七年级下册数学总结汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇七年级下册数学总结范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

（3分）

1、实数的分类

正有理数

有理数

零

有限小数和无限循环小数

实数

负有理数

正无理数

无理数

无限不循环小数

负无理数

整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a的平方根记做“”。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

（0）

；注意的双重非负性：

-（

3、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a

的立方根（或a

的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

考点六、实数的运算

（做题的基础，分值相当大）

1、加法交换律

2、加法结合律

3、乘法交换律

4、乘法结合律

5、乘法对加法的分配律

6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？

实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

7、有理数除法运算法则就什么？

有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。

8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？

相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作:

an

9、有理数乘方运算的法则是什么？

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。

10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？

去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

不等式与不等式组知识点归纳

一、不等式的概念

1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5．用数轴表示不等式的解集。

二、不等式的基本性质

1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

说明：

①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

例:

1．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是

。

2．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是

。

3．不等式组的整数解为

。

4．如果关于x的不等式（a-1）x

。

5．已知关于x的不等式组的解集为，那么a的取值范围是

。

6．当

时，代数式的值不大于零

7.若

0（用“>”“=”或“”号填空）

8.不等式>1，的正整数解是

9.　不等式>的解集为

10.若>>，则不等式组的解集是

11.若不等式组的解集是－1

12.有解集2

（写出一个即可）

13.一罐饮料净重约为300g，罐上注有“蛋白质含量”其中蛋白质

的含量为

_____

g

14.若不等式组的解集为>3，则的取值范围是

三、一元一次不等式（重点）

1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2．解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母

（2）去括号

（3）移项

（4）合并同类项

（5）将x项的系数化为1

例：

一、判断题（每题1分，共6分）

1、a＞b，得a＋m＞b＋m

（

）

2、由a＞3，得a＞

（

）

3、x

=

2是不等式x＋3＞4的解

（

）

4、由－＞－1，得－＞－a

（

）

5、如果a＞b，c＜0，则ac2＞bc2

（

）

6、如果a＜b＜0，则＜1

（

）

二、填空题（每题2分，共34分）

1、若a＜b，用“＞”号或“＜”号填空：a－5

b－5；

－

－；－1＋2a

－1＋2b；6－a

6－b；

2、x与3的和不小于－6，用不等式表示为

；

3、当x

时，代数式2x－3的值是正数；

4、代数式＋2x的不大于8－的值，那么x的正整数解是

；

5、如果x－7＜－5，则x

；如果－＞0，那么x

；

6、不等式ax＞b的解集是x＜，则a的取值范围是

；

7、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为

；

8、点A（－5，y1）、B（－2，y2）都在直线y

=

－2x上，则y1与y2的关系是

；

9、如果一次函数y

=（2－m）x＋m的图象经过第一、二、四象限，那么m的取值范围是

；

四、一元一次不等式组

（难点）

1、一元一次不等式组的概念：

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

例：

一、选择题

1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（

）

A．

B．

C．

D．

2．下列说法正确的是（

）

A．不等式组的解集是5

B．的解集是－3

C．的解集是x=2

D．的解集是x≠3

3．不等式组的最小整数解为（

）

A．－1

B．0

C．1

D．4

4．在平面直角坐标系中，点P（2x－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围是（

）

A．3

B．－3

C．－5

D．－5

5．不等式组的解集是（

）

A．x>2

B．x

C．2

D．无解

二、填空题

6．若不等式组有解，则m的取值范围是______．

7．已知三角形三边的长分别为2，3和a，则a的取值范围是_____．

8．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_____个儿童，分_____个橘子．

9．若不等式组的解集是－1

三、解答题

10．解不等式组

11．若不等式组无解，求m的取值范围．

12．为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划．如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约了2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度．若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天计划用电量在什么范围内？

易错点分析：

易错点1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分．

例1

解不等式组

错解：由①，得x＞1，由②，得x＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x＜1．

错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1＜x＜－2或－2＜x＞1等，这些都是错误的．

正解：由①，得x＞1．由②，得x＜－2，所以此不等式组无解．

易错点2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”．

例2解不等式组

错解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．由于x＞－的范围较大，所以不

等式组的解集为x＞－．

错因剖析：本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识．其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设a＜b），

①

②

③

④

利用数可确定它们的解集分别为

①x＞b，②x＜a，③a＜x＜b，④空集．也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”．

正解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．

所以不等式组的解集为x＞5．

易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法．

例3

解不等式组

错解：由①＋②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式组的解集为x≤7．

错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中．产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．

正解：由不等式①，得x≥－17，即x≥－．

由不等式②，得x≤－3，即

x≤－．

所以原不等式组的解集为－≤x≤－．

易错点4：在去分母时，漏乘常数项．

例4

解不等式组

错解：由①，得x＜2．在x－21＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋2≥－2x．于是有x≥－，所以原不等式组的解集为2＞x≥－．

错因剖析：解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分．对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错．本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项．此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“＜”连接．

正解：由①，得x＜2．在＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋4≥－2x．于是有x≥－1，所以原不等式组的解集为－1≤x＜2．

易错点5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错．

例5

解关于x的不等式（－a）x＞1－2a．

错解：去分母，得(1－2a)x＞2(1－2a)．将不等式两边同时除以（1－2a），得x＞2．

错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的(1－2a)，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．

正解：将不等式变形，得(1－2a)x＞2(1－2a)．

（1）当1－2a＞0时，即a＜时，x＞2；

（2）当1－2a＝0时，即a＝时，不等式无解；

（3）当1－2a＜0时，即a＞时，x＜2．

例6

如果关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜，则关于x的不等式ax＞b的解集是_________．

错解：因为不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，所以＝，则有

解得从而知ax＞b的解集是x＞．

错因剖析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出解得从而错误得到ax＞b的解集是x＞．

正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，得解得所以ax＞b的解集是x＜．

易错点6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况．

例7

若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________________．

错解：由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a＞3．

错因剖析：由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即a＝3，有x≤3及

x＞3，而此时不等式组也是无解的．因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况．

正解：由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a≥3．

例8

已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则

a的取值范围是_________．

错解：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a≤x＜2，这

5个整数解为－3，－2，－1，0，1，从而有a≤－3(或a＝－3)．

错因剖析：本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解．上述解法错在忽视a≤x＜2中有5个整数解时，a虽不唯一，但也有一定的限制，a的取值范围在－3与－4之间，其中包括－3，但不应包括－4，所以错解在确定

a的取值范围时扩大了解的范围．

正解：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a≤x＜2．又知这5个整数解为－3，－2，－1，0，1．故a的取值范围是－4＜a≤－3．

总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊．

中考考点解读：

1.

（2012山东滨州3分）不等式的解集是【

】

A．

B．

C．

D．空集

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，

解得，解得。按同大取大，得不等式组的解集是：．故选A。

2.

（2012山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如

果他骑车和步行的时间分别为分钟，列出的方程是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。

【分析】李明同学骑车和步行的时间分别为分钟，由题意得：

李明同学到学校共用时15分钟，所以得方程：。

李明同学骑自行车的平均速度是250米/分钟，分钟骑了250米；步行的平均速度是80米/分钟，分钟走了80米。他家离学校的距离是2900米，所以得方程：。

故选D。

3.

