百分数应用题汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇百分数应用题范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

百分数应用题的题型可以有很多变化,但是有一些典型的题型会反复出现。因此,教师帮助学生了解一些典型题目的特点,概括出常用的分析方法和解题策略是很有必要的。

百分数应用题主要分为两大类型:

1.求百分之几。

常见的有求百分率、求一个数量是(占)另一个数量的百分之几、求一个数量比另一个数量多(或少)百分之几等题型。求百分率都是用已知量除以总数量再化成百分数。求一个数量是另一个数量的百分之几(另一个数量是标准比较量,即单位“1”),都是用前面的数量除以后面的数量(单位“1”)。求一个数量比另一个数量多(或少)百分之几总是要用多(或少)的那部分数量除以单位“1”。但多(或少)的那部分数量有时在题中没有告诉,有时直接告诉,因此就要提醒学生注意区别。如:

①男生有25人,女生有20人,男生比女生多百分之几?

②女生有20人,男生比女生多5人,男生比女生多百分之几?

前者要先求出相差的数量,再除以单位“1”;后者相差的数量已经告诉,可以直接用它除以单位“1”。

2.已知百分之几,求具体的数量。

这一类题型的变化较多,数量关系也稍复杂一些,但也可找到一些具有一定代表性的题型。如:求一个数量的百分之几是多少?已知一个数量的百分之几是多少,求这个数量。求一个数量增加(或减少)它的百分之几是多少?已知一个数量增加(或减少)它的百分之几是多少,求这个数量,等等。第一种情况可以直接用乘法(即用单位“1”乘以百分数);第二种情况一般可以用方程或除法解决;第三种情况可以先求出单位“1”的百分之几是多少(即增加或减少的数量),再用单位“1”加上(或减去)这部分数量;第四种情况往往用方程解决(设单位“1”为X),方程的数量关系类似第三种情况。

二、分析数量关系

学生解决百分数应用题的关键在于理解百分数在具体题目中的含义,能够独立、熟练地分析数量关系,根据数量关系灵活选择合适的方法解决问题。我认为可以分为以下几个层次进行:

1.确定单位“1”。

找准题目中的单位“1”是解决百分数应用题的首要条件。单位“1”指的是比较的标准量,凡是题中出现的百分数都是单位“1”的百分之几而不是其他任何一个数量的百分之几。为了避免学生生搬硬套,教师要让学生确定题目中的百分数具体指的是哪个数量的百分之几。

2.确定解题法。

解决百分数应用题通常有两种方法:(1)列算式解答;(2)列方程解答。具体选用哪一种方法要根据题目的特点来确定。学生比较适应顺推的思路,对于“单位‘1’的数量×百分数=……”这样的数量关系容易理解,通常题目中单位“1”的数量如果知道,那么一般采用算式方法解答;如果单位“1”的具体数量不知道,一般就设单位“1”的量为x。

3.确定对应量。

要分析数量关系,学生首先要把各部分具体数量和它们所表示的百分数互相对应起来。这里有两种情况必须明确:

(1)条件中的已知量所对应的百分数是什么?如:

修一条公路,已经修了它的40%,还剩60千米,这条公路一共有多少千米?

题中的已知量是60千米,是还剩的千米数,40%是已经修的千米数占总路程的40%,那么60千米应该占总路程的60%,所以60千米对应的百分数应该是60%。

(2)单位“1”的百分之几表示的具体数量是什么?如:

柳树有200棵,杨树比柳树多25%,杨树有多少棵?

经过分析可以知道,这道题的单位“1”是柳树的棵数,柳树棵数的25%所表示的具体数量应该是杨树比柳树多的棵数(即柳树棵数×25%=杨树比柳树多的棵数)。

4.确定关系式。

这是分析数量关系的最后一步,在做好了前面的一系列分析工作之后,学生可以进一步分析题目中存在的数量关系,根据题目所求的问题综合考虑,选择列出恰当的数量关系式解决问题。

三、强化实际应用

教学百分数应用题的主要目的是要让学生将所学的有关百分数的知识应用于实际生活中,提高其灵活应用和独立分析的能力,真正实现“数学知识来源于生活又应用于生活”。

1.学习内容生活化。

《国家数学课程标准》指出:“数学教学应该是从学生的生活经验和已有的知识背景出发,向他们提供充分的进行数学活动和交流的机会。”有关学校兴趣组的问题、班(年)级人数的问题、商店打折的问题等,在学生生活中司空见惯,所以往往能吸引他们的注意,提高学习积极性,激发探索意识,有利于发展他们的灵活应用能力,又能使他们获得成功的体验。

2.教学形式开放化。

为了提高其独立分析解决实际问题的能力,练习的形式可以采用多种变化。如教师可让学生根据给出的算式和数量关系,合理选择所要填写的条件。

学校美术组有20人,___________,科技组有多少人?

科技组的人数是美术组的80%20×80%

科技组的人数比美术组多80%20+20×80%

是科技组的80%80%x=20

比科技组多80%x+80%x=20

教师还可以让学生利用生活中获得的信息尝试编写百分数应用题,在课堂上互相进行考验和学习,从而提高学生解决实际问题的能力。

篇（2）

应用题教学是小学数学教学中很令人“头痛”的事，学生很难抽象出对象之间的内在关系。特别是对一些对于语言文字理解能力较弱、逻辑思维水平偏低的学生来说，更是理不出头绪。长此以往，有的学生甚至不看题目胡乱写些答案“交差”。为此，我从学生学习的角度出发，综合学生学习这类应用题时所出现的种种情况，从而形成一定的教学策略，对学生学习百分数应用题有了一定的指向作用。

