反比例函数的应用汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇反比例函数的应用范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

当 k1k2＞0 时直线与双曲线一定相交.

证明(略)

性质2 直线与双曲线只有一个交点时,两线相切,并且切点是直线被两坐标轴所截线段的中点；反之,如果双曲线经过直线被两坐标轴所截线段的中点,则两线一定相切.

因为Δ=(-2k2[]m)2-4•k2[]m2•k2=4k22[]m2-4k22[]m2=0 .所以两线只有一个交点,两线相切.

性质3 直线与双曲线相交时,直线被双曲线和两坐标轴截得的线段相等.

证明 如图1(2),过点C作CEy轴,过点D作DFx轴,

连接E、F.由CE∥y轴,DF∥x轴,可知SECF=SECO=1[]2k2,SDFE=SDFO=1[]2k2, 所以SECF=SDFE.

又因为两三角形底相等,所以高也相等,所以EF∥AB,则四边形AEFD、ECBF都是平行四边形,

所以EC=BF,AE=DF.可判断RtAEC≌RtDFB,所以AC=BD.

通过上述证明过程又可得到以下性质：

性质4 当直线与双曲线有两个交点时,过其中一个点向x轴引垂线,y轴引垂线,两垂足连线一定与该直线平行.

由图2,图2(1)都可证明性质3与性质4(证明过程同上).并且由图2还可以得到

性质5 过原点的直线与双曲线相交时,两交点关于原点对称.

证明 如图2,由性质4知EF∥AB,因此四边形AEFO、BOEF都是平行四边形,所以AE=OF,OE=BF,EF=OA=OB,又A、B分别在二、四象限,因此A、B两点关于原点对称.

另外由图3,还可以发现,设点P(x,y)是线段AB上一个动点,

当点P与C、D重合时,S矩形EOFC=S矩形DNOM=k2,

当点P在CD段时,易得S矩形PROH＞S矩形EOFC=k2,

当点P在AC段或BD段时,易得矩形面积都小于k2,因此又得到

性质6 如图3,当点P在线段AB上运动时,过点P与x轴、

y轴围成的矩形面积S有如下三种情况：设点p、C、D的横坐标分别为x、x1 、x2,

则 当x1＜x＜x2时,S矩形＞k2,

当0＜x＜x1或当x2＜x＜-b[]k1时,S矩形＜k2,

当x=x1、x2时,S矩形=k2.

2 性质应用

例1 (2010湖北咸宁)如图4,一次函数y=ax+b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数y=k[]x的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作y轴,x轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE．

有下列四个结论：

①CEF与DEF的面积相等；②AOB∽FOE；

③DCE≌CDF；④AC=BD．

其中正确的结论是_________(把你认为正确结论的序号都填上)

解 由上述性质3、4得到①②④正确

例2 (2010宁夏)如图5,已知：一次函数：y=-x+4的图像与反比例函数：

y=2[]x(x>0)的图像分别交于A、B两点,点M是一次函数图像在第一象限部分上的任意一点,过M分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M1、M2,设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图像上任意一点,过N分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为N1、N2,设矩形NN1ON2的面积为S2；

(1)若设点M的坐标为(x,y),请写出S1关于x的函数表达式,并求x取何值时,S1的最大值；

(2)观察图形,通过确定x的取值,试比较S1、S2的大小．

解 (1)S1=x(-x+4)=-x2+4x=-(x-2)2+4

当x=2时,S1最大值=4 .

(2)因为S2=2[CS0,0,0,0]［,］[CS]由S1=S2可得：-x2+4x=2,

x2-4x-2=0,所以x=2±2.由性质6可得：

当x=2±2时,S1=S2,

当0

当2-2

例3 (2010泰安)如图6,一次函数y=ax(a为常数)与

反比例函数y=k[]x(k为常数)的图象相交于A、B两点,若A点的坐标为

(－2,3),则B点的坐标_________.

解 由性质3知B点与A点关于原点对称,因此B点的坐标为(2,-3).

