数学必修知识点总结汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学必修知识点总结范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

【1.1.1】集合的含义与表示

（1）集合的概念

把某些特定的对象集在一起就叫做集合.

（2）常用数集及其记法

表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.

（4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称

记号

意义

性质

示意图

子集

（或

A中的任一元素都属于B

(1)AA

(2)

(3)若且，则

(4)若且，则

或

真子集

AB

（或BA）

，且B中至少有一元素不属于A

（1）（A为非空子集）

(2)若且，则

集合

相等

A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A

(1)AB

(2)BA

（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

名称

记号

意义

性质

示意图

交集

且

（1）

（2）

（3）

⑷

Α⊆B⟺A∩B=A

并集

或

（1）

（2）

（3）

⑷A⊆B⟺A∪B=B

补集

∁uA

⑴

（∁uA）∩A=∅,

⑵

∁uA∪A=U,

⑶

∁u∁uA=A,

⑷

∁uA∩B=∁uA∪∁uB,

⑸

∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)

⑼

集合的运算律：

交换律：

结合律:

分配律:

0-1律：

等幂律：

求补律：A∩∁uA=∅

A∪CuA=U

∁uU=∅∁u∅=U

反演律：∁u(A∩B)=(∁uA)∪(∁uB)

∁u(A∪B)=(∁uA)∩(∁uB)

第二章函数

§1函数的概念及其表示

一、映射

1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的

元素，在集合B中都有

元素和它对应，这样的对应叫做

到

的映射，记作

.

2．象与原象：如果f:AB是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的

叫做象，

叫做原象。

二、函数

1．定义：设A、B是

，f:AB是从A到B的一个映射，则映射f:AB叫做A到B的

，记作

.

2．函数的三要素为

、

、

，两个函数当且仅当

分别相同时，二者才能称为同一函数。

3．函数的表示法有

、

、

。

§2函数的定义域和值域

一、定义域：

1．函数的定义域就是使函数式

的集合.

2．常见的三种题型确定定义域：

①

已知函数的解析式，就是

.

②

复合函数f

[g(x)]的有关定义域，就要保证内函数g(x)的

域是外函数f

(x)的

域.

③实际应用问题的定义域，就是要使得

有意义的自变量的取值集合.

二、值域：

1．函数y＝f

(x)中，与自变量x的值

的集合.

2．常见函数的值域求法，就是优先考虑

，取决于

，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为

法和

法）

例如：①

形如y＝，可采用

法；②

y＝，可采用

法或

法；③

y＝a[f

(x)]2＋bf

(x)＋c，可采用

法；④

y＝x－，可采用

法；⑤

y＝x－，可采用

法；⑥

y＝可采用

法等.

§3函数的单调性

一、单调性

1．定义：如果函数y＝f

(x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、

，则称f

(x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个

；②都有

，则称f

(x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个

.

若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为

.

2．判断单调性的方法：

(1)

定义法，其步骤为：①

；②

；③

.

(2)

导数法，若函数y＝f

(x)在定义域内的某个区间上可导，①若

，则f

(x)在这个区间上是增函数；②若

，则f

(x)在这个区间上是减函数.

二、单调性的有关结论

1．若f

(x),

g(x)均为增(减)函数，则f

(x)＋g(x)

函数；

2．若f

(x)为增(减)函数，则－f

(x)为

；

3．互为反函数的两个函数有

的单调性；

4．复合函数y＝f

[g(x)]是定义在M上的函数，若f

(x)与g(x)的单调相同，则f

[g(x)]为

，若f

(x),

g(x)的单调性相反，则f

[g(x)]为

.

5．奇函数在其对称区间上的单调性

，偶函数在其对称区间上的单调性

.

§4函数的奇偶性

1．奇偶性：

①

定义：如果对于函数f

(x)定义域内的任意x都有

，则称f

(x)为奇函数；若

，则称f

(x)为偶函数.

如果函数f

(x)不具有上述性质，则f

(x)不具有

.

如果函数同时具有上述两条性质，则f

(x)

.

②

简单性质：

1）

图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于

对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于

对称.

2）

函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于

对称.

2．与函数周期有关的结论：

①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为

；

②的图象关于点中心对称或的图象关于直线

轴对称，均可以得到周期

第三章　指数函数和对数函数

§1　正整数指数函数

§2　指数扩充及其运算性质

1．正整数指数函数

函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作________指数函数；形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为________函数．

2．分数指数幂

(1)分数指数幂的定义：给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的次幂，记作b＝；

(2)正分数指数幂写成根式形式：＝(a>0)；

(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝__________________(a>0，m、n∈N＋，且n>1)；

(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．

3．有理数指数幂的运算性质

(1)aman＝________(a>0)；

(2)(am)n＝________(a>0)；

(3)(ab)n＝________(a>0，b>0)．

§3　指数函数(一)

1．指数函数的概念

一般地，________________叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是____．

2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像和性质

a>1

图像

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性

质

过定点

过点______，即x＝____时，y＝____

函数值

的变化

当x>0时，______；

当x

当x>0时，________；

当x

单调性

是R上的________

是R上的________

§4　对数(二)

1．对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则：

(1)loga(MN)＝________________；

(2)loga＝________；

(3)logaMn＝__________(n∈R)．

2．对数换底公式

logbN＝(a，b>0，a，b≠1，N>0)；

特别地：logab·logba＝____(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．

§5　对数函数(一)

1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．________为常用对数函数；y＝________为自然对数函数.

2．对数函数的图像与性质

定义

y＝logax

(a>0，且a≠1)

底数

a>1

图像

定义域

______

值域

______

单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

共点性

图像过点______，即loga1＝0

函数值

特点

x∈(0,1)时，

y∈______；

x∈[1，＋∞)时，

y∈______.

x∈(0,1)时，

y∈______；

x∈[1，＋∞)时，

y∈______.