一、解百分数应用题的一般步骤

一直以来，学生普遍反映应用题太难学了。到了高年级之后，百分数应用题的出现使得部分学生有了“没有最难，只有更难”的体验。原因何在？作为小学数学教学重要内容之一的百分数应用题，其中蕴含的数量关系比较复杂，运用到的数量关系模型更多。在本阶段中，教材对于分析和综合、抽象和概括等能力要求有了一定的提升，在这些方面存在薄弱环节的小学生，自然对题目难以理解，解答的过程又易于混淆，甚至是不知所云、南辕北辙。如何指导学生掌握知识的内在联系，揭示解答问题的规律，突破学习上的瓶颈，使学生学得“轻松明了”是放在数学教师面前的一个需要迫切解决的问题。下面，结合“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”来谈谈对百分数应用题教学的一些策略。

从日常的学习反馈中，我们不难发现：学生有时做题手忙脚乱，其原因之一就是因为他们不善于提取题目中的有用信息，也可能是他们不善于从整体上把握题目中的数量关系。其实在数学学习中，每个学习内容都有其关键之处。如果能恰到好处地把握住解决问题的本质，那么学生对于该学习内容的掌握和运用自然就会顺畅多了。怎么从整体上把握呢？

1.抓关键句，把握整体数量关系。在应用题中，我们或许会发现很多的信息，但是最为重要的只是其中的一两句。怎么样才能挖掘出这样的句子呢？

某小型养殖场，鸡和鸭共有420只，鸡的只数比鸭多40%。这个养殖场中，鸡和鸭各有多少只？不难发现上题中有“鸡和鸭共有420只”这么一句话，这就是本题关键之一。那么怎样来理解呢？经过个别交流和小组论证，学生会发现其中的“和”这个字很熟悉，凭借以往的经验我们知道：在方程这一阶段，只要是求两个数的“和”，一般都是用加法的。进而思考到底“是哪两个数相加呢？”经过师生间来回的唇枪舌剑，问题的本来面目逐渐展现在了我们面前，学生逐渐能用含有文字的数量关系式来表示：“鸡的只数＋鸭的只数=420”。但是，有的题目中不会直接出现“和”这个字，如：阳光小学体育组有42人，女生人数是男生人数的40%。体育组男、女生各有多少人？虽然本题没有把“和”写出来，但回到生活的情景后再细细品味一下，我们不难发现它的影子。高度的概括、抽象——或许这就是数学来源于生活又高于生活的一种体现吧！

在众多的应用题中，我们不难发现有些句子中总是含有“一共”“和”“比……多”“比……少”等词语。如果我们能够紧紧抓住这些词语，并进行适当地理解，就可以在一定程度上减少一些解题时的方向性错误。这对于正确解题是一个有力的保证。

2.抓关键字，体会对象间关系。显然，如果只是从关键句下手，那么这只是把握了本题的解题方向而已，要想完整地把问题解答出来，还需要我们对题目中的信息进行一番品味——抓关键字。

再说说上面的体育组人数问题：从“阳光小学体育组有42人”中，我们可以发现“男生人数+女生人数=42”，但是最后求的是“男生有多少人？”“女生有多少人？”这两个都是未知量，而我们接触的比较多的是只含有一个未知量的题型，还能用以往类似的方法进行求解吗？还是一切都出来？

这时，我们需要向题目中的另一个条件“女生人数是男生人数的40%”寻求帮助。那么，男生人数和女生人数谁是未知量x呢？

3.细化条件，体会主次关系。由于“男生人数的40%”表示的就是“女生人数”，也就是说“女生人数”可以写成“男生人数×40%”。最后我们得出了这样的推导过程：男生人数+女生人数=42，男生人数+男生人数×40%=42。经过了上面系统地分析，我们最后将所有的“矛头”都指向了“男生人数”上了，因此设男生人数为未知量x是一个不错的选择，可以列出如下的方程：x+40%x=42。以上的方程并不复杂，学生一般都可以正确地求出x的数值。

二、发挥“估算”在解决问题中的实际作用

经过近几年的课堂教学，我发现学生中有的是思维上存在问题——想错了，有的是计算存在瑕疵——算错了。如果出现经常性的“算错”，那么我们教师就要引起重视，正确分析其中可能的原因：是不懂算理，还是计算能力太低？

在“百分数应用题”这一教学内容上，很少有学生对题目的答案进行分析、验算，或许是因为百分数应用题的计算本身就很繁琐，再验算一遍那岂不是“自找麻烦”！其实，在不要求精确验算答案的正确与否时，我们可以对答案进行粗略的估算。就如上面的这一题，就有些学生得出了一些稀奇古怪的答案。如：x=300，x=3，甚至出现了分数或小数的答案。我们可以这样试想：人数应该是整数的形式，一般情况下不可能出现小数或分数的；其次如果男女生人数一样多的话，那么男生就是21人，我们现在的答案应该在21～42之间。

问题在于这些学生对于答案没有进行一个大概的估计，没有养成一个良好的数学学习习惯。因此，要教会学生验算和估算的方法，培养学生良好的学习习惯，以提高学生解题准确率显得尤为重要。通过简单的估算，学生可以粗略地判断一下自己的答案正确与否，这在一定的程度上提高了解题的正确率。

三、发现规律，重视总结

建立模式、探索规律是数学学习的重要内容，也是自主学习数学的制胜法宝。百分数的应用题千变万化，但是万变不离其宗。这“宗”指的就是“规律”。在教学的过程中，教师的作用就是要让学生在不知不觉中发现“宗”迹，随着教学的不断深入，逐渐养成良好的思维习惯和品质。为此，我们要做好以下工作：

篇（3）

【例1】巴邱小学男生比女生多25%，那么女生比男生少百分之几？

【分析与解】男生比女生多25%，是以女生为单位“1”；女生比男生少百分之几，则是以男生为单位“1”。设女生为“1”，则男生为“1+25%”，女生是男生的 “1鳎？+25%）”，所以女生比男生少 1 1鳎？+25%）=20%。

