探索平行线的条件汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇探索平行线的条件范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

[生]测量结果∠1=∠5。[生]图中还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8是同位角，测量它们的大小也相等。[师]现在我把∠5剪下，把它贴在∠1的上面，观察到这两个角相等。（教师动画演示）[师]通过测量和剪贴对比∠1的度数和∠5的度数相等，其它同位角也一样相等。从而得出同位角相等。[师]那么大家来说说是不是所有的同位角都相等呢?[生]不是。[师]很好。（电脑出示）如图示:∠1与∠2是同位角，但不相等。

[师]那么到底两条直线在什么情况下同位角相等？[生]两直线平行时,同位角相等.[师]很好.我们得到结论就是在两条直线平行的情况下同位角相等。那此时内错角的关系怎样?同旁内角关系怎样？下面我们再来探索：（电脑出示）

如图示，直线a与直线b平行。（2）图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？（3）图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？（4）换一组平行线试试，你能得到相同的结论吗？

[生]图中有2对内错角，分别是：∠3与∠6；∠4与∠5。通过测量它们大小分别相等。[师]很好，如果我们不通过测量而用数学语言是否能证明它们是相等的吗？[生]能，直线a与直线b平行，∠3与∠7是同位角，所以∠3=∠7，又因为∠7与∠6是对顶角，相等，因此可知∠3=∠6。同样得出∠4=∠5。[师]这位同学叙述得很好，我们用简单的数学语言推证如下：（电脑出示）由此我们得到的结论是：两直线平行，内错角相等。（电脑动画剪贴过程）接下来我们来解决第（3）个问题。[生]图中有2对同旁内角。分别为∠3与∠5；∠4与∠6。它们的关系为互补。因为：直线a与直线b平行，∠2与∠6是同位角，所以∠2=∠6。又因为∠2+∠4=180o，所以得∠4+∠6=180o。同理推证∠3+∠5=180o。[师]这位同学叙述得很好，我们用简单的数学语言推证如下：（电脑出示）由此我们得到的结论是：两直线平行，同旁内角互补。[师]由此我们得到了平行线的特征：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。[板书]接下来我们做一做。（电脑出示）如图示，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。（1）∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？（2）反射光线BC与EF也平行吗？

解：

下面我们来做练习以巩固平行线的特征。Ⅲ.随堂练习如图（1）所示，AB∥CD，AC∥BD。分别找出与∠1相等或互补的角。图（1）图（2）解：如图（2）所示：与∠1相等的角有：∠3，∠5，∠7，∠9，∠11，∠13，∠15。与∠1互补的角有：∠2，∠4，∠6，∠8，∠10，∠12，∠14，∠16。

生活数学1如图1，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，第一次拐的角∠B是142°，第二次拐的角∠C是多少度？图（1）图（2）解：如图2示，AB∥CD，∠ABC与∠BCD是内错角。因为两直线平行，内错角相等，所以∠BCD=∠ABC=142°即图（1）中∠C=∠B=142°

生活数学2如图某玻璃碎片是梯形，已有上底的一部分，量得∠A=115°，∠D＝100°，梯形另外两个角各是多少度？解：因为AD∥BC，∠A与∠B是同旁内角，所以∠A与∠B互补，则∠B=180°-115°=65°同理可得，∠C=180°-100°=80°

篇（2）

(1)知识结构

平行线的性质：

(2)重点、难点分析

本节内容的重点是平行线的性质.教材上明确给出了“两直线平行，同位角相等”推出“两直线平行，内错角相等”的证明过程.而且直接运用了“”、“”的推理形式，为学生创设了一个学习推理的环境，对逻辑推理能力是一个渗透.因此，这一节课有着承上启下的作用，比较重要.学生对推理证明的过程，开始可能只是模仿，但在逐渐地接触过程中，能最终理解证明的步骤和方法，并能完成有两步推理证明的填空.

本节内容的难点是理解平行线的性质与判定的区别，并能在推理中正确地应用它们.由于学生还没学习过命题的概念和命题的组成，不知道判定和性质的本质区别和联系是什么，用的时候容易出错.在教学中，可让学生通过应用和讨论体会到，如果已知角的关系，推出两直线平行，就是平行线的判定;反之，如果由两直线平行，得出角的关系，就是平行线的性质.

2、教法建议

由上面的重点、难点分析可知，这节课也是对前面所学知识的复习和应用.要有一定的综合性，推理能力也有较大的提高.知识多，也有了一些难度.但考虑到学生刚接触几何，进度不可过快，尽量多创造一些学习、应用定理、公理的机会，帮助学生理解平行线的判定与性质.

(1)讲授新课

首先，提出本节课的研究问题：如果两直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系吗?探究实验活动还是从画平行线开始，得出两直线平行，同位角相等后，再推导证明出其它的两个性质.教师可以用“”、“”的推理证明形式板书证明过程，学生在理解推理证明的过程中，欣赏到数学的严谨的美.

(2)综合应用

理解平行线的判定和性质区别，并能在推理过程中正确地应用它们成为了教学难点.老师可以设计一些有两步推理的证明题，让学生填充理由.在应用知识的过程中，组织学生进行讨论，结合题目的已知和结论，让学生自己总结出判定和性质的区别，只有自己构造起的知识，才能真正地被灵活应用.

(3)适当总结

几何的学习，既可以培养学生的逻辑思维能力，，也可以培养学生分析问题，解决问题的能力.对于好的学生，可以引导他们总结如何学好几何.注意文字语言，图形语言，符号语言间的相互转化.对简单的题目，能做到想得明白，写得清楚，书写逐渐规范.

教学目标：

1.使学生理解平行线的性质，能初步运用平行线的性质进行有关计算.

2.通过本节课的教学，培养学生的概括能力和“观察-猜想-证明”的科学探索方法，培养学生的辩证思维能力和逻辑思维能力.