对称性

函数y＝logax与y＝x的图像关于______对称

3.反函数

对数函数y＝logax(a>0且a≠1)和指数函数____________________互为反函数．

第四章　函数应用

§1　函数与方程

1.1　利用函数性质判定方程解的存在

2．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标．

3．方程f(x)＝0有实数根

⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________

⇔函数y＝f(x)有________．

4．函数零点的存在性的判定方法

如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)____0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．

1.2　利用二分法求方程的近似解

1．二分法的概念

每次取区间的中点，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来_________________________________________________________________．

2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)

(1)确定区间[a，b]，使____________．

(2)求区间(a，b)的中点，x1＝__________.

(3)计算f(x1)．

①若f(x1)＝0，则________________；

篇（2）

中图分类号：G632.0 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）04-084-02

当前各地使用的苏教版高中数学教材一共有必修系列五本书，理科选修系列2―1，2―2，2―3三本书，文科选修系列1-1，1-2两本，以及理科附加部分选修4系列――《几何证明选讲》，《矩阵选讲》，《极坐标与参数方程》，《不等式选讲》，涉及函数，三角，不等式，数列，解析几何，立体几何，概率统计等大大小小的二十多章节的知识，涵盖面相当广。

而在众多的章节知识中，或多或少存在着某些联系，进一步探究这些知识点的相互关系，我们发现在日常的教学活动中，许多问题的教学内容，研究的方式，基本的题型和解题思路，教学手段方式方法都是相通的，在教学中有必要对这部分内容进行再思考，再开发，采用类比的方式进行教学。

一、高中数学教材中可进行类比教学的知识点

1、必修1――指数函数与对数函数的研究方法

2、必修4中的平面向量与理科选修2-1中的空间向量的相关知识

3、必修4中的正余弦函数，正切函数的图像与性质的研究，正余弦的和角公式的应用

4、必修5中的等差数列与等比数列的教学

5、理科选修2-1中的椭圆方程与双曲线方程的教学

6、理科选修2-2中复数的教学与实数相关知识的类比

7、理科选修2-3中的概率与必修3中的概率

二、类比教学的具体内容

1、对研究对象的具体知识点进行类比

如平面向量和空间向量中都涉及到向量的表示方法，向量的加减法，数乘，数量积的运算，向量的坐标表示及相关的运算公式

2、对研究对象的具体研究方法进行类比

如指数函数和对数函数图像与性质的教学中，都是结合图像分别研究其定义域值域，单调性，过定点问题等，都按照底数大于1和小于1两种情况进行分类讨论，教学中可进行相关类比。又如正余弦函数的图像与性质也是如此。

3、对研究对象涉及的相关考试题型进行类比

如等差等比数列中都涉及到数列的求通项，求和问题。圆锥曲线中的椭圆与双曲线都涉及到求标准方程，求离心率，准线方程问题等。而这些典型问题的处理方法和易错点也是类似的。

4、在原有知识的基础上进行再研究，再拓展

三、类比教学的具体实施过程

首先学生要对已有旧知识进行回顾，对之前的研究方法，研究中涉及的内容，典型题目进行回顾反思，具备一定的知识框架结构。没有旧知识的铺垫，新的内容将无法有效地展开。教师在具体的教学过程中要对原有的知识进行一下简单有效的回顾，也可以在教学过程中进行回顾，甚至可以让学生自己回顾，根据学生的回顾有针对性地进行教学。因此在进行类比教学前，师生双方都要做好充分的准备，由此才能更好地开展新的教学活动。

其次，教师要对本节课所要教学的内容，结合原有知识进行相关的类比设计，制定相关的问题，引导学生的回忆和类比。可以设计相关的表格让学生自己试着填写，并对学生提出的想法进行评价。学生的类比有些是正确的，有些是不完整的，还有些是错误的，因此教师要根据具体问题进行点评，指导学生完成类比，掌握正确的知识。在教学的过程中，应该多让学生自己提出问题，而非由教师直接给出正确的结论。

以下是在双曲线教学中与椭圆相关知识进行类比，设计的部分表格：

研究内容 椭圆 双曲线

图像怎么画出来的？

根据图像给出第一定义（定长与定点间距离的关系）

根据第一定义求出标准方程 （如何推导）两种情况，如何根据方程判断焦点位置

根据图像研究几何性质――对称性，顶点坐标，焦点等

……………

……………

典型例题

思考：两者还有哪些区别和联系？

当然也可以事先不设计相关的类比问题，完全由学生在实际的教学活动中动态生成，学生想到什么问题，我们就来研究什么问题，让整个课堂思维更加开放，让教学内容更加发散，而这样的教学方式必然要求教师具备良好的课堂驾驭能力，丰富的知识储备，对教师提出了更高的要求。还可以让学生在课前先进行自我思考，提出自己的问题，然后在课堂上根据之前的问题有选择的进行教学，也可以在教师的指导下，让学生自行解决自己提出的问题。

最后，教师要对整堂课的内容进行有效的总结。学生提出的类比问题可能是零碎的，不成体系的，要对这一堂课涉及的内容进行分析总结，理清相互间的关系，让学生在回顾原有知识的同时，一方面对旧知识有了更深刻的认识，另一方面对新知识又进行了有效的学习，达到一举两得的教学效果。

四、类比教学的优缺点

篇（3）

一、串联旧知,形成系统。

高中数学有五个必修模块,文科至少有三个选修模块,理科至少有四个选修模块。每一模块的学习各有侧重,但模块与模块之间也是有联系的,或是原有知识点的拓展,或是知识点专题的深化。在复习时,教师要把握好这些知识点的联系,帮助学生形成知识点系统,形成的系统框架以一些有趣的直观的图象构成,可使学生更加牢固地记忆与理解必须的概念、定理、公理、公式等。

