数学复习总结汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学复习总结范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

2.一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2.

3.一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7.

4.把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0.

知识点2：直角坐标系与点的位置

1.直角坐标系中，点a(3，0)在y轴上。

2.直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0.

3.直角坐标系中，点a(1，1)在第一象限.

4.直角坐标系中，点a(-2，3)在第四象限.

5.直角坐标系中，点a(-2，1)在第二象限.

知识点3：已知自变量的值求函数值

1.当x=2时,函数y=的值为1.

2.当x=3时,函数y=的值为1.

3.当x=-1时,函数y=的值为1.

知识点4：基本函数的概念及性质

1.函数y=-8x是一次函数.

2.函数y=4x+1是正比例函数.

3.函数是反比例函数.

4.抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下.

5.抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.

6.抛物线的顶点坐标是(1,2).

7.反比例函数的图象在第一、三象限.

知识点5：数据的平均数中位数与众数

1.数据13,10,12,8,7的平均数是10.

2.数据3,4,2,4,4的众数是4.

3.数据1，2，3，4，5的中位数是3.

知识点6：特殊三角函数值

1.cos30°= .

2.sin260°+ cos260°= 1.

3.2sin30°+ tan45°= 2.

4.tan45°= 1.

5.cos60°+ sin30°= 1.

知识点7：圆的基本性质

1.半圆或直径所对的圆周角是直角.

2.任意一个三角形一定有一个外接圆.

3.在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.

4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

5.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

6.同圆或等圆的半径相等.

7.过三个点一定可以作一个圆.

8.长度相等的两条弧是等弧.

9.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.

10.经过圆心平分弦的直径垂直于弦。

知识点8：直线与圆的位置关系

1.直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.

2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.

3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.

4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.

5.垂直于半径的直线必为圆的切线.

篇（2）

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：

⑴以为圆心的同心圆系方程

⑵过直线与圆的交点的圆系方程

⑶过两圆和圆的交点的圆系方程

此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。

当时，得到两圆公共弦所在直线方程

例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。

分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线与圆的交点的圆系方程为：

，即

………………….①

依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得

又满足方程①，则

故

例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。

解：圆和的公共弦方程为

，即

过直线与圆的交点的圆系方程为

，即

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程

例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得

m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①

即，

直线过定点P（9，－4）

注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.

（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

得

m∈R，

2x+y－7=0，

x=3，

x+y－4=0，

y=1，

即l恒过定点A（3，1）.

圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），

点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.

（2）解：弦长最小时，lAC，由kAC＝－，

l的方程为2x－y－5=0.

评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论

类型二：直线与圆的位置关系

例5、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.

解：曲线表示半圆，利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.

变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.

解析：利用数形结合.

答案：－1＜k≤1或k=－

例6

圆上到直线的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．

解法一：圆的圆心为，半径．

设圆心到直线的距离为，则．

如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又．

与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．

符合题意的点共有3个．

解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，

，即，或，也即

，或．

设圆的圆心到直线、的距离为、，则

，．

与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心到直线的距离为，则．

圆到距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．

类型三：圆中的最值问题

例7：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

解：圆的圆心为（2，2），半径，圆心到直线的距离，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.

例8　(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．

(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．

分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．

解：(1)(法1)由圆的标准方程．

可设圆的参数方程为（是参数）．

则

（其中）．

所以，．

(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．

所以．

．

所以．．

(2)

(法1)由得圆的参数方程：是参数．

则．令，

得，

．

所以，．

即的最大值为，最小值为．

此时．

所以的最大值为，最小值为．

(法2)设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，

两条切线的斜率分别是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值为，最小值为．

令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值为，最小值为．

例9、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．

设圆上任一点

，

恒成立

即恒成立．

只须不小于的最大值．

篇（3）

在小学数学教学中，解决问题是一个非常重要的问题，同时也是教学过程的难点问题。所以说，在小学数学总复习过程中，解决问题的复习是一个至关重要的方面。解决问题的系统复习能够有效地帮助学生进行数学的学习，使学生更好地对概念进行理解，并使学生对数量之间的关系更加深入地掌握，从而提高并培养了学生的分析能力，使其解决问题的能力得到有效的提高。本文针对小学数学解决问题总复习进行了深入的探讨，介绍了当前我国小学数学解决问题教学中的问题，并针对这些问题提出了有效的策略。

一、小学数学解决问题教学的问题分析

1.过度地进行情境创设

在当前小学数学的教学过程中，很多教师绞尽脑汁地进行情境创设，将过多的精力放在了打造生动有趣的课堂氛围之上，课堂确实变得活跃了，但是创设情境的目的却并没有体现出来，无论具体的内容是什么，过于片面的对情境的追求，已经与教学的目标和教学的内容脱离了。

2.不能准确地把握教材

在新教材中，应用题被当作第一情境，进行实际教学的过程中，第一情境仅仅被一些教师当作导入手段，或者是“敲门砖”。在学生进行数学模型的构建过程中，很多教师不能准确把握应用题的作用。他们只关注活动的过程，而没有对学生构建数学模型进行适当的指导，这就导致在每一次活动中学生仅仅作为一个“个案”存在，教师并没有进行正确的“梳理”和“整合”，也没有对学生进行数学模型的探索和构建给予积极引导。

3.全盘否定传统的教学方式

根据新课程改革的要求，教师转变了原有的教学理念，这种转变是非常巨大的，很多教师甚至全盘否定传统教学的精华，另辟蹊径寻求全新的教学方法。传统的教学方法并非一无是处，经过多年的摸索和探究，传统教学方法让小学数学解决问题的教学具有很多值得学习和沿用的亮点。传统的方法中强调了审题的重要性，给予分析解决问题数量关系极大的重视，尤其是对学生进行训练，使其将未知量与已知量之间的关系进行认真的分析，从而将数量关系抽象出来。当然，传统的解决问题教学也存在一些问题，在教学过程中，教师过分依赖教材，不能充分发挥主导作用。因此，在现代小学数学教学中，教师必须能够认清传统教学方式的优缺点，取其精华，去其糟粕，加强培养学生的创造性思维以及独立性思维。

二、小学数学解决问题总复习策略

1.对基础训练进行强化，使学生对数量关系有深入的理解

对加法、减法、乘法、除法的基本应用就是所谓的基本数量关系。如，求一个数的几倍，选用乘法；求一个数的几分之几，选用除法；求两个量的和，选用加法等。还有功效、总量和时间之间的关系，总价、单价和数量之间的关系，路程、速度以及时间之间的关系等。所有的复合解决问题都是一步应用题经过一定的逻辑关系排列组成的，所以解答解决问题的关键问题就是掌握基本的数量关系。进行复习的过程中，为了使学生的基础知识得到强化，可以进行一些补充条件的问题和练习。

2.对知识进行综合的运用，使解题思路拓宽

学生只有对所学知识进行综合的运用，才能对解决的问题进行正确的解答。解决问题通常使用的方法主要有两个，即综合法和分析法。当今小学数学教学过程中，更侧重于对分析法的传授。如：赵师傅打算加工820个零件，已经工作了2天，每天平均做60个，剩下的零件要想10天做完，每天平均需要做多少个？针对这个问题进行分析，首先要考虑，只有知道工作的天数以及剩下的零件个数才能求得每天平均做多少个，由于天数已知，接下来要分析剩下的零件个数，因此，必须知道已经加工的零件个数，经过简单的一步应用题的叠加，从而使复合解决问题得到了解答。

