高中数学竞赛汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇高中数学竞赛范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

随着高中新课程的实施，高中课程体系已发生了巨大的变化，在原有课程基础上突出了多元化选修课程的开发和运用。不少学校正在着手进行多个领域选修课程的开发和走班教学的实施。竞赛类辅导恰好适合这一要求，竞赛辅导从选拔到培训与选修课程多元化的分层分类教学实施刚好吻合。深化课程改革为竞赛辅导赢得了一片广阔的天地。

在新形势下，高中数学竞赛辅导势必需要进行相应的改革，而高中数学竞赛课程化必将是这一改革的主要方向。所谓的课程化就是开设一系列高中数学竞赛课程，允许不同层次不同年级的学生选择，以各种形式开展辅导和教学质量考核，使之变成一门学校系统化的课程。它可以使学有余力的同学获得更广泛的空间，使有兴趣的数学爱好者选择到喜欢的选修课，使参加数学竞赛各级赛事的同学有针对性的辅导，使没有得奖的参与者获得课程学分，使更多的学生能对数学学习感兴趣。我们认为，高中数学竞赛课程化必须做好以下四项工作。

一、制定课程教学方案

竞赛辅导工作是中学数学教学的重要组成部分。“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的竞赛原则。在这样的原则指引下，必须通过制定竞赛辅导活动的课程大纲，建立明确的活动目标体系和系统的竞赛辅导规划，使学科竞赛辅导更加科学规范。目前不少中学已经在选修课中实行学分制，可以配备专业指导教师，把竞赛辅导变成既有组织又有开放灵活性的课程活动。通过参加各个层次的数学竞赛，为学生提供展示数学才能的舞台，让学生在竞赛中体验乐趣，数学竞赛活动课程化就是将每一项辅导活动都按照课程实施步骤进行，做到“六个有”，即有规划、主题、有目的、有内容、有实施、有评价。在每学期开学都必须由教研组专人负责或是教学大纲、课程方案等内容上报教务部门。

二、充分挖掘课程资源

建立良好的数学竞赛氛围，才会有广泛的学生基础，也就更能从中选拔出拔尖的数学人才。培养专业化的师资同样需要学校的良好氛围，这些都是课程资源的重要元素。建立数学竞赛辅导专用教室，购置数学竞赛书库，提高竞赛辅导课时津贴等措施，都是对课程开发开设的保障。竞赛辅导教师充分研究竞赛辅导教材，作为最基础的竞赛课程资源，合理科学地使用好辅导教材，能激发学生学习数学的兴趣，拓展思维方式。多挖掘和介绍社会热点资源，激起学生学习热情，使学生产生解决问题的强烈欲望，体现了正面的数学竞赛的教育价值。

三、规范课程教学行为

规范竞赛辅导形式，从一对一到一对多的课程形式都加以明确，参与必须通过一定的基础选拔，人数容量应有一定限制。为了切实达到教学效果和保证教学质量，对于选课人数的限定具有一定的特殊性。原则上每门课的选课人数不应超过40人。可以采取每门课划分AB班的形式来解决。将竞赛辅导分为比赛型和兴趣型，AB班不同难度不同侧重，实行动态管理。比如，对参加比赛实力不足，但对数学学习有兴趣的，编到B班，经过一段时间学习，能力得到较大提高，有一定实力参加区域数学竞赛的，允许换到A班。既可以激发兴趣，也可以有不同的培养侧重。在竞赛辅导中，不仅仅是题海战术的重复训练，应强化学生数学素养的养成，数学能力的提高。让学生在实践中提高，在锻炼中获得成长。允许学生走出教室，在生活中寻找数学问题，拓展学生的视野；在数学学习中提高生活质量，完善人格。

篇（2）

数学竞赛是当今中国教育界的热点之一，自上个世纪首先在匈牙利兴起，很快就风靡了全世界，各种层次竞赛吸引了众多的学生参加，成为数学教育中一件非常重要的事情。在教学方法和教学成果开展上进行研究讨论具有较高的学术价值。

1 高中数学竞赛的定位

数学竞赛又称为数学奥林匹克，中学数学竞赛是发现和培养优秀学生的一个非常有益的课外活动。随着数学奥林匹克活动在我国的开展，数学竞赛已经成为中小学数学课外一个不可缺少的活动，也成为我国数学教育实践活动中非常重要的一个组成部分。作为数学课堂教学的补充，数学竞赛能够激发学生学习数学的兴趣，在健康的竞赛机制中，青少年参加数学竞赛的学习活动，能够激发他们的上进心和荣誉感，能培养学生的创新能力，提高学生的数学素养和综合素质。

应该说，高中数学竞赛在本质上也是一种基础教育，但更强调素质的培养和能力的发展。有人认为“高中数学竞赛只是培养少数尖子”，这种看法其实与事实不符，从高中数学竞赛中得益的决不是少数人。我们可以以奥运会为参照，具备夺金实力的只是寥寥数人，但参加体育活动却使众多的人体质增强，整个民族对体育的兴趣大增。高中数学竞赛也是如此，通过竞赛，可以影响众多的学生，使他们对学科的兴趣大增，从而使整个基础教育的渗透面更广。