如在复习函数内容时,要把必修一与必修四相关内容联系起来。首先,为了调动气氛,我把数学比作一座知识森林,里面的每一个知识点就像一棵树,函数就是其中一棵“参天巨树”。随后,我在黑板上简单画成一个树的躯干,把函数置于其中。接着提示学生把函数的概念(内蕴和外延)、要素、各种基本初等函数类型及其相关性质等分别表示成“树”的根、须、茎、枝、叶等。学生被这个生动形象的比喻激发起好奇心,三个一组、五个一群,去“建构”这棵树。最后,我让各个小组总结,进行比较,完善“树”――函数各个知识点。更重要的是,学生在课后,可以根据自己的思维习惯对树进行个人特色化。这样,从真正意义上调动了学生的思维积极性,把学习的主动权交还给学生,相信学生,让学生体验到数学原来可以这样学,大大激发了学生的学习热情。

二、例题作“桥”,应用转化。

如何把知识点应用到解题中去,转化为能力,这本身就是一道难题。因为是复习,学生已经掌握了一些基本的解题方法,所以要注意选取典型例题。在评点完例题后,改变题目条件、数据、问题等,以及引申出一些新的题型,或探究,或推理。以例题为“桥”,把学生从单纯的记忆知识此岸“送”到能应用知识的彼岸去。多让学生提问,尽量让学生自行讨论解决。使学生多方面多角度去思考,点拨学生思路,开发学生的潜能,重要的不是学生记住了多少解题方法,而是学生的应用知识解决问题能力得到了多大的提高。

三、换位体验,讲解评价。

篇（4）

教学原则是教学必须遵循的基本要求，它们是根据教育目的、教学过程和学生的认识发展规律提出的。作为教学原则之一的“系统性”追求的是知识结构、经验的完整性、连续性，它是任何学科教学都应该遵循的原则，而对于专业性相对较强的高中数学来说更是如此。

数学已经形成严谨的体系和完整的系统，知识间前后照应，密切相连。新课程标准阐述了新的教学理念，使学生通过高中阶段的数学学习能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养，满足他们个人发展与社会进步的需要；高中数学的内容也作了调整，编排的顺序较以前也有很大的变化。因此，教师在教学中要遵循系统性原则，全面透彻地理解数学内容，把握知识连贯性，绝不能将数学各部分内容割裂、孤立，违背数学的逻辑性和系统性。

一、教材体系和备课的系统性

普通高中数学课程标准和教材是教学的依据，课程标准规定了教学的目标、要求和基本技能训练的内容，阐述了教材的编排体系、教学的指导思想、基本的教学方法。因此，教师在备课时，首先要认真学习和研究课程标准；其次是通览所教学科的全部教材，熟悉学科知识系统，明确学科各章节、课题的教学目标要求，掌握教材的内容范围和深度，把握教材的重点、难点，及与其他学科知识之间的关系，精心设计备课的教学方案，编写好学期教学进度计划、单元教学计划、课时教学计划，做到先进行学期总备课再进行单元备课；最后是备每堂课，切忌看一节、备一节、教一节，以增强教学的计划性与系统性。

二、教学内容和教学过程的系统性

教师必须掌握好教学内容体系，掌握知识之间的衔接关系，并把它很好地体现在课时计划中，注意突出重点难点，保证学生掌握知识的系统性完整性。在讲授新课的时候，一方面注意复习巩固有关的已有的知识，与旧知识衔接起来，另一个方面为后续知识做好准备，把后面的内容或方法渗透到前面的知识中去。知识的衔接，靠概念、定理、例习题来联系，因此，教师要认真研究教材，参考有关的资料，仔细研究推敲，体会在掌握和应用知识过程中会发现什么问题，要用到哪方面知识，进而明确概念、定理、习题的地位和作用，掌握了这些知识的逻辑关系，才能有计划地安排教材内容，使各部分内容衔接起来。如高一代数中函数的单调性和奇偶性既是重点又是难点，苏教版教材把它排在《函数概念和图象》之后，目的是以具体函数及图象的直观性作为基础，强化对具体函数的认识，抽象出一般的结论，即由具体到一般的辩证思想，因此，教师要遵循这一系统性原则。

在这一节内容中，语言上要有意识地渗透单调性和奇偶性的思想，为下一节内容埋下伏笔。在讲一次函数、二次函数性质时，引导学生把“在第一象限内，函数值随x值的增大而增大(或减小)”这一性质的语言叙述方式作如下两方面分析：第一，反映在图象上，在第一象限，随x值的增大，图象上升(或下降)；第二，抽象为：对于区间(0，+∞)上任意两个自变量x1、x2，当x1>x2时，总有f(x1)>f(x2)或f(x1)

在分析函数的图象时，可有意识地分析函数图象的形状：发现一类图象关于y轴对称;另一类图象关于原点对称；还有一类图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称。这三类函数的图象特征反映出来的是函数的什么性质呢？埋下伏笔，激发学生们的求知欲，为下一节函数奇偶性教学打下基础。

教师不能把课堂教学基本阶段的某种程序绝对化，要根据教材特点、学生认识水平、学习程度等选择和确定讲课的最优顺序，系统合理地安排教学进程，整体安排顺序上必须按由浅入深、由易到难、由近及远、由简到繁的格局，有梯度地组织教学。如学生学习《立体几何初步》经常用到三角知识，同时考虑到高一年级学生对空间想象能力的接受程度，因此在苏教版教材的教学中可以把必修4放在必修2之前讲解，使得学生知识发展顺序更具有系统性。