3.系统地进行整理归纳，建立知识网络

篇（4）

这一环节主要抓好学生的双基工作，因为在高考数学中不管是低档题、中档题还是难题都离不开“双基”的应用，甚至一些题目是课本上基本题目的直接引用或稍作变形而得来的。如课本中“数列”这一章有详细推导等差数列和等比数列前n项和公式的过程，但学生往往只注意记公式，用公式，而不重视推导过程的学习，通过举实例使学生了解到这两个典型数列的前n项和公式的推导运用了“倒序相加法”和“错位相加法”两种不同的方法，为我们在数列求和的解题中提供了思路和方法，所以在复习时，要重视课本，尤其要重视重要概念、公式、法则的形成过程和例题的典型作用，并围绕解题训练，让学生通过练习达到灵活应用、触类旁通的效果。同时注意以下两点：

（1）上课时要注重课前精心选题，重视讲解，更重视学生的亲历行为，充分暴露思维过程，注重规律的概括总结与优选能力的培养，注重一题多解和多题一解。上课采用题组法教学和让学生练习，既利用了教材例、习题，设计题组和训练，引导学生深刻理解教材实质，挖掘教材内涵，又利用了课本辐射整体，实现“由内到外”的突破。

（2）做好练习的反馈工作，这里包括学生对自己的反馈和教师的反馈，让学生作自我分析，这地方为什么会产生错误，是概念不清还是计算错误，方法选择上错误，还是非智力因素所致。对一些重要的错误要建立一种预防措施，可以动手建“错解档案”，也可让学生进一步反思，命题人考查意图，题目蕴含什么数学原理和思想，能否举一反三，能否方法上更新，从而进一步解决“会而不对，对而不全，全而不美”的知识原因、策略原因、逻辑原因、心理原因。另外教师从反馈中可清楚地意识到班级整体的薄弱环节、缺陷，从而有针对性的选择强化内容，作重点讲授，也可通过反馈得知学生的优劣分布来实行个别辅导。

二、构建知识网、在专题复习中渗透数学思想方法

在抓好第一环节的基础上将高中阶段所学的数学知识进行系统整理，用简明的图表形式把基础知识进行有机的串联，构建成知识网络，使对整个高中数学体系有一个全面的认识和把握，以便于知识的存储，提取和应用，也有利于思维品质的培养和提高。对有关重点，难点，弱点、热点内容做专题复习并渗透各种数学思想方法，如“怎样解选择题？”、“排列组合问题的基本类型及解法”、“含有参数的不等式的解法”、“三角函数的图象变换及应用”等，进行专题课复习时，精选例题，采用学生先做，教师后讲或启发式教学，在解题中立足通法，兼顾巧法，注重化归、整体、分类、数形结合等数学思想方法的渗透，恰当方法的选择可以提高解题速度和准确率，如一些问题，若仅仅用纯代数的方法几乎无从下手，但用数形结合思想来解既能避免繁杂的计算与推理，又能通过图形直观地考证结论是否完整。

专题的选取可包括：

(1)全面复习过程中反映出来的弱点。

(2)教材体系中的重点。

(3)近年高考试题中的热点。

(4)基本数学思想方法的系统介绍.如配方法、换元法、反证法、待定系数法、数学归纳法，以及函数与方程思想、数形结合思想、等价转换思想、分类讨论的思想等。

(5)解题应试技巧.如怎样解选择题，怎样解填空题，怎样解应用题，怎样解探索性问题。

(6)综合专题.联系实际数学问题的对策，综合题的分解战术，如何有效的做选择题、综合题，数学中的分情况处理，谈谈书写表达——怎样写才不丢分.谈谈计算的优化，近几年高考题中有新意题的命题特点等。

为进一步巩固基础，可通过单元过关、查缺补漏基本题型的解法总结和强化训练来渗透各种思想方法，适度综合，归类整理，每两周一套综合测试题（定时定量），滚动复习，缩短复习间隔，提高重现频率，在滚动中领悟和宏观把握知识体系，这个阶段，题目的深度、难度、灵活度提高了，要求理解能力、解题能力也随之提高。

三、加强综合训练，认真上好讲评课

这一环节也就是所说的冲刺阶段，它以模拟训练为主。模拟训练是高考之前的热身赛.模拟训练不要盲目，重点应放在数学观点的提炼和心理素质的调整上.不是不要做题，相反，确实要做几套切合实际的适应性训练题，但目的不是猜题押题，而是通过讲练结合提高解题能力，应该在学生做模拟试题和教师讲解中突出四点：

(1)解法的发现，即讲清解法是怎样找到的，思路是怎样打通的，是什么促使你这样想、这样做的。

篇（5）

内容多，任务重，时间紧是总复习中的一个突出矛盾，根据近几年来的教学实践，我认为复习时我们不能按部就班地照书本编排教学知识，应该有效合理地复习基础知识，内化知识结构，激发学生积极主动的参与学习活动，激发学生的求知欲望和学习兴趣。因此要根据学生掌握知识的情况，突出教学重点难点，合理安排教学进程。

二、优化课堂教学

（一）、备好课、上好课、提高课堂教学质量

我认为要提高教学质量，备好课、上好课是关键。要想提高教学质量，必须上好课，让教学目标落到实处。而要上好课就要备好课，只有做充分的课前准备，课才能上好。怎样才能备好课呢？我认为备课时，不仅要钻研教材，精心设计课堂教学思路，而且还要深入了解学生，站在学生的角度去思考问题，设计出儿童能够接受的教学方法。

（二）、优化师生关系

长期以来，教学一向强调“师道尊严”。在课堂上，教师往往居高临下，采取“教师讲，学生听，”“教师演，学生看”，“教师写，学生抄”的做法，学生处于被动的状态，成了接受知识的“容器”。提高教学质量：首要的任务是要摆正师生以往不平等的关系，创设宽松和谐的教学氛围。在小学，由于小学生的心理还极不成熟，教师的言行对学生的影响会产生很大的正向作用。所以在课堂上，教师应该是学生的组织者和合作者，语言应该友善亲切，态度应该和蔼可亲，教师要成为学生的好朋友，老师与学生是平等和民主的关系。教师首先要放下架子，与学生多沟通，跟他们交朋友，在生活上、学习上都关心他们，从而激起对老师的爱，对数学的爱；其次，教学要平等，要面向全体施教，不能偏爱极少数学习成绩好的学生，而对一部分学习有困难的学生却漠不关心。要成为学生的好朋友，教师就与学生一起玩，一起学，互动互学，知学生所想，急学生所急，帮学生所忙。在课堂里，教师包办的事情要尽量少一些，学生主动学习的机会要尽量多一些，师生共同融入情境教学中去，营造一个和谐民主的学习气氛。课堂成为师生心灵交融、情感呼应的园地。这时，教师才真真正正地成为学生的良朋知己。良好的师生关系与和谐愉快的课堂教学气氛是学生敢于参与的先决条件。学生只有在不感到压力的情况下，在喜爱所教老师的前提下，才会乐于学习。