（2012山东德州3分）已知，则a+b等于【

】

A．3

B．

C．2

D．1

【答案】A。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】两式相加即可得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案：a+b=3。故选A。

4.

（2012山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【

】．

A．

k≥1

B．

k≤1

C．

k>1

D．

k

【答案】D。

【考点】一元二次方程的意义和根的判别式。

【分析】当k=1时，原方程不成立，故k≠1，

当k≠1时，方程为一元二次方程。

此方程有两个实数根，

，解得：k≤1。

综上k的取值范围是k＜1。故选D。

5.

（2012山东菏泽3分）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为【

】

A．±2

B．

C．2

D．

4

【答案】C。

【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根。

【分析】是二元一次方程组的解，，解得。

。即的算术平方根为2。故选C。

6.

（2012山东莱芜3分）对于非零的实数a、b，规定ab＝－．若2(2x－1)＝1，则x＝【

】

A．

B．

C．

D．－

【答案】A。

【考点】新定义，解分式方程。

【分析】ab＝－，2(2x－1)＝1，2(2x－1)＝。

。

检验，合适。故选A。

7.

（2012山东莱芜3分）已知m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，则代数式的值为【

】

A．9

B．±3

C．3

D．5

【答案】C。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，m＋n=，mn=1。

。故选C。

8.

（2012山东临沂3分）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考点】配方法解一元二次方程。

【分析】。故选D。

9.

（2012山东临沂3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此，在数轴上表示为：

故选A。

10.

（2012山东临沂3分）关于x、y的方程组的解是

，则的值是【

】

A．5

B．3

C．2

D．1

【答案】D。

【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值。

【分析】方程组的解是，。

。故选D。

11.

（2012山东日照4分）已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【

】

(A)

k>且k≠2

(B)k≥且k≠2

(C)

k

>且k≠2

(D)k≥且k≠2

【答案】C。

【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。

【分析】方程为一元二次方程，k－2≠0，即k≠2。

方程有两个不相等的实数根，＞0，

（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，

5（4k－3）＞0，k＞。

k的取值范围是k＞且k≠2。故选C。

12.

（2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【

】

（A）29人

（B）30人

（C）31人

（D）32人

【答案】B。

【考点】一元一次不等式组的应用。

【分析】设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶（4x＋28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组：

，

解得：29＜x≤32。

x为整数，x最少为30。故选B。

13.

（2012山东泰安3分）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】C。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，

，由①得，＞3；由②得，≤4。

其解集为：3＜≤4。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此，

3＜≤4在数轴上表示为：

故选C。

14.

（2012山东潍坊3分）不等式组的解等于【

】．

A．

1

B．

x>1

C．

x

D．

x2

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，

解2x＋3＞5得，x＞1；解3x－2＜4得，x＜2，此不等式组的解集为：1＜x＜2。故选A。

15.

（2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【

】．

A．32

B．126

C．135

D．144

【答案】D。

【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。

【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。

x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。

最大数为24，最小数为8。

圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。

第8章

整式的乘法与因式分解

整式的乘法

同底数幂的乘法：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n都是正整数）

幂的乘方：

(am)n

=

a

m

n（m、n都是正整数）

积的乘方：(ab)n

=

a

n

b

n（n为正整数）

同底数幂的除法：

a

m

÷

a

n

=

a

m

-

n（a

≠

，m、n都是正整数，并且m＞n）

零指数幂：a0

=

1（a

≠

）

单项式与单项式相乘，

单项式与多项式相乘，

多项式与多项式相乘。（利用运算律和上面的运算性质解答）

乘法公式

平方差公式：（a+b）（a-b）=

a2

-

b2

完全平方公式：（a+b）2

=

a2

+

2ab

+

b2

（a-b）2

=

a2

-

2ab

+

b2

添括号法则：a+b+c

=

a+(b+c)

a-b-c

=

a

-

(b+c)

举例：a-b+c

=

a

-

(b-c)

因式分解（几个整式乘积的形式）

式子的变形：这个多项式的因式分解

=

把这个多项式因式分解。

1、提公因式法（多项式各项有公因式）

2、公式法（3个乘法公式左右互换）

3、十字相乘法（补充）

分式

9.1

分式：A/B。（A、B表示两个整式，并且B中含有字母。B

≠

0分式才有意义。）

分式的性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

约分、最简分式、通分、最简公分母。

9.2

分式的运算

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

分式的乘方：要把分子、分母分别乘方。

整数指数幂：正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂（a-n

=

1/an

,

a≠0）。

归结：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n是整数）

(am)n

=

a

m

n（m、n是整数）

(ab)n

=

a

n

b

n（n是整数）

备注：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分。

9.3

分式方程

概念：分母中含未知数的方程。

最简公分母不为0是分式方程的解；

步骤：分式方程

整式方程

X

=

a

最简公分母为0

不是分式方程的解。

去分母

解整式方程

检验

相交线与平行线知识点精讲

1.

相交线

同一平面中，两条直线的位置有两种情况：

相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：

1，2，3，4；

邻补角：其中1和2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像1和2这样的角我们称他们互为邻补角；

对顶角：1和3有一个公共的顶点O，并且1的两边分别是3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；

1和2互补，2和3互补，因为同角的补角相等，所以1＝3。

所以，对顶角相等

例题：

1.如图，31＝23，求1，2，3，4的度数。

2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且，，则_______，__________。

垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中ABCD，垂足为O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90。

例题：

如图，ABCD，垂足为O，EF经过点O，1＝26，求EOD，2，3的度数。

垂线相关的基本性质：

（1）

经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

（2）

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

（3）

从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？

2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

如上图，直线a与直线b平行，记作a//b

3.同一个平面中的三条直线关系：

三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。

（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决；

例题：

如图，直线AB,CD,EF相交于O点，DOB是它的余角的两倍，AOE＝2DOF,且有OGOA，求EOG的度数。

（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：

*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：

两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；

两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等

两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

如上图，指出相等的各角和互补的角。

例题：

1.如图，已知1＋2＝180，3＝180，求4的度数。

2.如图所示，AB//CD，A＝135，E＝80。求CDE的度数。

平行线判定定理：

两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。

两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：

平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行

如图所示，只要满足1＝2（或者3＝4；5＝7；6＝8），就可以说AB//CD

平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行

如图所示，只要满足6＝2（或者5＝4），就可以说AB//CD

平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行

如图所示，只要满足5+2＝180（或者6+4＝180），就可以说AB//CD

平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行

这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中1＝2＝90就可以得到。

平行线判定定理5：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行

例题：

1.已知：AB//CD，BD平分，DB平分，求证：DA//BC

2.已知：AF、BD、CE都为直线，B在直线AC上，E在直线DF上，且，，求证：。

（3）有三个交点

当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12个角，这是三条直线相交的一般情况。如下图所示：

你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？

三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。

（4）没有交点：

这种情况下，三条直线都平行，如下图所示：

即a//b//c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。

例题：

如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与CD有怎样的位置关系，为什么？

一．选择题：

1.