【注意】不少同学认为男生比女生多25%，那么女生就比男生少25%，这是错误的。两次比较的单位“1”不同，结果当然不同。

二、注意理解题目中的关键词

【例2】一台洗衣机原价1320元，现在降低到1188元，比原价降低百分之几？

【分析与解】降低到1188元，和原价相比，价格实际降低1320-1188=132（元）。

（1320-1188）？320？00%=0.1？00%=10%

所以，现在比原价降低10%。

【注意】有些同学以现价1188元除以原价1320元来计算降低百分之几，就是因为没有正确区分“降低”和“降低到”之间的不同。

三、找准原价和售价

【例3】妈妈到家电城买某品牌电视机，如果打九折需要花3150元，那么打八折需要花多少元钱？

【分析与解】3150元是九折后的售价，而不是原价，应先求出原价后再求八折后的售价。

3150？0%？0%=3500？0%=2800（元）

所以，打八折需要花2800元。

【注意】价格计算问题在百分数应用题中十分常见，同学们要多加练习，找准原价和售价。

四、求百分率要找准总量

【例4】巴邱小学组织师生植树，所植的树活了57棵，死了3棵，求植树的死亡率是多少？

【分析与解】求死亡率应该是求死亡棵数占总棵数的百分率，所以应该是死亡棵树和总棵数相除。

3鳎？7+3）？00%=0.05？00%=5%

所以，植树的死亡率是5%。

【注意】求死亡率、成活率、出勤率、发芽率、及格率等都是求占总量的百分率。

江苏 吴国和

【病例1】在一个棱长为6厘米的大正方体上，挖去一个棱长是2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少平方厘米？

【病症】6？？+2？？=232（平方厘米）

【诊断】出现此病症的主要原因是考虑问题不周全。要求剩下部分的表面积，关键要看挖去的小正方体在什么部位，不同的挖法就会得到不同的结果。

如果从大正方体的一个面的中间去挖（如图1），剩下部分的表面积跟原来的大正方体相比，表面积增加了四个“2？”的小正方形面。

如果从大正方体的一个角上去挖（如图2），剩下部分的表面积跟原来的大正方体相比，表面积没有发生变化。

如果从大正方体的一条棱上去挖（如图3），剩下部分的表面积跟原来的大正方体相比，表面积增加了两个“2？”的小正方形面。

【处方】剩下部分的表面积有三种情况：

（1）6？？+2？？=232（平方厘米）

（2）6？？=216（平方厘米）

篇（4）

2.进一步提高学生分析、比较、解答应用题的能力，培养认真审题的好习惯。

教学重点和难点

掌握求一个数比另一个数多(或少)百分之几这类应用题的分析方法;能够正确地进行列式。

教学过程设计

(一)复习准备

1.解答“一个数是另一个数的百分之几”用什么方法?(用除法)

2.解答“一个数是另一个数的百分之几”的应用题，关键是什么?(找应用题中的标准量，也就是单位“1”，谁是标准量，谁就做除数。)

3.口答，只列式不计算。(用投影出示)

(1)5是4的百分之几?4是5的百分之几?

(2)甲数是50，乙数是40，甲数比乙数多多少?甲数比乙数多的数是乙数的百分之几?

(3)甲数是48，乙数是64，甲数比乙数少多少?甲数比乙数少的数是甲数的百分之几?

4.板书应用题。

一个乡去年计划造林12公顷，实际造林14公顷。实际造林是原计划的百分之几?

分析：通过读题，在这道题中，谁是标准量?

你是从哪句话中找出来的?应怎样列式呢?

如果将这道题的问题变为“实际造林比原计划多百分之几?”，应该怎样分析解答呢?这就是我们这节课要继续研究的比较复杂的百分数应用题。

板书课题：百分数应用题

(二)学习新课

1.出示例3。

例3一个乡去年计划造林12公顷，实际造林14公顷。实际造林比原计划多百分之几?

(1)学生默读题。

(2)例3与复习题4比较，有什么异同?

(两道题条件相同，问题不同。)

问题不同在哪儿?

(复习题4求的是实际造林是计划造林的百分之几，例3是求实际造林比原计划多百分之几。)

教师在例3中用红笔画出“多”字。

(3)在这道题中，谁是单位“1”?是从哪句话中找到的?

教师用双引号画出单位“1”。

(4)求实际造林比原计划造林多百分之几是什么意思?学生分组讨论。

(意思是：实际造林比原计划多的公顷数是原计划的百分之几?)

板书：多的公顷数是计划的百分之几?

(5)根据多的公顷数是计划的百分之几这句话，怎样列文字表达式?

板书：多的÷计划的

(6)怎样列式计算呢?

板书：

(14-12)÷12

=2÷12

≈0.167

=16.7%

答：实际造林比原计划多16.7%。

问：14-12是在求什么?

问：为什么除以12，而不除以14呢?

(7)还有其它的解法吗?(学生讨论)

汇报讨论结果：

板书：

14÷12-1

≈1.167-1

=0.167

=16.7%

答：实际造林比原计划多16.7%。

问：14÷12得到的是什么?再减去1又得到什么?

2.把例3中的问题改为“原计划造林比实际造林少百分之几?”

问：你怎样理解“原计划造林比实际造林少百分之几”这句话的?

问：谁做单位“1”?(实际公顷数)

问：怎样用文字算式表达?

板书：少的÷实际的

问：怎样列式计算?

投影订正：

(14-12)÷14

=2÷14

≈0.143

=14.3%

答：原计划造林比实际造林少14.3%。

问：14-12得到什么?为什么再除以14呢?

问：还有不同的解法吗?

板书：1-12÷14

问：为什么例3与改变后的题得数不同?(单位“1”不同。)

问：这两道题有什么相同之处?(解题思路完全一样。)

3.把例3的一个条件改变。

一个乡去年计划造林12公顷，实际造林比原计划多2公顷。实际造林比原计划多百分之几?