（三）、趣味化导学

小学生年龄小，自制力差，学习时心理因素影响占主导地位。教师只有遵循学生心理活动的规律，把学科特点和年龄、心理特征结合起来才能使学生愿意学、主动学。我认为在总复习中应挖掘与生活息息相关的数学问题引导学生通过自己亲身实践，体验到数学知识在生活中的实际应用，从而提高学习的热情，进而逐步明确学习的意义，对探求数学知识产生了乐趣，就能一直保持积极进取的态度，获得优良的成绩。

（四）、用“活”教材

数学源于生活，生活中又充满着数学。在数学教学中，我们要紧密联系学生的生活实际，在现实世界中寻找数学题材，让教学贴近生活，让学生在生活中看到数学，摸到数学。把生活中的鲜活题材引入学习数学的大课堂。如改革家庭作业形式，突出应用性操作。如统计这一章节的复习让学生利用课余时间多去收集、整理、分析数据。运用所学的统计知识解决相关的实际问题。这样的学习能更牢固的理解知识。又如在复习空间与图形时，不但要让同学在纸上操作，更重要的是在课堂上引导学生经历测量、分析、数学模型的建构、解决问题的过程。

三、抓住重点、突破难点

A、巩固基础知识

B、突出能力教学

C、培养学生解决问题的能力

D、专题训练，各个击破

针对学生容易发生普遍性错误和个别性错误的知识点，我采用典型反馈和个别反馈相结合，加强针对训练，展开专题复习方式，各个击破的复习思路.

四、重视培养学生良好的学习习惯

叶圣陶先生说：“教育就是培养习惯，把良好的学习习惯转化为学生内在的需要或倾向，那就是教育的成功”。数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，是一切重大技术发展的基础。数学在提高人的各种能力方面都存在不可缺少的作用，所以养成良好的学习习惯对于任何一个人未来的学习、成长都有极其重要的作用，对提高教育教学质量有重要的现实意义，对培养学生创新精神和实践能力有着深远的历史意义。所以从小学阶段就应该开始培养学生良好的学习习惯。但是良好的学习习惯不是一朝一夕养成的，贵在长久坚持，不但需要学生的坚持，也需要老师的坚持。只有两者互不放松才能取得持之以恒的效果。

五、写好教学反思，提高教学质量。

任何教师在教学活动中都有成功的经验，也都有失败的教训。无论是经验还是教训，对教育工作者来说都是需要积累的财富。上完一课后，及时分析，总结这节课的成败得失，并简明扼要地写在教案的后面，这是帮助教师及时调整教学方法，改进教学措施的重要依据，是积累教学经验的具体素材，是提高教学质量的有效法宝。教学反思的内容涉及到教学工作的方方面面。比如说：全体学生对知识的掌握情况怎样？情感、能力、知识等方面是否达到要求？教学中你突然得了什么灵感？学生提出了哪些你意想不到的问题……

当然，写教学反思不可能面面俱到，但最重要应当从以一节课的成功之处与失误之处着手、总结。

六.加强家校沟通

篇（6）

二、复习中，应做到以下几点：

1.明确目标。总复习是小学阶段最高层次的复习，要达到教学大纲的各项要求，因此教师应帮助学生进行系统整理，把零碎的知识由点连成线、由线织成网、由网组成块，形成一个比较完整的知识结构网络。复习的内容、目标和要求一定要明确。一些基本概念、定理等要向学生表达清楚。对复习的知识要让学生明确哪些内容该掌握到什么程度，是达到只知道、懂、会用，还是能灵活运用？还要让学生知道哪些知识属于重点、难点、疑点。这样能让学生在复习时对知识点中的重点有所侧重，难点有所突破，疑点有所解决。

2.巧妙用法。复习是学生对学过的知识进行回顾，一般无新鲜感，学生难免产生厌烦情绪。因此，教师在进行复习教学时，应注意花心思为学生创设趣味性的课堂。比如，对复习中的疑难问题开展激烈的辩论赛，也可设计一些“巧夺红旗”、“数学知识竞赛”、“练习闯关”、“智慧大拼盘”等有趣游戏活动。利用一切有效手段充分调动学生的主动性、创造性，使学生学得轻松、理解得透、掌握得牢。除此以外，教师还要注意采用生动、亲切、有趣的语言和现代化教学手段吸引学生的注意力，活跃课堂气氛。

3.精心选例。复习课最忌讳的是题海战术，使学生不堪重负。为避免这种情况，教师在选择例题时要有代表性、综合性，为精讲、精练、高效、减负打下基础，不应是机械地重复过去教学的过程，复习时应当给学生以新的信息，即使是“旧”题也应“新”做。所以复习范例应做到数量少、容量大、覆盖面广、启迪性强，从而达到温故知新、查漏补缺的目的。例如在复习《比例》时，可与分数、除法进行类比复习，可举这样的例子：（ ）：16=2÷（ ）=（ ）/4=（ ）%=0.25。

4.灵活训练。组织灵活有效的练习是使学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段，也是复习的重要环节。复习中若能在训练内容上、层次上、形式上活，让学生从不同角度分析思考问题，则能达到事半功倍的效果。如：在练习时，可以同时出示基础题、提高题、综合题三种类型的题目让学生分层练习。这样就对不同层次的学生，提出不同的学习要求，达到了学困生“吃得了”，中等生“吃得好”，优秀生“吃得饱”的目的，实现人人都有进步的复习目标。

5.认真审题。在复习中，培养学生认真审题是一个很重要的环节，让学生看清每道题的特点，灵活选择合理的解题方法。很多学生在做题时因为粗心，不认真审题导致会做的题也出现错误，这样造成考试丢分是相当可惜和不该的。因此，教师在复习时也要传授给学生一些科学的解题方法，培养严谨认真、先易后难的学习态度，养成勤于检验、会用简便算法的良好习惯。复习时，老师也可有意识地选择经常出现错误的同学进行板演，集体更正，引起学生重视。例如在计算以下这题时，很多同学会这样计算：1/3÷（1/3+1/9）=1/3÷1/3+1/3÷1/9=1+3=4。出现这种错误，主要的是学生对运算定律没有正确理解。又如在计算2.5×4÷2.5×4时，一些学生可能会这样计算：2.5×4÷2.5×4=10÷10=1。导致这种错误，主要是学生没有弄清运算顺序， 由此可见，认真审题、勤于检验在解题中是何等重要。

6.融会贯通。总复习不是将各册教材的基础知识从头到尾重新讲一遍，而是通过反刍、消化和巩固对所学知识的理解与记忆，弥补过去学习过程中的知识缺漏，使学生平时所学的零碎知识系统化、条理化、清晰化，形成完善的认知结构。通过知识的回顾、疏理、归类，从知识纵向的发展和横向的沟通去形成知识的结构网，对知识的理解就能从分散到集中。因此在复习时，教师除了精心设计问题，还要对一些习题变换条件和问题，做到一题多改，一题多问，一题多解，让学生在同中求异、异中求同的过程中，沟通知识间的相互联系，做到举一反三、前后衔接。让学生从知一点，到会一面，再到通一片。例如在复习“圆柱的侧面积”时，老师不妨引导学生将练习题“一个圆柱的底面直径是1米，高是15米，求这个圆柱的侧面积。”改写成“一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽15米，直径1米，求该压路机的前轮滚动一周压过公路的面积。”表面上看这两题有很大区别，实际上题目的条件和问题还是相同的，这样改动更有利于学生学以致用。