如图，下面结论正确的是（

）

A.

是同位角

B.

是内错角

C.

是同旁内角

D.

是内错角

2.

如图，图中同旁内角的对数是（

）

A.

2对

B.

3对

C.

4对

D.

5对

3.

如图，能与构成同位角的有（

）

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

4.

如图，图中的内错角的对数是（

）

A.

2对

B.

3对

C.

4对

D.

5对

5．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角是（

）

A.

B.

都是

C.

或

D.

以上都不对

二．填空

1．

已知：如图，。求证：。

证明：（

）

（

）

（

）

（

）

2．

已知：如图，COD是直线，。求证：A、O、B三点在同一条直线上。

证明：COD是一条直线（

）

___________（

）

（

）

____________________

_______________（

）

三．解答题

1．如图，已知：AB//CD，求证：B+D+BED=（至少用三种方法）

2．已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，A=D，1=2，求证：B=C。

3．已知：如图，，且B、C、D在一条直线求证：

4．已知：如图，，DE平分，BF平分，且。

求证：

5．已知：如图，。

求证：

6．已知：如图，。

求证：

相交线与平行线

10.1

相交线

邻补角、对顶角

对顶角相等

直线与直线互相垂直，记作。

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

同位角、内错角、同旁内角

10.2

平行线及其判定

10.2.1

平行线

在同一平面内，当直线与直线不相交时，我们就说直线与直线互相平行，记作.

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

即如果，，那么.

10.2.2

平行线的判定

判定方法1

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

同位角相等，两直线平行。

判定方法2

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

内错角相等，两直线平行。

判定方法3

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

10.3

平行线的性质

性质1

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

两直线平行，同位角相等。

性质2

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

两直线平行，内错角相等。

性质3

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。

10.4

平移

相

交

线

平行公理

同位角、内错角、同旁内角

两条直线被第三条直线所截

两条直线

相交

垂线及其性质

邻补角、

对顶角

点到直线的距离

对顶角相等

平移

判定

性质

篇（2）

新课改的精神要求教师引导学生自主的学习，而研究性的学习方法是引导学生自主学习的一个常见方式。初中数学教学中研究性的学习模式是指教师引导学生去研究一个课题项目，学生围绕这个项目自己去搜集资料、自己去找解决问题的方法、自己去验证答案，当学生研究完一个项目之后，自己就能理解与这个项目相关的一系列知识。研究性的学习模式可以由学生一个人完成，也可以由几个人组成团体共同完成。

一、让学生掌握科学的思维方法

在传统的教学方法中，教师是学习的主导，教师给学生指定学习的目标，学生是被动的学习、被动的接受教师传授的知识。初中数学的教学有一些需要抽象的思维能力、要求逻辑思维能力强的知识。比如一元一次方程式、二元一次方程式等。初中学生的心理特点是形象思维能力很强，抽象的思维能力较弱，如果让学生去学习直观的、容易理解的知识，学生会感觉很有兴趣，而如果让学生去学习抽象的、需要逻辑思维能力强的知识，学生往往感觉枯燥乏味又很困难。因为学生是被动的学习，如果要求学生去学习太困难的知识，学生就要求教师解决自己学习困难的问题，如果教师不能让自己轻松学会知识，学生就不主动学习这些知识。

而研究性的学习模式则是教师给予学生一个课题，学生要围绕这个课题自己找到解决问题的方法，这样传统被动的“等饭吃”的方法不能让学生解决课题，学生得自己去找解决问题的办法，学生在自己思考和实践中，思维能力就会被培养起来。比如教师在引导学生学习初中数学苏教版七年级下册二元一次方程式时，由于方程式的变量增加为两个，学生学习就感觉有些困难，这时教师可以突破常规方式，从让学生大量解题转为让学生自己去找解题规律当作课后习题，学生就先自己去寻找方程应用的范围、寻找方程解题的一般规律、自己总结得到答案的方法。学生在筛选范围、分析比较、观察总结中自己就培养出科学的思维方法，而这套方法是学习数学的基础。当学生自己掌握到科学的思维方法时，面对数学难题时他们就会有一套科学的方法去解答。

二、让学生增加生活实践的能力

数学这门科学的建立是来源于生活。比如人们在算帐的时候找出一套算帐的方法，人们在计算一块土地长宽的时候找到计算的方法，人们把这些计算的方法和规律总结出来，得到一套系统的知识就是数学知识。数学知识是一门应用性很强的科学，然而传统的数学教学方法重视让学生掌握数学的概念和规则却忽视学生在实践中的应用能力，久而久之学生对数学产生误解，认为数学知识和生活没有多大关系，只是因为自己必须要掌握这门知识所以才去学习，因此学生学习数学的积极性不高。

使用研究式的学习模式能把数学教学与学生的日常生活联系起来，让学生明白数学来源于生活，自己学习的知识要应用到生活中的意义。比如在教学初中数学苏教版七年级下册数据在我们周围时，教师可以布置学生完成的课题如下：给5000元钱，去哪家银行，用怎样的方式存款收益最高。学生通过自己去调查各家银行的利率、自己分析比较各种存款的方法，就知道学习数学知识在日常生活中应用有怎样的意义。通过研究性的学习，学生不仅对学习数学有更大的兴趣，而且掌握更多生活知识他们变得更加爱生活。

三、让学生融入团队合作中

在数学的学习中，有些问题需要大家一起共同研究、互相启发、共同解决。但是目前的学生绝大多数都是独生子女，他们不懂得与人相处和沟通，也不能理解什么是团队精神。但是这并不代表学生们永远不能学会团队合作的精神，他们只是缺少很多机会。研究性的教学模式能够提供给学生机会，在研究式学习的模式下，学生因为同一个目标聚集在一起，在合作的过程中，学生可以慢慢学会倾听别人的意见、学会取长补短、学会大局为重，慢慢学生就能融入到团队的合作中，这种团队合作精神是学生未来学习和研究数学课题的关键能力，它决定学生是否有持续发展的可能。

比如在教学初中数学苏教版八年级上册第二章勾股定理和平方根时，教师可以让学生组成团队共同研究勾股定律的论证方法，并要详细记录论证的过程。学生在共同研究中，他们一起测量数据、一起用各种方法拼接图形、一起计算数据。在这个过程中，有些学生脑子灵活，总能想出更多的图形拼凑方法；有的学生很擅长整理记录，他们能把求证的过程整理得很有条理。在共同研究的过程中，学生们把精神集中到共同研究课题上而放下过去彼此的成见，等到研究课题完成时，他们通过相处不仅加深感情，而且同学之间能彼此欣赏。

传统的灌输式教学方法，让学生学习初中数学时，不仅学习态度被动，而且思维方式呆板，同时他们掌握的能力极其单一，因为传统灌输式教学方法的弊端，学生往往都成为只会做题的“书呆子”。而采用研究式的学习模式能让学生自主的学习数学知识，在研究数学项目的过程中，学生不仅能深入的理解课本中的概念知识，而且能全方位的提高自己各方面的能力。