三、基本知识和能力培养的系统性

基本知识和基本技能是数学学科的基础，是培养思维提高能力的根本。新课程标准更强调知识与能力的形成与发展，因此，教师教学中首先要加强“双基”的训练，注重课本，切忌本末倒置，认为基本概念简单，一掠而过，而把功夫用在做大量复习题和难题上，这样就违背了系统性原则。事实，教材中任何一个概念和基本练习在解决问题培养思维中都能发挥重要作用，教师要能透过简单的表象发现它们的价值，保持基本知识与培养能力的系统性。

篇（5）

做好高一数学复习课教学，对大面积提高教学质量起着重要作用。高一数学期末复习应达到以下目的：

(1)使所学知识系统化、结构化、让学生将一学期来的数学知识连成一个有机整体，更利于学生理解;

(2) 少讲多练，巩固基本技能;

(3)抓好方法教学，归纳、总结解题方法;

(4)做好综合题训练，提高学生综合运用知识分析问题的能力。

二、 明确复习范围及重点

范围：必修1与必修4

重点：必修1：函数的基本性质，指数函数，对数函数;必修4：三角函数，平面向量。

三、复习要求

1、重点复习掌握核心概念、基础知识、强调作图、解题规范;

2、围绕综合卷加强对差生的个别辅导、面批，争取提高合格率。

四、复习要点：

掌握各章知识结构和要点、知识点、澄清概念、解决疑难问题。

习题归类，解题思路、方法，从解题中对知识加深理解、掌握，提高分析问题，解决问题的能力

五、具体课时安排

由于教学时间紧，按照计划估计要到12月31号才能结束新课，复习时间大约8天左右，巩固练习主要是让学生在课下完成，上课讲评。具体安排如下：

2014年元月1日前结束新课;

2日------6日复习必修1：集合(1天)、函数(2天);

7日------8日复习必修4：三角函数(1天)、平面向量(1天); 9日------10日必修1、4综合训练。

六、复习方法

篇（6）

（Harbin university of science and technology Shandong Rongcheng 264300）

Abstract： In recent ten years mathematics curriculum reform of senior middle school has been carried out throughout the country， while the university mathematics teaching materials which are not changed basically are far lagging behind the current requirements of university mathematics education.University mathematics teaching should adapt to the changes of mathematics course in the senior middle school，therefore university mathematics teachers should do the corresponding improvement.What is more important is that university mathematics teachers should accurately grasp the changes of the senior middle school mathematics to adjust teaching subjects and take good strategies for improvement.

Key words： university mathematics； senior middle school mathematics； mathematics teaching material； improvement strategies

基金项目： 校级课题：应用型人才培养的数学教学法研究.

摘要：最近十年来全国各地相继进行了高中数学课程改革，而大学数学的教材却基本没有变化，远远滞后于当前大学数学教育的要求，大学数学教材应适应高中数学课程要求的变化而做相应的改进，更重要的是大学数学教师要准确掌握高中数学的变化情况而对所教科目进行相应的调整，采取良好的改进策略应对。

关键词：大学数学；高中数学；数学教材；改进策略

【中图分类号】G640

数学是一门在逻辑性、严密性上要求很高的学科，如果数学教材不能在逻辑上很严密的把数学知识连贯的展示给学生，那么它必然会给学生进一步学习数学知识和专业知识带来很多的麻烦与困难。2000年以前高中数学[1-2]与大学数学[3，4]在要求上衔接的比较严密，最近十年的时间里高中数学的新课标[5]发生了一系列的变化，然而大学数学的主流教材虽然也经过了几次改版，却基本没有什么变化。这就造成了大学数学教材出现了知识点的重复、知识点的遗漏等问题，这是很严重的中学知识与大学知识脱节的问题，这种问题日益突出，已经对对大学数学教育造成了一定的负面影响，甚至已经对整个大学教育都造成了一定的影响，必须引起我们广泛的关注。

从使用的范围最广和人数最多的角度出发，选用人民教育出版社的高中数学教材[6-11]大学数学教材[3-4]作比较，分析最近十年高中新课标的变化，从高中数学内容的改动、大学数学内容的不衔接、大学数学教学活动中如何设计使之顺利衔接三个方面展开讨论。

一、 高中数学新课标的重大变化

1、 教学内容的改变

高中新课标[5]的教学内容分为选修课程、必修课程，必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，它包括5个模块；选修课程包括4个系列，其中系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的，所以在此对系列3、4不做讨论。

增加的内容主要有向量、算法初步、统计、概率等；减少的内容有极坐标、参数方程、反三角函数、命题、数学归纳法与数学归纳法应用等；其内容在对提高学生的数学思维能的基础上强调了知识的发生、发展过程和实际应用，而从整体和细节上在技巧和难度上的要求则有所降低。

2、 教学目的的改变

新课标的目的是为学生提供多样课程，适应个性选择，使学生认识数学的应用价值，

增强学生的应用意识，形成解决简单实际问题的能力，发展学生的数学应用意识，体现数学的文化价值。在具体的教学内容中，很多知识采取的是描述性定义，而不是精确定义或数学定义，这种问题容易被我们忽略，但是应该引起我们足够的注意。

二、 大学数学内容的滞后性

大学数学的教学内容[3-5][13-14]近十年来只有细微的变化，因此导致了它对于高中数学知识的滞后，具体表现在内容的重复、重要知识点的缺漏。下面针对内容的重复和重要知识点的缺漏两方面加以论述。

1、 内容的重复

大学数学内容不必要的重复部分有：集合的定义、表示法、运算；函数、映射的定义、性质；极限、连续的计算；函数的基本求导公式及简单的运算法则；积分的基本运算；向量的定义和基本运算。