例4 (2009温州)如图7,在平面直角坐标系中,

直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B,

与反比例函数y=m[]x在第一象限的图象交于点C(1,6)、点D(3,n)．

过点C作CEy轴于E,过点D作DFx轴于F．

(1)求m,n的值；

(2)求直线AB的函数解析式；

(3)求证：AEC≌DFB．

解 如图7.(1)m=6,n=2

篇（2）

教师不是简单地将概念“抛”给学生，而要引导学生在积极思维讨论、主动合作探究的基础上通过归纳形成概念，并通过简单的习题训练不断拓展，引导学生抓住概念的本质。笔者在反比函数教学中引入定义时，向学生介绍其基本形式为：y=■（k≠0），或y=kx-1（k≠0），但学生对反比例函数概念的认识尚处于表象，教师适时将定义变式，设计几个变式题目来强化概念。

变式1：若函数y=（m-2）x|m|-3是反比例函数，则m的值为（ ）

A、m=-2 B、m=2 C、m=2或-2 D、m=3或-3

本题变式旨在让学生由反比例函数定义，一个函数满足是反比例函数的必备要件分别是k≠0、x的指数为-1。

变式2：如果函数y=kxk■-10是一个反比例函数，求k的值和反比例函数的表达式。

二、 数形结合，化繁为简

反函数教学要改变数、形彼此“两边飞”的现状，要将数与形完美结合，从而兼具“数”的关系和“形”的直观，在面积计算、比例大小等内容教学中要利用其图象特点，将复杂的问题简单化。

题源：若函数y=■的图象经过点（-2，6），则下列各点中不在y=■图象上的是（ ）。

A、（3，4） B、（2，-6）

C、（3，-4） D、（-3，4）

变式1：如右图所示，点A是反比例函数图象上一点，过A作ABx轴于B，若SAOB=5，则解析式为 。

通过观察图象可知，双曲线上任一点引x轴（或y轴垂线），该点与垂足、原点所构成的三角形面积是定值，

即SAOB=■k。

变式2：已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=■的图象交于点A与B。（1）请利用给定的条件，求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据图象写出ax+b>■时x的取值范围。

本题旨在要求学生利用反比例函数与一次函数的交点来求不等式的解集。通过观察不难发现，一次函数图象在反比例函数上方时，一次函数值大于反比例函数值，即x

三、挖掘性质，探索规律

函数作为初中代数教学的重点内容，学生往往被其若干个性质搞得头昏脑胀。教师要通过变式练习，引领学生深入挖掘函数的性质，探索其内在的规律，才能使学生在解决问题时应对自如。

题源：若点A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数图象上，且x1

学生根据k>0确定反比例函数图象分布在一、三象限，在同一象限内，y随x的增大而减少，容易得出结论y1

变式：若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）分别在反比例函数的图象上，且x1

四、关注社会，联系生活

数学源于生活，服务于生活。数学教学应根植于社会生活实际，从生活中搜索数学素材，精心编制习题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养学生的数学应用意识。

题源：已知点M（-1，4）在反比例函数y=kx-1（k≠0）图象上，则k的值是 。

变式1：在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例。当p=50时，V=600，则当p=40时，V= 。

变式2：某学校为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长24m、宽12m的矩形大礼堂内修建一个60m2的矩形健身房ABCD，该健身房的四面墙壁有两侧沿用大厅的旧墙壁。已知装修旧墙壁的费用为60元/平方米，新建（含装修）的费用为240元/平方米。设健身房的高为3米，一面旧壁AB的长为x米，修建健身房的总投入为y元。

（1）求y与x的函数关系式；

篇（3）

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合从某种意义上说，就是将数学问题之间的条件与结论进行一定的联系，将数学问题中的代数知识和几何知识运用、体现出来，将代数的准确性以及几何的直观性都充分地表现出来，将这些考虑问题的手段有效地结合在一起，从而促进数学解题思路的拓展与提升，从而将数学问题的难度降低，帮助学生更轻松、更直观地进行解题。反比例函数自身就是一种几何与代数知识的结合，因而在进行反比例函数解题的时候，我们应当尽量多地利用数形结合思想，将初中数学反比例函数中的问题更好地解决。

例1.已知圆柱的侧面积是20π cm2，若圆柱底面半径为r cm，高为h cm，则h关于r的函数图像大致是（ ）。

我们根据已知数据并且结合圆柱的侧面积表达公式即：s=2πrh，并且2πrh=20，那么我们就可以得到h=10/πr，因此我们可以知道π与r之间是反比例关系，在解决实际问题的时候，我们还应当关注题目的实际应用，即r作为半径应当有一个潜在的取值范围即r>0，那么我们就可以知道h与r之间的反比例函数关系图象一定是在第一象限，通过已有知识的掌握，联系现实实际，我们可以将问题答案成功地求出来。在这里，我们应用到的知识主要是反比例函数的定义，即，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。我们通过圆柱侧面积的表达公式，并将题目中已经掌握的信息利用起来，求出h与r之间的关系，发现与反比例函数的定义相符，那么我们就可以判定这肯定是一个反比例函数图象，接着，我们就可以确定答案为A。当然，这道题目中的解题思考进行概括和升华之后可以是这样的：我们在进行解题时，应当先找出两个变量之间的关系，根据这个关系式我们可以画出相应的函数图象，从而能够归纳出相应的图象特征，并找到相应的函数图像。

