数学中的反证法汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学中的反证法范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接证明时，就可考虑用反证法.

一、反证法的基本概念

1.反证法的定义

法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.

2.反证法的基本思想

反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：

“否定推理矛盾肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定.

3.反证法的逻辑依据

通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

二、反证法的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.反设.假设原命题的结论不成立；

2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；

3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.

即：否定结论推导出矛盾结论成立.

三、反证法的种类

1.归谬反证.结论的反面只有一种情形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.

2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.

四、反证法的典型例题

例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.

证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.

因为OA=OB，M是AB中点，所以OMAB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OMCD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理相矛盾.故AB与CD不能互相平分.

五、反证法的使用条件

任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.

虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.

例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试证之.

分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.

因此，对于下列命题，较适用反证法解决.

（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.

例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

即：0>（a-b）/a≥0这一矛盾说明ln（a/b）≤（a-b）/b

即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交换位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反证法是数学中的一种重要的证明方法.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”它是从命题的否定结论出发，通过正确的逻辑定理推理导出矛盾，从而证明原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，多一个条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，通过逆向思维，从结论入手进行反面思考，问题就能迎刃而解.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.

参考文献：

[1]赵振威.中学数学教材教法[M].华东师范大学出版社，2000.

[2]刘世泽.反证法的逻辑依据[J].高等函授学报，1997（4）.

[3]耿素云.离散数学[M].北京：高等教育出版社，1998.

[4]赵杰.反证法―――化难为易的法宝.中学生数理化（高二版），2010，（3）.

篇（2）

中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0077-02

在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。

一、反证法原理及解题步骤

1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。

2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。

二、反证法在中学数学中的应用

反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。

1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。

例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。

与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。

2.否定性命题。否定性命题，也就是结论以否定形式出现的命题，即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易人手，而运用反证法能使你见到“柳暗花明又一村”的景象。

3.存在性问题。在存在性问题中，结论若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此来推出矛盾，从而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我们用反证法来证明。

例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求证：a，b，c中至少有一个不小于1。证明：假设a，b，c都小于1，则2x2-2x+3.5

4.无穷性命题。无穷性命题是指在求证的命题中含有“无穷”、“无限”等概念时，从正面证明往往无从下手时，我们常使用反证法。

例3 证明■是无理数。证明：假设■不是无理数，那么■是有理数，不妨设■=■（m，n为互质的整数）， m2=3n2，即有m是3的倍数，又设m=3q（q是整数），代人上式得n2=3q2，这又说明n也是3的倍数，那么m与n都是3的倍数，这与我们假设m、n互相矛盾，■是无理数。

5.唯一性命题。有关唯一性的题目结论以“…只有一个…”或者“……唯一存在”等形式出现的命题，用反证证明，常能使证明过程简洁清楚。

例4 设0

从而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此与x1≠x2且0

三、应用反证法应该注意的问题

对于同一命题，从不同的角度进行推理，常常可以推出不同性质的矛盾结果，从而得到不同的证明方法，它们中有繁冗复杂，有简单快捷，因此，在用反证法证明中，应当从命题的特点出发，选取恰当的推理方法。

1.必须正确“否定结论”。正确否定结论是运用反证法的首要问题。

2.必须明确“推理特点”。否定结论导出矛盾是反证法的任务，但出现什么样的矛盾是不能预测的。一般是在命题的相关领域里考虑，这正是反证法推理的特点。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一出现，证明即告结束。

3.了解“矛盾种类”。反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。

反证法是一种简明实用的数学解题方法，也是一种重要的数学思想。学会运用反证法，它可以让我们掌握数学逻辑推理思想及间接证明的数学方法，提高观察力、思维能力、辨别能力，以及养成严谨治学的习惯。我认为，只有了解这些知识，在此基础上再不断加强训练，并不断进行总结，才能熟练运用。

参考文献：

[1]陈志云，王以清.反证法[J].高等函授学报（自然科学版），2000，13（6）：20-23.

[2]阎平连.浅谈反证法在初中数学中的运用[J].吕梁高等专科学校学报，2002，18（1）：28-29.

[3]张安平.反证法――证明数学问题的重要方法[J].教育教学，2010，1（11）：179-180.