7.准确评价。评价包括试题评价和学生评价。

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在高三数学中，一道又一道的独立例题对学生不一定能得到良好的教学效果，如果学生不在理解的基础上加以灵活应用，他们学的也只是一些“死”的知识。有些学生只是记住一些题目，想起老师以前似曾这么讲过，这些都不能很好的学好数学，只有注重数学思维能力的培养，才能建立良好的学习态度，培养对数学的浓厚兴趣，这才是学好数学的有效途径。所以，2009年高考数学的总体要求是：

1、对数学知识的考查要求

数学知识是指课程标准中所规定的概念，性质，法则，公式，公理和定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据，绘制图表等技能。

考查要求既全面又突出重点，对重点知识，考查时会保持较高的比例，在知识网络交汇点处设计试题。使考查达到必要的深度。

2、对数学能力的考查要求

运算能力的考查包括数的运算和式子的运算，要求对算理和逻辑推理进行考查，以含字母的式子运算为主；空间想象能力是对空间形式的观察，分析是抽象的能力，考查时注重推理；实践能力是指解答应用题的能力，考，最是如何将客观事物进行数学化。

二、提高复习质量的几点建议

1、注重通性通法，淡化特殊技巧

考查对基础知识和基本技能的掌握情况是高考的重要目标之一，课标中也明确要求对于支撑学科体系的重点知识要保持较高的比例进行考查，构成试卷的主体。而本届考生是实行真正的素质教育，进行课程改革的第一届高考生，教材中的内容编排也有诸多不合理之处，致使学生实际掌握知识的情况较往届有一定差距。以上因素命题专家会有所考虑，试题的难度较上两届应有下降。这种情况下，我们更应重视对于通性通法的掌握，注意考核知识点的准确性和系统性。在复习中考生特别要注意以下的数学思想和方法：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想和转化(化归)思想，配方法、消元法、换元法、待定系数法、归纳法、坐标法、参数法、类比法、一般法，观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、归纳与演绎，

2、加强知识点交汇处问题的研究

课标中明确要求在知识网络交汇点处设计试题，使考查达到必要的深度。而随着课程改革的进行。知识网络交汇的点也在不断丰富，如平面图形与空间图形(包括有关三视图问题)；算法与数列；数列。解析几何，不等式和导数；函数，导数和不等式问题；平面向量和三角函数；平面向量与解析几何等等均是平时复习应多加注意和研究探讨之处。

3、有的放矢答选修

篇（8）

虽然《标准》提出评价学生学习水平的方式是多样化的 ,但中考仍然是很重要的评价形式。初三数学复习 ,要根据教学大纲和《考试说明 》,确定初中生必须掌握的知识点 ,然后结合教材明确学生所应具有的基础知识和基本技能。要根据《标准 》的评价理念 ,去分析中考试题 ,挖掘其丰富的内涵。创新题应恰当评价双基;应用题应注重评价学生学习过程 ,重视学生发现问题、解决问题的能力 ,引导大家关注社会、关注生活;开放题 ,有助于学生创造性发挥 ,有助于引导课堂教学向研究性学习转变 ,留给学生探索思维的空间。过去的“双基 ”教学中不同程度存在着“繁、难、偏、旧 ”等问题 ,局限于孤立的数学知识 ,忽视对“双基 ”的理解和运用 ,忽视知识的形成和探究 ,忽视科学方法的指导以及数学与现实生活、社会的联系、作用的认识。

例如:要判断如图 ABC的面积是 PBC面积的几倍 ,只用一把仅有刻度的直尺 ,需要度量的次数最少是 (

)。这是一道考查基础知识的“小题 ”,其创新之处在于突破原有考查基础知识的套路 ,给学生提供了一个巧妙运用基础知识解决问题的机会 ———在深刻理解问题情景所提供的两个三角形面积之比的实质基础之上 ,用操作的方法将这一关系表达出来。

又如:已知 AD是 ABC的角平分线 , E、F分别是边 AB、AC的中点 ,连接 DE、DF。在不再连接其他线段的前提下 ,要使四边形 AEDF成为菱形 ,还需添加一个条件 ,这个条件可以是 (

)。

这是一道条件开放的客观性试题 ,涉及三角形与四边形的基础知识 ,给同学们创造了一个自主探索的空间 ,考查学生对基本图形的认识以及各个知识之间的转换能力。重视发现问题、解决问题能力的评价 ,这种评价学生学习水平的方式有助于改变我们的学习方式 ,提高数学思维能力。

同时近年来中考数学试题的新颖性、灵活性越来越强 ,使得不少师生把主要精力放在难度较大的综合题上 ,认为只有通过解决难题才能培养能力 ,因而相对忽视了基础知识、基本技能、基本方法的教学。其主要表现在对知识的发生、发展过程揭示不够 ,教学中试图通过大量的题目来训练学生的思维。其实定理、公式推证的过程就蕴含着重要的解题方法和规律 ,教师没有充分暴露思维过程 ,没有发掘其内在的规律 ,就让学生去做题 ,试图通过让学生大量地做题去“悟 ”出某些道理。结果是多数学生“悟“不出方法、规律 ,理解浮浅 ,记忆不牢 ,只会机械地模仿 ,思维水平较低 ,有时甚至生搬硬套 ,照葫芦画瓢 ,将简单问题复杂化 ,从而在考试中造成失分。《标准》为了改变这一状况 ,将过程作为一个课程目标 ,意在规定并强化教材及教学的过程性、探索性和方法性。近几年来中考命题已明确告诉我们:基础知识、基本技能、基本方法始终是中考数学试题考查的重点 ,只有基础扎实的考生才能取得好成绩。

二、立足课本 ,系统复习

现在中考命题仍然以基础题为主 ,有些基础题是课本上的原题或改造 ,后面的大题虽是“高于教材 ”,但原型一般还是教材中的例题或习题 ,是教材中题目的变形或组合 ,所以建议第一阶段复习应以课本为主。《标准 》中要求“教材在内容体系、活动方式、组织形式和考试评价等方面应留给教师较大的创造空间 ”,所以作为教师必须深挖教材 ,绝不能脱离课本 ,应把书中的内容进行归纳整理 ,使之形成系统。课本中的例题、练习和作业要让学生弄懂、会做 ,书后的“读一读 ”、“想一想 ”,也要学生认真想一想 ,集中精力把初三代数、几何内容 ,初二的几何及代数中的分式与根式的化简等重点内容的例题、习题逐题认认真真地做一遍 ,并注意解题方法的归纳和整理。一味搞题海战术 ,整天埋头让学生做大量的课外习题 ,其效果并不明显 ,有本末倒置之嫌。而教师选好例题对学生进行训练非常重要 ,教师在选题时应尽量以课本例题或习题为原型 ,这样学生会有亲切感 ,从中得到的感悟也更深刻 ,并可以根据需要作适当改编 ,以实现以点带面、举一反三之效。

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用一张矩形纸 ,你能折出一个等边三角形吗 ?如图 ,先把矩形 ABCD纸对折 ,设折痕为 MN;再把点 B叠在折痕线上 ,得到 RtABE,沿着 EB 线折叠 ,就能得到等边 EAF。想一想这是为什么 ?