例2.如图：A、B是双曲线一个分支上的两点，且B（a，b）在点A的右侧，则b的取值范围是―（ ）。

根据题目中的图像所示，我们可以得出A点的坐标为（1，2），同时我们知道B点也是这个双曲线一个分支上的一点，因此点B的坐标可以利用双曲线的函数关系式表达成为（a，2a），又因为点B位于点A的右侧，那么我们可以根据反比例函数图象在第一象限中的变化规律得出y随着x的增大而减少的结果，因此我们可以得出a一定大于1，且b一定小于2，b一定大于0，也就是b大于0且b小于2。在这道题目的解题过程中，我们主要运用的解题思路是结合我们已知的条件，从图象中寻找有用的相关信息，从而能够将已知条件转化为要求的目标，只有充分地结合图像，我们才能将所有的条件都考虑完整，不会将“b在第一象限，所以一定大于0”的信息给忽略掉，从而得出更为准确的答案。

总而言之，反比例函数作为一种重要且有效的数学解题手段，我们应当帮助学生在数学思维养成的过程中逐步学会这种思维手段，并将其熟练地运用到数学解题过程中去。对于反比例函数中比较突出的问题，包括比较大小、通过应用题目确定数值关系式等，我们应当运用数形结合的解题思想进行解题，从而达到事半功倍的解题效果，实现反比例函数的优质解题。

篇（4）

一、反比例函数教学内容

函数在初中数学教学活动中使学生较为头疼的内容，学生难以有效地理解与掌握其概念。函数涉及变量的关系，函数的实质是一个变数，它随另一个变量的变化而变化，并且特别强调对于变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即突出了自变量与函数之间单向一对一的关系，一个x的值只对应唯一y的值。而这种不断变化的函数的学习对于初中生而言存在着一定的困难。初中生难以有效地掌握反比例函数，对于学生中考的数学成绩也有着较为不利的影响，故而作为九年级的数学教师，对于如何有效强化学生反比例函数的学习能力，提升反比例函数教学效果，是较为主要的任务。对此笔者认为，教师可以通过对反比例函数的教学内容进行探究，对其知识内容及图象进行归类，促使学生更好的学习，其知识结构如下所示。

二、九年级反比例函数有效教学

1.利用创设问题情境，提出问题

在进行反比例函数教学活动中，对反比例函数教学引入过程，教师就可以通过课本中的题目，进行情景创设，让学生切实感受到反比例函数在生活中的应用。如，利用弹簧挂上物体后会拉长这一现象，教师就可以在课堂上将弹簧作为教学工具让学生进行实践，然后提出问题：这是什么样的现象？促使学生能够独立思考完成教师所提出问题，从而有效引发学生学习反比例函数的

兴趣。

2.循序渐进，学习反比例函数

（1）利用合作学习，促进学生对反比例函数概念的了解。在进行教学引入活动之后，教师就可以通过小组合作学习的方式让学生对反比例函数的概念进行分析与掌握。对此，教师可以设计关于反比例函数概念的题目，让学生通过小组的形式进行探索，通过交流对反比例函数的共同特点进行归纳与总结。

（2）挖掘内涵，强化学生对反比例函数的理解。学生对反比例函数的共同特点进行总结之后，已经初步了解了反比例函数的概念，教师还可以通过对反比例函数的内涵进行有效的挖掘，从而强化学生对概念的理解。对此，笔者认为，教师可以让学生对反比例函数的概念先进行独立思考，再让学生在小组中相互交流，对于较难理解概念进行探讨，教师从旁指导，由此强化学生对反比例函数概念的理解。

（3）及时训练，加强学生对反比例函数的运用。完成了对反比例函数讲解之后，教师应让学生将自己所学生的知识进行运用，及时训练，促使学生对反比例函数知识内化。

篇（5）

反比例函数是近年来考试的重点，无论是教学时的难度，还是本身所包含的知识，都会成为考试中的热点。课程标准对反比例函数的掌握程度提出了更多的要求，考试的题型也呈现多种变化。如，选择题、填空题、解答题，考点涉及反比例函数的概念、解析式、图象及性质、实际问题等，特别是涉及反比例函数的综合题型等。那么，我们在复习中如何能使学生掌握基础、形成知识网络，并能利用基本的概念、性质和方法通过观察和归纳分析解决难度较大的综合题型呢？下面我们就通过一些环节，让学生通过“解决问题―归纳知识―构建系统”的模式，力求让学生通过自主探究的方式达到对知识的深层理解，形成解决问题的能力。