3.培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性.

教学重点：平行线性质的研究和发现过程是本节课的重点.

教学难点：正确区分平行线的性质和判定是本节课的难点.

教学方法：开放式

教学过程：

一、复习

1.请同学们先复习一下前面所学过的平行线的判定方法，并说出它们的已知和结论分别是什么?

2、把这三句话已知和结论颠倒一下，可得到怎样的语句?它们正确吗?

3、是不是原本正确的话，颠倒一下前后顺序，得到新的一句话，是否一定正确?试举例说明。

如、“若a=b，则a2=b2”是正确的，但“若a2=b2，则a=b”是错误的。又如“对顶角相等”是正确的。但“相等的角是对顶角”则是错误的。因此，原本正确的话将它倒过来说后，它不一定正确，此时它的正确与否要通过证明。

二、新课

1、我们先看刚才得到的第一句话“两直线平行，同位角相等”。先在请同学们画两条平行线，然后画几条直线和平行线相交，用量角器测量一下，它们产生的几组同位角是否相等?

上一节课，我们学习的是“同位角相等，两直线平行”，此时，两直线是否平行是未知的，要我们通过同位角是否相等来判定，即是用来判定两条直线是否平行的，故我们称之为“两直线平行的判定公理”。而这句话，是“两直线平行，同位角相等”是已知“平行”从而得到“同位角相等”，因为平行是作为已知条件，因此，我们把这句话称为“平行线的性质公理”，即：两条平行线被第三条线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。

2、现在我们来用这个性质公理，来证明另两句话的正确性。

想想看，“两直线平行，内错角相等”这句话有哪些已知条件，由哪些图形组成?

已知：如图，直线a∥b

求证：(1)∠1=∠4;(2)∠1+∠2=180°

证明：a∥b(已知)

∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)

又∠3=∠4(对顶角相等)

∠1=∠4

(2)a∥b(已知)

∠1=∠3(两直线平行，同位角相等)

又∠2+∠3=180°(邻补角的定义)

∠1+∠2=180°

思考：如何用(1)来证明(2)?

例1、如图，是梯形有上底的一部分，已经量得∠1=115°，∠D=100°，梯形另外两个角各是多少度?

解：梯形上下底互相平行

∠A与∠B互补，∠D与∠C互补

∠B=180°-115°=65°

∠C-180°-100°=80°

答：梯形的另外两个角分别是65，80°

篇（3）

1、理解平行线的性质，掌握他们的图形语言、文字语言、符号语言，并灵活的进行实际应用。

2、经历观察、实验、猜想、验证等数学活动，培养他们分析问题和解决问题的能力。

3、体会几何知识来源于实践并反作用于实践，认识事物的规律是从特殊到一般，再从一般到特殊等辩证唯物主义观点。

重点：理解并应用平行线的性质。

难点：探究平行线的性质。

一、复习回顾、引入新课

问题：我们学过判定两条直线平行的方法有哪些？

如果将判定方法中的结论做为条件，是否能够得到判定方法中的已知。

二、合作交流、探索新知

问题1：在自己的横格作业本上选择任意两条线作为平行线，再用铅笔任意画一条这组平行线的截线，选择其中一组同位角，猜想它们的关系如何？验证你的猜想。

问题2：同问题1，选择一组内错角，猜想两个角在数量上有什么关系？除了可以用测量的方法，能否给出理论证明？

问题3：根据问题1、2，你能说出两条平行线被第三条直线所截，同旁内角有什么关系吗？能否给出理论证明？

归纳新知：平行线性质定理：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单的说成：

（1）

（2）

（3）

问题4：如图，直线a、b被直线c所截，在括号内为下面各小题填空：

（1）性质1： a 1

a//b ∠1=∠243

（两直线平行，同位角相等） b2

（2）性质2：

a//b ∠ =∠

（两直线平行，内错角相等）

（3）性质3：

a//b ∠ +∠=（）

三、拓展应用：

例1：如图是一块梯形铁片的残余部分，量得

∠A=100°，∠B=115°，梯形另外两个角分别是多少度？（图见课本）

练习1、如图，直线a//b,∠1=54°，那么∠2，∠3，∠4各是多少度？

练习2、如图，∠ADE=

∠ABC,若∠AED＝42°，

则∠B＝_____，∠C＝_______．

篇（4）

2.教学目标

知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。

数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。

解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。

情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神。

3.教学重、难点

重点：平行线的性质

难点：“性质1”的探究过程

4.教学方法

“引导发现法”与“动像探索法”