(1)学生独立思考解答。

(2)指名说解题思路。

(3)板书算式：

多的公顷数÷计划的

2÷12≈0.167=16.7%

答：实际造林比原计划多16.7%。

问：此题和例3相比较，哪儿相同，哪儿不同?(条件不同，问题相同，解题思路相同。)

4.把3题的问题稍作改变。

一个乡去年计划造林12公顷，实际造林比原计划多2公顷。原计划造林比实际造林少百分之几?

(1)学生只列式不计算。

(2)说解题思路。

板书：少的÷实际的

2÷(12+2)

(三)课堂总结

今天我们学习了什么知识?解决这类题的关键是什么?

师述：今天我们学习了求一个数比另一个数多(或少)百分之几的应用题。解决这类题的关键就是要找准单位“1”，然后根据问题列出文字算式来帮助大家列式计算。

(四)巩固反馈

1.分析下面每个问题的含义，然后列出文字表达式。

(1)今年的产量比去年的产量增加了百分之几?

(2)实际用电比计划节约了百分之几?

(3)十月份的利润比九月份的利润超过了百分之几?

(4)1999年电视机的价格比1998年降低了百分之几?

(5)现在生产一个零件的时间比原来缩短了百分之几?

(6)第二季度的产值比第一季度提高了百分之几?

(7)十一月份比十月份超额完成了百分之几?

(8)男生人数比女生人数多百分之几?

2.在练习本上只列式不计算。(投影出示)

(1)某校有男生500人，女生450人。男生比女生多百分之几?

(2)某校有男生500人，女生450人。女生比男生少百分之几?

(3)一种机器零件，成本从2.4元降低到0.8元。成本降低了百分之几?

(4)某工厂计划制造拖拉机550台，比原计划超额了50台。超额了百分之几?

3.判断题。

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解答分数和百分数应用题的方法：（1）先找单位“1”，比、是、占后面的量一般就是单位“1”；（2）单位“1”已知用乘法，单位“1”未知用除法；（3）比单位“1”多，用1+几分之几，比单位“1”少，用1-几分之几；（4）画线段图分析题意，找具体数量的对应分率。

以上方法简单易懂，学生按照此方法，能快速解答分数和百分数应用题，受益无穷。学生会从题中的关键句子中快速确定解题方法，成功的喜悦不言而喻！

下面我以最新版小学六年级数学书上的例题为例，分析我是怎样引导学生分析题意、快速找到解题方法，从而提高学生的数学思维能力的。

例1. 小明的体重是35千克，他的体重比爸爸的体重轻，小明爸爸的体重是多少千克？

教师这样引导学生分析题意：教师：“题中哪句话是重点句？”学生：“比爸爸的体重轻”。教师：“谁是单位‘1’？单位‘1’已知还是未知？”学生：“爸爸的体重是单位‘1’，单位‘1’未知用除法。”教师：“轻就是比单位‘1’少，怎样列式？”学生：“用（1-）。”

教师引导学生分三步分析题意，最后顺利列出算式：35÷（1- ）=75（千克）。答：小明爸爸的体重是75千克。

篇（6）

“求一个数的几分之几（或百分之几）是多少”；“求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少？”；“已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数，”这三种类型是所有分数（百分数）应用题的教学的根基，每个类型中都包含着三个基本要素：标准量（单位“1”对应的量）、比较量（对应分率不是单位“1”的量）、对应分率（每个量都对应着一个分率，标准量对应的分率是单位“1”）。

要让同学们区别比较量和标准量的关键是找准单位1。在分率前面的量或是在“比”“是”“占”“等于”“相当于”等词后面的量就是标准量，例1 “甲是乙的25%”，“ 甲占乙的25% ”，“甲比乙多25%”，“乙的25%相当于甲”等等题目，乙对应的分率都是单位“1”，乙就称为标准量，甲对应的分率都不是单位“1”，所以每道题目中的甲都称为比较量，每道题目中的甲也都对应着不同的分率。教师要充分利用生活中的分数（百分数）例子，训练同学们识别标准量和比较量等基本要素，找准单位“1”。

二、找关键句，画分析图

只有在学生掌握分数（百分数）应用题的基本要素后，在阅读分数（百分数）应用题题目时才能找出关键句――含有分率的句子；再去分析哪个量是标准量，哪个量是比较量，用表格、线段图、图画等图形语言表示出来，我们把这图形语言称为分数（百分数）应用题的分析图，它能直观地、具体地、形象地记录或表达数量关系，因而在数学教学中具有十分重要的作用，我们可以借助图形语言培养学生的思维能力。

例2：xx小学六年级男生30人，男生比女生少20%，女生多少人？这道题目中含有分率的句子是“男生比女生少20%”，也就是本道题目的关键句，为此引导学生画分析图如下：

要求学生根据分析图能够流利地说出各个比较量对应的分率，以及每个分率对应的比较量。同时，教师可以提供如下练习，让学生熟练地画出下列各题的分析图，包括画出隐藏条件，也就是说每道题目中都有“白兔、黑兔、黑白兔总数”这三个量。

1、白兔只数是黑兔的80%。

2、黑兔只数是白兔的125%。

3、白兔比黑兔少20%。

4、黑兔比白兔多25%。

5、黑兔只数是黑白兔总数的5/9。

6、白兔比黑兔少总数的1/9。

三、分析数量关系，代公式

根据分数乘法的意义“求一个数的几分之几（或百分之几）是多少，用乘法”，我们可以知道： “一个数”就是标准量，“多少”就是比较量，“几分之几也”就是“多少”这个比较量所对应的分率，“多少”=“一个数”ד多少这个比较量对应的分率”，可以概括起来为以下三个基本公式：

1、 比较量=标准量×比较量对应分率

2、 标准量=比较量÷比较量对应分率

3、 比较量对应分率=比较量÷标准量

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【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）16-0093-02