2 高中数学竞赛的内容和试题特点

高中数学竞赛的内容不同层次的数学竞赛对竞赛内容也有着不同层次的要求。一般来说，在高中数学竞赛内容的选取上有两个方面的要求：一个只是完全参照学生所在学段的教学大纲的基本教学要求和内容，试题的命制范围不超出参赛学生所学内容，只是在解题的方法和技巧上有所提高；另一个就是提高方面的内容，有些是课外讲授的知识，此类试题对学生的解题思维能力和数学知识面都有一定的要求。目前我国高中数学竞赛内容已日趋规范化和正规化，纵观各地高中数学竞赛内容，基本考查的都是几何、代数、数论和组合知识这四个方面的内容。近年来，课程改革的实践在一定程度上改变了我国中学数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对数学竞赛试题所涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求。

高中数学竞赛试题的特点：高中数学竞赛所涉及的内容并不是简单的中学数学教材所包含的知识范围，因为有一些内容在中学数学教材中并不讲授，例如数论和组合知识就是大学数学的一部分。虽然这些题目都是以初等的语言来表述，并且对这些题目的解答在中学生解题的知识和能力范围之内，但是这样的题目包含了大学数学的思想和方法，有着大学数学的背景。并且相对于条件明确、结论唯一、解法固定的传统问题而言的。开放性的数学试题近年来在我国教育界受到了广泛的关注和普遍的重视，在解决开放性问题的过程中能促进学生的数学思维，学生在思维中主动地构建知识，问题的多种解决方式能有效地培养学生的创新意识、发散性思维能力和创造能力。从题目结构形式上看，开放性试题主要具有以下特征：

层次性。开放性题解答的多样性，决定了它能够满足各种层次水平的学生的需求，使他们都能在自己的能力范围内解决问题，从而体现出层次性。

不确定性。开放性题的不确定性是指问题中的条件、解题策略和结论均需解题者在情景中去设定和寻找。

非完备性。在开放性题中，要么条件不充足，要么结论被隐去，要么解题方法和依据不明确，因而其组成要素是不完备的。

探究性。开放性题的解答没有固定的、现成的模式可循，解答者不能用常规方法去套用，必须经过主动地思索自行设计解题方案。因而，开放性题的解决需要具有大胆的探索精神和一定的探索能力。

发散性。解答开放性题时，必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位寻找答案，因而思维方向和模式呈发散性。

3 高中数学竞赛对基础教育的影响

3.1高中数学竞赛是基础教育科学文化的生动普及：高中数学竞赛活动不仅推动了各国科学教育的交流，促进了科学教育水平的提高，增进了各国青少年学生的相互了解，而且激发了广大中学生对基础教育科学知识的兴趣，有助于发现和培养青年人才。因为高中数学竞赛这项活动为世界各国表现本民族的聪明才智提供了竞争和交流的舞台，因而受到越来越多的国家的重视，并因此得到联合国教科文组织等许多国际科技教育组织的关注和支持。

3.2高中数学竞赛促进了基础教育教师素质的提高：高中数学竞赛在内容、思维和方法上的高要求，迫使高中数学教师必须全面提高自身的知识与能力方面的素质。一方面，高中数学教师要改革传统的教学方法。因为只有这样，高中数学教师才能迎合学科竞赛的积极开展，才能在发现、选拔、培养学科英才时立于不败之地。另一方面，高中数学教师明确自己在知识与能力等方面的不足，从而促使自己积极投身到知识更新和能力提高的自觉学习当中去。

3.3高中数学竞赛推动了当前基础教育改革的深化：高中数学竞赛辅导教师在学科竞赛中有着不可或缺的作用，从选手培训到赛前指导，从丰富理论知识到训练逻辑思维，各个环节都是对教师教学质量、教学效果的反馈，也是对新的教学方法的考证。通过辅导学科竞赛，教师可以针对发现的问题，对教学内容进行改进，也可以寻求到融入实践教育的更适宜的方式，从而达到良好的教学效果，使教学质量更上层楼。教练和学生在学科竞赛中互动要较常规教学多得多，这也是对“培养模式多样化，培养方案个性化”的人才培养模式做出的探索。在不断的课程体系和教学内容改革中，必然会有很多新理念、新方法涌现。有时，在把这些探索性成果广泛应用之前，需要一个测试、修正的过程。学科竞赛就可以提供这样一块试验田。

参考文献

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推广1：T为坐标平面上所有整点的集合（横，纵坐标都是整数的点称为整点），如果两个整点（x，y），（u，v）满足|x-u|+|y-v|=1则称这两个点为相邻点。证明：存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。

类比1：T为三维空间中所有整点的集合（横，纵，竖坐标都是整数的点称为整点），如果两个整点（x，y，z），（u，v，w）满足|x-u|+|y-v|+|z-w|=1则称这两个点为相邻点.证明：存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。

类比2：T为三维空间中点的集合，如果两个点（x，y，z），（u，v，w）满足|x-u|，|y-v|，|z-w|中恰有两个为0，有一个为1，则称这两个点为相邻点。证明：存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。

推广2：T为n维空间中所有整点的集合（所有n个坐标都是整数的点称为整点），如果两个整点（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn）满足|x1-y1|+|x2-y2|+…+|xn-yn|=1则称这两个点为相邻点.证明：存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。

证明：对n维空间中的整点A（x1，x2，…，xn），令Li1=（x1，x2，…，xi-1，xi+1，xi+1，…xn），Li-1=（x1，x2，…，xi-1，xi-1，xi+1，…xn）.于是A的相邻点为Lij（j=？芄1，i=1，2，…，n）.

