机械能守恒定律汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇机械能守恒定律范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化;

2.会正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件;

3.在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能列出机械能守恒的方程式。

二、过程与方法

1.学会在具体的问题中判定物体的机械能是否守恒;

2.初步学会从能量转化和守恒的观点来解释物理现象，分析问题。

三、情感、态度与价值观

通过能量守恒的教学，使学生树立科学观点，理解和运用自然规律，并用来解决实际问题。

【教学重点】

1.掌握机械能守恒定律的推导、建立过程，理解机械能守恒定律的内容;

2.在具体的问题中能判定机械能是否守恒，并能列出定律的数学表达式。

【教学难点】

1.从能的转化和功能关系出发理解机械能守恒的条件;

2.能正确判断研究对象在所经历的过程中机械能是否守恒，能正确分析物体系统所具有的机械能，尤其是分析、判断物体所具有的重力势能。

【教学方法】

演绎推导法、分析归纳法、交流讨论法。

【教具】

细线、小球、带标尺的铁架台。

【教学过程】

一、引入新课

教师活动：我们已学习了重力势能、弹性势能、动能。这些不同形式的能是可以相互转化的，那么在相互转化的过程中，他们的总量是否发生变化?这节课我们就来探究这方面的问题。

二、进行新课

1.动能与势能的相互转化

演示实验：如图所示，用细线、小球、带有标尺的铁架台等做实验。

把一个小球用细线悬挂起来，把小球拉到一定高度的

点，然后放开，小球在摆动过程中，重力势能和动能相互转化。我们看到，小球可以摆到跟

点等高的

点，如图甲。

如果用尺子在某一点挡住细线，小球虽然不能摆到

点，但摆到另一侧时，也能达到跟

点相同的高度，如图乙。

问题：这个小实验中，小球的受力情况如何?各个力的做功情况如何?这个小实验说明了什么?

学生：观察演示实验，思考问题，选出代表发表见解。

小球在摆动过程中受重力和绳的拉力作用。拉力和速度方向总垂直，对小球不做功;只有重力对小球能做功。

实验结论：小球在摆动过程中重力势能和动能在不断转化。在摆动过程中，小球总能回到原来的高度。可见，重力势能和动能的总和，即机械能应该保持不变。

教师：通过上述分析，我们得到动能和势能之间可以相互转化，那么在动能和势能的转化过程中，动能和势能的和是否真的保持不变?下面我们就来定量讨论这个问题。

2.机械能守恒定律

物体沿光滑曲面滑下，只有重力对物体做功。用我们学过的动能定理以及重力的功和重力势能的关系，推导出物体在

处的机械能和

处的机械能相等。

教师：为学生创设问题情境，引导学生运用所学知识独立推导出机械能守恒定律。让学生亲历知识的获得过程。

学生：独立推导。

教师：巡视指导，及时解决学生可能遇到的困难。

推导的结果为：，

即

。

可见：在只有重力做功的物体系统内，动能和重力势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

同样可以证明：在只有弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以相互转化，总的机械能也保持不变。

结论：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和弹性势能可以相互转化，总的机械能也保持不变。这就是机械能守恒定律。

3.例题与练习

例题：把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，如图，摆长为

，最大摆角为

，小球运动到最低位置时的速度是多大?

学生：学生在实物投影仪上讲解自己的解答，并相互讨论;

教师：帮助学生总结用机械能守恒定律解题的要点、步骤，体会应用机械能守恒定律解题的优越性。

总结：

1.机械能守恒定律不涉及运动过程中的加速度和时间，用它来处理问题要比牛顿定律方便;

2.用机械能守恒定律解题，必须明确初末状态机械能，要分析机械能守恒的条件。

练习一：如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的

为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是()

解析：机械能守恒的条件是：物体只受重力或弹力的作用，或者还受其它力作用，但其它力不做功，那么在动能和势能的相互转化过程中，物体的机械能守恒。依照此条件分析，ABD三项均错。答案：C。

练：长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1/4垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大?

解析：链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功。整根链条总的机械能守恒，可用机械能守恒定律求解。设整根链条质量为

，则单位长度质量(质量线密度)为

，设桌面重力势能为零，由机械能守恒定律得：

解得

4.课下作业：完成25“问题与练习”中4.5题。

5.教学体会

机械能守恒定律是能量守恒定律的一个特例，要使学生对定律的得出、含义、适用条件有一个明确的认识，这是能够用该定律解决力学问题的基础。

本节知识点包括：机械能守恒定律的推导;机械能守恒定律的含义和适用条件。

篇（2）

1、验证机械能守恒定律一般采用打点计时器算加速度的方法。

2、在只有重力或弹力做功的物体系统内(或者不受其他外力的作用下），物体系统的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总能量保持不变。这个规律叫做机械能守恒定律。

3、机械能守恒条件是：只有系统内的弹力或重力所做的功。【即忽略摩擦力造成的能量损失,所以机械能守恒也是一种理想化的物理模型】,而且是系统内机械能守恒。一般做题的时候好多是机械能不守恒的，但是可以用能量守恒，比如说把丢失的能量给补回来。