缘起：错例带来的困惑

较复杂的分数百分数应用题复习是小学数学总复习教学的重难点之一，对于这块内容的复习，我们通过对三类分数百分数应用题结构的梳理、比较、分析，学生通过复习，进一步明确了它们的结构特点与数量关系后，进行了一系列的练习与拓展。自我感觉一切都在顺理成章之中，不料在练习反馈中，一题在我看来很普通的题目错误率竟然高达70%以上。

某机关精简后有工作人员143人，比原有工作人员少57人。少了百分之几？

鉴于此，我对错误的同学进行了统计，其中有9%的同学列式为57÷143，列式为（143-57）÷143约占21%，列式为57÷（143-57）竟达40%。

面对这样的困境，我陷入了沉思：问题究竟出在什么地方呢？

把脉：范式背后的偏失

为寻求问题的本源，查漏补缺，我对这一类较复杂的“求一个数比另一个数多或少百分之几”的应用题又出了类似的几题让学生们练习：

①5是4的百分之几？4是5的百分之几？5比4多百分之几？4比5少百分之几？

②六一班有男生23人，女生比男生少1人。女生是男生的百分之几？

③一个工程队原来每天修路2.4千米，现在每天修路3千米。增加了百分之几？

④一种皮鞋现价每双50元，比原价贵10元。提价了百分之几？

练习后发现，学生对第一题几乎没有问题，由此说明学生对此类题目的数量关系是清楚的。而其它三题的答题情况均不理想，其中以第四题最为突出，而此题与上面提到的那题基本类似。发现其他错题也与此题有着本质的类似，通过仔细的分析以及与学生的访谈、辅导，发现主要有以下几方面的偏失：

偏失之一：“比多比少”的概念缺陷引发认知断层

有将近40%的学生列式为57÷（143-57），分析其中的原因，发现关键在于学生原有知识出现了断层，即二年级所学习的比多比少的概念至今还存在普遍的问题。从上面学生的答题情况看，发现对于顺叙题的解答还算比较顺利、正确的。一旦进入逆叙题，学生的错误率就突然增加，当两类练习题放在一起时，学生对比多比少的表征出现了明显的混乱现象。以上现象反映了学生在经历比多比少的概念学习时，表象操作方面缺乏必要的感悟和练习，造成学生直接进入符号操作时引起认知上的障碍，进而影响到后续的学习。

偏失之二：陌生信息的表征不清引发认知困难

从上面一组的对比练习中还发现，学生对知识表征的清晰度往往与他对信息的熟悉程度有关，即学生的陈述性知识表征不良也在很大程度上引起认知困难。对熟悉的、能联系学生已有知识和生活经验的问题情景学生能马上进行信息的处理。但对于某一陌生知识的表征，学生表现出由于表征不清而导致认知上的困难。上面一组练习题中，学生对于情境熟悉的几题反应快速，但对于情境离学生生活比较远的几题，对学生的抽象性思维要求较高，结果往往使学生在学习中陷入死角而不能自拔。

偏失之三：认知结构的不够完善引发抽象概括度不高

学生认知结构的不够完善往往表现出对知识的抽象概括程度不高。例如就上面这类题而言，事实上涉及对两个数量的双重比较，而“比较”这一个概念就小学范围的知识来讲一般有两种情况，一是两数之差，一是两数之商。无论从课堂还是课外的交谈中，学生似乎都不甚了解“比多比少”就是求“两个数的差”，换句话说，在学生的认知结构中“差”作为“比多比少”的上位知识并没有被学生体验到，对于“商”的比较也有着同样的情况。在学生初次学习比多比少时因为没有深刻的体验，造成了学生在学习百分数时存在原有知识点缺乏的问题。

偏失之四：程序性知识的缺乏引发解题达不到自动化

学生似乎明明懂得怎样解题，可很多时候都要教师的提问下才能解答出来呢？为什么学生单独面对此类题目时就是不会解答呢？仔细想来，除了学生有一定的思维惰性外，其实更为本质的是老师的提问等于为他提供了思考的路线，换句话来说，学生不知道从哪里开始，又从哪里结束。如果学生具有在面对问题情景时就知道怎么办的程序性知识的话，那么学生就会感到成功解决之后的喜悦，一旦形成良性的反应，学生的思考就会进入一种极佳的状态。

偏失之五：错误认知的“先入为主”引发认知表征偏差

从这些错例中很明显可以看出，在学生头脑中占优势兴奋的知识点以“先入为主”的方式存在，事实上学生也根本没有意识到这一点。很明显，学生出现上述情况就是因为学生第一次在学习这部分知识时所形成的一种产生式知识结构是看到降低肯定是减法，而这又正好符合学生大部分的生活经验，在头脑中占有优势兴奋地位。虽然教师在课堂中进行反复的强调，但由于在后续的学习中没有得到有效的顺应，没能进行知识的重建，因此当学生以后碰到类似的问题时，还是会按照原有的兴奋程度高的解题策略进行解题。

策略：认知网线的补救

根据诊断、分析，我们找到了学生出现错误的原因，又根据学生的实际情况，从关注学生的认知状态入手，主要采取了以下几种辅导补救策略：

一、关注信息表征――注重方法

（一）读题训练

应用题实际上是用精炼的语言文字把现实生活中的数学问题阐述出来，然后让学生运用所学的数学知识去解决这些问题的学习形式。既然是通过语言文字来呈现问题，那么学生个人的阅读能力将直接影响到学生对题目的理解程度，由此可见数学阅读对于解决问题具有重要作用。我曾做过好几次试验，学生产生错误后，教师根本没有作指导，只是让学生一遍又一遍地读题，边读边想，如甲比乙多几，如何求甲或乙；要求学生把诸如降低了百分之几的缩略语完整地表达出来。每次读好之后，教师紧跟着追问一句：“你读出来么？你读懂了吗？”。结果有70%的学生都能将题目正确解答出来。因此解决这类问题最基本的策略是多读几遍，指导学生通过朗读达成理解，就是为了让问题情景在大脑的短时记忆中更稳定、更清晰、更熟练一些，这样就更容易实现解决问题的顿悟。