对任意（x1，x2，…，xn）∈T，定义f（x1，x2，…，xn）=nx1+（n-1）x2+…+2xn-1+xn，则f：TZ为T到整数集的映射。

容易证明2n+1个数f（Lij）（j=？芄1，i=1，2，…，n），f（A）中恰有一个被2n+1整除.若令S={（x1，x2，…，xn）∈T|f（（x1，x2，…，xn）mod（）2n+1=0}则S满足要求。

推广3：T为n维空间中点的集合，如果两个点（x1，x2，…，xn），（y1，y2，…，yn）满足|x1-y1|+|x2-y2|+…+|xn-yn|中只有一个为1，其余都为0，则称这两个点为相邻点.证明：存在集合S？哿T，使得每个点P∈T在P与P的相邻点中恰好有一个属于S。

证明：对n维空间中的点A（x1，x2，…，xn），令Li1=（x1，x2，…，xi-1，xi+1，xi+1，…xn），Li-1=（x1，x2，…，xi-1，xi-1，xi+1，…xn）.于是A的相邻点为Lij（j=？芄1，i=1，2，…，n）。

对任意（x1，x2，…，xn）∈T，定义f（x1，x2，…，xn）=n[x1]+（n-1）[x2]+…+2[xn-1]+[xn]，则f：TZ为T到整数集的映射。

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1.当前初高中数学衔接最常见的方式及存在的问题

如何做好初高中数学衔接，是高中数学教师、即将进入高中的学生及家长们都非常关心的问题.许多学生在初中毕业后的暑假参加各类衔接班，有的是复习初中数学知识，有的是讲授竞赛知识，更有的直接就开始讲授高中数学内容.

若把衔接课变成复习课，只是巩固初中知识，虽然对基础比较弱的学生巩固初中知识是必要的，但对于相关基础知识已经掌握的学生，如果参加的衔接班上只复习不提高，这样衔接课程也就毫无意义.

如果把衔接课变成竞赛培训课，对于大多数同学而言，过多过早参与数学竞赛不仅不能真正提高能力，反而有可能害怕学习数学，加重学生学习数学的心理恐惧，更加不利于高中数学的学习.

而直接学习高中数学知识的，学生在这种补习班上学习，多数是一知半解，到了真正的高一课堂上学习该知识点时，觉得那是补习学过的，自己已经会了，课上容易分心，不认真学习，这时的衔接课就做成了夹生饭.

笔者认为，现在各种暑期衔接班的主要目的是赚钱，对学生或多或少起到学习知识的作用，但从长远来看，其效果微乎其微，真正在初高中数学衔接中起决定性作用的应该是高一的数学教师.作为高中数学教师，利用好现行高中数学教材，适时进行初高中数学衔接，是每一个高中数学教师都应该认真研究的问题.

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在高中数学教学中，情境教学实际上就是把高中数学教学与学生的生活实际联系在一起，增强学生对所学知识的理解和记忆，实践教学也是数学课堂教学中必不可少的环节，学生可以在实践中认识到数学学习的重要性，激发学生学习数学的热情和积极性。

1情景教学在高中数学教学中应用的必要性

在传统的高中数学教学模式下，教师过于注重理论知识的讲解，忽略了实践教学的重要性。情境教学模式下，数学教师需要把教材内的知识具体化，形象化，培养学生独立思考问题的能力。在新课标下，情景教学在高中数学教学中的应用是十分必要的。在情境教学中，教师需要多关注学生的情感变化，充分发挥出学生学习的主体性，加深学生对所学知识的记忆，进而提高学生的学习质量。

2情景教学在高中数学教学中的应用对策

2．1创设生活情景：很多高中生都觉得数学是一门学习难度比较大的学科，甚至部分学生还出现了厌学的心理。事实上，数学教材内教学体系比较复杂，而且大多数的知识点都比较抽象，需要学生具备较强的思维逻辑。情景教学在数学教学中的合理应用是新课标教学的必然需求和要求。但是，教师需要注意的是，在开展情景教学之前，高中数学教师必须充分了解每一位学生的特点，并结合学生的特点合理制定情景教学方案，实现有效教学。

2．2发挥出多媒体的作用：随着社会的快速发展，多媒体技术也得到迅猛发展，多媒体技术已经成为数学教学中离不开的教学技术，教师可以利用多媒体教学设备把教材内枯燥的文字转换成图片或者影像的形式，为学生创设教学情景。在数学课堂教学中，教师要多为学生举一些生活中的案例，完善教学体系。教师也可以让学生利用多媒体平台在课前搜集与教学内容相关的资料和信息，并在课上与大家分享，进而提高学生学习数学的质量。