2、 知识点的缺漏

大学数学的教学内容需要有一定的数学基本知识作为基础，而高中新课标对高中数学做了一系列的修改，致使大学数学缺少了一些必要的准备知识和工具，主要有反函数和反三角函数的定义和性质；三角函数的正割余割公式、积化和差公式、和差化积公式、倍角公式、半角公式、万能公式（高中不要求记忆）；参数方程和极坐标方程的定义、性质和转化；复数的定义及运算等。

三、 大学数学内容的改进策略

通过对对高中新课标变化与大学数学教材的滞后性分析，大学数学教师可以对高中已

有知识进行适当的复习，对大学需要拓展加深的知识加以引导和强调，对大学数学缺漏的知识在适当的时候给以补充。具体改进策略如下：

1、 在有关集合、映射、函数的定义方面

可以采取对以前学过的知识点只做复习，考虑到中学用到的集合都是数的集合，因此要对集合中的元素的概念加以强调，这样有助于学生理解映射与函数的定义和区别，而且对于理解概率论中难度比较大的随机变量的概念、线性代数中的矩阵多项式、离散数学中的多个知识点也都会有很大的帮助。在讲解函数的性质内容处时可以把反函数、反三角函数的定义和相关公式及性质加以适时的补充和说明。

2、 在函数的极限、连续、导数、积分方面

对以前学过的函数的极限、连续、导数、积分的基本知识进行复习归纳总结，强调高中学过的这些知识点大都采取的是描述性定义，而不是精确定义或数学定义。

在高中数学计算过程中求函数或数列的极限、对函数求导、对函数求积分是在默认函数或数列的极限存在、函数可导、函数可积的条件下进行的，显然在逻辑严谨的大学数学中是不允许的，所以在大学数学学习过程中要注意加深理解函数的极限、连续、导数、积分这些精确概念以及相关性质和计算的理解。

3、 在参数方程方面

参数方程在大学数学中应用很广泛，主要表现在以下方面：空间直线的参数方程、空间曲线的参数方程、空间曲线的切线与法平面、一元函数参数方程求导、多元复合函数求导、定积分求弧长、曲线积分曲面积分。因此它必须引起大学数学教师的高度重视。

可以在讲解一元函数参数方程求导前，引出参数方程的定义、参数方程与一般式方程的

相互表示、参数方程中的参数的意义等。

4、 在极坐标方程方面

在讲解利用定积分求面积之前，引出极坐标方程的定义、函数的极坐标表示法、极坐标与直角坐标的关系，并分析极坐标方程、一般式方程的相互转化。极坐标方程在二重积分三重积分处还会用到，是不可或缺的工具。

5、 在复数方面

在微分方程中的二阶、高阶常系数齐次微分方程、二阶常系数非其次微分方程求解过程中要用到复数的运算，可以在讲授二阶常系数齐次微分方程前引出复数的概念以及使用方法，当然复数在复变函数与积分变换中也是极其重要的概念。

对于上述具体的问题我们讨论了一些改进策略，但是在具体的大学数学教学过程中要做到跟高中数学完美的衔接，以上改进还是不够的，还要进行实时地了解情况.包括了解课程标准、要求、目标、教材、高考考试说明、高考试题，向高中数学教师咨询，与学生加强沟通，了解文科生与理科生的差别，了解不同地区学生的差别，更重要的是，要经常关注中学教改对高中数学教学做出新的规定，大学数学教育也要做出相应的改进策略，这样大学数学教育才能与时俱进地培养出适合新时代的优秀大学生。

参考文献

[1] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学代数（必修）数学 （上）[M].人民教育出版社，1995.

[2] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学代数（必修）数学 （下）[M].人民教育出版社，1995.

[3] 同济大学应用数学系主编.高等数学 （第六版 ）[M].高等教育出版社，2007.

[4] 同济大学应用数学系主编.高等数学（本科少学时类型）（第三版） [M].高等教育出版社，2006.

[5] 教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[6] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）[M].人民教育出版社，2003.

[7] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下） [M].人民教育出版社，2003.

[8] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上） [M].人民教育出版社，2004.

[9] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（下） [M].人民教育出版社，2004.

[10] 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修I） [M].人民教育出版社，2004.

篇（7）

一句话，新课程理念下的高中数学教学我注意了六个“点”.

一、弄清新教材的特点

人教版《普通高中课程标准试验教科书》数学（A版）教材，具有如下特点：具有“亲和力”“问题性”“科学性”与“思想性”“时代性”与“运用性”、“联系性”.

二、新教材教学重点

必修模块：重点是函数，基本初等函数，三角函数及三角恒等变换，解三角形，函数的应用，平面向量，不等式，数列，直线与方程，圆与方程，空间几何体，点线面的位置关系，算法初步，统计，概率.（共15章）

选修模块：重点是圆锥曲线与方程，导数及其应用，推理与证明，复数，常用逻辑用语，空间向量与立体几何（理科），计数原理与统计概率（理科）.（共7章，文科5章）

三、根据教学内容调整教学要求的知识点

增加知识点：幂函数，三视图，空间直角坐标系，几何模型，茎叶图，三角函数模型的简单应用，全称量词与存在量词，统计案例.

删减知识点：三垂线定理及其逆定理，余切函数，已知三角函数值求角，反三角函数，线段定比分点，平移公式，分式不等式，函数的极限，极限四则运算，函数的连续性.

四、学习初中数学教材，弄清初高中教学的衔接点

做好初高中数学教学的衔接，是一项既复杂而又具体的系统工作，师生应高度重视，衔接工作做好了，将对整个高中数学的学习起着重要的作用。首先，要研究学生，使初高中数学教学的衔接符合学生的心理特点。其次，研究教材，注重初高中相关知识的衔接，完善学生的认知结构。最后，更重要的是研究教法，培养能力，加快学生对高中数学的适应速度.