（来源：文章屋网 ）

篇（3）

1、在只有重力或弹力做功的物体系统内(或者不受其他外力的作用下），物体系统的动能和势能（包括重力势能和弹性势能）发生相互转化，但机械能的总能量保持不变。这个规律叫做机械能守恒定律。

2、机械能守恒定律：在只有重力或系统内弹力做功的物体系统内，物体的动能和势能可以相互转化，但机械能保持不变。

（来源：文章屋网 ）

篇（4）

机械能守恒定律教学内容的重要性

机械能守恒定律是高中物理力学中的重要定律之一，是在学生初步了解动能和势能后所提出的，在高中阶段的物理学习中占有重要地位，在整个高中力学中起着承前启后的作用。且在力学相关问题的解题过程中，相较于牛顿定律，运用机械能守恒定律更加简单便捷。但机械能守恒定律相关概念和规律具有抽象性强，难于理解的特点，要达到让学生灵活运用机械能守恒定律的教学目标，可谓是难上加难。因此，在机械能守恒定律的教学过程中，教师往往由浅入深，逐步深化，使学生牢牢掌握定律相关内容及其应用条件。

械能守恒定律的教学思路

课程目标。教学目标的设计是教师备课过程中必不可少的环节，教师应从知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度来设立具体的教学目标。例如：知识与技能目标可以设立为：理解动能与重力势能及弹性势能的相互转化规律 ；理解并掌握机械能守恒定律的表达式。过程与方法目标可以设立为：理解机械能守恒定律的应用条件。情感态度与价值观方面的目标可以设立为： 锻炼并培养学生理论联系实际、学以致用的思想。以此更加全面的使学生了解本堂课的任务与目标，同时提高教师教学的针对性。

课前准备。教师的课前准备工作包括教学方案的设计、教学课件和导学案的制作等。在课件的制作方面，应紧贴教学目标和教学过程，达到板书与课件的完美配合，在课件中展示部分难以用语言表达清楚的图片或视频等，提高课堂的趣味性与高效性。在导学案制作方面，应做到具体但又不失精炼，突出重难点。

2.3教学过程

因机械能守恒定律在力学中起着承前启后的作用，因此，在课程开始时，应带领学生回顾之前所学的动能、势能和机械能相关知识。结合课件展示生活中较为常见的动能与势能转化的例子，例如游乐园中过山车的精彩片断，摆钟等等，以此引发学生的学习兴趣，并引出本节课的教学内容。在学生观看过山车视频时，教师可适时的引导学生分析其中动能和势能的转化关系，然后让学生自主分析摆钟的动能势能转化关系。在同学阐述，教师总结过后，可以进入具体的教学内容：分别探讨动能和重力势能、动能和弹性势能的相互转化关系。

首先，动能和重力势能的相互转化关系。教师提出问题：物体进行自由落体运动，在此运动过程中，物体的动能和重力势能之和是否始终不变？以此，引导学生展开自主合作探究活动。题目设置如下：设圆球在下落过程中经过高度分别为h1和h2的A、B任意两点，小球再此两点的速度分别为v1和v2 .如图1所示，请分析小球在A、B两点的机械能之间的数量关系。

A点到B点，由动能定理可以得到表达式：WG=Ek2一Ekl，由重力做功和重力势能变化关系可以得到表达式：WG=Epl一Ep2，由此两式综合可得Ek2一Ekl=Epl一Ep2，移项整理后即可得E2=E1，由此便可的出结论：只有重力做功时，动能和势能之和保持不变。

其次，动能和弹性势能的相互转化。教师可提出问题：光滑水平面上放置一水平弹簧，弹簧顶端固定一光滑小球（如图2），在振动过程中，小球和弹簧整体的动能和弹性势能的变化是否具有类似规律？由此引导学生自主探究分析，最终得出结论，在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

最后，强调机械能守恒定律的条件。通过课件展示定律内容，引导学生自主总结守恒条件。一、只受重力（弹力），不受其他力的情况，如自由落体的物体。二、除重力 （弹力 ）以外还有其他力，但其他力都不做功的情况，例如图2所示运动。

在讲述完成后，结合习题帮助学生巩固所学内容。

篇（5）

2 学生分析

学生在初中已经了解动能和势能的概念，动能和势能可以相互转化。通过本章前面几节的学习，学生加深对动能和势能的概念理解，知道重力做功与重力势能的关系，并会运用动能定理解决简单的问题。但中职学生物理水平普遍不高，学习物理的能力不强，本设计力图通过生活实例和物理实验，展示相关情景，激发学生的求知欲，引出对机械能守恒定律的探究，体现从“生活走向物理”的理念，通过建立物理模型，由浅入深进行探究，让学生领会科学的研究方法，并通过规律应用巩固知识，体会物理规律对生活实践的作用。

3 教学目标

3.1 知识与技能

1）通过演示实验，让学生知道物体的动能和势能可以相互转化。2）通过对物体做自由落体的例子分析、推导，得出物体做自由落体的机械能守恒；并理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。3）在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能列出机械能守恒的方程式。