2．3组织数学竞赛活动：高中数学教师要想在课堂上实施情景教学，高中数学教师就需要多组织数学竞赛活动，增强学生的竞争意识，并对数学竞赛活动中表现较好的学生给予一定的物质奖励和精神奖励，提高学生学习的热情和积极性。

3情景教学对高中数学教学的积极影响

3．1教师的角度：高中数学教师是知识的传授者，是教学活动的实施者，教师是以课堂为关键场所展开教学活动。在新课标下，数学教师的角色也发生了改变，教师从传统教学模式下的主导者转变为课堂教学的引导者。情景教学可以把数学教材内比较抽象的知识具体化，降低学生学习数学知识的难度，满足学生的学习需求。但是，教师需要注意的是只有学生真正融入到情景教学中，情景教学才能真正在数学教学中发挥作用。因此，情景教学的开展不能盲目，必须有计划的开展，教师必须结合学生的实际情况合理制定情景教学方案。情景教学在高中数学教学中的应用对高中数学教师的专业水平和综合素质提出了较高的要求，高中数学教师必须定期参加专业化培训，提高自身接受新知识和新事物的能力，熟练操作多媒体教学设备，丰富自身的知识储备，优化高中数学教学知识结构，满足学生的学习需求，促进高中学生的成长和发展。

3．2学生的角度：在传统的数学课堂教学模式下，学生被动的进行学习，学生无法积极参与到数学教学中，学生学习数学的热情和积极性比较低，学习质量也比较低。在情景教学模式下，教师需要合理的为学生创设教学情景，营造课堂氛围，学生的学习质量与学生本身的学习态度有很大关系，学生必须端正学习态度才能把全部精力投入到数学学习中，情景教学中比较关注学生的情感变化，这样可以帮助学生端正学习态度，引导学生把全部的静力投入到数学学习中。

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中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）19-0256-02

一、引言

人类文化离不开数学，它是其中极其重要的组成部分。数学素养是人类的一种基本素养，在现代社会，每个公民更应具备这种素养。因为这种重要性，数学教育成为了教育必不可少的组成部分。在当代社会，数学教育以是终身发展必不可少的一个方面，是每个公民更进一步学习和发展的需要，是（终身）教育发展不可缺少的基础。为了使学生学会如何能够数学地思维，数学地表达，就要求各级各类学校向学生提供数学的基础知识、基本思想和技能，进而培养、提高学生自身的数学素养。伴随计算机技术和网络信息的迅猛发展，作为数学的一个分支的组合数学得到了迅速发展，也越来越受到重视。组合数学研究的主要内容包含离散对象满足一定条件的方案的存在性，以及这种方案的构造、枚举计数及最优化问题等内容。它在密码学、编码和计算机科学、生物学等学科中有着重要应用。可以这样认为：近代的工业革命的基础是微积分学的发展，而现代计算机革命的基础就是组合数学的发展。如今，普通高中数学课程中也包含计数问题组合计数这部分内容。当然除了计数问题，组合数学还包含组合原理、组合设计、组合优化等内容。本文从中学课程内容特点、数学竞赛试题、数学教师专业素质、数学文化的渗透、解题方法等不同角度研究组合数学与中学数学的联系与影响。

二、数学知识方面的联系

1.计数问题是组合数学中的重要组成部分，是中学数学课堂教学内容之一。组合数学中研究和应用最多的是计数问题，加法计数原理和乘法计数原理是其中最基本、最重要的两个基本原理。普通高中数学课程中含有计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用这些组合数学的内容，要求学生掌握这些基本知识，同时了解计数与实际生活的联系，会处理实际应用中的计数问题。组合计数、组合思想除在组合恒等式的证明和应用之外，在接下来的高中数学课程如统计与概率等中有着重要应用，排列组合掌握的好与坏常常影响古典概型的求解。

例题1（古典概型问题）：3件产品中包含2件正品a，b和1件次品c，每次从中任意选取一件，连续选取两次。在下列不同条件下，分别计算选出的两件产品中恰好有1件为次品的概率。（1）每次选出后不放回;（2）每次选出后放回。注：这里的摸球后放回、不放回是概率问题中常见的条件，也是计数问题中常考虑的限制条件。无论哪一种情况下计算概率都要应用到排列组合知识点。

2.组合数学是数学建模中的重要工具。《普通高中数学新课程标准》中提出：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容。据统计，组合优化在历年的数学建模比赛所占比例比较重，几乎占百分之四十左右。配对问题模型、摸球问题模型、分配问题模型、组合优化模型等都是组合数学在建模中的应用。

例题2：自动售货机内装有“可乐”、“雪碧”、“健力宝”3种听装饮料，投币后随机自动滚出一听，今有5个人若要喝同一品种的饮料，他们至多要投币几次？解：把饮料的品种看做“鸽笼”，饮料罐看做“鸽子”。根据抽屉原理，为了使5个人能喝上同一品种的饮料，至少有一个“笼子”内要有5只“鸽子”。从最不利的情形考虑，投币12次滚出3个品种各4=5-1听，共12听，所以这5个人需要至多投币13次。这就是利用中学数学抽屉原理法建模，当然这类题难度可以再加深。