一、概念梳理，抓好基础

这道试题是最简单的反比例函数概念题，学生将A点代入解析式即能得解，使学生初步理解反比例函数的概念，并知道这样的方式叫待定系数法求解析式。

例2.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为________。

这道试题是有关函数实际应用问题的，是要学生加深理解函数概念的。也就是通过对实际问题的理解转化成数学问题，即得出反比例函数解析式。这样的探究一方面可以加深学生对反比例函数实际意义的理解，对实际应用问题中自变量取值范围的理解；另一方面也为学生后面解答的实际应用综合问题降低思考难度。

二、掌握图象性质，加深学生理解

这道例题是考查反比例函数的性质，从题中“y都随x的增大而减小”，则k-3>0，从而得出k>3。这类试题在复习中是最简单的变形考查，可以让学生在识记基础上理解函数性质。

三、探究k值的几何意义

这一环节重点解决反比例函数的概念、性质、k值的几何意义，由学生在课前完成。采取“练习―梳理”的形式，让学生自觉感受和发现题中所考查的基础知识点，产生自觉归纳基础知识点的欲望，从而主动归纳知识，初步形成知识网络。教法上在学生课前自主完成的基础上，先让学生小组核对、讨论，之后由学生讲解、展示问题的解答和归纳的基础知识点。最后，教师对于学生讲解和理解不透彻之处再和全体学生一起进行深入辩解，形成正确、简洁的结论。

四、联系实际，综合练习

在反比例函数的考查中，不可能是单一的出现，它往往同一次函数，三角形等相结合，并且具有一些实际的问题。所以，我们在复习时应该联系生活实际问题，教学学生如何将实际问题转化为数学问题，在联系中加强综合性。

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；

（2）求AOC的面积；

本例题比较复杂，教师期待学生归纳总结的内容比较多，大部分学生可能能够求解其中的问题，但不易理清思路，特别是部分基础知识和思维能力稍弱的学生会更加困难。教师应该教会学生怎样对问题设计的知识点形成比较清晰的归纳和认识。

在第一问中教师引导学生明了先求哪一个函数，为什么，即已知一点可求反比例函数，已知两点才能求一次函数，教师还可引申到已知几点才能求二次函数。这一问的解决和引申达到了对比分析反比例函数、一次函数、二次函数在解析式求法上的区别，能够形成较好的对比效应。

第二问的设置目的在于对比k值的几何意义所产生的三角形面积不变性问题。使学生明了反比例函数图象中哪些三角形才具有面积不变性，这些三角形各自的特征是怎样的。

第三问所要求解的不等式实际上可转化为比较一次函数y1与反比例函数y2的大小，这样思路就会清楚一些。

综上所述，问题分析是关键。学生应该在教师的适时、适当点拨下一步一步突破，理清问题的脉络，对问题解决形成比较明晰的思路。这时教师才能放手让学生去解答问题、归纳知识、总结经验，并选一名学生上台展示解题过程，大部分学生都完成之后由学生评点，使学生进一步完善解题过程，使全体学生能够对问题理解透彻，然后教师引导学生分析提炼这一题中可以归纳总结、形成经验的内容。

参考文献：

[1]金秋.学习“反比例函数”应注意的几个问题.时代数学学习：九年级，2006（11）.

篇（6）

1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；

2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；

3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；

4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；

5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.

教学重点：

结合图象分析总结出反比例函数的性质；

教学难点：描点画出反比例函数的图象

教学用具：直尺

教学方法：小组合作、探究式

教学过程：

1、从实际引出反比例函数的概念

我们在小学学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例

即vt=S（S是常数）；

当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S（S是常数）

从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：

（S是常数）

（S是常数）

一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数．

如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数．当矩形面积S是常数时，长a是宽b的反比例函数．

在现实生活中，也有许多反比例关系的例子．可以组织学生进行讨论．下面的例子仅供

2、列表、描点画出反比例函数的图象

例1、画出反比例函数与的图象

解：列表

x

-6

-5

-4

-3

1

2

3

4

5

6

-1

-1.2

-1.5

-2

6

3

2

1.5

1.2

1

1

1.2

1.5

2

-6

-3

-2

-1.5

-1.2

1

说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图

一般地反比例函数（k是常数，）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.

3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质

前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.

显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考）

（1）的图象在第一、三象限.可以扩展到k>0时的情形，即k>0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.

的讨论与此类似.

抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.

（2）函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；

从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k>0时，函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.

同样可以推出的图象的性质.