3.2 过程与方法

1）通过学习机械能守恒定律的推导过程，学会研究物理的科学方法。2）通过对机械能守恒定律的理解，学会在具体的问题中判定物体的机械能是否守恒；学会运用能量转化和守恒来解释物理现象及分析问题的方法。

3.3 情感、态度与价值观

1）通过实验及物理现象增加学生对物理知识规律的求知热情；2）通过能量守恒的教学，使学生树立科学观点，理解和运用自然规律，并用来解决实际问题。

4 教学重点

1）掌握机械能守恒定律的推导、建立过程，理解机械能守恒定律的内容；2）在具体的问题中能判定机械能是否守恒，并能列出定律的数学表达式。

5 教学难点

1）从能的转化和功能关系出发理解机械能守恒的条件；2）能正确判断研究对象在所经历的过程中机械能是否守恒，能正确分析物体所具有的机械能，尤其是分析、判断物体所具有的重力势能。

6 教学方法

演绎推导法、分析归纳法、讨论法。

7 教具

滚摆（或溜溜球）、铁球、圆形轨道（过山车模型）、细线、钢球、投影片、弹簧振子。

8 教学过程

8.1 复习提问，导入新课

1）教师提问。本章我们已经学习了哪几种形式的能？动能定理的内容和表达式是什么？物体重力做的功与重力势能的变化之间有什么关系？

2）学生回答。本章我们已经学习了动能、重力势能、弹性势能。动能定理的内容：合力对物体所做的功，等于物体动能的改变量。表达式：W合=EK1-EK2。物体重力做的功与重力势能的变化之间的关系：物体重力做的功等于重力势能的减少量。

3）教师总结。动能定理中物体动能的改变量是物体的末动能减去初动能，定理的表达式：W合=EK1-EK2。物体重力做的功与重力势能的变化之间的关系中的重力势能的减少量是初位置的重力势能减去末位置的重力势能，关系表达式：WG=EP1-EP2。动能、重力势能、弹性势能统称为机械能，本节课我们就来研究有关机械能的问题。提出课题：机械能守恒定律。

8.2 进行新课

1）举例分析机械能之间的相互转化。

演示实验1：滚摆

演示实验2：过山车模型（铁球从圆形轨道某一高度滚下）

引导学生分析得出：通过重力做功，物体的动能和重力势能之间可以相互转化。

展示图片“撑杆跳高”“拉弓射箭”，引导学生分析得出：通过弹力做功，物体的动能和弹力势能之间可以相互转化。

总结结论：机械能之间可以相互转化。

2）探寻机械能之间相互转化所遵循的规律。

①定性分析。

演示实验3：钢球用细绳悬起，请一学生靠近，将钢球偏至他鼻子处释放，钢球摆回时，观察该生反应。（调节课堂气氛，激发学生学习的兴趣。）释放钢球后，钢球来回摆动，摆回到该生鼻子处返回，不会碰到鼻子。

演示实验4：将小钢球用细线悬挂一端固定在黑板上部，把小球拉到一定高度的A点，然后放开，让小球在同一平面内摆动。观察到小球可以摆到跟A点等高的C点，如图1甲。再用一钉子固定在小黑板上某点挡住细线，再观察，发现小球虽然不能摆到C点，但摆到另一侧时，也能达到跟A点相同的高度，仍等高，如图1乙。

问题1：这个小实验中，小球的受力情况如何？各个力的做功情况如何？能量转化情况？问题2：小球摆动过程中总能回到原来高度，好像“记得”自己原来的高度，说明在摆动过程中有一个物理量是保持不变的，是什么呢？

学生观察演示实验，思考问题，发表见解：“小球受重力和绳的拉力，绳的拉力不做功，只有重力做功。下降时，重力做正功，重力势能减少，动能增加；上升时，重力做负功，重力势能增加，动能减少。小球摆动过程中总能回到原来高度，说明重力势能与动能的总和保持不变，也就是机械能保持不变。”

②定量分析推导。提出研究方法：在探究物理规律时，应该是由简单到复杂，逐步深入，先对简单的物理现象进行探究，然后加以推广深化。在动能与势能转化的情景中，自由落体（只受重力）应该是比较简单的。

投影片如图2所示，质量为m的物体自由下落过程中，经过位置1时，高度h1，速度v1；下落至位置2时，高度h 2，速度v2。引导学生思考分析：若不计空气阻力，分析物体由h1下落到h2过程中机械能的变化。

分析：质量为m的物体自由下落过程中，只有重力做功，根据动能定理，有WG=mv22-mv12。下落过程中重力对物体做功，重力做功在数值上等于物体重力势能的变化量。取地面为参考平面，有WG=mgh1-mgh2。由以上两式可以得到mv22-mv12=mgh1-mgh2①。移项得mgh1+mv12=mgh2+mv22②，即EP1+EK1=EP2+EK2，E1=E2。引导学生讨论式①的含义是什么？式②的含义又是什么？