这是教材上一个典型的折叠图形问题 (初二几何课本第 182页的“做一做 ”) ,能很好的培养学生的动手操作能力、分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表达的数学素养。利用这一题可以复习平行线、三角形中线、三角形中位线 ,还可以复习对称的有关性质 ,能起到以点带面、举一反三的作用。对这一题还可以进行适当改编:对于任一矩形 ,按照上述方法是否都能折出等边三角形 ? 请说明理由(2003年山西中考题 )。这有利于培养学生的探究问题的能力以及思维的严密性。

教师在第一阶段的教学可以按知识块组织复习 ,按照初中数学知识体系 ,把初中数学内容归纳成数与式、方程 (组 )、不等式 (组 )、函数及其图象、统计初步、线段、角与三角形、四边形、相似形、解直角三角形、圆等。复习中可由教师提出每个单元的复习提要 ,指导学生按“提要 ”复习 ,同时要注意因材施教 ,引导学生根据个人具体情况边复习边作知识归类 ,加深记忆 ,还要注意引导学生弄清概念的内涵和外延 ,掌握法则、公式、定理的推导或证明 ,例题的选择要有针对性、典型性、层次性 ,并注意分析例题解答的思路和方法。

三、激发兴趣 ,培养能力

中考复习的第二阶段应以构建初中数学知识结构和网络为主 ,从整体上把握数学内容 ,提高能力。培养综合运用数学知识解题的能力 ,是学习数学的重要目的之一。根据《标准》的要求 ,注重评价学生学习过程及评价学生发现问题、解决问题的能力。所以在这个阶段的复习 ,一方面是使学生能把各个章节中的知识联系起来 ,并能综合运用 ,做到举一反三、触类旁通。另一方面要通过设计一定的结合现实情境的问题 ,锻炼学生的数学建模能力、动手能力和学以致用的应用能力。这个阶段的例题和练习题要有一定的难度 ,但又不是越难越好 ,要让学生可接受 ,这样才能既激发学生解难求进的学习欲望 ,又使学生从解决较难问题中看到自己的力量 ,产生更强的求知欲。如果说第一阶段是总复习的基础 ,是重点 ,侧重双基训练 ,那么第二阶段就是第一阶段复习的延伸和提高 ,应侧重培养学生的数学能力。这一阶段尤其要精心设计每一节复习课 ,注意数学思想的形成和数学方法的掌握。初中总复习的内容多 ,复习必须突出重点 ,抓住关键 ,解决疑难 ,这就需要充分发挥教师的主导作用。而复习内容是学生已经学习过的 ,各个学生对教材内容掌握的程度又各有差异 ,这就需要教师千方百计地激发学生复习的主动性、积极性 ,引导学生有针对性的复习 ,根据个人的具体情况 ,查漏补缺 ,做知识归类、解题方法归类 ,在形成知识结构的基础上加深记忆。除了复习形式要多样 ,题型要新颖 ,能引起学生复习的兴趣外 ,教师还要精心设计复习课的教学方法 ,提高复习效益。要把培养学生能力这一思想贯穿整个复习的始终 。

例如: (2003年镇江市中考题 )在举国上下众志成城 ,共同抗击非典的非常时期 ,某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务 ,要求在 8天之内 (含 8天 )生产 A型和 B型两种型号的口罩共 5万只 ,其中 A型口罩不得少于 1. 8万只 ,该厂的生产能力是:若生产 A型口罩每天生产 0. 6万只 ,若生产 B型口罩每天能生产 0. 8万只 ,已知生产一只A型口罩可获利 0. 5元 ,生产一只 B 型口罩可获利0. 3元。设该厂在这次任务中生产了 A型口罩 x万只 ,问:

1. 该厂生产 A型口罩可获得利润 (

)万元 ,生产 B型口罩可获利润 (

)万元。

2. 设该厂这次生产口罩的总利润是 y万元 ,试写出 y关于 x的函数关系式 ,并求出自变量 x的取值范围。

3. 如果你是该厂厂长 :

(1)在完成任务的前提下 ,你如何安排生产 A型和 B型口罩的只数 ,使获得的总利润最大 ? 量大利润是多少 ?

(2)若要在最短时间内完成任务 ,你又如何来安排生产 A型和 B型口罩的只数 ? 最短时间是几天 ?

这类题型旨在利用与生活实际有关的具体情境 ,注重学生的心路历程 ,搭起数学与实际问题的桥梁 ,协助学生体验由生活情境中抽象出的数学问题 ,即学会运用数学建模思想方法 ,培养学生用数学的观点和方法来考察周围的事物 ,提高了学生应用数学的能力。

纵观中考数学试题中对能力的考查 ,大致可分成考查运算能力、空间想象能力、逻辑思维能力以及分析和解决纯数学问题的能力等。这些能力要求对应于传统的数学教材及大纲所规定的教学目标。而对应于修订后的试验教材规定的教学目标 ,又强化了阅读理解能力、探索创新能力和数学应用能力 ,以及建立在过去能力基础上的作为数学核心能力的思维能力 ,特别是把数学作为文化和培养“人 ”的一个不可分割的整体中的一个部分时 ,对学生的情感、意志、毅力、价值观等非智力因素的考查 ,就必然使中考数学试题对能力的考查进入一个新的阶段。

四、反复模拟、心理锤炼

在学习活动中通过不断的训练和测试 ,可以培养学生在思维上的流畅性、灵活性和独特性。《标准 》中指出“关注学生在情感态度与价值观方面的发展 ”,因此 ,在这一阶段学生心理和迎考状态非常重要。基础知识和重点内容复习完后 ,要做些模拟试题检查复习效果 ,让学生调整心态 ,振作精神 ,教师要认真分析试卷 ,找出学生存在的问题加以解决 ,并加强这方面练习。数学知识在于点点滴滴的积累 ,考试时遇到不会做的题时要学生学会镇定 ,回想学过的各种方法 ,从条件入手 ,挖掘隐含的已知条件 ,或从结论入手寻找解题途径 ,从而争取中考取得优异成绩。尤其是学习困难学生在数学学习上既有困难又有潜能 ,因此教学的首要问题是转变观念 ,正确对待学习困难的学生 ,认真分析产生困难的原因 ,有意识地“偏爱差生 ”,允许学生在数学学习上的态度存在反复 ,不断激发他们学好数学的自信心 ,并创造条件 ,让他们体验成功。学习困难生在过去数学中受到的肯定、鼓励相当少 ,因此要抓住他们的闪光点积极鼓励和肯定 ,促使他们对数学产生兴趣 ,让他们在数学学习上取得成功 ,使他们感到自己能学好数学。要从学生的实际情况出发 ,降低和调整某些教学要求 ,以满足某一层次学生的需要 ,促使教与学相适应 ,教与学相促进 ,教与学相统一。

总之 ,切切实实提高复习实效是初三数学复习教学的最终目标。因此 ,教师要有强烈的质量意识 ,认真探讨和研究有效的复习方法 ,应因地制宜地拟订好复习计划。要充分发挥备课组的集体智慧 ,群策群力 ,不断研究和改进复习方法 ,同时加强校际交流与合作 ,提高初中数学总复习的质量。

参 　考 　文 　献:

[ 1 ] 　教育部基础教育司. 数学课程标准解读 (实验稿 ) [M ]1北京 :北京师范大学出版社 , 2002.