（二）简化信息

心理学表明：一个人的短时记忆空间是有限的。作为教师应该有意识地引导学生对信息进行有效的简约化，培养学生由外化进入简约的内化处理能力。这时教师可以帮助学生利用外部工具来解决问题，如把需要加工的信息内容写在纸上，采用表征简化、示意图、代表性符号等有效的策略帮助学生减轻记忆的负担，使得短时记忆的空间得到充分地利用。

例如：我国可吃的植物有2000种（以上），相当于欧洲和美洲总数的200%等一些长句。经常发现学生读完题时，记住了后面的又忘了前面，因此我训练学生将表现数量关系的句子简缩成：我国是欧美的200%。

这样的训练使得学生的短时记忆得到充分的利用，信息表征也显得清晰稳定，可以帮助学生把问题中简化了的成份补述出来，或把内隐的意思表述出来，成为外显的条件，使之更具体、明确，为学生正确分析数量关系打下坚实的基础，有效提高了学生的学习能力。

二、重构认知过程――夯实基础

上述分析时曾经提到学生以前一直使用的（即使是错误的）解题方法具有先入为主的优势，因为它是长期以来养成的一种思维习惯。要彻底纠正学生的这个有害思维习惯，就必须把后来获得的这个新的解题思维方法变成在优势兴奋水平上高于原来思维的、更容易被优先激活的知识，或者更确切地说就是帮助学生形成良好的认知结构。

（一）依据年龄特点，建立形象化的认知图式

教师要引导学生借助于生活经验和数学知识之间相似性大的特点，将新知纳入到原有的知识结构中去，使学生的知识得以同化和顺应。例如在此类题的辅导中，有几个学生不管怎样认真读题，总是不能完整地对信息进行表征，如“精简后比原有工作人员少了57人”。令人郁闷的是学生读完题后总是认为原有工作人员少，从而出现列式为57÷（143-57）之类的情况。

这样的问题怎么解决呢？

我把这几个小家伙叫到身边：“我们来做一个游戏，用比来说一句话，要求把话说完整，我先来，老师的年龄比你们大。”

小家伙们一听有游戏做，劲头马上起来了。学生A马上接口：“老师的头发比我们卷。”

“不，应该是你卷。”我故意这么说。

“不对。”学生A马上给我纠正。“是老师卷。”

我笑了笑，不动声色地继续让学生说下去。

“我的身材比老师的矮。” “不，老师矮。”

老师的腿比我们长。”“不，你们的腿长。”……

小家伙们一听急了，今天是怎么了，老师怎么总是出错？我一看时机差不多了，拿出他们的作业。他们一看，挠了挠后脑勺，嘿嘿地笑了！

事实上，在学生的潜意识里已有的知识和生活经验存在着很隐蔽的相似关系，如果我们能够意识到这一点，则我们的学习就变得机智巧妙，从而让学生进行主动建构，实现有意义的学习，这样的有意义地学习就保证了知识在大脑中的相对优势权。

（二）及时概括整理，重构完善的知识网络

一般来说，概括程度高、经过合理编码的知识是具有优先兴奋权的，能够进行居高临下的迁移。这样的学生在以后的学习中更能表现出分析问题和解决问题的敏捷性和正确性，表现出更高的解题智慧。

教师应有意识地引导学生对所学的知识进行概括整理，例如此类题中涉及比较的知识结构中，各知识点之间以及上下位的内在联系，差和商就是基于两个数量比较的运算结果，而无论何种比较都需要寻找一个参照物（即平常所说的标准量）才能得出明确的结果，这一点对于这些学生来说体悟是不深的。这里的参照物、同样多等概念就处于知识结构的核心地位。教师在让学生初次学习时就要引导学生反思平时生活中习以为常的生活经验，培养学生用数学的眼光观察周围的世界，完成对知识的重构。

例如教师创设了这么个情景，接着老师联系本班实际出示了一组发散性的练习：六（1）班男生23人，女生22人，我们可以怎样对他们进行比较？

比较之后引导学生进行分类整理，学生很容易体会到由于参照物（标准量）的不同，比较结果也是不同的，这就培养了学生异中见同的能力，学生的智慧得到了升华。

三、融入情知因素――提升思维

（一）提供练习平台，形成正确的认知策略。

良好的认知策略意味着学生碰倒一个问题情景时，能够知道怎样沿着一定的思路走下去，也就是说学生建构的程序化知识应该获得自动化的熟练程度，这一方面需要为学生提供必要的、一定程度的练习平台。尤其是一些学困生由于认知能力差，往往不像优秀生那样做到举一反三，可能更需要的是“举十才知一”。另一方面则尝试引导学生进行出声思维的训练，来帮助学生形成必要的程序性知识。例如让学生找出题目中表示数量关系的关键句，不完整的补充完整，并要求学生口答思维的过程。通过出声思维的训练，逐步使得学生经历知识由外化到内化的过程，培养学生在学习中学会自问自答，并随时反省自己的解题过程和思路的正确性，从而实现最有效的学习――自我否定后的自我肯定。

（二）创设和谐平台，体验愉悦的学习情绪。

巩固过程离不开训练。“导，练”结合，注重口述解题思路与算理的训练，不仅纵向延伸，掌握关键，而且横向比较，理清关系，选用题组形式更适合于复习中进行综合训练，以使学生主动探索，合作交流，把主要精力放在分析比较数量关系及其结构上，利于培养与提升学生的思维品质和数学应用意识。选练一些新型习题，可发展学有余力学生的特长。