（3）函数的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出，.如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出图象的性质.

函数的图象性质的讨论与次类似.

4、小结：

本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.

5、布置作业习题13.81-4

教学设计示例2

反比例函数及其图像

一、素质教育目标

（一）知识教学点

1．使学生了解反比例函数的概念；

2．使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；

3．使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；

4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式.

（二）能力训练点

1．培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；

2．向学生渗透数形结合的教学思想方法.

（三）德育渗透点

1．向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；

2．使学生体会事物是有规律地变化着的观点.

（四）美育渗透点

通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.

二、学法引导

教师采用类比法、观察法、练习法

学生学习反比例函数要与学习其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.

三、重点·难点·疑点及解决办法

1．教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.

2．教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.

3．教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.

4．解决办法：（1）中隐含条件是或；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.

四、教学步骤

（一）教学过程

提问：小学是否学过反比例关系？是如何叙述的？

由学生先考虑及讨论一下.

答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.

看下面的实例：（出示幻灯）

1．当路程s一定时，时间t与速度v成反比例；

2．当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例；

它们分别可以写成（s是常数），（S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）

一般地，函数（k是常数，）叫做反比例函数.

即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t就是速度v的反比例函数，能否说：速度v是时间t的反比例函数呢？

通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足（k是常数，）就可以．因此可以说速度v是时间t的反比例函数，因为（s是常量）．对第2个实例也一样．

练习一：教材P129中1口答．P1301

根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？

答：图像和性质．

通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后

学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．

下面，我们就来看一个例题：（出示幻灯）

例1画出反比例函数与的图像．

提问：1．画函数图像的关键问题是什么？

答：合理、正确地选值列表．

2．在选值时，你认为要注意什么问题？

答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；

（2）不能选，因为时函数无意义；

（3）选整数较好计算和描点．

这个问题中最核心的一点是关于

的问题，提醒学生注意．

3．你能不能自己完成这道题呢？

学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：

注意：（1）一般地，反比例函数的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）这两条曲线不相交；

（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y轴，但永不会与x轴和y轴相交．

关于注意（3）可问学生：为什么图像与x和y轴不相交？

通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性．

再让学生观察黑板上的图，提问：

1．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

2．当时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？

这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：

对于双曲线（1）当：（1）当时，双曲线的两分支位于一、三象限，y随x的增大而减少；（2）当时，双曲线的两分支位于二、四象限，y随x的增大而增大．

3．反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？

通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．

练：教材P129中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上

上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）

例2已知y与成反比例，并且当时，，求时，y的值.

用提问的方式对此题加以分析：

（1）y与成反比例是什么含义？

由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了：.

（2）根据这个式子，能否求出当时，y的值？

（3）要想求出y的值，必须先知道哪个量呢？

（4）怎样才能确定k的值？用什么条件？

答：用待定系数法，把时代入，求出k的值.

（5）你能否自己完成这道例题：

由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.

例3已知：，与x成正比例，与x成反比例，当时，时，，求y与x的解析式.

分析：一定要先写出y与x的函数表达式，

要用x分别把，表示出来得，

要注意不能写成k，

解：设，

.

由题意得

.

（二）总结、扩展

教师提问，学生思考回答：

1．什么是反比例函数？

2．反比例函数的图像是什么样的？

3．反比例函数的性质是什么？

4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.

五、布置作业

1．教材P130中4，5，6

2．选做：P130中B1，2

六、板书设计

13．8反比例函数及其图像

引例：（1）例1：例2：例3：

（2）

1．反比例函数：

2．反比例函数的性质

探究活动

已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D。。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）设点A的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。

解：（1）过点B作轴于点H。

在Rt中，

由勾股定理，得

又，

点B（－3，－1）。

设反比例函数的解析式为

。

点B在反比例函数的图像上，

。

反比例函数的解析式为。

（2）设直线AB的解析式为。

由点A在第一象限，得。

又由点A在函数的图像上，可求得点A的纵坐标为。

点B（－3，－1），点，

解关于、的方程组，得

直线AB的解析式为。

令。

求得点D的横坐标为。

过点A作轴于点G

由已知，直线经过第一、二、三象限，

，即。

由此得

。

即。

（3）过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。

证明如下：

。

由，

得

解得。

经检验，都是这个方程的根。

，

不合题意，舍去。

点A（1，3）。

设过A（1，3）、B（－3，－1）两点的抛物线的解析式为。

由此得

即。

设抛物线与x轴两交点的横坐标为。

则

令

则。

即。

整理，得。

篇（7）

例1 （2008年新疆建设兵团）我们学习过反比例函数，例如，当矩形的面积S一定时，长a是宽b的反比例函数，其函数关系式可以写成a= （S为常数，S≠0）．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数关系式．

解：三角形的面积S一定时，三角形的底边长y是高x的反比例函数，其函数关系式为y= （S为常数，S≠0）．

注意：将实际生活中的数学问题抽象成函数关系式时，一要注意题中所给条件的限制，即自变量的取值范围；二要清楚哪个量是自变量，哪个量是常数，哪个量是因变量.