5.学法引导

5.1教师教法

采用尝试指导、引导发现法，充分发挥学生的主体作用，体现民主意识和开放意识。

5.1学生学法

在教师的指导下，积极思维，主动发现，认真研究。

6.教具、学具

教具：多媒体课件

学具：三角板、量角器。

7.教学过程：

7.1创设情境，设疑激思

1．播放一组幻灯片。内容：①火车行驶在铁轨上；②游泳池；③横格纸。

2．声音：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？

学生活动：

思考回答。①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行；

教师：首先肯定学生的回答，然后提出问题。

问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？

引出课题――平行线的性质。

7.2数形结合，探究性质

1．画图探究，归纳猜想

任意画出两条平行线（ab），画一条截线c与这两条平行线相交，标出8个角（图略）。

问题一：指出图中的同位角，并度量这些角，记录结果

学生活动：画图――度量――填表――猜想

结论： 两直线平行，同位角相等。

问题二：再画出一条截线d，看你的猜想结论是否仍然成立？

学生：探究、讨论，最后得出结论：仍然成立。

2．教师用《几何画板》课件验证猜想

3．性质1. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等）

7.3引申思考，培养创新

问题三：请判断内错角、同旁内角各有什么关系？

学生活动：独立探究--小组讨论--成果展示。

教师活动：评价，引导学生说理。

abab

所以∠1＝∠2所以∠1＝∠2

又 ∠1＝∠3 又∠1+∠4＝180°

∠2＝∠3∠2+∠4＝180°

语言叙述：

性质2两条直线被第三条直线所截，内错角相等。

（两直线平行，内错角相等）

性质3两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。

（两直线平行，同旁内角互补）

（四）实际应用，优势互补

1.（抢答）

（1）（图略），平行线AB、CD被直线AE所截

①若∠1 = 110°，则∠2 =°。理由：。

②若∠1 = 110°，则∠3 =°。理由：。

③若∠1 = 110°，则∠4 =°。理由：。

（2）（图略），由ABCD，可得（）

（A）∠1＝∠2 （B）∠2＝∠3

（C）∠1＝∠4 （D）∠3＝∠4

（3）（图略），ABCDEF，

那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝（ ）

（A）180°（B）270° （C）360° （D）540°

（4）谁问谁答：（图略），直线ab，

如：∠1＝54°时，∠2＝.

学生提问，并找出回答问题的同学。

2.（讨论解答）

（图略）是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A＝100°，

∠B＝115°，求梯形另外两角分别是多少度？

（五）概括存储（小结）

1．平行线的性质1、2、3；

2．用“运动”的观点观察数学问题；

3．用数形结合的方法来解决问题。

（六）作业第69页2、4、7.

8.教学反思：

8.1教的转变

本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。在引导学生画图、测量、发现结论后，利用几何画板直观地、动态地展示同位角的关系，激发学生自觉地探究数学问题，体验发现的乐趣。

8.2学的转变

篇（5）

但是，一个学生在课堂上不经意的一句话，颠覆了很多教师对“画平行线”的认识。

一、情景回放

一名教师按照“教师示范画法—学生表达过程—师生总结步骤—学生尝试练习”的常规课堂模式执教这节课。同时也强调：要利用三角尺的直角边。前面环节风平浪静，但是在学生尝试练习环节，一个学生突然高高地把手举起：“老师，我不用直角边也能画出平行线！非得用直角边画吗？”很明显，这个学生的问题超出了教师的课堂预设，也大大出乎听课教师的预料，但教师采取了回避的态度：“你很有探索精神，老师很欣赏你。”只评价了学生的学习态度，而未对方法作出肯定。

评课环节中，经过静心思考，教师都一致认为，一句“非得用直角边画吗”中，藏着非常可贵的数学思想的火花。这个学生首先善于思考，其次敢于质疑，这是在很多数学教师身上都没有的数学品质。

基于学生的问题，笔者也对“画平行线”进行了深入研究。下面是现行三个主要版本教材中所呈现的 “画平行线”的过程。

可以看出，在各版本教材呈现图中，虽然用以作为平移标尺的工具不同（人教版和苏教版用的是直尺，北师大版用的是两块三角尺中的其中一块），但是，在画平行线的主要步骤中，都是利用三角尺的一条直角边与已知直线完全重合，另一条直角边与平移标尺靠紧进行平移。

由学生的质问，笔者罗列出利用三角尺画平行线的所有方法（用直尺作为平移标尺），见下图。

除了方法①②是课本给定的方法外，方法③④⑤一样可以顺利画出平行线。由于课本局限于利用三角尺的两条直角边去画，反而会造成一些问题。

二、教学思考

【存在问题一】人为加深学习难度

“画平行线”是整个小学阶段的难点，四年级学生还不能自如地操作两件工具，同时，画平行线的步骤繁多也使学生增加了记忆过程的难度。如果再一味强调要使用三角尺的两条直角边，更是人为加深了学生的学习难度。在教学传统的用直角边画平行线的过程时，笔者常发现很多学生手拿三角尺不停地旋转，不知所措。这是因为四年级的学生空间观念发展不够全面，虽然能顺利找到三角尺中的直角边，但是当需要把直角边放在固定位置并利用另外的直角边时，存在较大困难。教材只强调用直角边画平行线，使原本就繁多的步骤又添上了不必要的过程，加深了学生学习的难度，加重了学生负担。

【教学建议】 笔者进行了教学尝试，通过引导学生利用“平移”的性质去画平行线，而不局限于只利用直角边去画，教学过程如下。

出示 ，引导学生找平行线，初步感知“平移能得到平行线”。

师：同学们，刚才的题目告诉我们：三角形通过平移后对应的边互相平行。我们还可以利用刚才的重要发现画平行线呢！

师：想一想，用这个发现画平行线，你认为需要什么工具？

生：三角尺。

师：为什么要用三角尺？

生：因为我们可以通过三角尺的平移画出平行线。

师：只用三角尺就可以吗？（教师拿三角尺随意地挪动了一下）这样能保证是“平移”吗？

生：还需要一个东西靠着三角尺。

生：需要一个直直的东西。

师：那这个直直的东西我们可以用什么呢？

生：可以用数学课本的边。

生：可以用三角尺。

生：可以用直尺。

师：数学课本的边、三角尺、直尺的作用是什么？

生：让三角尺沿着直的边滑动，才能保证三角尺平移。

师：你能试着结合平移的思想用三角尺和直尺画出一组平行线来吗？

教师展示学生常见画法。

师：你能尝试总结画平行线的过程吗？

学生讨论、汇报，教师补充，共同总结出画平行线的步骤与方法：可以先沿三角尺的一条边画一条直线，再用直尺贴紧三角尺的另一边，把三角尺平移，然后仍沿三角尺的原来一边画一条直线。

