数学思想汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学思想范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

基地

在整个小学阶段的数学学习中，凡是有“变化”的地方就蕴涵着函数思想，它是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具;是我们进行教学设计和教材重组的指导思想，对于培养学生分析问题和解决问题的能力都有极其重要的意义. 在教材的每个领域，只要你细细研磨就会发现，到处都有函数思想的影子.

1. 在“数与代数”中渗透函数思想

在小学数学“数与代数”领域中，运算是主要的内容之一，且各种运算性质中都渗透了函数思想. 低年级主要借助计算表让学生发现加法、减法、乘法口诀中的规律;高年级则让学生自己探索小数乘、除法的运算规律.

如四年级上册第5页第6题：先填表，再在小组里说说你的发现.

教师出示表格，观察被除数和除数，你能发现什么？猜想商会有什么变化？然后，学生进行计算、验证. 最后，引导学生发现并用自己的话口述规律. 虽然这里并不要求学生能用规范的语言叙述商不变的规律，但变与不变的函数思想已以润物细无声的方式悄然渗透.

2. 在“图形与几何”中渗透函数思想

教学完“长方形和正方形的周长与面积计算”以后，可以安排这样一组题：

（1）你能设计周长为18 m的花圃吗？它的面积最大是多少？并填写如下表格，比一比谁的方法多，谁填得有序.

学生经过研究可以得到，长方形的长和宽分别可以为：8和1、7和2、6和3、5和4.

（2）用18个边长为1 cm的正方形拼成长方形，比一比谁的方法多，谁填得有序.（表格略）

学生经过研究得到，长方形的长和宽可分别为18和1、9和2、6和3.

在此基础上引导学生观察、比较这两道习题在解答时有什么不同的地方. 学生经历了真正的探索，于是不难发现：第（1）题是在周长不变的情况下，改变长和宽;第（2）题是在面积不变的情况下，改变长和宽. 第（1）题不变的是长和宽的和，第（2）题不变的是长和宽的积. 教师接着又提出：这两道习题在解答的时候有什么相同的地方？（都是把可能出现的情况一个一个地列举出来，并从宽是1想起. 在列举的过程中，还应注意有序性）解决一道题不是目的，由一道题的解答可以收获一类题的经验才是教师和学生共同的追求. 以上环节中，求异活动有效地渗透了函数思想，求同活动更为学生今后的学习提炼了数学活动的经验. 这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究，而这种由“静”到“动”本身就是函数的本质. 所以，函数思想使学生学习的过程“动”了起来，使学生的学习“主动”起来，这样也更有利于渗透函数域的概念和极值的概念.

3. 在“统计与概率”中渗透函数思想

函数就像一座桥梁，建立起两个集合之间的“关系”. 由于统计与概率的内容往往通过表格和图象来描述数据，所以统计与概率中也可以渗透函数思想，如折线统计图就可以渗透函数思想：学生学习了折线统计图后就可以从图中得到丰富的信息，如一天中骆驼的体温最高是多少？最低是多少？一天中，在什么时间范围内骆驼的体温在上升？什么时间范围内骆驼的体温在下降？第二天8时的体温与前一天骆驼的体温有什么关系？……从图象中可以自然地向学生渗透变化的量等函数思想. 教师还可出示骆驼体温随外界温度发生变化的折线统计图，引导学生对比、分析两幅图的相同点、不同点，及其成因，讨论温度变化的周期.

在课堂的不同环节孕育函数

之苗

我们的数学课堂一般分为复习导入、新知教学、练习巩固、总结反思等几个环节，在不同的教学环节，我们都可以适时、适度地渗透函数思想.

1. 丰厚新知教学，体验函数思想

如二年级上册“7的乘法口诀”教学：如图1所示，摆1只小船用7个，摆2只这样的小船要用几个？摆3只、4只……7只呢？

结合教材数帆船中三角形个数的活动，引导学生在数的基础上列出乘法算式，并编制出相应的口诀后――

师：观察这7个算式，你能找一找其中的规律吗？

生1：都是乘7.

师：恩，这是相同的地方，还有吗？

生2：开始是1×7等于7，2×7等于14，3×7就等于21……（未等该生说完，另一生便喊出“越乘越多！”）

师（沉默，故作不解）：怎么会越乘越多呢？

生3：就是积越来越大了.

师（还是故作不解）：为什么积会越来越大呢？

生4（激动地）：就是前面和7乘的数越来越大了啊，比如1×7=7，就是1个7;2×7=14，就是2个7，答案是14;3×7就是有3个7，就是21. 越来越多个7，结果也就越来越大了啊. （其余学生纷纷点头认可）

师（也微笑点头）：明白你的意思了，你结合乘法的意义来解释了这种变化，对吗？还有什么不变吗？

生：乘法算式中的一个乘数总是7，而且得数每次都增加一个7.

函数是研究变量和变量之间关系的重要数学模型，在以上判断中，这些学生感受到了积越来越大是因为前面和7相乘的数越来越大，积随着和7相乘的那个乘数变化而变化，也随着它的确定而确定. 这种对应关系正是函数思想的核心. 7的乘法口诀只是口诀教学中的1个课时，如果在整个乘法口诀的教学过程中，教师既关注口诀，又关注其背后的函数思想，站在函数思想的高度审视教材、设计教学，不仅能使学生乘法口诀的学习之旅更加有趣、更加深刻，也能使学生意识到一切事物都在不断变化，而且相互联系、相互制约，从而主动地去了解事物的变化趋势及其运动规律.