3.组合数学是数学竞赛的重要内容。中小学数学竞赛中常考的知识点――抽屉原理和容斥原理是组合计数和组合分析常用的技巧和方法，不仅如此组合计数和组合分析中还有递推（归）原理、容斥原理、染色方法等常用方法。这些内容看似简单，但其中包含极强的技巧性，从小学到高中的数学竞赛中常见这类问题。数学竞赛题有一定的难度，往往不会轻易解决，对于这类问题一般通过构造的方法建立简单的数学模型，继而借助数学原理求解。

例题3（第6届国际数学奥林匹克试题）：有17位科学家，其中每一个人和其他所有人通信，他们的通信中只讨论3个题目。求证：至少有3个科学家相互之间讨论同一个题目。注：用平面上任意三点不共线的17个点v■，v■，…，v■分别表示17位科学家。设a，b，c为他们讨论的3个题目。两位科学家讨论a，则用黄线连接;讨论b用红线连接;讨论z则用蓝线连接，那么“以这17个点为顶点的三角形中必有一同色三角形”就是要证的结论。此题属于组合学中Ramsey问题，其根本思想还是构造抽屉。将几何图形与染色问题相结合，再对已知边按颜色进行分类（分抽屉），最后对几个或某个抽屉进行分析，就可以解决问题。

三、渗透数学文化方面的联系

数学文化的内涵狭义上的理解就是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展;广义上的理解是除这些内涵外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系等。“体现数学的文化价值”这是《普通高中数学新课程标准》基本理念之一，并且对数学文化有教学要求。中学期间，数学文化不会限定学时，不会专门设置几堂课进行数学文化教学，而是将数学文化贯穿于整个高中数学课程中，渗透在每个模块或专题中，也是一部分重要内容。

1.通过学习组合数学可以激发学生学习数学的兴趣，体会数学的内在美。组合数学源于数学游戏，许多问题看似简单，却蕴含很深数学原理。比如“柯克曼女生问题”、“幻方”等，这些数学游戏丰富了组合数学的研究方法与内容。游戏往往比抽象的理论更有吸引力和挑战性，通过数学游戏、趣味问题激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学不仅是一种重要的“工具”也是一种思维模式，从而促进学生的数学学习以及数学观的发展。

2.经典历史名题，让学生领略数学文化。古老的数学游戏和经典的数学名题是重要的数学史料，数学史料又是数学文化中的一个重要的组成部分，而历史名题又是数学史料的一种很好的载体。教学中结合数学史的文化背景进行讲解，可以使学生在感受趣味性同时，体会其中的文化性和思想性，领略数学文化。例如著名的Fibonacci兔子问题：把一对小兔子（雌、雄各一只）在某年的开始放到围栏中，一个月后长成大兔子。之后每个月这对兔子都生出一对新兔子，其中雌、雄各一只。一个月后，每对新兔子每个月也生出一对新兔子，也是雌、雄各一只。问一年后围栏中有多少对兔子？第n个月的兔子的对数用F■来表示，则它满足带初值的二阶递推关系式。法国的数学家Binet求出了数列{F■}■■的通项。而且由斐波那契数列中前一项与后一项的比值组成的分数列以■≈0.618为极限，这正是“黄金比”，由它产生的优选法“0.618法”是运用离散的手段来处理最优化问题。通过赏析名题，能够使学生感受到数学不仅仅是一门科学，更是一种文化。

四、提高数学教师的专业素质方面的联系

1.组合数学能够提高数学老师的数学修养，进而提高教学质量。我们知道教师要上好一堂课，只了解和解决课本和参考书上的知识和问题是远远不够的。教授必须具有与这堂课相关的许多直接或间接相关的知识，这就是对教师数学素养的要求。组合数学里包含的历史典故及蕴含的组合思想，会让数学教师了解和掌握更丰富的数学知识，从而提高数学教师的数学素质，提高解决问题的能力。因为组合数学问题在高中数学课程的各个模块都有不同程度的应用，而且在数学竞赛中出现频率较高，更加需要数学教师掌握一定的组合数学知识和组合思想。

2.掌握组合数学中的解题思想、解题方法，提高数学教师的业务水平和能力。组合问题求解方法层出不穷、千变万化，通过解决组合问题可以发现、归结出许多有用的解题方法：（1）从组合学基本概念、基本原理出发的解题方法：①利用容斥原理、递推关系、母函数方法――解计数问题。②利用抽屉原理――解决存在性问题。（2）从组合思想出发的解题方法：如组合对应法（一一对应）、分类法、组合分析法、放球模型法等。（3）在解决组合数学问题时还经常会用到数论方法：应用奇偶性、整除性等数论性质解决存在性问题。以及反证法和数学归纳法等。

组合数学的解题方法技巧性很强，教师通过学习组合数学更进一步学会数学思维，理解和掌握不同的解题方法，也可以积累丰富的解题技巧、思想，有助于拓展分析问题的思路进而提高教师的解题能力，提升专业素质。

参考文献：

[1]许胤龙，孙淑玲.组合数学引论[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2010.

[2]黄小龙，邓勇，胡晓惠，袁茵.基于棋盘编码粒子群算法的卫星资源调度方法[J].计算机工程与设计，2013，（1）.