就这样经过一段时间的辅导，我重新对这些学生进行了此类百分数应用题单独的测试。从测试结果表明，虽然个别学生还是存在一些问题，但多数学生的成绩有了很大的提高，值得高兴的是对比多比少的问题的认知障碍基本得以消除，学生的认知结构得到明显的改善，并获得了一些较为扎实的解题策略，尤其可喜的是由于注重对学生的认知情绪的培养，使得这些学生对数学学习重新树立了信心，时不时能够主动来到办公室来问这问那，并自发自觉地思考一些数学问题，用新课程的理念来说，不仅获得了知识技能、方法和过程，更是初步形成了良好的价值态度观。

参考文献：

篇（8）

教学是逻辑性较强、比较严密的一门学科，也是可以通过类似的题型找到规律总结出公式一门学科。只要学生掌握了公式或规律，学起数学来就轻而易举。多年来，我以教学六年级上册的《百分数应用题》为例，浅谈自己的几种教学方法。

一、教学《百分数的应用一》

例如：盒子有45厘米3的水，结合冰后冰的体积约为50厘米3，冰的体积约比原来的体积增加了百分之几？

先利用画图来分析、理解题意，水的体积是单位“1”，冰的体积是“比较量”，冰和水比较，用冰的量减水的量，再求多出量占单位“1”的百分之几？再用多出的量÷单位“1”。最后得出这样的结论。如果要解决增加百分之几或减少百分之几的应用题时，先在题中找准单位“1”，单位“1”在“比”字后面，再找出“比较量”，然后用“﹙大数—小数﹚（大数和小数指的是单位“1”和比较量）÷单位“1”。这两个量的差占单位“1”的百分率。像上面的应用题可以直接运用规律。﹙50-45﹚÷45，50是比较大的数，45是比较小的数，45也就是单位“1”。这样，只要学生在题目中找准比较量和单位“1”，解决这类应用题就容易多了。但如果遇到“比”字不明显时，我们就要进行“扩句”。“扩句”时就找准了单位“1”。例如：电饭煲原价220元，现价160元，电饭煲的价格降低了百分之几？这时就要进行扩句。电饭煲的现价比原价降低了百分之几？这样就找到了单位“1”，再用公式来解决。学生只要掌握了题的类型，能正确的运用公式，遇到类似的应用题就迎刃而解。在数学教学中运用类比找规律的方法。

二、教学《百分数的应用二》

例题：1997年至今，我国铁路已经进行了多次规模提速，有列火车，原来每时行驶80千米，提速后，这列火车的速度比原来增加了40%，现在这列火车每时行法多少多少千米？仍然用画图的方法理解题意。这道题与上面的例题相比，已知了增加的份率和单位“1”，而求的是比较量，也在“比”字后找单位“1”，根据题意先算单位“1”的40%，再用单位“1”=增加的量就求出了比较量，列式为：80+80×40%=80×（1+40%),最后找出规律。这类题型，已知了单位“1”，要求标准量，用乘法，用单位“1”×（1±份率），如果题中是增加就用“+”，题中是减少就用“-”。关键还要找准单位“1”，像上面这个题直接用这个规律：列式80×（1+40%），通过教学后，学生对这类知识掌握的较快，都能解答此类的问题，解决问题很准确。教学效果显著。

三、教学《百分数的应用三》

《百分数的应用三》是两种类型的应用题，但具有共性，都是求单位“1”。教材中用方程来解决，我们也找到规律。

（一）例题：笑笑家1985年，食品支出总额占家庭总支出的65%，其他支出总额占家庭总支出的35%，1985年食品支出比其他支出多210元，你知道这个家庭的总支出是多少元吗？先利用方程解决，

解：设这个家庭的总支出为X元

65%X-35%X=210

30%X=210

X=700

把方程转换成算数方法，210÷（65%-35%）。

篇（9）

1.听老师念应用题，然后让学生根据题意，分别说成一道文字题，再口答算式。

（1）某村去年造林20公顷，今年造林25公顷。 去年造林是今年和几分之几？

（2）某工程队七月份修路20千米，八月份修路25千米。 七月份修路是八月份的百分之几？

师：同学们想一想，这两道题的算式为什么会一样呢？

教师引导学生通过观察、比较、分析，明白“分数应用题”与“百分数应用题”的解题思路和方法是相同 的。

2

2.讨论题：有的同学认为“3米比5米少─，也可以说成5米比3米多

5

2

─。”这样说对不对？为什么？

5

通过讨论，让学生明确：解答分数应用题时， 关键要找准单位“1”的量，要分清楚是哪个数量与哪个数 量相比较。

3.补题导入。

教师出示一道不完整的应用题：“一个乡去年原计划造林12公顷，实际造林14公顷。”要求学生想一想： 根据题中的已知条件，可以提出哪些求百分之几的问题？

学生可能提出很多个问题，教师选择“实际造林比原计划多百分之几？”的问题，变成例3。然后揭示课题 。

〔注析：这个数学环节的设计，具有“活、实、 趣”的特点：（1）听题答题，形式活泼；（2）诱导讨论 ，训练落实；（3）补题导入，新颖有趣。〕

二、学习新知

1.明确目标。

师：看到例题和课题，同学们想一想，议一议，这堂课我们要学习哪些内容？达到什么要求呢？

归纳学生的回答，展示学习目标。（略）

2.自学新知。

师：（指着例3）怎样解答这道题呢？请大家边看课本例3的解法，边思考以下几个问题：（1）从问题看，

是哪个数量和哪个数量相比较：应当把哪个数量看作单位“1”？（2）求实际造林比原计划多百分之几，就是 求什么数量占什么数量的百分之几？应该先求什么？再求什么？

〔注析：培养学生自学能力是为学生今后的“自我发展”打好基础。但自学能力的培养要讲究策略，要做 到主导性和主体性相统一。让学生自学课本，从课本中自主探究，获取知识，这是学生自主学习的重要形式， 突出了主体地位。思考题的设计体现了教师主导的必要性。〕