五、深入研究教材、合理开发新教材的注意点

解读教材，要认真思考三个问题.首先是“教材中编写了什么”，意在熟悉教材的编写内容，尤其是跳出某一章某一节教材的框框，将某一知识点放置于这一学段甚至于整个知识体系中审视，做到了然于胸.其次是“教材中为什么这样编写”，意在对教材的呈现方式及编写理念有一深入探寻.最后是“教材中这样编写对教学有什么启示”，教材的编写对教学的启示，不仅表现在一节课中，还表现在这一知识领域中。

六、研究学生、找准学生学习行为的落实点

新课标下应研究学生、找准学生学习行为的落实点的五种做法：

做法一：让学生具备阅读数学文献的能力.

做法二：引导学生主动学习，激发学生学习数学的兴趣.

做法三：引导学生合作学习.

篇（8）

首先，沿用初中学习生物的观点对待高中生物。初中生物是对植物、动物、人体有一个感性认识即可，知识量不大，最重要的是不参加中考。而高中生物是理科生必考科目，而且知识结构不一样了，更微观，更前沿，知识容量更大了。

其次，对于理科生来说，生物是理综三大科目之一。在吉林省高考中，理综合是指物理、化学、生物三科一张卷，共300分。其中物理110分，化学100分，生物90分。生物所占的分数比例是最低的。一般学校课时安排得少，导致学生觉得生物是“副科”，自然不重视生物学科的学习。

所以首先要认清生物学科的重要地位，从个人知识量和难易程度的比例来看，高考中生物所占的分数比例并不低。物理占分多，但知识量也大，生物的知识量少（三本必修教材，两本选修教材），理综三科在学习过程中，学生普遍觉得物理很难，而生物很简单。只要认真学习生物，那么在高考中相对来说容易得分。在关心大科学习的同时，也要关心生物学科的学习。在升入高三之前，打好必修教材的基础。

二

针对生物学科的特点，要学好高中生物，建议学生做到以下几点。

首先，对教材要熟烂于心。生物学生，掌握了教材中的知识就等于成功了一半。可以说，生物是最像文科的理科科目，需要记忆的知识点很多。用心背书，生物成绩就可以处于中上等水平。书中的图例、实验、涉及的化学式（光合与呼吸），要时常归纳、总结重点词，如“功能”、“作用”、“本质是”，这些都要留心，书上的黑体字要背下来，如“基因是有遗传效应的DN段”，这往往是高频考点。有些知识点一定要记扎实，“当背则背”，没有商量的余地。它不像数学、物理，掌握一个公式、定理，就能在做题时有很大的发挥空间。生物往往要求你一字不差地答出某概念或者某原理，能用书中更专业的生物学术语答题比用自己理解的大白话答题更能得分。另外，背的东西，遗忘是很正常的，但经常重复这些知识点，可以延长遗忘的时间，所以要经常看书。

其次，习题和作业。可以选择一两本教辅资料，带知识点分析和习题详解的这类课外书可以把每个知识点细致地分析一遍，是一本服务于课前预习、课后归纳整合的教辅，帮你夯实基础；教授做题的方法，让你快而准地做题，从而取得高分。对于一般的学生，用学校订的教辅资料就足够了，除非是尖子生，想进一步拔高，还可以再自备一套资料。把做题当成积累。题做得多了，自然就知道哪些是高频知识点了。选择题要兼顾速度与准度，高考一道选择题就是6分。虽然不提倡题海战术，但在高考的指挥棒下，题海战术也是最有效的方法之一。

最后，多与老师沟通，进行错题反馈，解决疑难问题。每周新课都有对应的题，在老师讲解之前，要独立完成。老师讲时认真听，对于自己做题有疑问的地方，在听课时加以解决。解决不了的一定要请教老师和同学。这一点，要多鼓励自己，不会的题就问老师，老师不是老虎，为什么要敬而远之呢？

三

以上是我结合自己的教学过程和对学生的了解有感而发的一些拙见。说到底，在生物学科的学习中，对知识的记忆很重要。下面把我自创的一些记忆方法和读者分享。

必修一《细胞的衰老和凋亡》中衰老细胞的特点总结：

一大，一小，一多，一少，两个低，两个慢。即：细胞核大，细胞小，色素多（形成老年斑的脂褐素沉积），水分少，酶活性降低（酪氨酸酶活性低，黑色素合成减少——老人的白发），物质运输功能降低，新陈代谢减慢，呼吸速率减慢。最后强调有两个“相反”的特征——脂褐素多和黑色素少。

必修二《孟德尔遗传定律》知识点总结：

豌豆：自花传粉闭花纯，稳定遗传易区分，花大杂交周期短，后代数多易统计。

孟德尔假说演绎实验过程：高矮正反交，子代全是高，Dd再自交，高矮3：1，Dd若自交，高矮1：1.