在使用研究式的教学方法时，教师要注意到给学生研究的项目课题必须是学生结合旧的知识和现在学习的新的知识，经过努力研究就能得到成果的难易适度的课题，如果难易度不合适，学生可能会觉得项目太简单而不必深入思考，或者觉得怎样研究也得不到成果索性消极对待。

【参考文献】

[1]吕林海，王智明.数学研究性学习的三种实施模式初探[J].数学教育学报.2004（02）

[2]张雄.中国数学教育改革的趋势[J].中学数学教学参考.2004（03）

[3]何华兴.把握数学发现方法 提高数学创新能力[J]. 宿州教育学院学报.2003（04）

篇（3）

初一下册数学《三角形》知识点一、目标与要求

1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点

三角形内角和定理;

对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点

三角形内角和定理的推理的过程;

在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;

用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架

五、知识点、概念总结

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类

3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

7.高线、中线、角平分线的意义和做法

8.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

9.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余;

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;

推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

三角形的内角和是外角和的一半。

10.三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。

11.三角形外角的性质

(1)顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线;

(2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和;

(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角;

(4)三角形的外角和是360°。

12.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

13.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

14.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

15.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

16.多边形的分类：分为凸多边形及凹多边形，凸多边形又可称为平面多边形，凹多边形又称空间多边形。

多边形还可以分为正多边形和非正多边形。正多边形各边相等且各内角相等。

17.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

18.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

七年级下册数学辅导复习资料1.几何图形：点、线、面、体这些可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界，它们都称为几何图形。

从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。有些几何图形的各部分不在同一平面内，叫做立体图形。有些几何图形的各部分都在同一平面内，叫做平面图形。虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。

2.几何图形的分类：几何图形一般分为立体图形和平面图形。

3.直线：几何学基本概念，是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，二直线平行;有无穷多解时，二直线重合;只有一解时，二直线相交于一点。常用直线与X轴正向的夹角(叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

4.射线：在欧几里德几何学中，直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线或半直线。

5.线段：指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线，如实线的线段或由“长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔”组成的双点长划线的线段。

线段有如下性质：两点之间线段最短。

6.两点间的距离：连接两点间线段的长度叫做这两点间的距离。

7.端点：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点。

线段用表示它两个端点的字母或一个小写字母表示，有时这些字母也表示线段长度，记作线段AB或线段BA，线段a。其中AB表示直线上的任意两点。

8.直线、射线、线段区别：直线没有距离。

射线也没有距离。因为直线没有端点，射线只有一个端点，可以无限延长。

9.角：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。

这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。

10.角的静态定义：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。

这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

七年级数学绝对值教案教学内容

七年级上册课本11----12页1.2.4绝对值

教学目标

1.知识与能力目标：借助于数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，初步学会求绝对值等于某一个正数的有理数。

2.过程与方法目标：通过从数形两个侧面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法。

通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义。

3.情感态度与价值观：通过应用绝对值解决实际问题，培养学生浓厚的学习兴趣，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。

教学重点与难点

教学重点：绝对值的几何意义和代数意义，以及求一个数的绝对值。

教学难点：绝对值定义的得出、意义的理解，以及求绝对值等于某一个正数的有理数。

教学准备

多媒体课件

教学过程

一、创设问题情境

1、两只小狗从同一点O出发，在一条笔直的街上跑，一只向右跑10米到达A点，另一只向左跑10米到达B点。

若规定向右为正，则A处记作?__________，B处记作__________。

以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并标出A、B的位置。

(用生动有趣的引例吸引学生，即复习了数轴和相反数，又为下文作准备)。

2、这两只小狗在跑的过程中，有没有共同的地方?在数轴上的A、B两点又有什么特征?(从形和数两个角度去感受绝对值)。

3、在数轴上找到-5和5的点，它们到原点的距离分别是多少?表示-和的点呢?

小结：在实际生活中，有时存在这样的情况，无需考虑数的正负性质，比如：在计算小狗所跑的路程中，与小狗跑的方向无关，这时所走的路程只需用正数，这样就必须引进一个新的概念?———绝对值。

二、建立数学模型

1、绝对值的概念

(借助于数轴这一工具，师生共同讨论，引出绝对值的概念)

绝对值的几何定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。比如：-5到原点的距离是5，所以-5的绝对值是5，记|-5|=5;5的绝对值是5，记做|5|=5。

注意：①与原点的关系 ②是个距离的概念

2..练习1：请学生举一个生活中的实际例子，说明解决有的问题只需考虑的数绝对值。

篇（4）

二、工作目标：

1. 夯实并细化教学常规管理——备、教、批、考等教学工作的环节，尤其是集体备课环节，设立学科单周备课日，提高教学管理的质量、效益和档次。

2. 夯实并细化教、科研工作，尤其要改变教与学的方式，设立双周教研日，从而拉动科研的方向。

3.全面深入课堂，加强九年级平行推进的监控与管理。

4.改进八年级两级分化现象。

5.加强七年级学科的衔接和各班级均衡发展的管理。

6. 加强学籍和档案的规范、科学管理。

7. 科研工作和师资培训工作要加强计划性和有效性。

8. 加强新、老三室的利用率与规范管理。

三、重点工作及措施：

（一）、夯实并细化教学常规管理——备、教、批、考等教学工作的环节，尤其是集体备课环节，设立学科单周备课日，提高教学管理的质量、效益和档次。

1、加大上学期修订的有关《备、教、批、考等常规教学制度》的执行力度，将这些制度的执行落到实处。

2、夯实并加强集体备课的细化管理。

为了更好地发挥教师集体的智慧，促进教师业务水平提高，提高学校教学质量的整体水平。集体备课可以将集体的智慧与个人的特长有机地结合起来，取长补短，共同提高。集体备课是课堂教学的准备环节，是课堂教学取得成功的重要保证，是教师专业化成长的平台。

本学期设立单周集体备课日，并对集体备课制定出相应的《集体备课制度》加以具体的约束和奖惩要求。集体备课日的具体设置为：

每月单周周二至周五为集体备课日，备课的时间为两节课。

周二下午是语文组，负责人为陈平、赵光荣。

周三下午是数学组，负责人为王永发主任。

周四下午是英语组，负责人是单丽华主任。

周五下午是理化生?，负责人是王霞主任。

周二上午政史地?，负责人是杨福荣主任。

周三上午是体音美?，负责人是姜秀敏主任。

上午的备课时间是三四节课，下午的备课时间是七八节课。

（二）、加强学科教学的阶段性和终结性的质量监控与分析。

1、各级教学管理人员本学期仍然要不断加强对课堂教学环节的监控与调研，与教师一道深入课堂，研究教学过程设计、实施、反思、效率的“分子”的提高策略，使课堂教学向着集约、创新、高效的轨道不断运转。