2. 优化课本习题，浸润函数思想

如四年级下册“三角形的内角和”课后习题教学：图2中的三角形都被一张纸遮住了一部分，只看露着的一个角，你能确定它们各是什么三角形吗？

笔者进行了拓展练习，不仅完成了书本要求，更增添了自主设计不同三角形的环节.

师：知道三角形中已知一个角是锐角，不能确定它是什么三角形（指着图2）. 如果这个角是50°，你能设计出不同的三角形吗？看不见的两个角分别是多少度呢？可以分类设计，大家尝试在表格中填一填.

以上练习中，教师给予学生自主创新设计的空间，启发学生先设计直角三角形，再分别设计钝角三角形和锐角三角形. 学生踊跃交流后，教师不失时机地提问：观察表格，你有什么发现吗？学生发现，如果设计的是直角三角形，另一个锐角的度数是确定的;如果设计的是钝角三角形或锐角三角形，∠2和∠3的大小是变化的，一个角变大了，另一个角就会变小，但是两个角的大小无论怎么变化，它们的度数和始终是130°. 学生在此过程中不仅加深了对“三角形的内角和是180°”这一规律的理解，而且培养了灵活解决问题的能力，更发现了三角形中三个内角的大小变化规律以及内在联系，感受到了确定与不确定现象的本质，函数思想又悄然渗透了.

3. 增设课末反思，回味函数思想

好的课末反思总结，可以使一节课甚至几节课的诸多内容浓缩成“板块”，得以系统概括、深化，以便学生理解;可以使课堂教学结构严密紧凑、融为一体，显现出课堂教学的和谐与完美;还可以提炼方法、总结规律，帮助学生更好地理解数学思想方法.

如三年级下册“除法”单元复习第2题：

369÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇423÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇672÷6

360÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇423÷4？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇620÷6

306÷3？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇423÷6？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇602÷6

师：学习了这节课，你们有什么收获？

生1：（手指黑板上的习题：369÷3，360÷3，306÷3）我发现除数不变，被除数越大，商也越大.

师（欣喜）：离开了黑板，也许有些小朋友就会忘记这样的规律，你有办法让大家深刻地记住它吗？

生2：我们可以举例，每天都是吃两个鸡蛋，妈妈买的鸡蛋越多，吃的天数就越多.

生3：给我们6个优秀少先队员发奖品，奖品越多，每人发到的就越多.

师：在这道题里，你还能发现什么？

生4：（手指423÷3，423÷4，423÷6）被除数不变，除数越大，商越小.

生5：同样也可以举例记住这样的规律！12粒糖，分给2个人吃和分给3个人吃相比，当然是选分给2人吃，因为每个人分到的糖多.

生6：一本书，看的总页数一定，每天看得越多，需要的天数就越少.

……

师：小朋友们真厉害，举出了发生在小朋友身边的例子，轻松而深刻地记住了这些规律.

函数思想本身比较抽象，如果让学生光凭几道算式记住其中的变化规律，可能比较困难，但以上片段中教师进行了巧妙地引导，让小朋友们想想有什么好办法方便地记住这些规律，大家很快就把枯燥的思想与丰润的生活联系了起来，举出了许多耳濡目染有切身体会的例子.

有了这些来自学生自己生活的实例支撑，学生的理解变得轻松起来. 学生在举例的过程中不仅记住了这些规律，更理解了规律之中所蕴涵的函数思想.

用不同的学习方式绽放函数

之花

1. 在合作交流中体验函数思想的美妙

萧伯纳曾经说过：你有一个苹果，我有一个苹果，交换后还是一个苹果，但如果你有一个思想，我有一个思想，交换后就有两种思想. 合作交流为学生的思维碰撞搭建了平台，学生在互动交流中发展思维、积累思想.

如三年级下册“认识分数”的教学：一堆小棒有12根，分别拿出这堆小棒的和，你还能拿出这堆小棒的几分之一？

经过改编，有以下教学活动――

师：把同桌两人的小棒合起来是多少？（12根）想想你们能拿出这12根小棒的几分之一. 同桌讨论讨论，可以拿笔分一分，也可以在图上画一画，如果能直接填表那是最棒的，不过要比一比谁的方法最多，填写得最有顺序！

收集学生的作业纸，展示两种表格，一种是无序的，一种是有序的.

师：观察这两张表格，你更喜欢哪一张？说说你的理由.

生1：喜欢第2种，因为第2张表格有顺序，这样就不会漏掉，也不会重复.

师：在这样有序的表格中，你能发现什么？

生2：分母越来越大，每份的数量就越来越少.

生3：也就是平均分的份数越多，每份就越少！

师：是啊，在分的总数不变的情况下，分母越大（平均分的份数越多），每份就越少！

以上片段中，教师改编了书本上的习题，作了更高层次的要求：“比一比谁的方法最多，填写得最有顺序”，在教师充满启发的语言诱导下、在合作伙伴的相互启发下，学生能很快地想到解决方法. 教师让学生填表后还别巨匠心地设计了比较活动，看似不经意的比较，却让学生感受到了有序整理的好处――不重复、不遗漏. 在这样的表格中，学生能很快发现其中隐藏的平均分的份数与每份数的变化规律.