篇（9）

首先，我们有必要了解学生目前的情况，学生经过一年的总复习，经历了一轮、二轮复习，学生已经掌握了什么，还需要什么，与高考的要求还有什么差距？针对差距和问题，如何在30天内，开展针对性的突破。

学生的情况（对于大部分学生）是会做一些题目，一些常见的题目，并且见识了大量的题目，但有些并非会做，或者没有深刻的认识，并且认识是离散的、不系统的。对于课本的基本知识、基本方法有了解，基本知道，但还可能存在小漏洞。好一点的学生可能，储存的题目多一些，基本知识掌握牢固点；差一点的学生可能少一些。还有在多次的模拟考试和综合练习，学生基本已经找到自己的位置。以及在多次的考试中，总结了一些考试的方法和策略，但可能不全面。还有对高考试题的分布有认识，知道试题的整体分布。针对以上的学情，笔者以为从四个方面，加以突破，提升学生的能力，以期在高考中取得好的成绩。

一、整合教材，建构体系

学生头脑里，已经有离散的基本知识和方法，教师要带领学生从几个角度实现知识的网络构建，把握知识的脉络。

一是：模块脉络：高中所学任意模块，教师要带领学生清晰的厘清，每一模块是如何生成和发展的，由哪些知识、哪些方法，通过何种方式呈现，何种方法生成，每一模块中章节之间的联系等等。这里以必修4为例，阐述笔者的观点。必修四由三章构成，第一章《三角函数》、第二章《平面向量》、第三章《三角恒等变换》。第一节引入任意角和弧度制，其中涉及重要的概念：终边相同的角、弧度制、角度制与弧度制之间的转化、扇形的面积公式；第二节在第一节基础上，建立了任意角的三角函数，通过点的坐标，单位圆建立，并且给出有向线段，正弦线、余弦线、正切线（这是建立后续三角公式、三角函数的图象的根源），后面的同角关系、诱导公式都是基于单位圆，第三节首先研究周期性（三角函数的本质特征，与其他函数的显著区别），在此基础上，研究了三角函数的图像（在三角函数线和周期性的基础上），研究了相关的性质（看图研究），注意三种图像的特征，以及与前面讨论函数的区别和联系。进而，研究函数y=Asin（ωx+φ）的图像和性质（通过研究与前面讨论的函数图像建立联系），最后研究三角函数的应用。（方法一：借助三角函数模型； 方法二：发现关系，建立函数关系式）。当然后面的第二章、第三章也可建立。最后还要讨论这三章之间的联系。只有这样，学生才非常清晰的把握课本知识点的发展、走向，以何种方式建立和联系的，学生零散在头脑中的知识点才能通过模块知识有机的连接起来。

二是：整体脉络：不同于模块脉络，整体脉络打破模块的限定，串联高中所有模块，针对某一主题，前后连接，使得脉络深入各个模块，使得学生从不同角度审视某一问题。下面我们以“函数”主题为例，阐述我的观点，常见的函数有哪些？各有什么特征和性质？是如何研究这些特征和性质的？有哪些应用？

初中研究的： 一次函数反比例函数二次函数

高中研究的：

必修1： 一次函数指数函数对数函数幂函数

必修2、选修2-1： 直线圆、圆锥曲线（在一定条件下）

必修3、选修2-3： 概率

必修4： 三角函数

必修5： 数列

选修2-2： 导数及其应用

选修4-2：矩阵的变换（变换的定义比函数的概念宽泛）

选修4-4： 参数方程、极坐标

其他一些重要的函数，比如： 分段函数、绝对值函数、双钩函数、三次函数、隐函数。

通过函数这一概念把高中许多问题、知识串联起来，让学生很清楚、很深刻的把握，同时提炼学生看透问题的本质。当学生遇到问题，可以从函数的观点审视问题，进而解决问题。三是：微观脉络：更多从某一知识点你可以联想到什么，某一方法主要应用体现在哪里。通过发散的思维，培养学生触类旁通的能力。比如“数量积”这一概念，你会想到什么（可以从概念是怎么来的，如何定义的，背景是什么，有哪些应用，用了哪些方法，涉及哪些知识，可以解决哪些问题）？从这一简单的概念，进行发散思维，使得学生可以充分调动各方面的知识和方法，聚焦这一概念，有利于学生思维稳定性的培养。

二、聚焦例题，融通内化

每年的高考题中，有百分之八十来自课本题及课本变题。（江苏省高中数学教研员李善良曾说。）另外，每年各地模拟题也涌现大量的好题，如何充分有效的用好课本题、模拟题是值得思考的。笔者以为在目前学生已掌握大量题的基础上，梳理、归纳、总结、提炼是提升的关键所在，实现量变到质变的飞跃，不但是知识、方法的提炼。而且还要在典型题目、常见问题上提炼。提炼出基本的经典题模型、基本的经典题解法模型，有助于学生更深刻把握某一类问题，解决某部分问题的常见思路和解题方法，使得学生在解题，尤其在解高考题，更便捷的采用摸式识别的方法解题。笛卡尔经典名言：所有的问题转化为数学问题，所有的数学问题转化为代数问题，所有的代数问题转化为方程问题。如果我们把某一部分的问题，能提炼浓缩速成一个模型，那该多好啊。

三、亲近真题，经历体验

各地的高考题都是经过专家反复斟酌、推敲的精品。历年的高考题中涌现大量的经典之作。研究高考真题，是考前30天提升效率的又一法宝。下面我给出研究的几个维度：

维度一：宏观把握

维度二：微观推敲

维度三：他山之石

四、优化指导，凸显自主

有人说，高考百分之七十考心理，百分之三十考知识。我非常认同这句话。高考是综合实力的竞争，某种意义上，应试策略比知识更重要。如何有效的提高学生的应试能力，是高考前的又一重要的关注点。从下面几个方面关注：

第一：引导学生从自己的考试经验总结，从同伴的失败和成功处总结。

第二：通过真题的模拟，使学生体验考试策略的重要性，以及遇到问题如何调整。

篇（10）

《高等数学》作为一门工科类专业的基础课程，其教学质量的好坏将直接影响学生对后继课程学习的兴趣和专业成绩。如何提高高等数学的教学质量和教学效果，是各大高校近年来一直积极探索的重要课题，也是数学教师努力追求的目标。笔者根据多年从事高等数学教学的实际经验，对高等数学的教学现状进行分析，现浅谈几点提高高等数学教学质量的体会。