教学校长每学期听课不少于60节，教导主任听课不少于80节（含上课节数）。

2、为确保学生基础知识的掌握和学习能力等的提高。各年级主任要调动教研组长、年级组长参与教学管理的微观管理，把单元过关、章节检测工作落到实处。组织好月考工作。

七、八年级本学期搞好两次月考一次期末教学质量检测工作，九年级搞好3次月考工作。具体为：

七、八年级：第一次 9月26、27日；第二次11月14、15日。

九年级三次月考：第一次 9月27日；第二次 11月15日；第三次 12月27日。

七八年级思品、历史、地理、生物同时纳入月考检测，为学生的进一步学习奠定可持续发展的基础。

教务处要组织好每次的检测工作，并做好相应的质量分析，总结经验，改善不足，促进提高。

（三）、突出抓好九年级毕业班的平行推进工作，加强课堂教学的监控力度，确保在11年的基础上有所提高，从而提升我校在河口片的办学声誉。具体措施如下：

1.加强课堂授课质量的监控。

主管教学领导和主管九年级领导在现今上级部门对延长课时时间来达到提高教学效果的严控情况下，我校应挖掘课堂教学潜力，加大深入九年级课堂教学的监控力度，与教师一道研究九年级课堂教学效率的提高问题。教学校长本学期九年级听、评课不少于30节；负责年部教学的主任听、评课不少于40节；教导主任听、评课不少于40节。

2.加强边缘生的潜力挖掘。

①树立边缘生的信心；②加强对边缘生的学法指导；③挖掘边缘生的非智力因素；④加强边缘生的个别辅导；⑤抓家校结合。总之挖掘各种潜力提高边缘生的成绩。

3.加练习题的精选控制。练习要有目的性、针对性、实效性。教师对习题要精心筛选或设计，力争同学科的练习题是学科教师共同协商的成果。

4.九年级本学期进行三次月考：第一次 9月27日；第二次 11月15日；第三次 12月27日。

每次月考要及时进行质量分析与总结，为下段的教学提供经验和改进措施。

（四）、深入开展校本教研活动，不断深化片区联研活动。

本着“全面促进教师的专业成长，促进教学方法的改进，促进课堂教学效果的提升，促进教学质量的提高。”“四个促进”的原则，开展各级各类的的教研活动。在活动中，转变教与学的角色理念，深化我校“问题教学”的教学研究的进程，力图在各学科教学研究中，①做小做细学科教研主题；②做活做新教研模式。从而推进科研进程。 [1]   

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本学期继续开展“追求过程体验，提高课堂效率”的主题教活动，活动的具体安排：

1.每月的双周周二为教研日，是各教研组通过课例研讨讲评交流和提升的时间，具体科目每月顺序排出来。

9月份是语文?和数学?的展示课，10月份是英语组和体音美组的展示课，11月份是理化生?的展示课，12月份是政史地?的展示课。

2.抓好各学科确立的课堂教学模式的实施工作。

本学期各教研组的老师要在教研组长的带领下积极实践本教研组确立的课堂教学模式，在实际的教学中实验、探讨、修正、完善。

3.为促进七年级新生在思维习惯、学习习惯等方面的迅速过度，9月初将召开一次小学与初中教育教学衔接专题研讨活动。在可能的情况下邀请河口小学参与研讨活动。

4.开展好片区教研活动。

拟在11月份中旬开展一次片区教研活动，初步拟定活动形式为“同上一节课”。

（五）加强科研阵地建设。

1.每月出一期《教学反思》和《精华日志》，将教师的教育教学经验、论文、教育故事等收集整理，作为我校宣传教改、科研的窗口。

2.组织各级各类的论文征集、评比活动，认真筛选，择优选送。希望老师们投身教科研实践，争取使论文等科研成果再上一个台阶，逐渐使教科研工作成为我校的一个特色。

3.以教师博客为平台，积极开展网络研修，走教师专业化道路，实现自我教育自我提升。

（六）、加强校本培训和上级培训的二级培训。

1.加强校本培训，制定学习日制度。

①两周一次对全体教师进行有关科研和教学知识的理论培训，提升全体教师的科研意识，认识到科研对实际教学所起的巨大作用，从而激发老师们积极投入到教育科研的研究当中，聘请专家或充分利用本校资源------有丰富经验的骨干老师进行专题讲座，开阔教师视野，丰富教师教科研思路。

②重视现代教育技术的应用，拓宽途径、优化教研手段。组织教师学习学科教学和信息技术与课程整合知识，积极开展网络教学研究活动，拓宽校本教研时空，为教师搭建释疑解惑、交流互动的平台，提高广大教师的信息素养，改变教师的学习、工作状态，提升学校的教研文化。

③观看国家和省级课堂教学光碟，从中领悟、学习、把握教学前沿教师的教学理念与教学方式。

2.加强上级培训的二级培训的力度。

外出学习的教师：①要写出外出培训的学习心得等；②要在外出培训的基础上进行二次培训，与大家一起共享学习成果。

其它工作是具体情况和上级主管部门通知另行安排。

(2)   第四册小学语文教学计划

学校体育卫生学年工作计划

2011年小学教学工作计划

2011年小学教研工作计划

中学部教学工作计划

五年级上册数学教学计划

篇（5）

“分类教学法”是不同于“分层次教学法”的一种教学方式，分类教学是在新课标下，在熟练教材的基础上对课件、知识点、练习等进行分类，面向全体教学，让学生掌握基本知识、基本技能；分层次教学主要是备好学生，根据学生的特点进行分层次教学。高效课堂是指在教学过程中调动了学习兴趣，培养了学习能力，让学生爱上课堂，真正达到高效的目的。在教育教学过程中，如何进行分类教学，构建高效课堂，让学生掌握知识点，培养学生学习的兴趣，特从以下五个方面做了阐述：

一、分类教学在于对课件的分类，能充分调动学生的学习兴趣

课件的内容分引入、复习、新授、练习、总结、作业等环节。课件的引入很关键，可以通过故事形式或动画形式出现，既贴近于生活，又能大大培养学生的兴趣。复习内容是相对应的主要知识点，主要以填空题的形式出现。如在授九年级数学一元二次方程的定义时，复习练习布置的内容主要是一元一次方程的定义、二元一次方程的定义、分式方程的定义等内容，通过对比更鲜明地达到新授课的目的。新授课内容在熟悉教材的前提下，对课件进行分类教学。如在授八年级上册三角形内角和内容时，可通过一副三角板入手，让分类贴近于生活。在安排练习方面，分类题可以照顾不同层次的学生。总结和作业要有针对性，把主要内容和经典练习进行分类，让学生对一节课的主要内容留下良好的记忆。课件的分类，有利于提高学生的学习能力，调动学生的学习兴趣。

二、分类教学在于对知识点的分类，能充分提高学生的学习能力

知识点的分类更有利于面向全体，让全体学生掌握基础知识和基本技能。知识点的分类更形象、更直接，让学生更明白地掌握新的知识点。在授七年级上册数学有理数加法内容时，将有理数加法内容进行分类，分成同时是正数，同时是负数，一正一负，互为相反数的数，和零相加的数共五类。通过分类，学生更好地掌握不同的计算，提高了学生的计算能力，也培养了学生的学习兴趣。又如，在授同类项这个内容时，分同类项、可以合并、和仍是单项式几种不同形式，举一反三，让学生掌握了知识点，提高了学习能力。