2. 在动手操作中领略函数思想的神奇

儿童的指挥凝结在手指尖上，动手操作能调动学生的多种感官参与学习，能使学生积累一定的操作经验、思维经验，并有效促进函数思想的渗透.

如三年级上册“长方形和正方形的特征”的练习教学：先自己拼一拼，再与同桌交流一下. （1）用6个一样的小正方形，拼成一个长方形. （2）用16个一样的小正方形，拼成一个大正方形. 用16个小正方形能拼成不同的长方形吗？

笔者改编为四人小组合作，用12个小正方形拼出大长方形，并记录拼成的大长方形的长和宽. 通过这一动手操作活动，不仅及时巩固了刚刚学习的长方形与正方形的特征，使学生发现由12个小正方形能拼成的不同的长方形，而且培养了学生思维的发散性. 观察表格时发现，长和宽的乘积不变，长越大，宽就越小，这为今后学习长方形的面积计算奠定了基础.

3. 在自主探究中欣赏函数思想的魅力

篇（2）

数学课堂教学是教师“主体表演”的过程，是语言、动作、板书演示、语言交流、情感交流等融于一体的过程。在这种过程中，往往既能反映出教师专业基础知识的情况，又能反映出教师对教学理论的掌握情况，同时还可反映出教师的数学思想的有关情况。实践证明，在数学教学中，数学思想、方法已经越来越多地得到人们的重视，特别是在数学教学中，如何使学生较快地理解和掌握数学思想、方法，更是我们广大中学数学教师所关心的问题。

一、对中学数学思想的基本认识

“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上过去、现在以及将来有名与无名的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。

通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。实际上也确实如此，例如，有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但笔者认为，只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。

关于这个概念的外延，从量的方面讲有宏观、中观和微观之分。属于宏观的，有数学观(数学的起源与发展、数学的本能和特征、数学与现实世界的关系)，数学在科学中的文化地位，数学方法的认识论、方法论价值等；属于中观的，有关于数学内部各个部门之间的分流的原因与结果，各个分支发展过程中积淀下来的内容上的对立与统一的相克相生的关系等；属于微观结构的，则包含着对各个分支及各种体系结构定内容和方法的认识，包括对所创立的新概念、新模型、新方法和新理论的认识。

二、数学思想的特性和作用

1、数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法

我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。

2、数学思想深刻而概括，富有哲理性

各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。

3、数学思想富有创造性

借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。

三、数学思想的教学功能

1、数学思想是教材体系的灵魂

从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。因为数学思想能将“游离”状态的知识点(块)凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题才能活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，便能高屋建瓴，提挈教材进行再创造，才能使教学见效快，收益大。

篇（3）

(2)进行分类类比的思想方法。“分类”就是把具有相同属性的事物归纳在一起。教学中通过实物演示,使学生认识分类的意义,体会分类思想的实质。例如教学用“7、8、9”三个数字卡片可以排成几个三位数,让学生做一做,排一排。有的学生很快排出来了,但有些学生却排不完整。这时教师要指导学生分类讨论。首先确定百位上的数字是7时,有哪几个三位数?(789、798);百位上的数字是8时,有哪几个三位数?(879、897);百位上的数字是9时,有哪几个三位数?(987、978)可见以百位上的数字为准,进行分类,能有效纠正学生的无序性甚至盲目拼凑的毛病,有利于培养学生的逻辑思维能力。数学上的类比思想方法是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。如把加法交换律a+b=b+a的学习迁移到乘法交换律a×b=b×a的学习上去。

(3)运用化归与归纳的思想方法。化归,是指将有待解决或未解决的问题,通过转化过程,归结为一类放入已经解决或较易解决的问题中去,以求得解决。如:小数除法通过“商不变性质”划归为除数是整数的除法;异分母分数加减法划归为同分母分数加减法;异分母分数比较大小通过“通分”划归为同分母分数比较大小等。在教学平面图形求积公式中,就以化归思想、转化思想等为理论武器,实现长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积计算公式间的“同化”,从而构建和完善了学生的认知结构。在研究一般性问题之前,先研究几个简单的、个别的、特殊的情况,从而归纳出一般的规律和性质,这种从特殊到一般的思维方式称为归纳思想。如:在教学“三角形内角和”时,先由直角三角形、等边三角形算出其内角和度数,再用猜测、操作、验证等方法推导一般三角形的内角和,最后归纳得出所有三角形的内角和为180度。这就是运用归纳的思想方法。

篇（4）

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052

An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School

ZHAO Sheng

（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）

Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.