篇（3）

一、什么是反证法

反证法也称作归谬法，通常人们是这样定义反证法的：“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。从而证明了结论的否定不成立，间接地肯定了原命题的结论成立。这种方法就叫做反证法。”在使用反证法的时候，通常通过以下步骤：“否定结论推导出矛盾结论成立。”反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较浅显的题目，在高中数学中使用得较为广泛，在解决较难的问题的时候，反证法更能体现其优越性。

二、反证法解决的常见题型

反证法虽然简单方便，但是任何方法的使用都有它成立的条件，都有它适用的范围。如果超越了使用的范围就会出现解题错误，解题方法也就不再适用，同样，也就会影响解题的成功率。因此，我们应该学会正确使用反证法来解题。

1.否定性问题

例题1：如果a，b，c是不全相等的实数，且a，b，c成等差数列，求证：，，不成等差数列。

分析：因为题目所证的结论是一个否定性的结论，如果直接证明的话让人有点无从下手，但是采用反证法就显得容易多了。

证明：假设，，成等差数列，则=+=，

由于a，b，c成等差数利，因此2b=a+c①，那么，==，即b=ac②，由①②得出，a=b=c，与a，b，c是不全相等的实数矛盾。故，，不成等差数列。

点评：在数学学习中，如果出现以下几种情况可以考虑使用反证法来解题：第一，题目是用否定形式叙述的；第二，题目选择使用“至多”、“至少”等文字叙述的；第三，题目成立非常明显，而直接证明时所用的理论较少，且不容易说明白的；第四，题目呈现唯一性命题特征；第五，如果题目的论证从正面较难入手证明，可以选择使用反证法。

2.某些存在性命题

例题2：假设设x，y∈（0，1），求证:对于a，b∈R，必存在满足条件的x、y，使|xy-ax-by|≥成立。

分析：本题主要是探索某些存在性问题，可以尝试用反证法。

证明：假设对于一切x，y∈〔0，1〕使|xy-ax-by|＜恒成立，令x=0，y=1，则|b|＜令x=1，y=0，得|a|＜令x=y=1，得:|1-a-b|＜，但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1--=产生矛盾，故欲证结论正确。

例题点评：在证明此类存在性命题的时候，使用反证法只要其中一个结论，就可以论证题目当中的结论的合理性，比直接证明省掉了一个证明的步骤，显得更为简单、明了。

3.结论为“至多”、“至少”的命题

虽然反证法是一种很积极的证明方法，用反证法证题还有很多优点：如适用范围广、思想选择的余地大、推理方便等。但是并不是每一道题都能用反证法来解的。比如对以下两个例题的分析。

例题3：若z，y均为正整数，且z+y>2．求证：＜2或＜2中至少有一个成立。

分析：一般而言，如果题目中出现“至少”或者“至多”的字眼，选择使用反证法要简单一些。

证明：假设≥2与≥2同时成立，因此，x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，1+y≥2x。

将以上两式相加得z+y≤2，这与已知条件z+y＞2矛盾，因此可以证明这个假设不成立。

因此，可以得出＜2或＜2中至少有一个成立。

例题4：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数，试证之。

证明：假设a＞0，则二次函数y=ax+bx+c+p的图像是开口向上的抛物线，显然可见，当p增大时，抛物线就沿y轴向上平移，而当p值增大到相当大的正数时，抛物线就上开到与x轴没有交点，则对这样的一些p值，二次方程的实数根就不存在。因此，a＞0，这一假设与已知矛盾。

同理，a＜0，也不合题意。

综上所述，当a＞0和a＜0时均不合题意。因此，a=0。

分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了。因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的。

当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c＞0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根。题设条件和结论矛盾。

因此，本题不能用反证法来处理。

但是，如果原题改为“如果对于任何正数，只存在正实根，则系数”，就能用反证法证明了。

点评：通过分析例题3、例题4，可以得出对于下列命题，较适用反证法来解决：

第一，对于结论是否定形式的命题；

第二，对于结论是以“至多”，“至少”或“无限”的形式出现的命题；

第三，对于结论是以“唯一”或“必然”的形式出现的命题；

第四，对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件相沟通的命题。

三、结论

牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一。”反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的。对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。

参考文献：

［1］赵杰.反证法――化难为易的法宝.中学生数理化（高二版），2010，（3）.

篇（4）

反证法大致又可以分为以下两种类型.

1.归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况就达到了证明目的，如本文中的例1和例3.

2.穷举法：论题结论的反面不止一种情况，要一一驳倒，最后才能肯定原命题结论正确，如本文中的例2.

反证法常用于以下几种命题的证明.

一、命题中不易找出可以直接推证的关系

例1 在同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a与b相交，ac，bd.求证：c与d相交.

证明：假设c∥d.因为ac，所以ad.又因为bd，所以a∥b.这与已知a与b相交矛盾，所以c与d相交.

二、命题中含有“不”、“无”等词（称作否定形式的命题）

例2 求证：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.