三、分类教学在于对练习的分类，充分提高学生的解题能力

一节课的知识点很多，但如果重点不分，学习将会事倍功半；但如果把握了重点，学习就会事半功倍。对练习的分类能有效地体现重点，提高解题能力。在授八年级上册《整式的乘法》这一章时，布置练习分填空题、计算题和求值题三类。填空题主要是填一些乘法公式和知识点，计算题主要分有同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘法、单项式乘单项式、单项式乘多项式、单项式除单项式、多项式除单项式等形式，具体又全面。这一章的重难点在于求值题，所以对求值题的分类至关重要，可以分为平方差公式和完全平方公式的求值题。通过对练习的分类，学生较好地掌握计算和求值，提高学生的解题能力。

四、分类教学与分层次教学的有机结合，有利于面向全体

在认真备好教材的前提下认真备好学生对提高课堂效率起到举足轻重的作用。不同层次的学生要因材施教，在教学过程和布置练习等方面也要分类教学。在授九年级下册“反比例函数的解析式”这一节时，根据不同层次的学生，在教学中分为直接根据文字求解析式和结合图形、一次函数的综合求解析式两种，这样做既照顾了中下层的学生，又培养了优生。通过求解析式进一步加强学生对函数的认识，又提高了学生的解题能力。又如，在教九年级上册一元二次方程的实际应用时，通过不同层次的学生训练不同类型的应用题。在应用题分类时，基础和重点的分类是增长率问题；其他类型的应用题重点是利润问题和面e问题等。分类教学与分层次教学的有机结合，有利于面向全体，也有利于提高学生的学习能力。

五、分类教学与构建高效课堂的有机结合，建设幸福人生

向40分钟的课堂要效率，培养学生的学习兴趣和能力一直是所有教育工作者的追求。分类教学在于根据学生的特点进行教学，备课是关键。在备课中备教材的重点去讲，备学生感兴趣的知识点去讲，让学生在课堂上既“吃得饱”，又“吃得好”。在课堂之外对题目进行分类，让学生加强训练和巩固，让学生爱上练习，真正爱上数学。只有对知识点恰当分类，才能促进课堂高效，让学生在学习中更有幸福感。

总之，“分类教学法”是一种教学方法或一种教学手段，要运用好它，既要充分备好教材，也要充分备好学生。在教育教学过程中，要合理对课件、知识点和练习进行分类，根据不同层次的学生，因材施教，与分层次教学和构建高效课堂有机结合起来，努力培养学生的学习兴趣，提高学生的学习能力，从而稳步提高教育教学质量。

参考文献：

1.徐纪才.中国校外教育理论，2007.10.

篇（6）

七年级数学知识点三角形

1、三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

2、判断三条线段能否组成三角形。

①a+b>c(ab为最短的两条线段)

②a-b

3、第三边取值范围：a-b

4、对应周长取值范围

若两边分别为a,b则周长的取值范围是2a

如两边分别为5和7则周长的取值范围是14

5、三角形中三角的关系

(1)、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

n边行内角和公式(n-2)

(2)、三角形按内角的大小可分为三类：

(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形;

(2)直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

(3)钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

(3)、判定一个三角形的形状主要看三角形中角的度数。

(4)、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

6、三角形的三条重要线段

(1)、三角形的角平分线：

1、三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2、任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

(内心)

(2)、三角形的中线：

1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

2、三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。

(重心)

3、三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形

(3)、三角形的高线：

1、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。

2、任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

(垂心)

3、注意等底等高知识的考试

7、相关命题：

1)三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。

2)锐角三角形中的锐角的取值范围是60≤X

3)任意一个三角形两角平分线的夹角=90+第三角的一半。

初一下册数学《三角形》知识点一、目标与要求

1.认识三角形，了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形。

2.经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系。

3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法，并能运用它解决有关的问题。

4.三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理。

5.能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题。

二、重点

三角形内角和定理;

对三角形有关概念的了解，能用符号语言表示三条形。

三、难点

三角形内角和定理的推理的过程;

在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形;

用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形。

四、知识框架

五、知识点、概念总结

1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类

3.三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

4.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

5.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

6.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

7.高线、中线、角平分线的意义和做法

8.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

9.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余;

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和;

推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;

三角形的内角和是外角和的一半。

初一数学学习方法一预习

对于理科学习，预习是必不可少的。我们在预习中,应该把书上的内容看一遍，尽力去理解，对解决不了的问题适当作出标记，请教老师或课上听讲解决，并试着做一做书后的习题检验预习效果。

二听讲

这一环节最为重要，因为老师把知识的精华都浓缩在课堂上，听数学课时应做到抓住老师讲题的思路，方法。有问题记下来，课下整理，解决，数学课上一定要积极思考，跟着老师的思路走。

三复习

体会老师课上的例题，整理思维，想想自己是怎么想的，与老师的思路有何异同，想想每一道题的考点，并试着一题多解，做到举一反三。

四作业

认真完成老师留的习题，适当挑选一些课外习题作为练习，但切忌一味追求偏题，怪题，更不要打“题海战术”。

篇（7）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0048

近年来对学生减负政策的实施，除了课间学生休息之外，那么，学生在校只有上课时间与任课教师接触。面对学生的有效时间，又加上学生年龄低龄化、学生学习自主能力差，而且与小学数学相比较，初中数学概念比较抽象、知识系统性强，学生学习起来难度大等问题。那么，怎样提高数学课堂教学效率，培养学生的创新精神和实践能力呢？这个问题成了初中数学教师面临的难题。

一、传统初中数学教育所面临的困境

著名物理学家钱学森先生那句振聋发聩的疑问――“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”面对钱学森之问，面对传统初中数学教学活动中学生的学习被动、学生发展问题得不到解决，不得不让处在一线教学活动岗位的我们反思：传统的数学教学到底怎么了？

在传统的数学教学活动中，教学模式单一化、缺乏灵活性和针对性。在课堂教学中，教师讲解学生听，教师在黑板上大量地板书，学生做笔记。此外，在课堂教学中，教师很少给学生自主探究的时间，学生只能被动地接受，学生的思维失去了自由发展的空间，而且教师不鼓励也不允许学生有其他不遵循教学活动的行为。传统的数学教育虽然效率高但是教学效果非常差。义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现人人学有价值的数学。然而，这种高强度的讲解和反复的训练，导致许多初中学生对数学产生了畏惧。显然，这种教学活动模式已经不适应义务教育阶段教育。可以说，在这种传统的数学教学活动中，教师不重视学生对问题的提出，使得学生缺乏问题意识，创新能力和自主学习能力也严重下降。这种功利化、模式化的教学活动方式与我国现代化发展不能同步。

二、高效课堂的教学实践

老子曾经说过：“授人鱼不如授人渔”。传统的初中数学教育虽然能使学生基础知识和基本技能扎实，但不利于培养学生的创新精神和实践能力，这种教育只能授学生鱼。怎样授学生渔？高效课堂的教学能授学生渔！具体怎样在课堂上实践呢？笔者也在改革中摸索前进。

1. 课前准备

由于课堂时间只有四十五分钟，在这有限的时间里，课前准备是必须的。由于初中教育属于义务教育阶段，为了减负，教师不能给学生布置太多的作业，同时教师也不能对学生课外要求的太多。因此，为了达到高效，只有教师课前精心准备了。

