是将题目中关键性的语言翻译成代数式，把文字语言翻译成代数语言，然后分析它们之间的关系的方法。翻译的步骤一般是：(1)翻译未知量(即设出未知量);(2)翻译属性量(即题目中的主要属性)，用已知数和未知数组成的代数式表示所有的主要属性;(3)翻译等量(即同时表示一个属性量的两个代数值必定相等)。只要我们注意分析，正确理解题意，逐个进行翻译，当翻译完毕时，方程也就基本成形了。如:某市有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口将增加1%，求这个市现在的城镇人口与农村人口。

分析：本题有两个未知数，城市人口与农村人口。

属性量及关系：①农村人口=总人口-城镇人口，②农村人口×1.1%=总人口×1%-城镇人口×0.8%。

变化过程：①设现在城镇人口是X万，农村人口为（42-X）万。

②一年后城镇人口增加(0.8%X)万，农村人口增加1.1%(42-X)万，总人口增加42×1%万。

③由题意得方程：1.1%(42-X)=1%×42-0.8%X，解方程得X=14，则42-X=28。即城镇人口是14万，农村人口是28万。

（2）列表分析法。顾名思义，就是将题目中的已知量和未知量表示到表格中，利用表格分析出各种量之间的关系，最后列出方程的方法，这种方法学生比较容易理解和掌握。

（3）线示分析法。如相遇问题、追击问题用线示分析法就比较直观，使学生很快地找到等量关系的一种捷径。

（4）逆推法。逆推法也叫做还原法，就是把问题发生的顺序倒过来，用逆推的方法逐步还原来解答一些问题。解应用问题，多数学生都习惯用直接解法，但对于直接解法比较困难的问题不妨使用逆推法，有时可能使复杂问题简单化。

4.注意几个事项

在找准等量关系列出方程求解应用题时，还要注意以下几个问题：(1)未知数的作用;(2)对未知数补充条件的探讨;(3)单位换算，有些问题中已知条件的单位不同时，必须先化相同;(4)方程两边的代数式表示同一个属性量。

以上探讨了关于列方程求解应用问题的初步方法，尽管以上不能包括列方程解应用问题的所有内容，但在数学教学中有一定的价值，只要我们每一个数学教师都能去认真研究教法，我们的数学教育教学水平一定会有大的改观。

参考文献：

［1］初中数学教材.