篇（9）

徐州医学院附属医院是一所有着百年历史的省属综合性医院，是苏北地区唯一的部颁三级甲等医院，是江苏省行政区域规划设定的苏北地区医疗、教学、科研中心。

目前在建的新病房综合楼工程，为医院主体工程，主要满足住院医疗的功能要求，同时满足内部办公管理等方面的需要。 工程总建筑面积105567平方米，其中地下14340平方米，地上91227平方米，建筑基底占地面积4907平方米；建筑地下3层，地上22层，建筑高度88.8米；建筑结构形式为框剪结构，建筑结构抗震类别为乙类，设计使用年限为50年，抗震设防烈度为7度；防火设计的建筑分类为一类；其构件耐火等级为地上一级，地下一级；人防地下室的抗力等级为5级，防化等级为甲级，战时用途为急救中心， 平时用途为汽车库；地下停车168辆。医院门诊人次为1000人次/日。住院床位数为1350床，其中标准床位数1260床。

主体建筑包括：地下1至3层为设备机房、人防和地下停车场；1层住院大厅、配电和消控中心等；2层检查、药房等；3层检验、ICU等；4层手术中心；5层手术控制机房和病案库；6层至20层为病房区；21层和22层为会议室、活动室和辅助用房等。

二、 布线系统的需求分析及整体规划

综合布线系统是综合医院智能化系统中最重要的内容之一，关系到医院的网络发展及信息化的应用，设计时不但要考虑到现阶段的通信业务、智能化功能的应用需要，还应考虑到今后一段时期内通信技术的发展和业务、功能的扩展需求。

综合布线的布点是设计的关键，对药房等可根据窗口数量进行布点，同时要考虑LED屏和相关的导向系统；对医技部门要根据仪器设备及电脑摆放位置进行布点；对手术室、ICU等要要考虑到HIS、PACS、CIS以及手术转播的要求；对内镜、介入等视频，要充分考虑双向音频传输；对病区要考虑布线系统能支持今后无线数据传输的实施方案。根据对医院数据管理及传输的需求进行分析，考虑到整体的安全性，可靠性及稳定性，整个综合布线系统分为3套网：数据内网（含无线）、数据外网、语音网。三个网络不仅在水平和垂直子系统上实现物理隔离，在各工作间内的配线架和机柜间也分别进行物理隔离。另外，本次设计的网络中心机房既是本工程的网络中心，也是前期的灾备机房，所以在与原网络中心机房一起互联时必须采用2个独立的路由接入。与院内其他主要建筑采用12芯多模光缆连接。包括：急诊大楼、门诊大楼、教学综合楼、外科病房楼、后勤楼、行政办公楼。

三、 综合布线系统设计要点及产品选型

综合布线寿命远远大于计算机软硬件和其他网络设备，需要具有长达10-15年甚至更长的生命周期，必须可以支持2至3代的有源设备的更新换代，是一项长期投资。根据我们自身的需求，经过慎重比较，我们指定采用质量优异且可信赖的美国西蒙公司System 6+ Light System综合布线解决方案，共计6000余个语音信息点，工程完工验收合格后，将会获得美国西蒙公司提供的20年系统质量保证。

综合布线系统设计首先要确定分设备间的位置，它是主干电缆的布放通道，配线架、机柜就设置在竖井附设的配线间内，管理该竖井周围的信息点或相邻楼层的信息点，设计时应保证布线的水平距离在网络要求的90米限制之内。原则是在满足综合布线设计规范的基础上，如果相邻两层的信息点不太多就尽可能合并成一个弱电间。根据对本次工程的点位分析，地下层、1层、2层、3层的信息点可以由1层弱电间管理，其他每两个楼层的信息点由其中一层弱电间管理。由于病房为类U型，平层距离过长，故水平需设置两个弱电间。这两个弱电间建议设置在同一楼层，便于管理，建议将设备间设置在单数层。徐州医学院附属医院病房综合楼本系统包括三套网：数据内网、数据外网和语音网，相互之间物理隔离。

1. 各系统总体设计要求：本系统水平部分采用低烟无卤6类布线系统，对于重要的桌面信息点可以考虑采用4芯光纤到桌面的方式（如手术室、示教室、21层多功能厅）。

内网：两级星形结构，主干采用12芯万兆多模光缆、水平采用6类的低烟无卤非屏蔽双绞线，并预留4芯万兆光纤点100个。

外网：两级星形结构，主干采用12芯千兆多模光缆、水平采用6类的低烟无卤非屏蔽双绞线。

语音网：两级星形结构，主干采用三类25对大对数铜缆、水平采用6类的非屏蔽双绞线。

2. 数据、话音插座插头均采用非屏蔽RJ45形式，建成后数据和语音插座具有互换性。

插座使用美国西蒙MX6模块化插座，含有三重平衡专利技术，使衰减、回损和近端、远端串扰方面的性能全面超过6类的要求。端口的插拔次数>5000次（远高于国际标准要求的>750次）。

模块化跳线则采用美国西蒙原厂装配，含有金属隔离层屏蔽技术，优化线对间平衡，所有跳线用实验室测试仪至少测到250MHz.

3. 室内所有铜缆采用阻燃低烟无卤六类线，并含有十字骨架，以减少线对间串扰，保证线对平衡和安装的可靠型，适用于所有高性能和高可靠性严格要求的安装环境，支持信道带宽高达250MHz的应用。

4. 光纤作为高带宽和高安全的数据传输介质应用于主干。

光缆采用阻燃线。光缆类型：根据传输模式分，光缆分为多模光缆和单模光缆。常用的光缆粗细为多模62.5/125，多模50/125，单模9/125。光缆类型不同，系统造价影响很大。单模光缆价格比多模价格便宜，单模光缆连接件价格比多模光缆连接件价格贵的多。因此，在275米内光缆传输（50光缆可以传输到550米），可以用多模光缆传输。徐州医学院附属医院病房综合楼工程主要为室内主干，距离不超过550米，故采用多模光缆。

光缆芯数：光缆分为主干光缆和末端光缆。各级光缆均需考虑各个系统的应用。一般来讲，综合布线系统考虑双链路，考虑为4芯光纤；个别分设备间信息点数量很多，需2组上联设备，再考虑4芯光纤；预留4芯光纤。共计12芯。考虑到大楼内内、外网隔离以及接入交换机双上联到核心交换机的要求，从中心机房到各分设备间布两根12芯光缆。其中，对于具有高可靠、大容量数据传输要求的医院内网，采用OM3的万兆多模光缆；对于数据传输要求不高的医院外网，采用千兆多模光缆。

5. 电话大对数电缆分室外和室内两部分。考虑到徐州医学院附属医院病房综合楼工程大楼，室外电话大对数电缆可能会由电信投资，采用普通HYA-0.5电话电缆。室内部分采用三类25对大对数电缆主要为各个设备间之间的电话连接。