证明：假设有整数a、b，使a2-b2=2（2n+1），即（a+b）（a-b）=2（2n+1）.

当a、b同为奇数或同为偶数时，a+b和a-b皆为偶数，则（a+b）（a-b）应为4的倍数，但2（2n+1）除以4余2，与假设矛盾.

当a、b为一奇一偶时，a+b和a-b皆为奇数，则（a+b）（a-b）应是奇数，但2（2n+1）是偶数，与假设矛盾.

所以假设错误，即2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.

篇（5）

近世代数是一门较抽象的课程.它的主要研究对象是代数系统，即带有运算的集合.由于内容抽象，初学者往往会感到困难重重，尤其对于证明，不知如何从哪方面下手.其实，在掌握好它的基本概念、性质和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是数学证明里常用的，如，类比、归化、转化、反证等.反证法在近世代数的证明中用途极其广泛.它在数学命题的证明中有直接证法所起不到的作用，如果能恰当地使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.

反证法是分析问题和解决问题的一种科学方法.反证法又叫归谬法、背理法，是数学中常用的一种命题证明方法.反证法是对数学命题的一种间接证法，其理论依据是形式逻辑中的“排中律”和“矛盾律”.这种方法是从反面进行证明，即肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，使命题获得证明.有关“存在性”、“否定性”、“无限性”的命题，应用反证法的情况较多.在近世代数中，有些问题直接利用定理结论证明或用定义直接验证较困难时，可考虑使用反证法.本文就子群的阶、同构、主理想、素理想四个近世代数中几个重点难点内容展开讨论，希望学生在学习过程中由此能得到点滴启发.

反证法证题的步骤是：1.反设：反设是应用反证法证题的第一步，也是关键一步，反设的结论作为下一步“归谬”的一个已知条件.反设的意义在于假设所有证明的命题的结论不成立，而结论的反面成立；2.归谬：“归谬”是一个用反证法证题的核心，其含义是从命题结论的“反设”及原命题的已知条件出发，进行正确严密的推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的结果；3.结论：指出“反设”是错误的，原命题结论必正确.

1.反证法在子群阶中的应用

例1.设p，q是两个素数，且p

分析：这个结论易通过Sylow定理得到，但[1]中没有涉及Sylow定理，通过反证法可轻松证得.题目要证明至多存在一个子群，我们可以假设存在两个不同的子群.

证明：设H，K是群G的两个不同的q阶子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素数，故|H∩K|=q或1.

若|H∩K|=q，则由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，与H≠K矛盾.

注：从这一例题中可以看到，直接说明pq阶群G最多有一个q阶群难度相当大，但如果假设有两个不同q阶子群，通过推理出现矛盾，则说明最多有一个q阶子群.

2.反证法在同构中的应用

同构在近世代数中是一个非常重要的基本概念.如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的.简单来说，同构是一个保持结构的双射.在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射.

换言之，G的乘法表是唯一确定的.因此阶为6的非交换群存在且互相同构.

注：这一证明题不是一开始就给予结论否定，而是在证明中部分地方利用了反证法.如|b|≠3.若|b|=3，则在后面的推论中出现矛盾.

3.反证法在环中的应用

例3.证明卡普兰斯基（Kaplansky）定理：设R是一个有单位元用1表示的环，如果R的元素a有一个以上的右逆元，则a就有无限多个右逆元.

4.反证法在理想中的应用

注：说明极大理想都是素理想，可以假设有一个极大理想不是素理想，根据这一假设推出矛盾.

数学思维方法的训练是实现“授之以渔”教学举措的有效手段，我们应该在教学中有意识、有计划、有目的地利用不同类型的问题，从不同视角、不同途径分析、思考和探索，帮助学生拓展证题思路，形成良好的数学思维品质.善于反思，巧妙利用反证是解决数学问题的重要方法和策略，不仅能揭示数学知识的内在联系、规律和相互关系，更能从复杂问题中找到突破口，从而避免繁琐的证题过程，有效提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的探索和创新精神.

参考文献：

[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]汪秀羌.反证法的应用[J].工科数学，1997，2：163-166.

篇（6）

一、非命题

非命题是高中数学的简易逻辑中出现的概念，而在实际生活中，非命题类的语句也经常用到.“非”是否定的意思，对命题进行否定得出的新命题，我们称之为非命题.所以，当某一个命题为真命题时，将之否定得到的就是假命题，同样，若一个命题为假命题时，将之否定则是一个正确的命题，即真命题.一般情况下的这样两个命题称为一组“互非命题”.