Key words middle school mathematics； function； function thought

函邓枷胧窃谑学的发展史中形成的，它是人们对函数知识的本质性认识，来源于函数的基础知识，它在中学数学教学中起着重要的作用，是教材体系的灵魂。在中学数学函数教学中，加强函数思想教学可以帮助学生更好地理解函数知识、形成正确的教学观念和优秀的数学精神；它是落实素质教育的有效途径和重要手段；还可以提高教学质量与教学水平；有利于培养学生的辩证唯物主义能力与函数应用能力。随着数学教育的改革与发展，中学数学函数思想日趋凸显，从事数学教育以及一些数学学习者越来越认识到函数思想的重要性。函数是支撑中学数学的骨架，是中学数学最重要的内容之一，贯穿整个中学阶段。从历年中考、高考的情况来看，以函数为核心编制的题目立意新颖，知识覆盖面广，灵活性较强，有比较理想的选拔功能。所以函数思想有极高的研究价值。作为数学教育工作者了解函数思想的产生、发展和特点，掌握函数运动的发展规律，形成正确的教学观，从而提高对数学知识的驾驭能力。本文通过对中学数学函数思想的研究来指导教育工作者更加有效地进行教学，同时也为新课改提供有力依据，给学生的学习指引正确的方向。

1 函数思想在中学数学中的应用

函数是数集之间的特殊映射，反映事物的内部联系，纵观整个中学阶段，函数将大部分数学知识紧扣在一起，形成一个以函数为中心向四周扩散的知识网络，而函数思想则是形成这个知识网络的灵魂。函数思想的应用就是对于一些实际问题、数学问题构建一个函数模型，应用函数的基本性质更快更好地解决问题，而构造函数模型是函数思想的重要体现。接下来笔者将从以下几个方面阐述函数思想在中学数学中的应用。

1.1 函数思想在中学数学中的宏观应用

函数思想的宏观应用也就是函数性质的直接应用，即应用初等函数的基本性质（定义域、值领、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、对称性、图像等）求解有关的值、讨论参数的取值等问题，只要掌握函数的基本概念与性质，直接对其加以简单应用就行，直观明了，同样也是函数思想的简单体现。

例1 函数 （） = + 3 + 有极值，又在其曲线上极大和极小的点分别为、，若线段（不含端点）与曲线交于点（1，0），求的值。

分析：首先弄清已知条件，已知①一个含参数的三次函数；②函数有极值；③有极大和极小点，；④线段（不含端点）与曲线交于点（1，0）。解题目标是求的值。

由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。

（0，），（， + ）

再由点（1，0）在曲线上以及三点共线，解得

这个结果是否正确？还是要注意题目的条件，即条件④中有一点容易被忽略，这就是点应在线段的内部，因此应满足0

1.2 函数思想在中学数学中的微观应用

函数与方程、不等式、角、数列等均有不同程度的内在联系，将一些非函数问题转化成函数问题、构建函数模型就是函数思想的微观应用，也就是函数的间接应用，此类题型可以锻炼学习者的发散思维和逻辑推理能力。接下来将以几个实例加以说明。

1.2.1 活跃在方程、不等式中的函数思想

函数与方程、不等式有着千丝万缕的关系，绝大多数方程与不等式的研究需要依靠函数来实现，而函数性质的研究则又需要依赖方程与不等式来完成，所以他们是相辅相成的。比若说求定义域、函数单调性证明都需要借助不等式来完成；而解方程又是求函数的零点。所以在解关于方程与不等式这类题的过程中应该考虑以函数为工具，加强函数、方程、不等式的综合应用能力，系统掌握数学各个模块的知识。

例2 证明不等式0）。

分析：证明不等式有很多种方法，可以通过作差、作商、反证、放缩、构造等不同方法来实现，根据不同题目选择合理方法可以达到事半功倍的效果。通过观察，本题通过构造函数的方法来证明，再根据函数单调性来实现不等式大小，既方便又快捷。

证明：要证0），即证

令 = ，（>0）

当>0时， = 1 / （1 + ）即

= 在（0，）上为单调递减函数

那么就有0）

即 =

小结：本题通过构造函数证明该不等式，是应用函数单调性求解问题的典型例题，通过导函数来确定函数的单调性，进而证明不等式，思路清楚，方法简单易懂。

1.2.2 三角函数思想的呈现

例3 已知为锐角，且，求的值。

分析：由的构成特点，本题的化简变形，不宜按常规对的三角函数都采用降次的作法，而需把已知表达式中的含的三角函数升次，含的三角函数降次，即凑出和的表达式出来。

解：由（1），得3 = 2 （3）

由（2），得3 = 2 （4）

（3）鳎？），得 = （） = 0，

因为为锐角，所以0

1.2.3 实际问题中的函数模型

在数学学习中，我们会遇到很多抽象的数学问题，如果直接求解会非常困难或者是直接解不出来，这是我们应该充分应用所学知识，试着应用函数的思想去考虑，试着建立函数关系式，让抽象、复杂的实际问题转化为简单的函数问题，再应用函数的基本性质将它求解出来，这就是应用函数思想求解数学实际问题的基本套路。

例4 （2012浙江省嘉兴市）某汽车租赁公司拥有20辆汽车。据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元。设公司每日租出辆车时，日收益为元。（日收益=日租金收入平均每日各项支出）

（1）公司每日租出辆车时，每辆车的日租金为_______元（用含的代数式表示）；

分析：本题为综合性题目，主要考查二次函数实际问题，怎样建立函数关系式与找等量关系，函数关系建立好之后结合实际函数图像做出解答。

解析：单辆车日租金为：50（20）+400 = 140050

2 中学数学教学中渗透函数思想的途径

中W数学函数教学最重要的目的就是打开学生的函数思维，提升学生们的函数素养，新一轮课程改革中，将函数思想作为必须掌握的教学要求，所以函数教学过程中不再一味地让学生吸收理论知识与概念性内容，而是让学生独立思考，老师引导，建立一定的函数思想基础，从根本上提升自己的函数应用能力。教学过程中渗透函数思想的途径很多，接下来介绍三种渗透方式。