例2 （2008年云南省）函数y= 中，自变量x的取值范围是______．

解：要使反比例函数有意义，必须分母不为0，故x-1≠0，x≠1.

二、确定反比例函数的解析式

例3 （2008年安徽省）函数y= 的图象经过点（1，－2），则k的值为（）.

A．B． - C． 2D． －2

解：将点（1，－2）代入函数y= ，得-2= ，k=-2.故选D.

例4 （2008年襄樊市）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图1所示.当V=10 m3时，气体的密度是（）.

A． 5 kg/m3 B． 2 kg/m3

C．100 kg/m3 D. 1 kg/m3

解：设反比例函数的解析式为ρ= （V>0）.观察到函数图象上的一个点（5，2），将其代入反比例函数ρ= 中，得k=10.

函数解析式为ρ= （V>0）.将V=10代入ρ= ，得ρ=1，故选D.

注意：（1） 这道题的解题思路是求出函数解析式，然后利用解析式求密度.这道题虽然简单，但这种解题思路应用很广.

（2） 这道题图象只有第一象限一个分支，说明自变量大于零，列解析式时不要忘记注明取值范围.

例5 （2008年宁波市）如图2，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y= 过点A，则k的值是（）.

A． 2 B． -2 C． 4 D． -4

解：由正方形ABOC的边长为2，可知正方形ABOC的面积为4.

又由反比例函数中k的几何意义，可知｜k｜=4.

因为反比例函数的图象在第二象限，所以k

三、反比例函数的性质

例6 （2008年仙桃市）对于反比例函数y= （k≠0），下列说法不正确的是（）.

A. 它的图象分布在第一、三象限?摇?摇?摇B. 点（k，k）在它的图象上

C. 它的图象是中心对称图形?摇?摇?摇D. y随x的增大而增大

解：因k≠0，故k2>0.根据反比例函数的性质，A，B，C成立，故选D.

例7 已知反比例函数y= （a≠0）在每一象限内y的值随x值的增大而减小，则一次函数y=-ax+a的图象不经过（）.

A． 第一象限 B． 第二象限

C． 第三象限 D． 第四象限

解：由反比例函数在每一象限内y的值随x值的增大而减小，可知a>0，则-a

注意：反比例函数图象的位置、k值的正负、函数的增减性（在每一象限内），这三者的关系是：其中一个确定，其他两个也确定；k>0?圳图象在一、三象限?圳减函数；k

四、反比例函数的实际应用

例8 （2008年杭州市）为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间t（h）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y= （a为常数），如图3所示．根据图中提供的信息，解答下列问题.

（1） 写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围.

（2） 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

解：（1） 将点P3， 代入y= ，解得a= .则y= .

将y=1代入y= ，得t= .反比例函数的解析式为y= t≥ .

篇（8）

（克拉玛依市第一中学，新疆  克拉玛依  834000）

 

摘  要：直观清晰的解读反比例函数的概念，在例题解析中熟练运用常用方法，避免错误重复出现，提高学习效率，巩固基础知识。

关键词：反比例函数；基本概念；常用方法

反比例函数是学习函数中非常重要的一个环节，对学生进一步学习函数知识起到了承前启后的作用。它既不像一次函数那样比较浅显易懂便于掌握，也没有二次函数甚至多元函数那样复杂繁琐。但是不能因此而轻视它，不光是因为它一直作为中学学科乃至升学考试中的必考内容而存在，更是因为它与其他函数的关联性使得它出现在题目中会有较强的迷惑性，导致解答过程中极易出现错误。本文将从基本概念出发，深入解析部分代表性强的题目，展示常用方法，为广大学生学好反比例函数提供一定参考和帮助。

一、反比例函数的基本概念

（一）定义及表达式

（k为常数且 ）叫做反比例函数，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k大于0时，图像在1、3象限。k小于0时，图像在2、4象限。