6. 配线架：综合布线系统中，配线架分为数据配线架和电话配线架，主要由110快捷式配线架和24口、48口模块式配线架。在本综合布线系统中，所有水平线缆终端的配线架均采用模块式配线架，采用三重平衡专利设计的HD6高密度配线架达到最佳的线对平衡和线性串扰响应，然后再根据使用的不同连接至网络交换机或者电话进户配线架。

7. 对环境及土建配合的建议及要求

总配线房内必须配有空调以及机械通风，有良好通风系统用于散热，房内温度和非冷凝的环境必须保持相对湿度，一些如渗水、传输器或马达引起的电磁干扰等障碍和危险因素必须被排除，这些要求必须每周每天24小时内均维持。在总配线间以及各个分配线间内提供足够的空间用于安装安装跳线架及光纤接线盒，防尘良好，且应有照明系统，便于安装和管理。在总配线间以及各个分配线间内应连接骨干和水平桥架，用于干线电缆和水平电缆的布放，同时在总配线间吊顶式天花板顶或架高地台层棚用于布线。在总配线间以及各个分配线间内提供至少有3-4个独立的电源双孔插座，以供一些网络设备使用。系统应用的电压为380V三向和220双向交流电源，由当地电力公司提供，其交流电压波动的报限需遵从规定。

垂直铜缆系统的垂直桥架的长度必须最短，垂直光纤的系统的垂直桥架必须能够满足其分配，这些桥架的尺寸必须由智能化承包方计算并确认。在安装工作开始以前，智能化承包方必须书面确认建筑图纸以及一些相关图纸中的提供综合布线系统的空间，净空高度、建筑开孔、底座等是否能够满足要求。如必要的话，智能化承包方必须对土建底座等是否能够满足要求进行确认。必须安装一套充分的、提供密码的灭火系统，必须布置好加湿系统，电子设置的上方必须直接布有喷淋头，用吹干机来避免以外的渗水破坏，必须装好通风系统。

篇（10）

第十八讲

数列的综合应用

一、选择题

1．(2018浙江)已知，，，成等比数列，且．若，则

A．，

B．，

C．，

D．，

2．(2015湖北)设，．若p：成等比数列；q：，则

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

3．（2014新课标2）等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前项和=

A．

B．

C．

D．

4．（2014浙江）设函数，，

，记

，则

A．

B．

C．

D．

二、填空题

5．(2018江苏)已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为

．

6．（2015浙江）已知是等差数列，公差不为零．若，，成等比数列，且，则

，

．

7．（2013重庆）已知是等差数列，，公差，为其前项和，若成等比数列，则．

8．（2011江苏）设，其中成公比为的等比数列，成公差为1的等差数列，则的最小值是________．

三、解答题

9．（2018江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．

(1)设，若对均成立，求的取值范围；

(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．

10*．（2017浙江）已知数列满足：，．

证明：当时

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）．

*根据亲所在地区选用，新课标地区（文科）不考．

11．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足

对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．

（1）证明：等差数列是“数列”；

（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．

12．（2016年四川）已知数列的首项为1，为数列的前项和，，其中，

(Ⅰ)若成等差数列，求数列的通项公式；

(Ⅱ)设双曲线的离心率为，且，求．

13．（2016年浙江）设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.

（I）求通项公式；

（II）求数列{}的前项和.

14．(2015重庆)已知等差数列满足，前3项和．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列满足，，求前项和．

15．（2015天津）已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，．

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，，求数列的前项和．

16．(2015四川)设数列（=1,2,3…）的前项和满足，且，+1，成等差数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和为，求．

17．（2015湖北）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）当时，记=，求数列的前项和．

18．(2014山东）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令=求数列的前项和．

19．（2014浙江）已知数列和满足．若为等比数列，且

（Ⅰ）求与；

（Ⅱ）设．记数列的前项和为．

（ⅰ）求；

（ⅱ）求正整数，使得对任意，均有．

20．（2014湖南）已知数列{}满足

（Ⅰ）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；

（Ⅱ）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．

21．（2014四川）设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）．

（Ⅰ）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；

（Ⅱ）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列

的前项和．

22．(2014江苏)设数列的前项和为．若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”．

（Ⅰ）若数列的前n项和(N)，证明:

是“H数列”；

（Ⅱ）设

是等差数列，其首项，公差．若

是“H数列”，求的值；

（Ⅲ）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立．

23．（2013安徽）设数列满足，，且对任意，函数

，满足

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和．

24．（2013广东）设各项均为正数的数列的前项和为，满足

且构成等比数列．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）证明：对一切正整数，有．

25．（2013湖北）已知是等比数列的前项和，，，成等差数列，

且.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数，使得？若存在，求出符合条件的所有的集合；

若不存在，说明理由．

26．（2013江苏）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.

记，，其中为实数.

（Ⅰ）

若，且，，成等比数列，证明：；

（Ⅱ）

若是等差数列，证明：．

27．

(2012山东)已知等差数列的前5项和为105，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和．

28．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．

（Ⅰ）用表示，并写出与的关系式；

（Ⅱ）若公司希望经过（≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金的值（用表示）．

29．（2012浙江）已知数列的前项和为，且=，，数列满足，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的前项和．

30．（2012山东）在等差数列中，，

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）对任意的，将数列中落入区间内的项的个数为，求数列的前项和．

31．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足：．

（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列；

（Ⅱ）设，且是等比数列，求和的值．

32．（2011天津）已知数列满足，

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，证明是等比数列；

（Ⅲ）设为的前项和，证明

33．（2011天津）已知数列与满足：，

，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设，证明：是等比数列；

（Ⅲ）设证明：．

34．（2010新课标）设数列满足

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和．

35．（2010湖南）给出下面的数表序列：

其中表（=1,2,3

）有行，第1行的个数是1，3，5，，21，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．

（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表（≥3）（不要求证明）；

（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，，记此数列为，求和：

．

专题六

数列

第十八讲

数列的综合应用

答案部分

1．B【解析】解法一

因为()，所以

，所以，又，所以等比数列的公比．

若，则，

而，所以，

与矛盾，

所以，所以，，

所以，，故选B．

解法二

因为，，

所以，则，

又，所以等比数列的公比．

若，则，

而，所以

与矛盾，

所以，所以，，

所以，，故选B．

2．A【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；

对命题，

①当时，成立；

②当时，根据柯西不等式，

等式成立，

则，所以成等比数列，

所以是的充分条件，但不是的必要条件．

3．A【解析】，，成等比数列，，即，解得，所以．

4．B【解析】在上单调递增，可得，

，…，，

=

在上单调递增，在单调递减

，…，，，

，…，

==

=

在，上单调递增，在，上单调递减，可得

因此．

5．27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列

中，前面有16个正奇数，即，．当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意；……；当时，=

441

+62=

503

+62=546>=540，符合题意．故使得成立的的最小值为27．

6．【解析】由题可得，，故有，又因为，即，所以．

7．64【解析】由且成等比数列，得，解得，故．

8．【解析】设，则，由于，所以，故的最小值是．

因此，所以．

9．【解析】(1)由条件知：,．

因为对=1，2，3，4均成立，

即对=1，2，3，4均成立，

即11，13，35，79，得．

因此，的取值范围为．

(2)由条件知：,．

若存在，使得(=2，3，···，+1)成立，

即(=2，3，···，+1)，

即当时，满足．

因为，则，

从而，，对均成立．

因此，取=0时，对均成立．

下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．

①当时，，

当时，有，从而．

因此，当时，数列单调递增，

故数列的最大值为．

②设，当时，，

所以单调递减，从而．

当时，，

因此，当时，数列单调递减，

故数列的最小值为．

因此，的取值范围为．

10．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：

当时，

假设时，，

那么时，若，则，矛盾，故．

因此

所以

因此

（Ⅱ）由得

记函数

函数在上单调递增，所以=0，

因此

故

（Ⅲ）因为

所以得

由得

所以

故

综上，

．

11．【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，

从而，当时，

，

所以，

因此等差数列是“数列”.