在表达式①中，左边是物体动能的增加量，右边是物体重力势能减少量，该表达式说明：物体在下落过程中，重力做了多少正功，物体的重力势能就减小多少，同时物体的动能就增加多少。在表达式②中，左边是物体在初位置时的机械能，右边是物体在末位置时的机械能，该式表示：动能和势能之和不变即总的机械能守恒。

3）分析机械能守恒的条件。举例分析：物体沿光滑斜面下滑，上述结论是否成立；物体沿光滑曲面下滑，上述结论是否成立。由学生推导、分析：物体沿光滑斜面或光滑曲面下滑时，受重力和支持力作用，支持不做功，只有重力做功，由动能定理和重力做功，同样得出动能和势能之和即总的机械能保持不变。

演示实验5：弹簧振子（水平方向）来回振动。引导学生分析得出：在只有弹力做功的情形下，系统的动能和弹力势能可以相互转化，总的机械能也保持不变。

演示实验6：竖直弹簧振子的振动。引导学生分析得出：只有重力和弹力做功的情形下，系统的动能和重力势能、弹力势能相互转化，总的机械能也保持不变。

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4）归纳结论。在只有重力和弹力做功的情况下，物体（系统）的动能和势能可以相互转化，物体机械能总量保持不变。这个结论叫做机械能守恒定律。

8.3 巩固拓宽

【投影片】

1.分析下列情况下机械能是否守恒

A.跳伞运动员从空中匀速下降的过程

B.重物被起重机匀速吊起的过程

C.物体做平抛运动的过程

D.物体沿光滑圆弧面下滑

【分析】机械能守恒的条件：物体只受重力或弹力的作用，或者还受其他力作用，但其他力不做功，那么在动能和势能的相互转化过程中，物体的机械能守恒。依照此条件分析，AB项均错。答案：CD。

2.某人站在h1=10 m高的阳台上，以v1=10 m/s的速度随意抛出一个小球，如果不计空气阻力，求小球落地时速度的大小。

【分析与解答】小球被随意抛出，可能上抛、斜抛或斜下抛，方向不定，用牛顿第二定律难以求解落地时的速度大小。本题用机械能守恒定律来解。

小球在空中飞行过程中，只有重力做功，机械能守恒。取地面为零势能面，小球被抛时，重力势能mgh1，动能mv12；小球落地时，重力势能mgh2=0，动能mv22。根据机械能守恒定律，mgh1+mv12=mgh2+mv22，得mgh1+mv12=mv22，所以v22=2gh1+v12=2×9.8×10+102，v2≈17.2 m/s。

引导学生分析总结此题的解题要点、步骤。机械能守恒定律不涉及运动过程中的加速度、时间及速度方向，用它处理问题要比牛顿定律方便。运用机械能守恒定律解题的基本步骤：1）审题，明确研究对象；2）对研究对象进行受力分析，并分析各力做功情况，判断是否符合机械能守恒条件；3）（符合）选取零势能面，找出物体初、末两状态的动能和势能；4）根据机械能守恒定律列等式，求解。

8.4 总结（略）

8.5 作业布置

1）课本P131知识研读；2）课本P132思考与练习“1.2”。

8.6 板书设计

5.5 机械能守恒定律

1、机械能

定义：动能、重力势能、弹性势能统称为机械能

总的机械能：E=EK+EP

2、机械能之间可以相互转化

3、机械能守恒定律

1）内容：在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。2）数学表达式：mgh1+mv12=mgh2+mv22或EP1+EK1=EP2+EK2。

4、机械能守恒条件

1）物体只受重力或弹力的作用；2）物体除受重力或弹力的作用外，还受其他力，其他力不做功或所做功的代数和为零。

篇（6）

在所研究的过程中，任选两个不同的状态，研究对象的机械能必定相等，即E2=E1。通常我们关心的是一个过程的首、末两状态，此式也可理解成首、末两状态机械能相等，但应注意的是，首、末两状态机械能相等，不能保证研究对象在所研究过程中机械能一定守恒，只有在过程中任选一个状态，其机械能都保持恒定值时，研究对象的机械能才是守恒的。

例1. 质量为m的物体沿光滑的轨道滑下，轨道的形状如图1所示，与斜轨道相接的半圆轨道半径为R，要使物体沿半圆光滑轨道恰能通过最高点，物体应从离轨道最低处多高的地方由静止开始滑下？

解析：物体在沿光滑的轨道滑动的整个过程中，只有重力做功，故物体机械能守恒，设物体应从离轨道最低点h高的地方开始由静止滑下，取轨道的最低点处水平面为零势能面，物体在运动到半圆形轨道的最高点时速度为v，根据机械能守恒定律得mgh=mv2+2mgR

要使物体恰好能通过半圆轨道的最高点，条件是

mg=m

由以上两式得h=2R+=R

二、从转化的角度理解

在所研究的过程中，研究对象（或系统）动能的增加量等于势能（包括重力势能和弹性势能）的减少量；反之，研究对象（或系统）动能的减少量等于势能的增加量，即Ek=-Ep。