3.启导理解。

（1）师生共同作例3的线段图，并让学生在线段图上指出“多”的部分是（14—12）公顷。

（2）指名回答自学思考题， 着重启发引导学生理解：“求实际造林比原计划多百分之几？”列成关系式 是：多的公顷数÷原计划的公顷数＝所求。

（3）根据以上分析，启发学生列出算式（指名口头列式， 教师板书）。

〔注析：“学导式”中的“启导理解”有别于传统教学方法的教师主宰讲解。它要求教师必须采用启发式 进行教学，要充分发挥学生的主观能动性作用，让学生主动参与感知、探究、理解、内化的学习过程。在学生 感知应用题内容的基础上，画出线段图，再探究解题的关键，理解数量关系，把内化的解题思路与方法外化为 解题算式，这教学轨道吻合学生的认知规律。〕

4.质疑问难。（如果有些问题学生没提出来，教师也可自我设问挑疑，将学习引向深入。）

（1）这道题还有其他解法吗？

指导学生看分析图，讨论新的解题思路。算式：14÷12－1≈1.167－1＝0.167＝16.7％。

（2）如果把例3中的问题改成“原计划造林比实际造林少百分之几”，该怎样解答？

先引导学生从问题看，思考是哪两个量比较？把谁看作单位“1 ”？（可让学生迁移运用学习例3时的方法 ， 教师要特别注意学习方法的指导。）

（3）学生有可能还提出以下一些疑问：例3第2种解法中的“14 ÷12表示什么？“1”表示什么？“1”能 不能写成100％？ 怎样正确使用“约等于号”和“等于号”等问题，教师可根据实际情况，灵活释疑，既可以 由教师直接解疑也可以让学生互相解疑。

〔注析：质疑问难能力是学生文化科学素质、心理素质的综合反映，培养学生质疑问难能力是素质教育的 需要，是“学导式”教学法的一个着力点。这里并不拘泥于“学导式”的教学程序，而是根据教材编排特点和 认知规律，灵活调换教学步骤，将“质疑问难”放在“启导理解”之后，既便于引出其他解法，又有利于根据 学生的差异性调整、补充、修正教学思路。〕

5.归纳学法。

（1）引导学生将例3的第一种解法和改变问题后的第一种解法进行比较。异同点在什么地方？为什么除数 不一样？

（2）通过学生讨论， 归纳出求一个数比另一个数多（或少）百分之几的应用题的一般步骤：①认真审题 ，分清题中的已知条件和问题，弄清数量关系；②抓住问题，知道什么数量和什么数量相比较；③把哪个数量 看作单位“1”（作除数）， 把哪个数量看作比较量（作被除数）；④懂得应先求什么，再求什么？列式解答 。

〔注析：重视学习方法指导，是“学导式”教学法的一个精髓。这个教学步骤意在教会学生主动获取知识 的技能和方法，使学生能够适应未来社会发展的需要。〕

三、迁移练习

1.完成第31页的“做一做”。

2.完成练习九第1、2题。

订正时，要求学生说出解题思路和方法。

〔注析：“学导式”教学法重视发挥课本习题的导向作用。这个教学环节体现面向全体学生，着眼基础知 识的全面掌握，是带有普遍意义的基本练习和应用。〕

四、深化应用

1.比一比，看谁提的问题（百分数应用题）多，又能正确解答。

电视机厂五月份生产电视机4000 台， 比六月份少生产1000 台。_____________？

2.根据算式“（25－20）÷25”，编分数应用题与百分数应用题各1题。（对优等生要求独立编题，中差生 可以参照铺垫题第1题编题。）

〔注析：这个教学环节的设计体现因材施教和差异教育的特性，使不同层次的学生都能获得成功感，努力 使不同层次的学生都能达到各自的最佳发展水平。〕

五、课堂总结

1.对照学习目标，回顾本节课学习的内容。

2.比较铺垫题第1题和深化应用的第2题的异同。寻找分数应用题和百分数应用题的内在联系，归纳整理知 识系统：分数应用题与百分数应用题解题的相同点：①数量关系相同；②解题思路一样；③解答方法相似。不 同点：计算结果用分数表示，或用百分数表示。

篇（10）

分数、百分数应用题中含有分率、百分率的句子是解题的关键句。但在实际题目中，很多含有分率、百分率的句子都是不完整的。因此，我们在教学时要根据上下句的联系，进行补叙、推理训练，并列出关系式。如：“十月份超产了20%，九月份生产多少台电视机？”可引导学生补充：十月份比九月份超产了20%，十月份超产的是九月份的20%，从而列出关系式：十月份生产的台数=九月份的台数+九月份的台数×20%。

二、重视单位“1”的量的判断训练

借助分数、百分数应用题单位1的量的判断，能够让学生找到解题的方法和途径。教学时，经常指导学生找出题中单位1的量，看看单位1的量是否已知：单位“1”的量已知用乘法计算；单位“1”的量未知用除法计算。

三、重视题型分类对比训练

分数、百分数应用题一般分为三个类型：一是求一个数是另一个数的几（百）分之几？二是求一个数的几（百）分之几是多少？三是已知一个数的几（百）分之几是多少，求这个数是多少？每一类题型中又分三个类型，教师要由浅入深地对学生加以训练。如求一个数是另一个数的几（百）分之几？就有：（1）求一个数是另一个数的几（百）分之几？这是最简单的。（2）求一个数比另一个数多几（百）分之几？（3）求一个数比另一个数少几（百）分之几？这两类是比较复杂的。

四、加强易混题型的对比训练

对于容易混淆的内容，要有意识地设计一些似是而非的变式题组让学生练习、比较，分析它们的细微差别，从而掌握解题规律。如：

1.比25吨少吨的数是多少？