[3]戴朝寿，孙世良.数学建模简明教程[M].上海：高等教育出版社，2007.

[4]马洪炎，沈虎跃，许康华.高中数学竞赛解题方法[M].浙江：浙江大学出版社，2006.

篇（7）

高中数学被很多学生认为是一门很难的学科，高中数学作为三大主课之一，所占的分量较大，很多学生也明白如果数学学不好的话想要考上理想的大学是天方夜谭，但是苦于无学习之法，那么高中数学都有哪些学习方法呢？数学是作为衡量一个人能力的一门重要学科，高中数学是初中数学的提高和深化，高中数学的特点是语言表达抽象，逻辑严密，思维严谨，知识连贯性和系统性强。

一、传统的数学教学模式及其现状

（一）传统的数学教学模式是基本采用满堂灌的方法，以教师、课堂、书本为中心的。课堂教学是一种固定不变的模式，即复习旧课，讲授新课，练习巩固。久而久之客观上导致了学生思维的依赖性和惰性，谈不上让学生主动学习、主动探索，丧失了创造力。满堂灌的方法，不管学生听不听得懂，课后大量作业做巩固。

（二）教师以讲为中心的陈旧教学方法。事实上有些学生根本不喜欢这种方式，不知道教师讲了些什么，学生疲劳厌学。长此以往，学生一旦习惯了这种被动的学习，学习的主动性就会渐渐丧失。以讲为中心的教学方法早已过时，从学生的潜能开发、思维拓展、身心发展、自主健全的角度来看，是非常不利的。

（三）传统教学的不足。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。社会的进步对教学内容提出了新的要求，同时也为教学提供新的技术手段，为学习提供新的学习方式。将信息技术运用于数学教学，弥补了传统教学的不足，提高了教学效率，同时也培养了学生的信息技术技能和解决问题的能力。

（四）探究式教学的引进。一般来说高中学生要探究出某个数学问题或者定理，需要花费大量时间，而这绝不是能在短短的几十分钟内就得到解决，高中学生的主要任务还是学习前人的知识与方法，任何脱离知识基础的探究都是盲目的。应该承认，讲授式教学不利于培养学生的创新能力，但是，它不能和填鸭式教学简单地划上等号。

（五）高中是最容易滑坡的阶段，数学科目又是重点科目。许多小学、初中数学学科成绩的佼佼者，进入高中阶段，第一个跟头就栽在数学上。高中数学学习是中学阶段承前启后的关键时期，不少学生升入高中后，能否适应高中数学的学习，是摆在高中新生面前的一个亟待解决的问题，老师要及时提醒同学们转变观念、提高认识和改进学法。

二、成绩滑坡的主要原因探究

面对众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，我对他们的学习状态进行了研究，调查表明，造成成绩滑坡的原因有以下几个方面：

（一）学习的兴趣。要在教学中真正做到学生愿意主动的学习知识， 激发学生学习数学的兴趣，自此变得更加的重要。数学教学激发学生学习兴趣是重要的一环，从教学心理学角度上讲，如果抓住了学生的某些心理特征，对教学将有一个巨大的推动作用。兴趣的培养就是一个重要的方面，兴趣能激发大脑组织加工，有利于发现事物的新线索，并进行探索创造，兴趣是学习的最佳营养剂和催化剂，学生对学习有兴趣，对学习材料的反映也就是最清晰，思维活动是最积极最有效，学习就能取得事半功倍的效果。

（二）学生自身存在的问题：

1.学习不主动。许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。

2.学法不得当。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。

3.学生的创新意识。学生的创新意识主要是指对自然界和社会中的数学现象具有好奇心、探究心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，进行探索和研究。而现在的大部分学生都缺乏创新意识，照搬教科书和老师的方法学习，致使学习呆板，乏味。

三、创造性模仿，培养创新意识和创新能力

（一）教师应从数学创新意识的培养上入手，在平时的教学过程中真正把提高学生的数学创新意识落到实处，激发学生潜能。著名美籍华人学者杨振宁教授曾指出，中外学生的主要差距在于，中国学生缺乏创新意识，创新能力有待于加强；而具有创新能力的人才将是21世纪最具竞争力，最受欢迎的人才。提高学生的创新意识和创新能力是我们面临的重要课题。

（二）具体实践方法。我有个学生，我注意到他每天都在学些新东西。没过多久我就发现他在观察我，之后我做什么他就会学着做什么。就用这种简单的办法他学会了预习、笔记、解题、小结。他做这些事情从不完全学我的样子，而是加进自己创造的特色，我把他的这种学习方法称作创造性模仿。创造性模仿让他实现了参加数学竞赛的目标。我用几种方法创造性的模仿那些比赛的胜利者。他读了在图书馆和书店里能找到的每一本有关数学竞赛的书，仔细研究每一本过期的杂志，寻找各种关于技术的文章；在电视上观看选手的比赛；把比赛实况进行录像并反复播放，边学边观察，将绝大部分心得写在日记里。

（三）激发学生学习数学的热情。新的数学课程强调，学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。在教学过程中，坚持贯彻理论联系实际的原则，创设生活情景，激发学生学习数学的热情。

总之，高中数学教育要贯彻以人为本，学生中心，方法创新，提高教学效果。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程教学标准[S].人民教育出版社，2003.