师：恭喜同学们，利用自己灵活的大脑不仅研究出那么多画平行线的方法， 还知道为什么要这样画。下面，我们通过一道习题检验一下自己的新本领。

出示：过A点画已知直线的平行线。

笔者对学生完成情况整理反馈，发现学生成功率高，完成速度快，收到了良好的效果。

【存在问题二】不能衔接后续学习

平行线有一个重要性质——“两直线平行，同位角相等”，反过来“同位角相等，两直线平行”也是平行线判定的一条重要依据。同时这也是用直尺与三角尺画平行线的一个重要的理论基础。教师可以把直尺想象成与平行线相交的一条直线，把三角形平移前后的两个内角看成平行线中的同位角。教材中，只强调用三角尺的直角边去画平行线，其实只考虑到“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”这一特征，容易给学生留下“只有同位角为直角时两条直线才是互相平行”的固有印象，影响学生的后续学习。

【教学建议】从教师与教材的角度来看，小学阶段的教材可以说是孤立的，小学教师一般也只从事小学阶段教学工作。但是，对数学知识体系和学生的发展而言，这个过程却是连贯的、持续的。如果不考虑知识与学生的发展，会让学生产生数学不严密的误解，这与“数学是严密的科学”的本质是相悖的，同时也会造成不必要的教育资源浪费。

篇（6）

课堂上，教者在认识平行线时，“走进生活、发现生活”，从楼梯栏杆、天花板中让学生自己去发现几条边缘线的奇特之处，激起学生探索的欲望。学生各抒己见时，教师给予鼓励和耐心的引导，并做补充，课堂氛围民主和谐。学生的有效参与也是有目共睹的，既独立思考又相互启发，短短数分钟的环节，所有学生都能够自己定义出什么是平行线。

二、课堂互动，激发学生主动尝试的欲望

课堂教学是师生多边的活动过程。教师要主动为学生参与教学过程创设条件、创设情境，让学生动手操作、动眼观察、动脑思考、动口表达。在教学“如何画平行线”时，教者设计了以下几个步骤：

1.教师取出三角尺，任意画出一条线，简称“一画”。

2.教师拿起直尺，紧靠三角尺直角的一条边，简称“二靠”。

3.通过固定的直尺，慢慢移动三角尺，逐渐离开第一条线，简称“三移”。

4.移出一定的距离后，最后作出另一条直线，也就是第一条线的平行线，简称“四画”。

整个步骤概括为“一画二靠三移四画”，激发学生动手实践的欲望。画出平行线后，教师又以“一合二靠三移四看”来检验是否完全平行，让学生相互检验、评价。通过这样的设计，将操作、观察、思维与语言表达结合在一起，不仅使学生参与学习画平行线的整个过程，而且还启迪了他们思维的发展，达到了数学教学使学生既长知识又长技能的目的。

三、因材施教，满足不同学生求知的需求

既要面向全体，又要考虑个性差异，课堂必须做到“上不封顶，下要保底”。教师对教学进行动态设计，以满足不同学生的知识需求。教师取出一个长方体，让学生找出不相交的平行线，很多学生都会找出第一面的长与对面的高虽然方向不同，但也不会相交。教师借此完善了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线互为平行。

篇（7）

创设情境又是广大教师常用的导入方法。教师可以通过创设学生熟悉的生活情境，提出问题引发学生深入思考，引起悬念，从而激起学生探索的愿望。比如，在教学《认识三角形》一课时，一位老师这样进行课堂教学。

师：老师每天上班都要从学校先经过加油站，再从加油站到学校，有没有更近一点的路呢？出示课件，如图。

生：老师可以从家直接去学校。

师：为什么从家直接去学校这条路最近呢？我们可以把这几个地点和路线看成什么图形呢？

生：三角形。

师：你在生活中见到过哪些物体的形状是三角形的？

（请学生欣赏长江大桥、高压线杆、自行车、房屋的人字梁等含有三角形物体的图片。）

师：三角形在我们的生活中真是无处不在，同学们在生活中找出了许多三角形，你能想办法自己做个三角形吗？

教师把符合学生兴趣、适应时代气息的生活实践内容请进课堂，唤醒了学生探索的欲望，同时通过操作，让学生体验到乐学的幸福。

二、思考，探究新知挖本质

在课堂教学中以学生为主体并不是粗线条的放手，而是应该体现在关键处、细微处的教师指导和点拨，以引领学生的思维不断向纵深发展，体现细节设计在课堂教学中的那份精彩。比如《垂线、平行线》一课的生上台板演平行线的教学片断。

生1：用三角尺的一条直角边与已知直线重合。（边说边演示）

师：大家说他第一步做得怎样？（生：好）好在哪里？（画已知直线的平行线，就要以已知直线为准。）

生1：然后向上移一点。（他正准备画线）

师：向上平移两点行不行？（学生笑着点点头）

就在学生再向上平移的过程中尺子晃动了，他似乎感觉到了，但还是画了上去。

生2：这两条不是平行线，他在平移的时候，尺晃动了。

生3：要是有什么办法使尺不晃动那就好了！

师（因势利导）：你的设想很好，如果尺不晃动那该多好啊！小组讨论一下，有什么办法？并尝试一下。（学生小组讨论，再次尝试，一会儿，学生们兴奋地叫起来，一位学生上台板演。）

生4：第一步和生1一样（教师板书：重合）;为了让这把移上去的尺不晃动，要用第二把尺固定住。第二步用另一把尺紧贴三角尺的另一条边（师板书：紧贴）;然后按住贴上去的尺，紧贴着它移动三角尺（师板书：移动）;到所需的位置画直线（师板书：画直线）。

生5：我还有一种画法。（这位学生展示了利用平行线之间的距离处处相等的特点板演了画法）

从上面的教学细节中，不难看出学生在获得“平行线”概念后，在画“平行线”中已经知道画一条直线的平行线中要把这条直线平移。关键是在平移过程中产生晃动，给平移造成了误差。那么怎样引导学生自己发现问题，主动地提出问题，提高学生的探究欲望，就成为本节课细节设计的切入点，正是由于教师抓住了“在平移的过程中晃动”这一细节而设计教学，才使得学生的主体地位和教师的主导作用得以充分体现。