2.1 应用函数思想探究数学知识

新的教育背景下，数学教学过程中应该注重对学生培养知识形成的过程，在数学知识的探索过程中（比如说一些公式、定理、性质的推导过程）就是数学思想方法的最佳体现时刻，因此教师在教学中，要重视公式、定理、性质的推导过程，尽量凸显其相关的数学思想，让学生掌握基本知识的同时，领悟数学真谛。下面我们以函数思想为实例，演示探究数学知识的过程中渗透函数思想。

2.2 在数学解题中渗透函数思想

在数学教学过程中，经常出现课堂上学生听懂了，但是课后做同类型的题目是就无从下手，其原因就是在教学过程中，教师就题论题，拿到题目就草率地解答出来，遇到此类题时照葫芦画瓢，机械操作，学生感到厌烦，学生没有真正认识到题目的出处，没有领略到数学思想方法。在数学解题过程中渗透函数思想也就是在数学解题过程中应用函数的思想方法去求解繁琐的数学问题，比如说用函数的单调性、奇偶性、最值等等基本性质将其复杂问题简单化。

例5 设不等式 + 2 + >0的解集为全体实数，求的取值范围。

分析：题设不等式的系数比较复杂，可通过另设变元的方法，使此题解题过程简化。

解：设 = ，则 = ， = ，

而原不等式化成（） + 2>0

由题意知，

篇（5）

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。

1、明确基本要求，渗透“层次”教学。《数学大纲》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法。

教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《教学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类经法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图象法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们推动信心。如初中几何第三册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《教学大纲》只是把“反证法”定位在“了解”的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。

2、从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。

二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育

要达到《教学大纲》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：

1、渗透“方法”，了解“思想”。由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思想能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如初中代数课本第一册《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节——“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了形数结合的思想，学生易于接受。

在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用形数结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。

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第一，在学习新内容时要渗透数学思想。在设计教案时教师要有意识地增加数学思想的启发，将数学思想与新的数学知识结合起来，避免只讲知识表面不讲数学原理，只讲习题不讲思想。在讲授新内容时，不能直接将相关概念和定理告诉学生，而是通过一定的方法引导和启发学生逐步探索、猜测，慢慢接近，掌握知识形成过程中的相关思想，锻炼学生的数学思维。这样学生可以发挥数学思维能力去推理，对所学知识理解得更加透彻，记忆也更加深刻。

第二，在解题中渗透数学思想。数学离不开解题，但是解题的方法不止一种，多一种方法就可能多一种数学思想。如苏教版的练习册中有这样一道题：1998×3.14＋199.8×31.4＋19.98×314。先让学生观察数字的关联性，学生会很容易看出数值1998小数点在往左移动，3.14的小数点在往右移动，两个数值相乘，根据小数点移动的知识，学生能够推断出三个乘积是相等的，无论它们怎么变动，小数点后面一共是两位，只要算出1998×3.14再乘以3就可以了。这个解题思路实际上渗透了划归的数学思想。教师要在解题之前就开始向学生渗透，解题之后还要进行深化点睛，久而久之，学生就掌握了这种方法。

第三，经常讲，反复讲。数学思想渗透是需要潜移默化的，教师要坚持这一过程，在讲课时不断举一反三，帮助学生深刻领会。

第四，要引导学生从生活中发现数学思想，鼓励学生将课堂中学到的思想运用到生活中，将生活中的问题带到课堂上。

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【案例1】挖掘“圆的面积公式”推导新途径。

“圆的面积”教学是在学生已经学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形的面积计算的基础上进行的。传统教材总是把一个圆若干等分后拼成一个与原来那个圆面积相等的近似长方形的图形，然后让学生观察后发现拼成的“长方形”的长是原来的圆周长的一半，宽是原来圆的半径，进而推导出圆的面积公式。这种推导方法虽然也能渗透数学思想方法，得出正确的结论，却很难使拼成的图形成为一个规范的长方形，如何寻找更加合理有效的教学方法呢？

大家都有这样的感觉，当圆足够大且圆周上的曲线又足够短时，这一小段弧几乎可以看作一条线段，这时由这一小段弧和两条半径围成的图形就近似一个三角形了。这条弧就是这个“三角形”的底，圆的半径就是这个“三角形”的高，原来的圆可以分割成若干个这样的三角形，这些三角形的高都等于圆的半径，它们底的总和刚好等于圆的周长，三角形面积之和就是原来那个圆的面积，三角形的面积之和=底的和×高÷2=圆的周长×半径÷2=2πr÷2×r=πr2=圆的面积。

通过上述教学活动，学生从已有的知识与经验出发，运用转化和极限数学思想进行操作，不知不觉中化新知识为旧知识，发现圆的面积与三角形面积之间的联系，很快推导出圆的面积公式，体验学习的乐趣。

二、在知识形成中体验数学思想

富有生命力的知识是由学习者自我建构的，就像苹果长在苹果树的枝头上一样，新知识是根植于学生大脑的某一区域并且与原有的知识形成有机的链接。这种链接必须以学生原有的知识与生活经验为基础，以基本数学思想方法作为智力支撑。