在实际解题的过程中我们可以灵活应用概念的互推性质。我们可以用定义式来确定变量的值。例如当m=（ ）时，函数 是反比例函数。由反比例函数定义可知，x的指数是-1，即 ，解 。其实这正是进入了一个误区。在反比例函数中既要满足的指数为-1，也要满足 ，本题未考虑到这一点。正解： 且 ，综合解得 。还可以反过来，根据给定的数值，确定解析式。例如已知反比例函数的图象经过点（－3，1），求此函数的解析式。根据基本定义可知反比例函数的解析式，且因为点（－3，1）在反比例函数的图象上，所以直接将这个点的坐标代入反比例函数的解析式，得 k= -3， 由此可得这个反比例函数的解析式。特别要注意的是，不能将反比例关系与反比例函数相互混淆。导致概念不清就容易出错。举例：若y与 x-1成反比例，且当x=3时，y=4，则y与x之间的关系是(   )   

A、成正比例 B、反比例函数  C、一次函数 D、以上都不对

此时如果不清楚反比例函数的基本定义，就会错选B。这题目把反比例关系与反比例函数进行混淆，成反比例关系但不一定是反比例函数，但反比例函数一定是成反比例关系。这样清楚概念后，可解得答案为D

（二）函数图象

反比例函数的图像用文字可以概述为以原点为对称中心的中心对称的双曲线。图像中每一象限的每一支曲线会无限接近x轴y轴但不会与坐标轴相交。关于它的画法也很简单，根据给定的各个数值，在平面直角坐标系中标出相应的点，用平滑的线将它们一一对应连接起来，可以从图形上得出结论：当双曲线在一三象限，k>0，在每个象限内，y随x的增大而减小。当双曲线在二四象限，k<0，在每个象限内，y随x的增大而增大。而当两个数相等时那么曲线呈弯月型。

（三）比例系数

研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

（四）函数性质

1、单调性 当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 2、相交性

因为在定义解析式中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。

3、对称性 反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。所以，它的图象的对称轴是：如果图象在一、三象限，则对称轴为二、四象限的角平分线y=-x，如果图象在二、四象限，则对称轴为一、三象限的角平分线y=x。对函数性质也要摸清摸透。如：在函数y=a2+1/x的图像上有三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)且 x1<x2<0<x3，，则函数值 y1，y2 ，y3的大小关系是什么。由于题目中给出的是反比例函数，k=(a2+1)<0，即y随x的增大而增大；又有条件x1<x2<0<x3，可以得出y1<y2<y3 其实在运用反比例函数的性质时，要特别注意“在每个象限内”讨论y随x的变化。而题目给出的三个点并不在同一象限内，不能得出y1<y2<y3 正确答案应该是：k=(a2+1)<0为已知条件，可得函数图像在第二、四象限内，且在每一个象限内，y随x的增 大而增大，又因题中给出x3>0可知y3<0而x1<x2<0所以O<y1<y2 综上所述可得y3<y1<y2 . 二、常用方法举例 反比例函数的图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程，t2+3t+k=0的两根双曲线，且P到原点的距离为 ，求该反比例函数的解析式。分析可得求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程。

m, n是关于t的方程t2+3t+k=0的两根双曲线，m+n=-3，mn=k.

又po= ， ， ，9-2k=13． k= -2

当 k=-2时， =9+2>0，k=-2符合条件，该反比例函数的解析式为mn=-2.

三、总结

总之，掌握反比例函数的关键就在于要清晰明确它的基本概念和定义，熟练了解它的图形和函数性质，在计算题目时一定要仔细认真考虑所有条件，保证少出错，不出错，为进一步学习数学知识奠定良好的基础。

 

篇（9）

1.反比例函数和一次函数结合

中考中反比例函数和一次函数结合的这种题型比较多见，通过查阅近两年中考题，我们可发现，每个省的中考题中均会有这一题型的相关考题出现.这一类的考题可在中学课本中找到原型，具体如下：

练习题一：正比例函数y=x图像和反比例函数y=k/x的图像有一个交点，纵坐标为2，求：（1）当x=-3时，反比例函数y的值；（2）当-3

分析：从本题已知信息中可以看出，两个函数图像有一个交点，其坐标是（2，2），由此可知反比例函数k为4.在解析（1）时，将x=-3带入到反比例函数中，经解析可得y=-4/3.第（2）题在解析时，只需代入x=-1至反比例函数，可得y=-4，由此获知y的取值范围为-4

在中考中，反比例函数与一次函数结合的中考题考查的内容包括以下几点：待定系数法求解析式；求三角形面积、对函数值大小进行比较、求取函数值或自变量取值范围，等等.

我们对中考题进行分析，看怎样利用上述思路解决中考中的相关反比例函数问题.