三、变式，练习巩固扫障碍

数学课堂练习是学生形成理性认识的实践活动，通过课堂练习，能使学生将刚刚理解的知识加以应用，同时，在练习过程中也能暴露学生在理解上的误区，从而有针对性地调整教学策略，变式训练就是当中广泛采用的一种。比如，在教完比一个数多或少几分之几的应用题后，我出这一题让学生进行变式练习。

例题教学之后可进行如下变式：

1.变换条件，将题中“六月份比五月份多捕了1/4”变换为：

（1）六月份比五月份少捕了1/4;

（2）六月份捕鱼是五月份的一又四分之一倍;

（3）相当于六月份捕鱼千克数的4/5;

（4）六月份比五月份的4/5多100千克。

2.变换问题，将题中“六月份捕鱼多少千克”变换为：

（1）五月份和六月份一共捕多少千克？

（2）六月份比五月份多捕鱼多少千克？

（3）五月份捕鱼千克数是六月份的几分之几？

篇（8）

学生欣赏一组有关平行线的图片，主要有笔直的马路，多幢笔直的高楼，双杠，铁轨，跑道线，雪橇，整齐的教室课桌椅，整齐的做操队列……

教师：请大家欣赏、观察、思考、寻找平行线的形象，凭借小学对平行线的认识，展示的图片中哪些具有平行线的形象？找出以上几幅图中的平行线.

学生1：一组马路的斑马线，高楼的边缘线，双杠中两根杠子的延长线，铁轨的边缘线……

教师：平行线具有什么特征？在生活中有哪些可以看做平行的生活实例.

学生2：学生进行想象，滑雪板、正方体中的一些棱、运动跑道，等等.

教师：通过对平行线的感受，什么叫做平行线？请带着问题小组一起探讨下面问题.

问题展示：如图1，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在c的右侧与b相交.想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？

设计意图：充分发挥学生的想象能力，把三个木条想象成三条直线，想象在转动过程中不相交的情况，进而描述两直线平行的定义.

教师活动：教师演示教具，并在学生想象、描述的基础上引导学生进行归纳.

教师：你们现在能说出平行线的定义吗？

众生：在同一平面内，若直线a和b不相交，那么就称直线a和b平行，记作a∥b.（板书课题“平行线”）

二、师生互议，建构概念

教师：一个长方体如图3，和AA1平行的棱有多少条？和AB平行的棱有多少条？A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，他们平行吗？

学生活动：独立思考后展示，初步感受空间两条直线的位置关系，强化对定义中“同一平面”的认识.

教师活动：引导学生对定义的强化.

辩一辩：（1）不相交的两条直线是平行线；（2）在同一平面内两条直线的位置关系有相交、垂直、平行；（3）在同一平面内不相交的两条线段平行； （4）在同一平面内不相交的两条射线是平行线；（5）在同一平面内不相交的两直线是平行线；（6）同一平面内，两直线位置关系有两种，即相交或平行.

学生活动：独立思考后进行交流，代表发言，进一步理解定义中“两条直线”的关系.

教师活动：引导思考，强化定义.

教师：如何表示平行线？

学生活动：类比所学的几何知识，直线可以怎么表示？从而得出两种表示的方法.

教师活动：引导、帮助.

三、巩固训练，运用概念

画一画：

（1）在活动木条a的过程中，有几个位置使得 a与b平行？

（2）经过直线a外一点B画直线a的平行线，你能有几种方法？可以画几条？经过点C呢？

学生活动：小组交流，你是怎么画的？有哪些方法？通过画平行线你发现了什么？

教师活动：如何画？指导学生在方格纸纸中，用三角板、直尺等工具画.

说一说：已知三条直线AB、CD、EF.如果AB∥EF ，CD∥EF，那么直线AB与CD可能相交吗？说说你的理由.

学生活动：独立思考并讨论得出结论，初步感受反证法.

教师活动：帮助学生说出过程.

练一练：（1）已知a∥b，b∥c，则________________________________________.

（2）已知a∥b，b∥c，c∥d，则________________________________________.

设计意图：及时巩固平行线的基本性质.

议一议：在同一平面内有3条直线，问可以把这个平面分成几部分？如果在同一平面内有4条直线呢？

学生活动：分组探究，小组讨论，发现问题，小组讨论解决，在学生研究结束后，每小组派一名代表进行交流，交流完成后完善自己的结果.

学生经过探究可以发现：（1）当4条直线两两平行时，可以把平面分成5部分；（2）当4条直线中只有三条两两平行时，可以把平面分成8部分；（3）当4条直线仅有两条互相平行时，可以把整个平面分成9部分或10部分；（4）当4条直线中其中两条平行，另两条也平行时，可以把平面分成9部分；（5）当4条直线任意两条都不平行时，可以把平面分成8或10或11部分.

设计意图：本环节主要考查学生探究问题的能力，同时培养学生的合作与交流意识，在探究的过程中教师可以适当引导学生按一定的条件分类，比如按平行线的条数分或按交点的个数分类，让学生养成有序考虑问题的习惯.

四、总结归纳，反思提炼

思一思：（1）今天你学到哪些知识？（2）今天你积累了哪些学习方法？（3）今天你在小组合作中的表现如何？

五、延伸课后，作业布置

篇（9）

2.1余角与补角(本文来源于：兔笨笨英语网 tooben )

1.×、×、×、×、×、√;2.(1)对顶角(2)余角(3)补角;3.d;4.110°、70°、110°;5.150°;6.60°;7.∠aoe、∠boc，∠aoe、∠boc，1对;8.90°9.30°;10.4对、7对;11.c;12.195°;13.(1)90°;(2)∠mod=150°,∠aoc=60°;14.(1)∠aod=121°;(2)∠aob=31°,∠doc=31°;(3)∠aob=∠doc;(4)成立;

四.405°.