【案例2】“分数的产生”教学片段。

师：出示4个同样大的苹果，取出其中的一半。

师：像这样不断地分下去，苹果最终能分得完吗？利用苹果图片动手分一分。

生：在我们的想象中，一个苹果一半一半地分可以无穷无尽地分下去的，可是在实际分的过程中，当分到很小的时候就很难再分下去了。

通过上述教学活动，学生自觉地运用了分类、极限的数学思想进行操作，发现当物体数量不足“1”时，人们可以用一种新的数，即分数来表示，分数便应运而生了。

三、在问题解决中运用数学思想

问题是事物之间矛盾的反映，而矛盾是推动事物发展的动力。教学中没有问题才是最大的问题。教学中教师应该怎样引导学生分析问题、解决问题呢？

【案例3】“解决植树中的数学问题”教学片段。

课件展示在长为1000米的公路一侧植树的现实问题情境。

教师出示例题：在1000米长的公路两旁，每隔5米种一棵树（首尾都要种），一共要种多少棵树？

学生自行解答后反馈：200棵，400棵，201棵，402棵等。

师：到底多少棵呢？请说出你的道理。（提示：平时我们遇到复杂的问题可以怎么办？）

生：可以从简单的问题入手找规律解决。

师：这是一种好办法。

课件分阶段展示植树情况：在5米的公路一旁种树，每隔5米种一棵，需要种2棵。在10米的公路一旁种树，每隔5米种一棵，需要种3棵。在15米的公路一旁种树，每隔5米种一棵，需要种4棵……

师：同学们有什么想说的呢？

生：这里面有规律。

生：把公路的长除以5再加1就是一边树的数量了。

生：路的长度除以两棵树之间的间隔长度加1就是种树的棵数。

师：这里为什么要加1呢？请在小组中交流一下。

生：路长除以树的间隔长等于间隔数，因为起点就要种树，等于0米就种了一棵，所以要加1。

师：通过刚才的学习活动，你们获得了什么经验？谁能有顺序且完整地说一说。

生：遇到复杂的问题我们可以从类似的简单问题入手，通过有顺序的练习发现规律，有了规律我们就能解决比较难的问题了。

师：说得好！现在请大家解决例题。（板书：化繁为简 倍数关系 找规律）

数学思想为学生解决问题明确了方向，数学方法为学生解决问题提供了途径，数学活动为学生积累了学习经验，探究的结论――新知识是在学生的探究过程中生成的。这样的学习让学生长知识、长智慧、育情感，是一种快乐的学习。这样的问题解决活动，凸显了数学建模的思想，又让学生在探索中领悟到数学思想对于问题解决的重要性。

四、在练习巩固中整合数学思想

数学思想是数学的灵魂，要让学生在经历中体验，在体验中提升，在提升中感悟。更要让学生意会、践行，让数学思想成为开启他们社会生活的金钥匙。在数学课堂上，每一次练习都是学生发展的生长点，每一次对知识的体会都是学生成长的提升点。在数学知识的运用中，在知识与能力的互动中，学生的情感、态度、价值观得到不断提升。

【案例4】“角的认识”教学片段。

师：只要有一个顶点、两条边，那这个图形就是角了。学到这，你认识角了吗？

生：三角形上有角。

师：三角形上藏着角，但不是只有三角形上才有角。

猜一猜：这个是角吗？（图1）

学生们一致认为背后藏着的图形是角。

教师切换展示图2。

学生对结果感到惊讶。

师：再来猜一猜！（出示图3）

师：背后藏着角吗？

课堂上非常安静，学生都在思考着。

生：应该连起来。

师：如你所愿。

师：想一想，什么情况下是角？什么情况下不是角？

生：两条线连起来的时候是角。

生：两条线没有连起来的时候不是角。

师：现在你们都是辨角高手了，如果再玩这个游戏，你有什么温馨提示？

生：不能太早下结论，要全面考虑，才会正确。

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一、当前小学数学教学发展面临的困境

数学是一门逻辑性很的学科，具有较高的抽象性与严密性。而小学生由于年龄的限制，其自主学生能力和逻辑思维能力较差，对复杂的数学符号和图形容易感到枯燥和厌倦，使得小学生在数学学习过程中感到困难与畏惧，成为小学数学的“学困生”。对于这种现象如果不进行正确的引导与教育，将不利于学生以后数学能力的发展，制约了学生思维能力的提高。

此外，随着科学技术的进步，新型教学辅助手段变得多元化。通过多媒体方式、白板等进行数学教学，提高学生的学习兴趣已成为当前教育的趋势。但是，很多小学教师在数学课堂教学中，仍然采用传统的教学方式，没有充分发挥学生的思维能力和个性特征，一味地按照课程标准进行教学，忽视对学生自主探究能力与合作交流能力的培养，这不但阻碍了学生综合能力的全面发展，也给小学数学高效教学、活力课堂的实现带来了困难。

二、优化小学数学课程教学的具体方法――以“小数的意义”课程教学为例

1.渗透数学思想――课程导入、内容展开

小学数学教师在每堂数学课伊始，都要注重让学生充分了解小学数学的概念，加深学生对概念的理解和领悟，从“小数的意义”出发来进行课堂内容的导入与开展，使得小学生对所要学习的小数知识形成一个概念性的框架，从而有利于教师在教学过程中渗透数学思想，逐步发展学生的数学抽象思维。