例2. 如图2所示，跨过定滑轮的轻绳两端各系一个物体，B物体的质量是A物体质量的一半，在不计摩擦阻力的情况下，A物体自H高度处由静止开始下落，且B物体始终在平台上，若以地面为参考平面，当物体A的动能与其重力势能相等时，物体A离地面的高度是多少？

解析：若选A为研究对象，在下落过程中，除重力做功外，还有绳子对它的拉力做负功，机械能不守恒，若以A、B系统（包括绳）作为研究对象，绳子拉力对A做负功与对B做正功的代数和为零，对系统而言只有重力做功，系统的机械能守恒，如果从能量转化的观点理解这一系统的机械能守恒，应是A物体减少的重力势能mAg(H-h)等于系统增加的动能(mA+mB)v2，即mAg(H-h)=(mA+mB)v2 （1）

当A物体的动能和重力势能相等时有mAgh =mAv（2）

根据题意有mA=2 mB （3）

由（1）（2）（3）式求得h =H

三、从转移的角度理解

系统某一部分机械能减少了多少，其它部分的机械能就增加了多少；反之亦然，可用E1=-E2表示，这种表述形式适用于某一系统机械能守恒的表述。也可理解为系统内某一物体动能（或势能）减少了多少，该物体的势能（或动能）以及系统内其它物体的机械能就要增加多少。简单地说，在所研究的系统内，机械能有减就有增，减少的量值应与增加的量值相等。

例3. 如图3所示，一轻杆可绕O点的水平轴无摩擦地转动，杆两端各固定一个小球，球心到O轴的距离分别为r1和r2，球的质量分别为m1和m2，且 m1>m2，r1>r2，将杆由水平位置从静止开始释放，不考虑空气阻力，求小球m1摆到最低点时的速度是多少？

解析：以轻杆两端的小球m1、m2组成的系统为研究对象，在m1摆下的过程中系统机械能守恒。m1摆到最低点时，其重力势能减少了m1gr1，动能增加了m1v21，在此过程中，m2球的动能、势能分别增加了m2v22和m2gr2。根据机械能守恒定律能量转移的观点有E1=-E2，m1减少的重力势能应等于m1增加的动能和m2增加的动能和重力势能之和，列出表达式为

m1gr1=m1v21+m2v22+m2gr2 （1）

根据m1、m2的角速度ω相同，有v1=r1ω，v2=r2ω，即=

所以m1摆到最下端时的速度为v1=（1）

也可将（1）式写成如下形式

篇（7）

    “在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能和势能可以相互转化,而总的机械能保持不变”,这是机械能守恒定律的内容。机械能守恒定律的适用条件是“只有重力或弹力做功的物体系统。”由这个条件可以推理出:在系统内若还有其它力做功,并且做功不为零,那系统的机械能就不守恒。

    例如“一架吊车吊起一质量为m的重物并上升”这一物理过程,从力做功的角度看,在重物上升的过程中除了重力做功以外吊车对重物的拉力也做了功,所以重物的机械能不守恒。从能量转化的角度来看,在这一过程中除了动能与势能的相互转化以外,还存在其它形式能向机械能的转化,所以物体的机械能不守恒。

    再例如:一轻质弹簧一端固定在竖直的墙上,另一端与一质量为m的物体相连,放在粗糙的水平面上,先压缩弹簧然后释放。弹簧与物体组成的系统在整个运动过程中,除了弹簧的弹力做功以外还存在物体与水平面的摩擦力做功,在摩擦力做功的同时系统的一部分机械能转化为内能,所以系统的机械能不守恒。

    由此可知,在一个物体系统内,除了重力或弹力做功以外其它力做功不为零,则系统的机械能将发生变化。那么机械能的变化与外力(除了重力或弹力以外的力,后面都称为“外力”)做功存在什么关系呢?下面我们通过推导来寻找。

    一架吊车用力F把质量为m的物体吊起,当物体距地面高度为h1时速度为v1,当距地面高度为h2时速度为v2,求物体从h1到h2过程中拉力F做的功

    解析:物体上升的过程中受到重力和拉力,并且两个力都做功,由动能定理得:

    W-mg(h2-h1)=12MV22-12MV21

    所以W=12MV22-12MV21+mg(h2-h1),

    或者W=(12MV22+mgh2)-(12MV21+mgh1)

    其中12MV22+mgh2为物体末状态的机械能,12MV21+mgh1为初状态的机械能。这个公式说明:在一个物体系统内,外力做功等于系统机械能的变化量。

    通过上面的内容可以得到这样一个结论:在一个物体系统内除了重力或弹力以外的力做功不为零,则系统机械能不守恒,外力做功等于机械能的变化量。当外力做正功时,机械能增加,增加的机械能等于外力所做的功;当外力做负功时,机械能减少,减少的机械能等于物体克服外力所做的功。有了这个结论,在一些题目中就可以直接运用。

    例1,质量为m的物体,从静止开始以g/2的加速度竖直下落h的过程中,以下说法正确的是()