2.2探索直线平行的条件(1)

1.d;2.d;3.a;4.a;5.d;6.64°;7.ad、bc，同位角相等，两直线平行;8、对顶角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行;9.be∥df(答案不);10.ab∥cd∥ef;11.略;12.fb∥ac，证明略.

四.a∥b,m∥n∥l.

2.2探索直线平行的条件(2)

1.ce、bd，同位角;bc、ac，同旁内角;ce、ac，内错角;2.bc∥de(答案不);3.平行，内错角相等，两直线平行;4.c;5.c;6.d;7.(1)∠bed，同位角相等，两直线平行;(2)∠dfc，内错角相等，两直线平行;(3)∠afd，同旁内角互补，两直线平行;(4)∠aed，同旁内角互补，两直线平行;8.b;9.c;10.b;11.c;12.平行，证明略;13.证明略;14.证明略;15.平行，证明略(提示：延长dc到h);

四.平行，提示：过e作ab的平行线.

2.3平行线的特征

1.110°;2.60°;3.55°;4.∠cgf，同位角相等，两直线平行，∠f，内错角相等，两直线平行，∠f，两直线平行，同旁内角互补;5.平行;6.①②④(答案不);7.3个 ;8.d;9.c;10.d;11.d;12.c;13.证明略;14.证明略;

四.平行，提示：过c作de的平行线，110°.

2.4用尺规作线段和角(1)

1.d;2.c;3.d;4.c;5.c;6.略;7.略;8.略;9.略;

四.(1)略(2)略(3)①a② .

4.4用尺规作线段和角(2)

1.b;2.d;3.略;4.略;5.略;6.略;7.(1)略;(2)略;(3)相等;8.略;9.略;10.略;

四.略.

1.143°;2.对顶角相等;3.∠acd、∠b;∠bdc、∠acb;∠acd;4.50°;5.65°;6.180°;7.50°、50°、130°;8.α+β-γ=180°;9.45°;10.∠aod、∠aoc;11.c;12.a;13.c;14.d;15.a;

16.d;17.d;18.c;19.d;20.c;21.证明略;22.平行，证明略;23.平行，证明略;24.证明略;

生活中的数据

3.1 认识百万分之一

1，1.73×10 ;2，0.000342 ; 3，4×10 ; 4，9×10 ; 5，c; 6，d;7，c ; 8，c; 9，c;10，(1)9.1×10 ; (2)7×10 ;(3)1.239×10 ;11， =10 ;10 个.

3.2 近似数和有效数字

1.(1)近似数;(2)近似数;(3)准确数;(4)近似数;(5)近似数;(6)近似数;(7)近似数;2.千分位;十分位;百分位;个位;百位;千位;3. 13.0， 0.25 , 3.49×104 , 7.4*104;4.4个, 3个, 4个, 3个, 2个, 3个;5. a;6、c;7. ;8. d ;9. a ;10. b;

11.有可能，因为近似数1.8×102cm是从范围大于等于1.75×102而小于1.85 ×102中得来的，有可能一个是1.75cm，而另一个是1.84cm，所以有可能相差9c

12. ×3.14×0.252×6=0.3925mm3≈4.0×10-10m3

13.因为考古一般只能测出一个大概的年限，考古学家说的80万年，只不过是一个近似数而已，管理员却把它看成是一个精确的数字，真是大错特错了.

四：1，小亮与小明的说法都不正确.3498精确到千位的近似数是3×103

3.3 世界新生儿图

1，(1)24% ;(2)200m以下 ;(3)8.2%;

2，(1)59×2.0=118(万盒);

(2)因为50×1.0=50(万盒)，59×2.0=118(万盒)，80×1.5=120 (万盒)，所以该地区盒饭销量的年份是2000年，这一年的年销量是120万盒;

(3) =96(万盒);

答案：这三年中该地区每年平均销售盒饭96万盒.

单元综合测试

一、填空

1、70 2、锐角 3、60° 4、135° 5、115°、115°

6、3 7、80° 8、551 9、4对 10、40°

11、46° 12、3个 13、4对2对4对

二、选择

14、D 15、D 16、B 17 B 18、B19、A 20、C

21、AD//BC

∠A=∠ABF∠A=∠C∠C=∠ABF

BA∥DC

22、32. 5°

23、提示：列方程求解得∠1=42°∠DAC=12°

24、平行

25、130°

26、BDAC，EFAC

BD∥EF

∠5=∠FEC

∠1=∠FEC

∠1=∠5

GD∥BC

∠ADG=∠C

27、CE平分∠BCD，DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°

∠BCD+∠CDA=180°

AD∥CB

CBAB

篇（10）

浙江省富阳市郁达夫中学

把心理辅导原理运用于新课程背景下数学课堂教学称谓数学“课堂心育”教学。笔者试图在实践领域中以以一堂初一几何课的案例为研究对象，对其进行剖析，作为数学课堂“心育”教学尝试的实例，并从理论层面上对“课堂心育”的可行性问题作一些探讨。

一、课例过程和操作例释

案例情景：让学生在经历中体验“平行”

（盛志军）

情景一：

星期三上午第三节，是初一（15）班的数学课。第二节一下课，同学们拿好学具就来到多媒体教室。一走进教室，大家就感到新奇：桌椅一改往日“插秧式”摆放，“马蹄形”的座位组成十组。大家很快按照原来小组的顺序就座，看起来很自然。面对面坐着，唧唧喳喳的议论着，今天数学课怎么象要搞联欢活动似的？

“叮铃铃……”