教师可以通过课堂提问的方式开展对小数课堂的导入，例如，让学生思考“小数是什么？小数应该是什么样子？如何读小数？”等问题，引导学生进行自主思考，让学生明确小数课堂的学习内容，保持学习的兴趣。之后，教师可以依据课堂导入的知识点进行内容的展开，让学生充分认识到小数的意义。例如，教师可以通过分类数学思想的方式进行内容的展开，让学生对无序排列的10个二位数以内的小数进行分类，使得小学生充分掌握一位小数与二位小数之间的不同。

2.发散数学思维――课程迁移、知识推理

在小学数学的教学过程中，引导学生对课堂知识进行迁移推理，是发散学生数学思维的重要方式。因此，教师在小数的课堂教学中要善于利用这种教学方式推进课堂内容的教学，帮助学生把以往学过的数学知识中潜在的数学规律进行归纳和推理，有效运用到新的数学内容的学习中，在新旧知识之间建立联系，从而增强学生数学学习的信心，提高数学学习的能力。

通过数学迁移的方式，可以实现对复杂数学问题的简化处

理，降低数学学习的难度。例如，在“小数的意义”的课堂教学中，教师首先要对课程基础内容进行讲解，让学生明确小数的概念，之后通过合理的引导，让学生自主进行二位小数与三位小数的迁移学习，鼓励学生通过已掌握的一位小数的概念，推理出二位小数与三位小数，乃至四位小数的意义。通过这种分层次的数学教学方式，贯彻“先易后难”的数学理念，从而提高小学数学教学的效果。

3.巩固数学能力――课程梳理、归纳总结

巩固学生的数学能力对于小学数学教师来说尤为重要。经过数学思想的渗透以及数学思维的发散，帮助学生巩固学过的课堂知识，通过梳理与归纳课堂内容，使得学生在总结与反思中形成自己的知识体系，切实提高学生的思维能力。在此过程中，教师要注意有条不紊地开展课堂收尾工作，尽量避免拖堂、拖课等占用学生课外时间的不良现象。

在“小数的意义”的课堂教学中，教师可以通过播放多媒体课件的方式，吸引学生的学习兴趣。结合数形结合思想的引入，进行“看图说小数”的课程训练。例如，通过课程PPT动态演示把一个长方形平均分成十份，让学生用小数表达出其中一份、两份、三份、四份等所代表的意义。在此过程中，教师可以通过点名问答的方法，提问学生如，0.4的计数单位是什么？1里面包含有几个0.1？等加深学生对小数意义的理解，促进学生运用小数的能力的提高，以课程训练的方式来完成对课程的梳理与总结。

小学数学作为开发学生思维能力，奠定数学学习基础的重要阶段，对教师的教学能力提出了更高的要求。小学教师在进行教学时，要积极探索有效的教学手段创新与完善课堂教学，从而实现小学数学开发学生智力的作用，为学生的成长奠定坚实的基础。

参考文献：

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一、渗透数学思想，首要培养自主学习的目标

由于数学思想的存在，使得数学知识不是孤立的学术知识点，不能用刻板的套路解决各种不同的数学问题，只有充分理解掌握数学思想在各种问题上的运用，才能更有效地把知识运用得灵活。由此可见，要培养学生的数学能力，就必须重视数学思想和方法的训练培养自主学习的能力，使得学生更容易理解和更容易记忆数学知识，让学生领会特定的事物本质属性，借助于基本的数学思想和方法理解可能遇到的其他类似问题，有效促进学生数学思维能力的发展。

现代数学教育理论认为，数学不是教出来的，更不是简单地模仿出来的，而是靠学生自主探索研究出来的。要让学生掌握数学思想和方法，应将数学思想和方法的训练视作教学内容的一个有机组成部分，而且不能脱离内容形式去进行孤立地传授。在数学课上要充分发挥学生的主体作用，让学生自己主动地去建构数学知识。初中数学教学的目的不仅要求学生掌握数学的基础知识和基本技能，更重要的是发展学生的能力，使学生形成优良思维素质。这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的。

二、函数思想的应用

古典函数概念的定义由德国数学家迪里赫勒1873 年提出。函数就是一门研究两个变量之间相互依赖、相互制约的规律。在初中数学教学中，函数的思想是数学中处理常量与变量的最常见也是最重要的思想之一，可以说是一项极为重要的内容。

对―个较为复杂的问题，常常只需寻找等量关系，列出―个或几个函数关系式，就能很好地得到解决。例如，当矩形周长为20cm 时，长和宽可以如何取值?面积各是多少?其中哪个面积最大?可以设矩形的长为x，宽为y。面积为S，然后慢慢寻找规律。得出矩形周长一定时，矩形的长是宽的一次函数，面积是长的二次函数，当长与宽相等时矩形就变成了正方形，而此时面积最大为16cm2。三、数形结合思想的应用

数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许多代数问题具有了显明的直观性。把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数与几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合，是初中数学中十分重要的思想。应用数形结合思想，就是将数量关系和空间形式巧妙结合在数学问题的解决中，具有数学独特的策略指导与调节作用。数是形的抽象概括，形是数的几何表现，两者其实紧密结合，以此来寻找解题思路，可以使问题得到更完善的解决。

例如，二元一次方程组的图像解法，把数量关系问题转化为图形性质：A，B 两地之间修建一条l 千米长的公路，C 处是以C点为中心，方圆50 千米的自然保护区，A 在C 西南方向，B在C的南偏东30 度方向，问公路AB 是否会经过自然保护区?