一、存在的问题

1.学生学习态度不够端正，普遍对高等数学的学习抱有恐惧心理。尤其是理工类专科生，他们高中数学的基础本来就比较薄弱，因此对高等数学的学习失去信心，很多学生都有“及格万岁”的思想。

2.学生学习主动性不高，缺乏专研精神，遇到没听懂或不太理解的知识点不会课后请教老师或同学，以至于不懂的知识点越积越多，对待作业抄袭现象比较严重。还有些高中基础较好，上课较认真的学生课堂上虽然听懂了，但没做课后作业，以至于知识点没有完全理解透彻，囫囵吞枣，学到后面较难知识点时也就疲于应对了。

3.教师教学方法单一，缺乏多样性，上课仍就采用传统的“黑板+粉笔”方式。由于高等数学总课时不断减少，部分教师采用“满堂灌”的教学方式，即课堂上一直在讲授新的知识点而不考虑学生的接受程度，学生在课堂上难以完成必要的思维、运算技能地锻炼，课堂缺乏互动，学生主体作用没有发挥，教学效果不甚理想。

二、提高课堂教学效果的几点措施

1.引入多媒体辅助教学，提高课堂教学质量。对于高等数学课程，适当地引入多媒体教学，可以改善教学方式，提高教学效率，从而提高学生学习的兴趣。应用多媒体技术可以增大教学信息量节省板书时间，可以加强直观教学，有助于学生对抽象概念和理论的理解。比如，在讲授“不定积分的几何意义”“定积分的概念和性质”“定积分的几何应用”“空间解析几何”等知识点时，引入多媒体教学比普通的板书效果要好得多。

然而，多媒体教学也有其自身不足，比如，若播放太快，学生跟不上节奏；比较容易分散学生的注意力；课堂交流、互动机会减少等。因此，采用多媒体教学和传统的黑板加粉笔相结合的方式，发挥各自优势，会达到最好的教学效果。

2.增加师生互动，活跃课堂气氛。好的数学课，要让学生全身心地投入到学习活动中，让其感受到自己是学习活动中有价值的一员。教师在教学中通过讲授、设问及启发等方式，积极鼓励学生思考、讨论、质疑等，充分调动学生参与教学活动的积极性，让他们亲身体验知识的发生、产生过程，更能让他们对数学产生亲切感，从而消除他们对数学的恐惧感。此时，教师不再是权威，更像是一位知识启蒙的引路人。

另外，教师要提供机会让学生走上讲台，一般通过在讲解习题课时，挑出部分题目让学生上台演板，每次上台4-5名学生。此法既能考查学生对知识的掌握程度，做到讲解时突出重点，又能使教师发现学生答题时的书写规范程度，对一些书写不规范的方式做到了及时更正。通过以上的互动方式，既可提高数学课的趣味性，又能使学生保持对数学学习的兴趣，提高语言的表达能力。

3.讲述史料，充实教学内容，鼓励学生积极向上。教师在教学过程中，适当地讲解一些数学史的内容，介绍部分数学家的生平事迹，介绍一些数学知识的产生与进展过程，既可以增添数学的趣味性，发现数学美，更重要的是可以潜移默化地给学生以思想教育，激起学生的学习兴趣，也可以拓宽学生的视野，增大他们的知识面。

如讲解“极限”时，教师可介绍数学史上的第二次数学危机，从此诞生了极限理论和实数理论；引入导数时，可以介绍牛顿和莱布尼茨的导数发明之争。另外，结合数学内容适当地插入数学家的故事，如自学成才的华罗庚、哥德巴赫猜想第一人的陈景润、博学多才的数学符号大师莱布尼茨和著名的物理学家、数学家和天文学家牛顿，通过这些故事坚定学生学习数学的信心，也让学生对科学研究产生浓厚的兴趣。

4.联系实际，将数学建模思想融入其中。高等数学中许多概念的引入都是从实际问题中抽象出来的，如刘徽的“割圆术”体现了极限的思想；莱布尼茨的切线斜率体现了导数的思想等等。在具体教学过程中，教师要注意渗透数学建模的基本思想和方法，因为高等数学的实际问题其解决过程就是一个建模过程。在例题和习题的选择方面，教师要适当加大应用题的比例，再结合学生几何学、物理学及高等数学基础，培养学生数学建模的初步能力。另外，在高等数学教学中增加数学模型和数学实验的教学，从而进一步提高学生分析问题、解决实际问题的能力。

5.回顾总结，融会贯通。在每小节内容讲完后对该小节的知识点做个归纳总结，在回顾知识点和总结方法时，突出重点、难点。同时，由于高等数学是一门逻辑性非常强的课程，前后各章内容关联性很大，在教学过程中，我们需将各章知识点加以分析、类比、归纳和总结，使所有知识点相互关联，从而使高等数学的所有知识点形成一个完整的系统。

比如，学完了一元函数微分学，教师可引导学生把可导、连续和极限存在三者之间做个总结，得出可导必连续，连续必极限存在，反之不成立；多元函数偏导数实质上仍是一元函数求导的问题，对某个变量求偏导时把另一个变量看成常数等等。

6.精挑习题，布置课后作业。教师在每堂课结束都在前精心挑选、布置有代表性的课后作业，课后作业依据优化题量优化题型的原则，认真挑选使学生容易形成技巧的重点题型，达到做少量习题掌握全部知识点，较多解题方法的效果，课后习题一般从课后或课外升学资料中挑选。

随着我国素质教育的不断深入，大学对于高等数学的要求也在不断提高，高等数学的作用也将得到更大地发挥。这要求我们高等数学的教育工作者根据教学对象及教学要求提高而不断改进教学方法，完善教学模式并提高教学质量。

参考文献：