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二、应用举隅

例1 （2014浙江省高中数学竞赛第12题）若平面上四点A，B，C，D，满足任意三点不共线，且4AC+2AB=AD，则SABDSABC=.

评注 本题的解法多种多样，但运用坐标式三角形面积公式解决，可使思路清晰，过程优化.

例2 （2015山东省高中数学竞赛第13题第（1）问）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，不过原点的直线l和椭圆相交于两点A，B，求三角形OAB面积的最大值.

解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m，

从而SOAB≤ab2，由此可得，对任意的k，SOAB≤ab2，等号成立当且仅当a2k2+b2=2m2.

若直线l的斜率不存在，设l的方程为x=m，则易证SOAB≤ab2，等号成立当且仅当a2=2m2.所以三角形ΔOAB面积的最大值为ab2.

评注 利用坐标式三角形面积公式求解关键在于确定三角形各点的坐标.对于求解方程比较困难（方程的根不是十分简便）或含字母参数时可利用根与系数的关系进行合理转化.

例3 （2015四川省高中数学竞赛第15题）过双曲线x2-y24=1的右支上任意一点P（x0，y0）作一直线l与两条渐近线交于点A，B，若P是AB的中点.

（1）求证：直线l与双曲线只有一个交点；

（2）求证：OAB的面积为定值.

解析 （1）略.

（2）双曲线两条渐近线方程为y=±2x.

u注 解析几何问题的本质是用代数方法解决几何问题，坐标式三角形面积公式自然地提供了解决解析几何中有关三角形面积问题的一条捷径.

例4 （2011河南省数学竞赛11题）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，分别以a，b（a>b>0）为半径作两个圆.点Q是大圆半径OP与小圆的交点，过点P作ANOx，垂足为N，过点Q作QMPN，垂足为M，记当半径OP绕点O旋转时点M的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）设A，B，C为曲线E上的三点，且满足OA+OB+OC=0，求ABC的面积.

解 （1）设M（x，y），取∠xOP为参数φ，则x=acosφy=bsinφ，消去参数φ，得x2a2+y2b2=1，即为曲线E的方程.（2）设A，B，C的坐标依次为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），由上又可设A，B，C的坐标依次为（acosα，bsinα），（acosβ，bsinβ），（acosγ，bsinγ），

则由条件OA+OB+OC=0，得

acosα+acosβ+acosγ=0bsinα+bsinβ+bsinγ=0，进而可化为cosα+cosβ+cosγ=0sinα+sinβ+sinγ=0，消去γ，

得cos（β-α）=-12，所以sin（β-α）=-32或32，

由坐标式三角形面积公式SAOB=12x1y2-x2y1=12|abcosαsinβ-absinαcosβ|

=ab2sin（β-α）=3ab4.

同理，得SBOC=SCOA=3ab4，

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2.对传授数学知识的认知和角色的突变表现出的不适应。师范生从大学到高中数学教师，从知识的接受者到知识的传递者，从受教育者到为人师表，面对这种角色的快速转换，他们往往从生理和心理上都表现出了明显的不适应，表现出了焦躁和不知所从。

3.对班级的组织管理能力欠缺。大学生活虽然对学生的组织才能有了一定的提升，但对从事教师职业所应具备的基本组织能力，与学生交流的能力，处理学生心理问题的能力都还在初级阶段，在充分、全面了解高中生的生理和心理发展基础上，如何有效地开展班务组织和管理工作，还需要进一步加强和研究。

二、高中数学教师专业发展的一般规律

刚刚经过系统的师范教育与学习，初次登上讲台的数学教师即新手教师，在这个阶段，他们需要了解与寻求的是与数学教学有关的具体教学情境，对于他们来说，实践经验的积累比书本知识更为重要；大约经过2~3年，随着教学知识和实践经验的积累，逐渐发展为熟练新手教师；再经过5~6年，其中大部分熟练新手教师成为胜任型教师；此后大约还需要5年左右，有部分胜任型教师成为业务骨干型教师；再通过7~8年教学积累，其中少部分数学业务骨干型教师发展成为数学专家型教师。

三、完成高中数学教师角色转化的途径

根据高中数学教师专业发展规律，笔者结合自己的教学和管理经验，提出以下几条途径：

1.塑造自己的教师责任感和专业精神。教师要有强烈的责任感，要尊重和关心每一名学生，不只是关心他的学习成绩，更要关注他这个人本身的发展。激发学生学习数学知识的兴趣，以及对数学、对生活的热爱。有“为学生的一生发展奠基，对学生终身发展负责”的意识。

2.始终保持高度的解题热情，去解近三年的高考数学试题和高中数学竞赛试题。作为数学教师时时刻刻都离不开解题，可以这么说，一个不会讲题的数学教师是不合格的，一个不会解题的数学教师更不合格。可以设想，当学生问到的题目经常不会解，不仅自己很尴尬，而且也会被学生瞧不起。

3.加强对中学数学思想体系的研究和学习，引导学生对数学精神的追求。数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果。在一定的数学思想指导下，在课堂上与学生一同开展充满数学美的逻辑推理活动，深入浅出的艰辛和喜悦，学习数学家们不屈不饶地探求科学真理的精神。