    A.物体的机械能守恒。B.物体的机械能减少mgh/2

    C.物体的重力势能减少mghD.物体克服阻力做功为mgh/2

    解析:由物体下落的加速度可知物体下落时受到重力和一外力(阻力),并且这两个力都对物体做功不为零,所以物体的机械能不守恒;阻力对物体做负功,由上面的结论可知物体的机械能减少。由牛顿第二定律可得阻力f=mg/2,所以物体克服阻力做功mgh/2,物体机械能减少mgh/2;重力做功mgh,所以重力势能减少mgh。所以本题目答案是BCD。

    例2,如图所示,具有一定初速度的物体,沿倾角为30。的粗糙斜面向上运动的过程中,受一个恒定的沿斜面向上的拉力F的作用,这时物块的加速度大小为4m/s2,方向沿斜面向下,那么在物块向上运动过程中,正确的说法是()

    A.物块的机械能一定增加 B.物块的机械能一定减少

    C.物块的机械能可能不变 D.物块的机械能可能增加也可能减少

    解析:本题中的物体受到重力、斜面的支持力、摩擦力和拉力,其中除了支持力不做功外,其它力都对物体做功,摩擦力做负功,拉力做正功。若两个力的功的代数和为零,则物体的机械能不变,若不为零物体的机械能就发生变化。所以这个题目转化为比较摩擦力和拉力的大小。对物体由牛顿第二定律可得

    mgsin30。+f-F=ma

    所以 F=mgsin30。+f-ma 由已知条件可得拉力大于摩擦力,所以拉力与摩擦力的合力做正功,物体的机械能增加,答案是A。

    这种题目在力学中经常出现,即便在静电场中也时有出现,例如:(例3)一质量为m的带电小球,在竖直方向的匀强电场中以速度v0水平抛出,小球的加速度大小为2g/3,则小球在下落高度h过程中()

    A.动能增加了2mgh/3B.电势能增加了mgh/3

篇（8）

■ 例1 如图1所示，长为L的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球A、B，为使轻质硬棒能绕转轴O转到最高点，求：A小球在图示位置应具有的最小速度？

■ 解析 虽杆对两小球分别都做了功（功值难判断），但因系统除机械能外，没有其它形式的能产生，所以系统的机械能守恒. 因为小球转到最高点的最小速度为0，且最低点时，vB=vA/2，设最低点A球最小速度为v，有：

■mv2+■m■2=mgL+mg×2L

得：v=■=■

2. 系统性 势能是系统的概念，只有系统才具有势能，而且存在于保守力场中，如：重力势能（属于地球和物体系统所有）、弹簧的弹性势能（属于弹簧和与之连接的物体所组成的系统所有）、静电场中的电势能（属于电场和电荷系统所有）、分子势能（属于相互作用的分子系统），例1中系统的机械能即为两球的动能与重力势能的总和. 多物体系统的机械能守恒表达式，常常用ΔE=0，更简单明了.

■ 例2 如图2所示，质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态. 一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩. 开始时各段绳都为伸直状态，A上方的一段沿竖直方向. 现在挂钩上挂一质量为m3的物体C，由静止释放C，A上升，最后B刚要离开地面，但没有向上运动. 若将C换成另一个质量为（m1+m3）的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g.

■ 解析 开始时，B静止，设弹簧的压缩量为x1，则

kx1=m1g

挂C后，当B刚要离地时，设弹簧伸长量为x2，有

kx2=m2g

此时，A和C速度均为零. 从挂C到此时，根据机械能守恒定律，弹簧弹性势能的改变量为ΔEp

ΔEp-m3g（x1+x2）+m1g（x1+x2）=0

将C换成D后，有

ΔEp+■（m1+m3+m1）v2-（m1+m3）g（x1+x2）+m1g（x1+x2）=0

联立以上各式可以解得

v=■

3. 相对性 机械能包含动能和势能，Ek=■mv2中涉及到参考系的选择，这里只能选惯性参考系. Ep=mgh中涉及到零势能位置（参考平面）的选取，（弹性势能的零势能位置为弹簧的原长处），因此相对于不同的参考系和零势能面描述的结果不相同，涉及多个物体组成的系统或发生多个物理过程，要选取统一的惯性参考系和零势能面.

■ 例3 如图3所示，将质量均为m、厚度不计的两物块A、B用轻质弹簧相连接. 第一次只用手托着B物块于H高度，A在弹簧弹力的作用下处于静止，现将弹簧锁定，此时弹簧的弹性势能为Ep，现由静止释放A、B，B物块刚要着地前瞬间弹簧瞬间自动解除锁定（解除锁定无机械能损失），B物块着地后速度立即变为0，在随后的过程中B物块恰能离开地面但不继续上升. 第二次用手拿着A、B两物块，使得弹簧竖直并处于原长状态，此时物块B离地面的距离也为H，然后由静止同时释放A、B，B物块着地后速度同样立即变为0. 求：

（1） 第二次释放A、B后，A上升至弹簧恢复原长时的速度v1.

（2） 第二次释放A、B后，B刚要离地时A的速度v2.

■ 解析 （1） 第二次释放A、B后，A、B做自由落体运动，B着地后，A和弹簧相互作用至A上升到弹簧恢复原长过程中，弹簧对A做的总功为零.