三、化归转换思想的应用

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[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-008

数学思想是蕴涵于数学知识和内容之中，又高于具体知识和内容的一种理性认识，是对数学对象本质属性及其联系的深刻揭示。如果说书本中的数学知识是一种能够用语言表达的显性知识，那么数学思想及其方法就是一种隐性知识，其指导作用的发挥需要结合具体的发现和提出问题以及分析和解决问题的过程。小学生学习数学，不同于专业的数学研究，其重点落在对数学思想方法的感受、领悟和初步的运用，而感受、领悟和初步的运用过程，就是一种意识、观念、素质的萌芽和发展过程，从这一点来看，感悟数学思想方法和培育思维品质具有内在的统一性。

一、抓数学思想方法，促思路多向开放

在数学学习中，很多时候要改变已习惯了的思维定式，从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决。从认知心理学的角度来看，小学生在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往难以摆脱已有的思维方向，也就是说学生个体（乃至于群体）的思维定式往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。解决这样的问题，可以将学习置于“数学思想方法”的角度来展开，可以让学生的思维变得更加清晰、有序、优化。

比如，在教学2、5、3的倍数的特征时，第一节课先讲了2的倍数的数的特征是“个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数”。5的倍数的数的特征是“个位上是0或5的数，都是5的倍数”。接下的第二节课要讲3的倍数的数的特征是“一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。显然，这两类特征在思维上具有跳跃性――“个位上的数字”与“各位上的数字的和”。受负迁移的影响，研究3的倍数特征时，学生很容易想到“一个数的个位上是0、3、6、9的数是否也是3的倍数呢？”有学生会想到33、36、60、99等一些数，还有学生自然想到了40、13、26、59等另一些数，并得出结论：一个数个位上是0、3、6、9的数不一定是3的倍数。

上述学习过程，知识层面的东西学生很容易掌握，但是，蕴含其中的更为重要的是“反证”的论证方法。因此，教师应该及时让学生对这种方法进行适度的概括提炼，产生“要证明一个结论不成立，只要找出一个反例即可”的判断思维。

继续延伸下去：在4、6、8、10、15、18、25、26、30这些数中，哪些数是2的倍数？哪些数是5倍数？哪些数既是2的倍数又是5的倍数？学生在思考后，尝试将相应的数填入圈中（图1，左边的圈里填2的倍数，右边的圈里填5的倍数），那两个圈相交的部分填哪些数呢？学生会发现这一部分填的既是2的倍数，又是5的倍数，就形成了图2。这里渗透的是数学中的集合思想，尤其是交集――相交的部分同时要具有两个集合的特征的集合思想。让学生进一步在研究特征的基础上进行更有深度的思考，从而得到：同时满足两个要求的元素，才可以成为共同元素。

二、抓数学思想方法，促思维灵活变通

小学数学是一个多层次、多方面的知识体系。让零散的知识串联成体系的大多是数学的思想和方法。以几何图形的教学为例。教学“平行四边形的面积”时，我们启发学生运用割补的方法，把计算平行四边形的面积转化为学过的计算长方形的面积，这是渗透数学思想方法――“转化思想”的大好时机。实际上在小学课本中，除了长方形的面积计算公式之外，其他平面图形的面积计算公式都是通过原来的图形转化得到的。

延伸开来：如图3，大正三角形的面积是28平方厘米，求小正三角形的面积。

图3中大、小正三角形的面积关系很难看出，若将大正三角形“旋转”一下，就变成图4的模样，出现了四个全等的小正三角形，答案也就唾手可得：小正三角形的面积是：28÷4=7（平方厘米）。紧接着告诉学生：“通过旋转，我们把复杂图形变个形转化成简单图形，原来的问题就能解决了，变形是转化的一种方法。”

转化的思想在小学数学教学中有广泛的应用，将原图形通过旋转、平移、翻折、割补等途径加以“变形”，可使题目变难为易，求解也水到渠成。渗透转化思想，打破思维定式，对提高学生能力大有好处。

三、抓数学思想方法，促思考优化深刻

新课程把“解题策略”作为教学的一个重要部分，即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来，这是数形结合思想在小学数学中的体现。

例如，一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？

此题若把五次所喝的牛奶加起来，即“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32”就为所求，但这不是最好的解题策略。此时点拨学生：“把复杂问题变成简单问题有时还需要我们画个图，换个角度，从反面思考。我们先画一个正方形（如图5），并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1-1 / 32就为所求。”这里不但向学生渗透了数形结合思想，还向学生渗透了类比的思想。

继续延伸：1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64=1-

1 / 64=63 / 64;1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64+1 / 128=1-1 / 128=127 / 128。

这时，再继续让学生计算“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+

1 / 32+1 / 64+1 / 128+1 / 256+1 / 512”，如果学生能很快得出结果是“1-1 / 512=511 / 512”，这就说明了在学生的头脑中已经初步形成了这种数列的概念。如果再继续加下去，结果会怎样？学生很容易得出：如果以分子是1，分母是前一个加数的分母的2倍的规律，再继续加下去，不论再加什么数，结果总是“1减最后一个加数”，并且其结果总是不超过1。