4.积极参加数学公开课比赛。如果说日常数学教学是完成教学任务、培养学生的主要活动，那么，公开课是教师自觉进行数学教学研究、促进自我发展的主要途径。自己不仅可以执教公开课，也可以观摩同行们的公开课，在同事们的交流评价中会获得很多有益和宝贵的实践经验。

5.积极参与数学课题研究。问题即课题，把自己数学教学中的困惑和问题作为研究的课题，在研究小组成员的共同协作和努力下，解决数学教学实践中的问题，这样不但有效地提高了课堂教学效率，而且提升了自身数学教学的科学研究素养。

6.勇于承担数学命题工作。教师在命题时不仅要准确把握好课表要求与对应数学知识点的关系、还要注意对知识重、难点的考查形式，最后还要控制和把握试题的合适难度系数和较好的区分度。

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构造圆求最值

例1已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为（）

A. B.

C. ?摇?摇?摇?摇 D.

（2008年高考数学重庆理科卷试题）

图1

分析 设u=，v=，消去x得u2+v2=4（u≥0，v≥0），其图象是圆u2+v2=4在第一象限的一部分，如图1所示.

考虑直线系u+v=y中，与此圆相交的直线过点（0，2）或（2，0）时y取得最小值ymin=2.

当直线与圆相切时y取得最大值，易得切点为（，），

所以ymax=2，因此=.

故选C.

上述解法，巧妙地利用换元，将函数问题转化为几何问题，利用数形结合，转化为直线与圆之间的关系，迅速求出函数的最值. 作为一种解答思路，该题思路具有一定的借鉴价值.

构造抛物线求最值

例2 求函数f（x）=－的最大值. （2000年苏州高中数学竞赛题）

图2

分析 函数结构复杂，无法用常规方法解，只有设法将其具体化. 由根式会联想到距离，将给定的函数表达式变形为f（x）=－，问题转化为求点P（x，x2）到点A（3，2）与点B（0，1）距离之差的最大值. 而P点的轨迹为抛物线y=x2，如图2. 由A，B的位置知直线AB必交抛物线y=x2于第二象限的一点C，由三角形两边之差小于第三边知，P位于C时，f（x）才能取到最大值，且最大值为AB==.

构造椭圆求最值

例3 已知+=20，则3x－4y－100的最值为__________.（第12届2001年“希望杯”高二）

分析 满足题设的点P（x，y）的轨迹是到定点O（0，0），B（8，6）的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的长半轴a满足2a=20，即a=10. 线段OB的长为=10，即c=5，所以椭圆的短半轴长b=5. 又椭圆长轴所在直线方程为y=x，由图3可知，使得椭圆与直线y=x+m有公共点的m的取值范围是原点到直线y=x+m的距离不超过5. 即?摇≤5. 解得－≤m≤. 椭圆上任意一点P（x，y）均满足－≤y－x≤，－100－25≤3x－4y－100≤25－100

故3x－4y－100的最大值为100+25，最小值为100－25.

构造双曲线求最值

例4 求y=+的最大值和最小值. （第14届2003年“希望杯”高二）

图4

分析 令=u，=v（u≥0，v≥0），则v=－u+y，2u2－v2=2. 建立u－O－v坐标系，则原题转化为求直线v=－u+y与双曲线2u2－v2=2在第一象限（含坐标轴）内有公共点时，直线在v轴上的截距.

如图4，根据数形结合，不难看出y只有最小值，而无最大值，当直线过（1，0）时，ymin=1，

故y=+的最小值为1.

构造椭圆和圆求最值

例5 实数x，y满足x2+4y2－4=0，则的最大值为___________. （第15届2004年“希望杯”高二组）

原答案根据椭圆的参数方程，利用三角代换求解. 解法为常规解法，如果将数与形相结合，将会另辟蹊径，请看下解.

分析 x2+4y2－4=0可化为+y2=1，所以（x，y）在椭圆+y2=1上，如图5. 又x2+y2－2x+1=（x－1）2+y2.

设r2=（x－1）2+y2（r≥0），则r表示以点A（1，0）为圆心的圆的半径，由图可知rmax=3. 此时r2=9，所以原式的最大值为3.

构造抛物线和椭圆求最值

例6 求函数f（x）=x2－6x－的最大值和最小值. （2000年河北省高中数学竞赛题）

分析 令f（x）=m，则有x2－6x－m=，令C1：y=x2－6x－m，C2：y=≥0，故C2两边平方后，化简整理得+=1.

如图6，C1表示对称轴为x=3，开口向上的抛物线；C2表示椭圆在x轴上方的部分.

当C1过点（3，2）时m=－11；当C1过点（3－，0）和（3+，0）时，m=－7. 由于C1，C2有公共点，从而可知函数的最大值为－7，最小值为－11.

从以上几个例题中很容易掌握解题要领：化无理为有理，化“数”成“形”，直观、清晰、易行. 故我们在解题中要充分应用这种数学思想方法，培养学生的数学素质，这对提高解题能力，发展思维会有很大的帮助.