对A从开始下落至弹簧恢复原长过程，对A由机械能定律有mgH=■mv21

解得v1=■方向向上.

（2） 设弹簧的劲度系数为k，第一次释放AB前，弹簧向上产生的弹力与A的重力平衡.

设弹簧的形变量（压缩）为Δx2，有Δx2=■

第一次释放AB后，B刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B的重力平衡

设弹簧的形变量（伸长）为Δx2，有Δx2=■

第二次释放AB后，在B刚要离地时弹簧产生向上的弹力与B的重力平衡

设弹簧的形变量（伸长）为Δx3，有Δx3=■

由上得：Δx2=Δx2=Δx3

即这三个状态，弹簧的弹性势能都为Ep.

在第一次释放AB后至B着地前过程，对A、B和弹簧组成的系统由机械能守恒有

2mgH=■×2mv2

从B着地后到B刚要离地的过程，对A和弹簧组成的系统，由机械能守恒有

篇（9）

“在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变”，这是机械能守恒定律的内容。机械能守恒定律的适用条件是“只有重力或弹力做功的物体系统。”由这个条件可以推理出：在系统内若还有其它力做功，并且做功不为零，那系统的机械能就不守恒。

例如“一架吊车吊起一质量为m的重物并上升”这一物理过程，从力做功的角度看，在重物上升的过程中除了重力做功以外吊车对重物的拉力也做了功，所以重物的机械能不守恒。从能量转化的角度来看，在这一过程中除了动能与势能的相互转化以外，还存在其它形式能向机械能的转化，所以物体的机械能不守恒。

再例如：一轻质弹簧一端固定在竖直的墙上，另一端与一质量为m的物体相连，放在粗糙的水平面上，先压缩弹簧然后释放。弹簧与物体组成的系统在整个运动过程中，除了弹簧的弹力做功以外还存在物体与水平面的摩擦力做功，在摩擦力做功的同时系统的一部分机械能转化为内能，所以系统的机械能不守恒。

由此可知，在一个物体系统内，除了重力或弹力做功以外其它力做功不为零，则系统的机械能将发生变化。那么机械能的变化与外力（除了重力或弹力以外的力，后面都称为“外力”）做功存在什么关系呢？下面我们通过推导来寻找。

一架吊车用力F把质量为m的物体吊起，当物体距地面高度为h1时速度为v1，当距地面高度为h2时速度为v2，求物体从h1到h2过程中拉力F做的功

解析：物体上升的过程中受到重力和拉力，并且两个力都做功，由动能定理得：

W-mg（h2-h1）=12MV22-12MV21

所以W=12MV22-12MV21+mg（h2-h1），

或者W=（12MV22+mgh2）-（12MV21+mgh1）

其中12MV22+mgh2为物体末状态的机械能，12MV21+mgh1为初状态的机械能。这个公式说明：在一个物体系统内，外力做功等于系统机械能的变化量。

通过上面的内容可以得到这样一个结论：在一个物体系统内除了重力或弹力以外的力做功不为零，则系统机械能不守恒，外力做功等于机械能的变化量。当外力做正功时，机械能增加，增加的机械能等于外力所做的功；当外力做负功时，机械能减少，减少的机械能等于物体克服外力所做的功。有了这个结论，在一些题目中就可以直接运用。

例1，质量为m的物体，从静止开始以g/2的加速度竖直下落h的过程中，以下说法正确的是（）

A．物体的机械能守恒。B．物体的机械能减少mgh/2

C．物体的重力势能减少mghD．物体克服阻力做功为mgh/2

解析：由物体下落的加速度可知物体下落时受到重力和一外力（阻力），并且这两个力都对物体做功不为零，所以物体的机械能不守恒；阻力对物体做负功，由上面的结论可知物体的机械能减少。由牛顿第二定律可得阻力f=mg/2，所以物体克服阻力做功mgh/2，物体机械能减少mgh/2；重力做功mgh，所以重力势能减少mgh。所以本题目答案是BCD。

例2，如图所示，具有一定初速度的物体，沿倾角为30。的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F的作用，这时物块的加速度大小为4m/s2，方向沿斜面向下，那么在物块向上运动过程中，正确的说法是（）

A．物块的机械能一定增加 B．物块的机械能一定减少

C．物块的机械能可能不变 D．物块的机械能可能增加也可能减少

解析：本题中的物体受到重力、斜面的支持力、摩擦力和拉力，其中除了支持力不做功外，其它力都对物体做功，摩擦力做负功，拉力做正功。若两个力的功的代数和为零，则物体的机械能不变，若不为零物体的机械能就发生变化。所以这个题目转化为比较摩擦力和拉力的大小。对物体由牛顿第二定律可得

mgsin30。+f-F=ma

所以 F=mgsin30。+f-ma

由已知条件可得拉力大于摩擦力，所以拉力与摩擦力的合力做正功，物体的机械能增加，答案是A。

这种题目在力学中经常出现，即便在静电场中也时有出现，例如：（例3）一质量为m的带电小球，在竖直方向的匀强电场中以速度v0水平抛出，小球的加速度大小为2g/3，则小球在下落高度h过程中（）