备课的三要素，即备教材、备学生、备教法等三个方面。第一，备教材。教师在课前要充分吃透教材，精心设计好教案。此外，教师也要阅读大量的相关学科教学书籍并整理。可以说，任课教师对教材教法及其相关知识应该了如指掌，方能优化自己的课堂教学。第二，备学生。教师在课前要经常利用课间下班，到班级中充分了解学生的现状。比如，教师精心安排学生课前如何准备，准备的如何以及学生课外自主合作探究情况等信息。第三，备教法。教师要深入研读教材，整体把握教材布局，并根据各个章节的特点，弄清哪些章节适合学生去自主合作探究，哪些章节教师必须适当地指点，只有这样才能有的放矢。可以说，高效的课堂教学必须课前准备。

2. 教学过程

高效课堂教学过程是教师出示这堂课的学习目标和要求，学生根据要求进行自学，然后与小组内成员进行合作探究，在这个过程中，教师巡视并指导各个小组，通过小组讨论后由小组代表展示结果，最后教师总结。我们知道教学过程是一个促进学生身心发展的过程，也是一种特殊的认识过程。例如，沪科版八年级上册数学第十一章平面直角坐标系。这一章的教学目标是通过本章的教学，使学生认识平面直角坐标系，理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系，并能够写出给定的平面直角坐标系中某一点的坐标，已知点的坐标能在平面直角坐标系中描出点；在方格纸中能建立适当的平面直角坐标系，描出图形的位置，掌握图形的平移与坐标变换之间的关系。这一章很适合学生自主探究，教师可以采用高效课堂教学模式，教师引导小组之间进行讨论交流。通过学生自主探究，学生能够很好地了解怎样建立平面直角坐标系、点在坐标中的表示以及平移时坐标的变化情况，从而培养了学生自主探究能力、学生之间的合作能力、学生之间梳理知识能力以及学生的创新精神和实践能力。如果这章采用传统的数学教学模式，教师通过反复的讲解和训练学生做大量习题。虽然学生做题能力提高了，但是学生的探究、自主与合作学习无法保证，从而导致学生创新精神和实践能力完全丧失。

在这个特殊的过程中，教师可以把传统的数学教学过程中的优点与高效课堂教学过程的优点相互结合，去短补长。因此，在教学过程中，教师要根据不同的教学内容与任务确定不同类型课的教学过程，从而优化课堂教学。

例如，沪科版七年级下册第六章实数中的第一小节平方根、立方根。这节课的教学目标是了解算术平方根、平方根和立方根的概念，会用根号表示且会求一个数的算术平方根、平方根和立方根，并了解算术平方根的性质。教学重点是算术平方根、平方根和立方根的概念、性质，会用根号表示。教学难点是平方根和算术平方根的区别，立方根与平方根的区别。这节课数学概念和性质比较强，学生从没有接触过太多相关知识，由于课时和教学任务的要求，加上学生去自主探究平方根和立方根困难比较大。因此，教师在设计教学过程时就可以把传统的数学教学过程中的优点与高效课堂教学过程的优点相互结合，去短补长。这节课教师在讲解新知识时采用传统的数学教学过程；在巩固新知识时，教师采用高效课堂的小组合作，让小组代表展示探究的结果。这样，学生既能扎实地把平方根和立方根的概念和性质掌握了，又能通过小组探究与合作去实践。这样既巩固了学生的基础知识，又培养了学生合作探究的能力。

3. 建立班级数学园

初中数学新课标明确指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。面对实际初中学校资源匮乏的现状，为了使数学水平能力强且爱好数学的学生在能力上得到更好的发展，教师可以在班级建立数学园，并在数学园贴上由教师精心设计的习题。在设计习题时，教师尽力使这些习题不重复、不机械，且使习题具有针对性、层次性、选择性、实践性和开放性。同时，教师积极鼓励学生凭着自己的能力去解决问题。如果学生解决不了的，可以由小组合作解决或与教师讨论。通过建立班级数学园，可以营造自主学习、合作探究的气氛，既能培养学生的主动思维能力又能培养学生的小组合作能力，还丰富了农村学生的课外学习生活。

4. 课后辅导

教师要经常利用课间时间到班级中，多与各个学习小组面对面的交流。只有这样，教师才能及时地了解学生学习效果如何，及时地指导学生课后学习。

篇（8）

课时安排

7课时

第一课时

课题

§2.1余角与补角

教学目标

(一)教学知识点

1.余角、补角及对顶角的定义.

2.余角、补角及对顶角的性质.

(二)能力训练要求

1.经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力.

2.在具体情境中了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题.

(三)情感与价值观要求

通过在具体情境下的讨论，让学生理解基础知识的同时，提高他们理论联系实际的观念.

教学重点

1.互为余角、互为补角的定义及其性质.

2.对顶角的定义及性质.

教学难点

互为余角、互为补角、对顶角的定义的理解.

教学方法

讲练结合法

教师在充分发挥学生的主观能动性的同时，来与学生进行交流、讨论，使之能运用本节内容解决一些实际问题.

教学过程

Ⅰ.创设现实情景，引入新课

［师］在上册第四章“平面图形及其位置关系”中，我们学习了“平行”与“垂直”，大家想一想：什么是平行线？

［生］在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

［师］很好，在日常生活中，我们随处可见道路、房屋、山川、桥梁……等这些大自然的杰作和人类的创造物.这其中蕴涵着大量的平行线和相交线.

下面大家来看几幅图片：(出示投影片：P49的桥的图片，宫殿、建筑物、门等的图片)

你能从这些图案中找出平行线和相交线吗？

(同学们踊跃发言，都能准确地找出其中的平行线和相交线)

［师］同学们找得都对，说明大家掌握了所学内容.从今天开始，我们将深入学习这方面的内容：第二章平行线与相交线.

在这一章里，我们将发现平行线和相交线的一些特征，并探索两条直线平行的条件，我们还将利用圆规和没有刻度的直尺，尝试着作一些美丽的图案.

相信大家，一定会学得很好.

图2－1

Ⅱ．讲授新课

［师］我们知道，光的反射是一种常见的物理现象，通过如图的实验装置我们可以验

证光的反谢定律：

活动内容：参照教材p59光的反射实验提出下列问题：

（1） 模拟试验：通过模拟光的反射的试验，为学生提供生动有趣的问题情景，将其抽象为几何图形，为下面的探索做好准备。

（2）利用抽象出的几何图形分三个层次提出问题，进行探究。

i说出图中各角与∠3的关系。将学生的回答分类总结，从而得到余角、补角的定义。

ii图中还有哪些角互补？哪些角互余？在巩固刚刚得到的概念的同时，为下一个问题作好铺垫。

iii图中都有哪些角相等？由此你能够得到什么样的结论？在学生充分探究、交流后，得到余角、补角的性质。

由此，我们得到了一个新的概念：互为余角.即：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角(complementary angle),也就是说其中一个角是另一个角的余角.