随着上课铃的响起，教室立刻安静了下来。我健步走进教室，似乎今天精神特别饱满。我微笑着环视了每一小组同学，从他们明亮的眼神中，可以看出他们惊异、期待的心情，连数学从不感兴趣的赵伟同学，也挺着腰板看着我。

我没有那么多礼节，直接开始上课了。

数学课历来被认为是正板正眼的，数学教师在学生眼里总是一副严肃的神态，而学生一开始也就总是严阵以待的样子，等着老师来上课。本堂课一开始就基本改变了这一状态。首先改变了物理环境，桌椅从“插秧式”到“马蹄形”，拉近了师生、生生之间的心理距离，为创设宽松的交流环境奠定了基础，便于课堂相互接纳，相互倾听。其次，教师的“健步”、“微笑”、“环视”，使学生眼神“明亮”，心情“惊异、期待”，并“挺着腰板”。“没有那么多礼节，直接开始上课了”。教师用非语言的技巧，走出自己的角色，体现了教师的真诚，使自己的形象很快被学生所认同。教学就是沟通与交流，本堂课的沟通就此开始。

情景二：

上课从复习中开始。

我让学生复习两条直线相交的位置关系。“同学们，请在草练本上画：两条相交直线AB与CD，使ABCD于O，并标出交点字母。”接着提问：“如果两条直线相交，那么两条直线相交有多少个交点？”“在同一平面内有没有不相交的两条直线，如果有，这两条直线叫做什么？”这些问题完全在学生小学学习的原认知结构上进行，同学们象是从仓库里调配出储备粮一样，异口同声地回答了一个个问题。 “我们这节课进一步研究这一问题”我边说边在屏幕上放映出本节课题——平行线

上课从复习中开始，这符合教育认知心理原理，与学生原有的认知结构取得联结。这是我们一般数学教师常用的方法。但如何联结呢？是简单的提问吗，不是。这里，教师采用了学生动手的方法，并以同感的心态，估计学生可能出现的矛盾，因此要求“标出交点字母”。再加上两句恰到好处的提问，让学生 “从仓库里调配出储备粮”的经历来感悟，从而，很自然地引出这节课的课题。

情景三：

新课引出是那么的自然。我十分清楚学生对平行线的概念理解还在表面层次上，这节课要让学生经历平行线概念形成的过程。

“同学们，老师和大家一起画一画：已知一条水平直线AB。画一条直线CD，使CD不和AB重合，但仍保持水平位置。”大家凭着直觉七手八脚的动了笔，显然太草率了。

“大家刚才画得准确吗？”我直截了当地说，“现在老师和大家一起，用规范的方法画平行线。”我打开了课件，“请大家同步画图。我们通常用一块三角板为工具画图，具体步骤如下：”

一“落”：画直线TR垂直水平直线AB，把三角板的一直角边落在已知水平直线AB上；

二“靠”：用三角板另一条直角边，靠紧所画直线TR；

三“推”：把靠紧的三角板沿垂线TR推动，使三角板离开AB；

四“画”：沿三角板的这条边画直线CD；

直线CD就是所要画的水平线。

“同学们，请大家想一想：直线AB与直线CD可能相交吗？为什么？”看来已经是引出概念的时侯了。“请各小组讨论，选出一位代表准备回答老师的问题。”教室里第一次成了“茶馆”。我及时到各小组，听取大家的讨论，不时地进行启发引导。似乎问题已进入到“最近发展区”，两分钟后，各小组纷纷举起了手。我还是选定了平时学习成绩中等程度一个小组代表发言。

“徐敏，请你代表你们小组回答。”

“因为AB与CD都是保持水平的直线，相当于把直线AB保持水平位置不变，移动至CD的结果，不可能有交点，所以它们不相交。那么，我们把这样的两条直线叫做平行线。”这位平时说话都脸红的学生，这次发言出奇的流利。“嗯，你归纳得很好！”我充分的肯定了他。教室里第一次响起了热烈的掌声。

理解和尊重是数学课堂“心育”教学中教师的最基本态度特质。“我十分清楚学生对平行线的概念理解还在表面层次上”，教师以自己特有的教学经验进行了判断，从而利用黑板上课无法来完成的的课件进行教学，实现了自己的预想。

这里，教师还到位的采取倾听技巧。营造了小组合作讨论的方法，让学生根据课件展示的结果畅所欲言。“我及时到各小组，听取大家的讨论，不时进行启发引导。”讨论前，教师采用了开放性提问，“同学们，请大家想一想：直线AB与直线CD可能相交吗？为什么？”引发了学生的发散性思维；讨论后，“选定了平时学习成绩中等程度一个小组代表发言。”并且是一位平时说话都脸红的学生为代表。教师采用了封闭的鼓励：“嗯，你归纳得很好！”这个“嗯”是赞许，是肯定。学生感到亲切，甜美。

情景四：

看来接下去要让学生真正认识概念的火候到了。

“同学们，现在请大家翻开课本P31，默读黑体字”（不在同一平面内的两条不相交的直线是平行线）。我感到仅仅这样做是事倍功半的，必须制造认知冲突。我进行了“误导”：“同学们，我们要科学精神，老师觉得这句话不够严密，现在运用你学的语文知识，咬文嚼字，研究一下这句话，是不是阐述得不完整，需不需要增加什么？是不是表达的太罗嗦，有的文字可以省去？现在请大家讨论。”

这次讨论够热烈了。他们感到惊疑，书本也有错误？老师您是否搞错了！我不动声色地巡视着各小组，并在学生“最近发展区”发问：不在同一平面内的不相交的两条直线是否也是平行线呢？哪几个字最要引起我们的注意，特别对“在同一平面内”这六个字加以思考，想过了吗？答案有了吗？并用实例说明。

“老师，我觉得‘在同一平面内’这六个字不需要。”忽然，一向举手发言的小胖子凌树华叫了起来。

“为什么？”