A.动能增加了2mgh/3B.电势能增加了mgh/3

篇（10）

动能定理是无附加条件的,因此动能定理应用范围更广泛一些。

例1：一个物体从光滑的斜面顶端由静止开始下滑，斜面高1m，长2m，不计空气阻力，物体滑到斜面底端的速度是多大？（如图1）

12mv2-0=mgh …………………………………………………①

mgh=12mv2……………………………………………………②

点评：此题既可以用动能定理解答，也可以用机械能守恒解答，因为此题满足机械能守恒的条件。不过在用机械能守恒解答时，首先要判断是否满足机械能守恒的条件，若满足才能用机械能守恒解答。在用机械能守恒解答时，还要注意参考平面的选取。这两点是学生容易忽视的，因此我在授课的过程中反复强调，让学生自己有切身体会，在解题时才能更好的把握这两个定理的区别。

例2：质量为m的跳水运动员从高为H的跳台上以速率 v1 起跳，落水时的速率为 v2 ，运动中遇有空气阻力，那么运动员起跳后在空中运动克服空气阻力所做的功是多少？

解：对象——运动员。

过程——从起跳到落水。

受力分析——如图2示。

由动能定理 。

W=12mv22-12mv12

mgH+Wf=12mv22-12mv12

-Wf=mgH-12mv22+12mv12

点评：此题不满足机械能守恒的条件，因此只能用动能定理解答。在用动能定理解答时，受力分析，确定哪些力做功对于学生来说是难点，因此在授课的过程中，不能急于求成，要由易到难

机械能守恒有三种表达式：

EK1+EP1=EK2+EP2

12mv12+mgh1=12mv22+mgh2

EK=-EP

动能定理有一种表达式：

W=12mv22-12mv12

公式中W为合外力对物体做的功，它等于各力做功的代数和。

由表达式不同可以看出, 动能定理 只注重动能 的变化及其改 变动能的方式( 做功)情况 , 机械能守恒定律注重的是初，末状态能量形式, 与过程无关. 注意, 动能定理和机械能守恒定律 表达规律的方程都是标量方程。

搞清楚这两个规律的表达式和内容是分清楚这两个规律的首要条件，学生不仅要记住这两个规律的表达式，更重要的是理解和应用。尤其是机械能守恒定律各个字母表示的是什么物理含义，在不同的物理情境中个物理量所表示的物理意义又是什么，学生在做题练习要不是时机的加以强化理解。

3. 研究对象选取上要求不同

例3：如图所示，光滑的水平桌面离地面高度为2L，在桌边缘，一根长为L的软绳，一半搁在水平桌面，一半自然垂直于桌面下，放手后，绳子开始下落。试问，当绳子下端刚触地时，绳子的速度是多少？

解析：链条下滑时，每一节要受到相邻两节的拉力，且合力不为零，即除去重力以外还有其他力做功，故每一节机械能都不守恒，但因桌面光滑，没有摩擦力做功，整根链条总机械能守恒，故可用机械能守恒求解。设整根链条质量为m，则单位长度质量为m/L，设地面重力势能为零。由机械能守恒定律得：

12mv2=12mg3L2+12mg(3L2-L4)

解得， v=11gL2

点评：此种类型的题，用机械能守恒定律解起来比较方便，容易理解，若用动能定理解就显的不那么容易了，物体的运动是一个动态过程，物体两部分重力做功也不同，分析起来较麻烦，因此本题更适合用机械能守恒定律解。

例4：质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为30o的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面低端，这时物体A离地面的高度为0.8m，如图所示，若摩擦力均不计，从静止开始放手让他们运动。

求：(1)物体A着地时的速度；

（2）物体A着地后物体B沿斜面上滑的最大距离。

解析：对于A，B组成的系统，当A下落时，系统机械能守恒，但对于A,B个体机械能不守恒，因此此题只能就A，B组成的系统应用机械能守恒定律，选B所在的初始位置为零势能参考平面，则

（1）mgh= 12(m+m)v2+mgh2 解得 v=2ms

（2）0-12mv2=-mgh0 解得 h0=0.2m

l=2h0=0.4m

上滑的最大距离为0.4m

点评：此题既可以用动能定理解答，也可以用机械能守恒解答。但用动能定理解答起来更复杂一些，学生理解起来麻烦一些，而用机械能守恒解答，更直观更简介。若用动能定理解答要分析A，B 各自的受力情况，还要对A,B各自用动能定理列式，学生没有耐心，容易搞混淆，因此本题采用机械能守恒解答更为合适。

4. 解题步骤不同

（1）利用机械能守恒解题的一般步骤：

①明确研究对象；

②对物体进行受力分析，研究运动过程中各力是否做功，判断物体的机械能是否守恒；

③选取参考平面，确定物体（系统）在初，末状态的机械能；

④根据机械能守恒定律列方程求解（选取不同的参考平面，方程的形式不同，但不影响解题结果，故参考平面的选取应以解题方便为原则）

（2）利用动能定理解题的一般步骤：

①确定研究对象和研究过程，

②分析受力情况和做功情况，