只要有∠BDC+∠1=90°，就可知道∠1与∠BDC互为余角，反过来知道∠1与∠BDC是互为余角，就一定知道∠1与∠BDC的和为直角.

再之：∠1与∠BDC是互为余角就是说：∠1是∠BDC的余角，∠BDC也是∠1的余角.

大家看老师手里拿两个三角板(一边演示，一边叙述)：这一个三角板的60°的角与另一个三角板的30°的角加起来正好是90°，那么我们说这两个角是互为余角.

同学们应注意：(强调)

(1)互为余角是对两个角而言的.

(2)互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，而没有限制角的位置关系.

［生］老师，我们知道了：两个角的和是直角，则这两个角是互为余角.刚才我们还讨论了：∠1+∠ADF=180°,∠EDB+∠1=180°.

那么这样的两个角又叫什么呢？

［师］这位同学问得好，这就是我们要学习的另一个概念：互为补角.即：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角(supplementary angle).

互为补角的概念的理解与互为余角的理解基本一样.哪些同学能尝试的说一下呢？

［生甲］只要满足∠1+∠ADF=180°，就可知道∠1与∠ADF是互为补角.反之知道∠1与∠ADF是互为补角，就一定可知道∠1与∠ADF的和是平角.

［生乙］∠1与∠ADF是互为补角，就是说：∠1是∠ADF的补角，∠ADF也是∠1的补角.

［生丙］互为补角也是对两个角而言的.与角的大小有关，而与位置无关.

［生丁］∠EDB与∠1也是互为补角.

［师］同学们回答得真棒.互为余角、互为补角都是针对两个角而言的，仅仅表示了两个角之间的数量关系，并没有限制角的位置关系.

好，下面大家来想一想.(出示投影片§2.1 A)

在下图中，CD与EF垂直，∠1=∠2.

(1)哪些角互为余角？哪些角互为补角？

(2)∠ADC与∠BDC有什么关系？为什么？

(3)∠ADF与∠BDE有什么关系？为什么？

图2－2

(同学们分组讨论，得结论)

［生甲］在图中：∠1与∠ADC、∠2与∠ADC、∠BDC与∠1、∠BDC与∠2都是互为余角.

∠1与∠ADF、∠EDB与∠1、∠ADF与∠2、∠EDB与∠2都是互为补角.

［生乙］∠ADC与∠BDC相等，因为：

∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠1=90°

所以：∠ADC=90°－∠1=∠BDC.

［生丙］∠ADC与∠BDC相等的理由还可以这样说：因为∠ADC+∠1=90°，∠BDC+∠2=90°，所以∠ADC=90°－∠1，∠BDC=90°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADC=∠BDC.

［生丁］老师，是不是这样：∠ADC是∠1的余角，∠BDC也是∠1的余角，所以∠ADC与∠BDC就相等.因此可以说：同一个角的余角相等.∠ADC是∠1的余角，∠BDC是∠2的余角，而∠1与∠2相等.所以∠ADC与∠BDC相等.因此可以说：相等的角的余角相等.

［师］丁同学总结得很好.大家的意见怎么样？

［生齐声］丁同学总结得对.

［师］很好，这就得出互为余角的性质：

同角或等角的余角相等.

接下来看第三个问题:

(同学们踊跃发言，得出结论)

［生］∠ADF与∠BDE相等.因为∠1+∠ADF=180°，∠1+∠BDE=180°，所以，∠ADF=180°－∠1=∠BDE.还可以这样说：

因为∠1+∠ADF=180°，∠2+∠BDE=180°，所以∠ADF=180°－∠1，∠BDE=180°－∠2，又因为∠1=∠2，所以∠ADF=∠EDB.

因此得出结论：

同角或等角的补角相等.

［师］同学们表现得很好，通过讨论，得出互为余角、互为补角的性质：

同角或等角的余角相等.

同角或等角的补角相等.

接下来，我们议一议.

(可用电脑演示，也可用实物剪刀实际操作，然后提问.)(出示投影片§2.1 B)

(1)用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小？

(2)如果将剪刀的图形简单表示为下图，请问：∠1与∠2的位置有什么关系？它们的大小有什么关系？为什么？

图2－3

［生甲］(1)用剪刀剪东西时，相对的角同时变大或变小.

［生乙］图中的∠1与∠2有公共的顶点O，且角的两边互为反向延长线.

∠1与∠2相等，因为∠1是∠BOC的补角，∠2也是∠BOC的补角.由同角的补角相等，可得∠1与∠2相等.

［师］很好，像这样，直线AB与直线CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫对顶角.

如图中的∠AOD与∠BOC也是对顶角.

由对顶角的概念可知,对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，两个角的两边互为反向延长线.

所以要在图形中准确地找出对顶角，需两看：

(1)看是不是两条直线相交所得的角;

(2)看是不是有公共顶点而没有公共边(或不相邻)的两个角.

另外，从对顶角的定义还可知：对顶角总是成对出现的，它们是互为对顶角；一个角的对顶角只有一个.

接下来大家想一想：对顶角有什么性质？

［生齐声］对顶角相等.

［师］好，“对顶角相等”是对顶角的重要性质.

下面大家来议一议(出示投影片§2.1 C)

如图(P52的上图)所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量角是多少度吗？你的根据是什么？

［生甲］根据对顶角相等，可以得出所量角的度数是40°.

［生乙］我利用补角可得出所量角的度数是180°－140°=40°.

［师］同学们能利用学过的有关事实解决实际问题，这很好.

下面我们来做一练习，以巩固所学内容.

Ⅲ.课堂练习

1.下图中有对顶角吗？若有，请指出，若没有，请说明理由.

图2－4

答案：图(1)、(2)、(3)中没有对顶角，因为这三个图形中的∠1、∠2不是两条直线相交所形成的.图(4)中有对顶角，分别是∠1与∠3；∠2与∠4.

2.判断对错

(1)顶点相对的角是对顶角.( )

(2)有公共顶点，并且相等的角是对顶角.( )

(3)两条直线相交，有公共顶点的角是对顶角.( )

(4)两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角.( )

答案：××× √

(举反例说明)

Ⅳ.课时小结

这节课我们学习了三个定义、三个性质，现在来总结一下：

定义：

互为余角：如果两个角的和是直角，则这两个角互为余角.

互为补角：如果两个角的和是平角，则这两个角互为补角.

对顶角：像这样直线AB与直线CD相交于O，∠1与∠2有公共顶点，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

注意：

(1)互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关.

(2)对顶角的判断条件：

性质：

同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

对顶角相等.

Ⅴ．课后作业

(一)课本P52习题2.11、2、3

(二)1.预习内容：P53~54

2.预习提纲

(1)直线平行的条件是什么？

(2)同位角的概念.

(3)会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.

板书设计

§2.1台球桌面上的角

一、台球桌面上红球滑过的痕迹

图2－5

∠1+∠ADC=90°

∠1+∠BDC=90°

∠1+∠ADF=180°

∠1+∠BDE=180°

二、互为余角、互为补角的定义

三、互为补角、互为余角的性质

同角或等角的余角相等.

同角或等角的补角相等.

四、对顶角的定义

五、对顶角的性质：

对顶角相等.

六、练习