“比如，地球上的两条纬线不会相交，但它们平行。”

“那么，两条纬线是直线吗？”

“这个……对了，怎么我不考虑这一条件呢！”

“地球是圆的，不是平面，这里的纬线应该是曲线也要考虑到。凌树华同学的钻研精神很好。”我进行了补充和肯定。

这时，大家感到，认识一个概念，要全面考虑各个条件。

讨论结果：老师您也会“说谎”。我用狡诘又得意的眼神看了全班学生。是啊，同学们逐字逐句研究、反思，概念的本质属性已初步理解了，这比要求学生背十遍二十遍效果明显多了。学生似乎也知道了我的用意。

这是本堂课的所在。整个情景中深入了学生心理内部，以同感的态度，积极倾听学生展开的。而具体又正确运用神入、探究的技巧，制造学生心理内部的认知冲突，引导学生自我挑战，自我探究。从而较好地开发了学生的资源，符合数学新课程的教学理念和学生的认知规律。“‘同学们，现在请大家翻开课本P31，默读黑体字”（不在同一平面内的两条不相交的直线是平行线）。我感到仅仅这样做是事倍功半的，必须制造认知冲突。我进行了‘误导’。”这句内心的独白，首先，反映了教师站在学生认知的心理角度，就是一种深切的同感，而且，也反映了教师，在倾听中，不仅倾听学生的外部行为和内部心理，也在倾听自己的心理，这也是一名教师所必备的应有素质。这样，就为帮助学生有效的数学学习提供了必要条件。其次，教师的“误导”而产生学生的“认知冲突”，不是牵强附会，而是自然的在“最近发展区”“神入”，引起学生的自我挑战，投入到自我的探究中去。一场探究由此而来：把问题集中在“同一平面内”五个字上，让学生误入到“不是平面内的地球两条纬线”的陷阱中。再由教师一语道破天机：地球表面是平面吗？

到此学生恍然大悟。在教师“狡诘又得意的眼神”中，学生理解了教师的用意，理解了平行线概念的本质属性。这是一个助人自助的生动例子。

情景五：

让学生经历实际应用，强化对概念的理解是我下一步的策略。我在屏幕上放映出下面题目：

两架飞机在空中作直线航行，一架飞机在9000米上空由东向西飞行，可以把航线想象成一条东西方面的直线；另一架飞机在10000米上空由南向北飞行，可以把航线想象成一条南北方面的直线。这两条直线相交吗？这两条直线平行吗？我通过动画、声音，并用教具辅助，形象直观地进行了展示：

西

北

10000米

9000米

学生明白了：在空间，不相交的两条直线不一定是平行线。之后，我抓住时机出示了平行线的三个基本特征：

第一是在同一平面内；第二是两条直线；第三是不相交。这三个条件缺一不可。

即在同一平面内不相交的两条直线是平行线。

这时，同学们脸上露出会意的笑容。

“同学们，请大家在来看一看”我没有放弃直观图形在形象思维对抽象思维、空间观念的建立的作用，“课本上有两幅图正是反映了平行线的形象。”

⑴两条直线的铁轨；⑵教室同一面墙分别和天花板及地面的两条相交线；

“ 请同学们再举出几例。”我又把发言权让给学生。

“长方形的两组对边。” “操场上的双杠。” “100米直线跑道。” “电线杆上的电线。” “两根直立的电线杆。”……学生的一双双小手林立在教室的每个位置上。

“同学们，大家的发言很踊跃，但是有一个问题，注意到了吗？” 我把话题一转。“ 因为直线是可以向两方无限延伸的，所以在同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。但两条线段或两条射线不相交并不一定平行，只有当它们无限延和后而不相交，才平行。如图1，它们现在虽然都不相交，但延长后均相 交，所以AB和CD、OA和O′A′均不平行。

至此，我已经清楚，该把平行线的表示法告诉大家了：

如图2，直线AB和CD平行，记作“ABCD”，

读作“AB平行于CD”。不要把平行符号错写在“=”。

同时也应该让学生练习，把知识点的落实情况反馈给我。

I 课本P32练习1、2。

II 判断下列图中的图形是否是平行线？为什么？（四人小组讨论）

在同学们讨论的基础上，我用多媒体进行板书。

最后我让学生进行小结。

“请同学们回顾本节课主要学的内容及注意的问题。” 同学们唰刷地举起了手，我请三个小组同学代表进行回答，并帮助归纳：

⑴平行线的定义（强调三个特征）；

⑵在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线是平行线；

⑶直线外一点画已知直线的平行线要点。

（四步：一落二靠三推四画）

课后要求再去思考，要判断两条直线是否平行，除了定义外，有没有其他方法呢？

“叮铃铃……”下课铃响了，这时我看得出大家眼睛更加闪着光亮，似乎还沉浸在刚才“平行线”的经历的兴奋之中。

数学课毕竟不是心理辅导课，掌握数学知识和技能是新数学课程标准的第一目标。本情景的展开，是遵循学生“反应—强化”的认知规律，建立一个正强化的操作条件系统。这个系统还是围绕平行线概念的内涵进行，让学生在经历中去体验。飞机的飞行、火车路的铁轨、教室的墙面的交线、两根直立的电线杆等问题，来源与生活，来源与实践，再一次体现了新数学课程的思想。而图一，图二的知识强化题，更使平行线概念提升到更高的认识层面。后面的小结，让学生完成，发挥了学生的自主作用，使学生集中起散乱的思维和情感，促进平行线作法和概念得到进一步的梳理和认识。而最后的让学生带者问题下课，又使学生，建立求知的新起点。心理辅导的小结不是以任务完成为目的，而是让学生自己促进自己，产生新的视野，去解决新的问题。

二、数学“课堂心育”活动的几点理论性思考