（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，

当时，，①

当时，.②

由①知，，③

，④

将③④代入②，得，其中，

所以是等差数列，设其公差为.

在①中，取，则，所以，

在①中，取，则，所以，

所以数列是等差数列.

12．【解析】（Ⅰ）由已知，

两式相减得到.

又由得到，故对所有都成立.

所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.

从而.

由成等差数列，可得，所以，故.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.

所以双曲线的离心率.

由解得.所以，

13．【解析】（1）由题意得：，则，

又当时，由，

得，

所以，数列的通项公式为.

（2）设，，.

当时，由于，故.

设数列的前项和为，则.

当时，，

所以，.

14．【解析】（Ⅰ）设的公差为，则由已知条件得

化简得

解得，．

故通项公式，即．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

设的公比为，则，从而．

故的前项和

．

15．【解析】（Ⅰ）设数列的公比为q，数列的公差为d，由题意，由已知，有

消去d，整数得，又因为＞0，解得，所以的通项公式为，数列的通项公式为.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有

,设的前n项和为，则

，

，

两式相减得，

所以．

16．【解析】(Ⅰ)

由已知，有

=(n≥2)，即(n≥2)，

从而，．

又因为，+1，成等差数列，即＋＝2(＋1)，

所以＋4＝2(2＋1)，解得＝2．

所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，

所以＝．

17．【解析】（Ⅰ）由题意有，

即，

解得

或

故或

（Ⅱ）由，知，，故，于是

，

①

．

②

①－②可得

，

故．

18．【解析】（Ⅰ）

解得

（Ⅱ），

当为偶数时

．

19．【解析】（Ⅰ）由题意，，，

知，又由，得公比（舍去），

所以数列的通项公式为，

所以，

故数列的通项公式为，；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，，

所以；

（ii）因为；

当时，，

而，

得，

所以当时，，

综上对任意恒有，故．

20．【解析】（I）因为是递增数列，所以。而，

因此又成等差数列，所以，因而，

解得

当时，，这与是递增数列矛盾。故.

（Ⅱ）由于是递增数列，因而，于是

①

但，所以

.

②

又①，②知，，因此

③

因为是递减数列，同理可得，故

④

由③，④即知，。

于是

.

故数列的通项公式为．

21．【解析】（Ⅰ）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为，所以

因为点在函数的图象上，所以，所以

又，所以

（Ⅱ）由，函数的图象在点处的切线方程为

所以切线在轴上的截距为，从而，故

从而，，

所以

故．

22．【解析】（Ⅰ）当时，

当时，

时，，当时，，是“H数列”．

（Ⅱ）

对，使，即

取得，

，，又，，．

（Ⅲ）设的公差为d

令，对，

，对，

则，且为等差数列

的前n项和，令，则

当时；

当时；

当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，

因此对，都可找到，使成立，即为“H数列”．

的前n项和，令，则

对，是非负偶数，

即对，都可找到，使得成立，即为“H数列”

因此命题得证．

23．【解析】（Ⅰ）由，

所以，

是等差数列.

而，，，，

（Ⅱ）

24．【解析】（Ⅰ）当时，，

（Ⅱ）当时，，

,

当时，是公差的等差数列.

构成等比数列，，，

解得．

由（Ⅰ）可知，

是首项,公差的等差数列.

数列的通项公式为.

（Ⅲ）

25．【解析】（Ⅰ）设数列的公比为，则，.

由题意得

即

解得

故数列的通项公式为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）有

.

若存在，使得，则，即

当为偶数时，，

上式不成立；

当为奇数时，，即，则.

综上，存在符合条件的正整数，且所有这样的n的集合为．

26．【证明】（Ⅰ）若，则，，又由题，

，，

是等差数列，首项为，公差为，，又成等比数列，

，，，，，，

，（）．

（Ⅱ）由题，，，若是等差数列，则可设，是常数，关于恒成立．整理得：

关于恒成立．，

．

27．【解析】（Ⅰ）由已知得：

解得,

所以通项公式为.

（Ⅱ）由，得，即.

，

是公比为49的等比数列，

．

28．【解析】（Ⅰ）由题意得，

，

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

．

整理得

．

由题意，

解得．

故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为4000元．

29．【解析】（Ⅰ）由=，得

当=1时，；

当2时，，.

由，得，.

（Ⅱ）由（1）知，

所以，

，

，．

30．【解析】：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则

，，

于是，即.

（Ⅱ）对任意m∈，，则，

即，而，由题意可知，

于是

，

即.

31．【解析】（Ⅰ）由题意知，

所以，从而

所以数列是以1为公差的等差数列．

（Ⅱ）．所以，

从而

(*)

设等比数列的公比为，由知下证．

若，则．故当，，与（*）矛盾；

若，则．故当，，与（*）矛盾；

综上：故，所以．

又，所以是以公比为的等比数列，若，

则，于是，又由，得，

所以中至少有两项相同，矛盾．所以，从而，

所以．

32．【解析】（Ⅰ）由，可得

又，

当

当

（Ⅱ）证明：对任意

①

②

②-①，得

所以是等比数列。

（Ⅲ）证明：，由（Ⅱ）知，当时，

故对任意

由①得

因此，

于是，

故

33．【解析】（Ⅰ）由可得

又

当时，，由，，可得；

当时，，可得；

当时，，可得；

（Ⅱ）证明：对任意

①

②

③

②—③，得

④

将④代入①，可得

即

又

因此是等比数列.

（Ⅲ）证明：由（II）可得，

于是，对任意，有

将以上各式相加，得

即，

此式当k=1时也成立.由④式得

从而

所以，对任意，

对于=1，不等式显然成立.

所以，对任意

34．【解析】（Ⅰ）由已知，当n≥1时，

．而

所以数列{}的通项公式为．

（Ⅱ）由知

①

从而

②

①-②得

．

即

．

35．【解析】（Ⅰ）表4为

1

3

5

7

4

8

12

12

20

32

它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别为4,8,16,32.

它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将结这一论推广到表（≥3），即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列.

将这一结论推广到表，即表各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列．

简证如下（对考生不作要求）

首先，表的第1行1，3，5，…，是等差数列，其平均数为；其次，若表的第行，，…，是等差数列，则它的第行，，…，也是等差数列．由等差数列的性质知，表的第行中的数的平均数与行中的数的平均数分别是

，．

由此可知，表各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列．

（Ⅱ）表第1行是1,3,5，…，2-1，其平均数是

由（Ⅰ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的等比数列（从而它的第行中的数的平均数是），于是表中最后一行的唯一一个数为.因此

．(=1,2,3,