例题1（2011年河南卷）：如图1所示，一次函数y=kx+2和反比例函数y=k/x图像，两图像在A（4，m）、B（-8，-2）处相交，和y轴交于C点.求解：（1）k与k的值；（2）根据函数图像分析，若y>y，则x的取值范围是多少？（3）过点A作AD与X轴在点D垂直，点P为反比例函数第一象限内图像中的一点，假设直线OP和线段AD在点E相交，若S∶S=3∶1，点P坐标是多少？

解析：第（1）题的答案是1/2，16；第（2）题答案或x>4或-8

因为S∶S=3∶1，所以S=1/3×12=4.故而OD・DE为4，DE为2，可得点E坐标（4，2）.由于点E位于直线OP之上，故OP解析式为y=1/2x，可得OP和y=16/x图像于第一象限内交点P坐标是（4，2）.

2.反比例函数增减性分析

练习题二：如图2是反比例函数y=（n+7）/x图像中的一支，根据图像对下述问题进行解答：（1）图像另一支所处象限是哪个象限？常数n取值范围是什么？（2）在这个函数图像的某一支上任取点A（a，b）与B（a’，b’），若a

这一问题的重点在于对反比例函数增减性加以考查，也即“y在x增大时增大或减小”.由于反比例函数自变量不可是0，故而其增减性并非在整个定义区域范围中得以表现，而是仅仅在每个象限中表现出增减性，这同样是中考重点考查内容.

我们选取2010年台州的一道考题进行分析：

例题2：反比例函数y=6/x图像上有三个点三者间的关系是（）

得知要研究的点并非处于同一象限内，因此不可根据“y随x增大而减小”这一规律进行判断，需通过画图将这一问题解决，因此答案应选B.

3.k几何意义分析

练习题三：下列哪个等式内y为x反比例函数？

y=4x；y/x=3；y=6x+1；xy=123

篇（10）

在学习反比例函数上，一方面要注意具体题目的分析和求解过程，另一方面要注重一些重要的数学思想方法（如变化与对应的数学思想和数形结合的思想）的渗透；对于反比例函数的检测，通常以选择、填空和解答题的形式出现.下面结合2007年中考题，谈反比例函数的检测方式.

考点1：反比例函数的图像和性质

经检验，所给4点中，只有点（2，-1）在双曲线上，故选A.

【评注】1.反比例函数的图像是轴对称图形，它有两条对称轴，即一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线；它也是中心对称图形，对称中心是坐标原点.因此，若点（a，b）在双曲线上，则点（b， a）, （-a，-b）, （-b， -a）也一定在双曲线上.

2.双曲线上任意一点的横坐标与纵坐标的积都相等，且等于反比例系数.

练习1：（2007年甘肃省兰州市）如图1，P1，P2，P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A1O，P2A2O，P3A3O，设它们的面积分别为S1，S2，S3，则（）

A.S1＜S2＜S3

B.S2＜S1＜S3

C.S1＜S3＜S2

D.S1=S2=S3

考点2：反比例函数的解析式

1.求反比例函数和一次函数的解析式；

2.根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值x的取值范围.

思路点拨：1.由点A的坐标可求出反比例函数中的系数m，再把点B的坐标代入反比例函数的解析式中即可求n，最后将A,B两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出k,b的值.

2.求一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，即是找直线部分在双曲线部分上方时所对应的自变量x的值.

2.分别过点A，B作横轴的垂线，垂足为C，D，则C，D的坐标分标为(-2，0)，(1，0)，如图2，在直线AC的左侧以及在纵轴和直线BD之间时，一次函数的图像在反比例函数图像的上方，故当x

2.两个图像的交点坐标一定适合两个函数的解析式，两个函数的解析式所组成的方程组的解即是图像的交点坐标.

考点3：反比例与一次函数在同一坐标系中的图像

思路点拨：这里两个函数图像的位置由2k和k-1的符号确定，而2k与k的符号相同，所以k和k-1的符号共有3种可能性，即都为负，为正且为负，都为正.

解：1.当k

2.当k

3.当k

例4：（2007年江苏省盐城市）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米/时的平均速度用6小时到达目的地.

1.当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米/时）与时间t（小时）之间的函数关系式；

2.如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回时的速度.

思路点拨：由已知条件可求出汽车从甲地到乙地的路程，而返回路程不变，因此汽车的速度与时间成反比例.

解：汽车行驶的路程为80×6＝480（千米）

练习4：（2007年广西壮族自治区）如图6，一块砖的A、B、C三个面的面积之比是4∶2∶1，如果把砖的B面向下放在地上时地面所受压强为a帕，则把砖A面和C面分别向下放在地上，地面所受压强分别为帕、帕.