我们来看一句话，为表述方便，把它记为A：“0的倒数是0.”这句话可以判断真假，我们称之为命题，又因为1/0在初等数学中没有意义，所以命题A是假命题，那么，将之否定将得到真命题，也即非A命题：“0的倒数不是0”是真命题.这是数学上的推理，然而在我们的日常口语习惯中，0的倒数既然没有意义，也就是前提不存在，那么结果无论是等于0还是不等于0都是不正确的.数学与逻辑有矛盾吗？

数学是头脑的体操，是逻辑的推演，结论是确定的、可控的，我们说“数学的世界里没有骑墙派”，当然不会产生矛盾.我们把刚才的命题数学化，写成条件命题的标准形式，若p则q形式，改写如下：若x=0则1/0=0；那么非命题为若x=0则1/0≠0，我们将1/0≠0理解成：这个整体可能根本不存在（无意义），也可能取某一个非零的值.换言之，它不仅包括原命题的反面内涵（也即非零值），还包括与之相关联、相和谐的一系列的相关外延.正是这一系列内涵与外延的独立，才使得利用逆否命题可以证明原命题.

二、反证法

反证法可以用来证明任何学科领域的命题.一般的，由证明若p则q形式，转而证明非q推出一系列结论，从而推出一个全新结论t，其中t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定非p为假，推出p为真命题.证明的一般步骤一般有三个：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.下面对这三个步骤详加说明.

步骤一：正确地作出反设.否定结论是正确运用反证法的前提，需注意所作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，而提出否定假设相当于增加了一个已知条件.

步骤二：推出矛盾是用反证法证明命题的关键.在证明和推导过程中，已知的一些定义、定理、已知条件都正常应用，提出的反设也作为一个已知条件参与证明和推导.需要注意的是如果否定事项只有一个，我们只要把这个反面驳倒，就能肯定原命题成立，如果否定事项不止一个时，就必须将结论所有否定逐一驳倒，才能肯定原命题成立.

步骤三：矛盾判定.需要针对具体问题看待矛盾，一般情况下，是与已知条件矛盾，特殊情况下，虽与已知条件相符（已知条件可在步骤一中参与推理），但与其他定义、定理、公理、事实等矛盾.

步骤四：既然产生了矛盾，必须推究产生的原因，因为在步骤二中的推演是合乎逻辑的正常推导，所以问题只能出在步骤一上，换言之，其反设有问题，由错误的条件产生的矛盾的结论，从而证明了原命题的正确.

三、逆否命题

在逻辑中的命题除了陈述和判定的语气、结构外，有些是在一定条件下的判断，也即：

在某种条件下成立某一结论，这种情形通俗点说就是“如果怎样则结果如何”，在数学上称为“若则命题”，一般表示为“若p则q”，而与之等价的命题为“若非q则非p”，这种命题将原命题的条件用非命题的形式作为新命题的结论，将结论的非命题作为新命题的条件，我们称之为原命题的逆否命题.

在本质上讲，原命题与逆否命题的等价性是反证法证明的逻辑基础.原命题为“若p则q”，则反证法的第一个步骤寻找反设，也即是认定非q的过程，步骤二的推导，也即“若非q则非p”的过程，步骤三的矛盾判定，实际就是非p的判断，步骤四本质上就是原命题与其逆否命题的等价认定过程.

综合以上，我们知道，逻辑判断过程中的逆向思维是以“非命题”形式作为基础，以“逆否命题”作为桥梁，以“反证法”作为实践手段实现的，而且，在逆向思维的应用中，已知的情况以及使之成立的一切条件和与之相符相伴相和谐的一切都在逆向判断的范畴内，所以逻辑是思维的过程，而数学是思维发展的产物，逻辑与数学是共生共存的关系，并且两者会相互促进、共同发展.

【参考文献】

[1]顾银丽.反证法在高中数学中的应用.数学学习与研究，2011（15）.

篇（7）

反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的命题，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了原命题的结论，从而使命题获得了证明。

具体的实施步骤为：第一步：反设，即作出与求证结论相反的假设；第二步：归谬，即将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步：存真，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

立体几何较其它学科而言有困难的一面，其中有些问题简直叫人束手无策。当山重水复疑无路时，若遵循“正难则反”的解题原则，应用反证法，则常可柳暗花明又一村。况且反证法是常用的数学解题方法。现列举反证法解决立体几何的几类棘手问题，以期抛砖引玉。

现列举反证法在立体几何证明中的一些常见应用，以供参考。

1、证明2条直线是异面直线

证明2条直线是异面直线可以用“平面内的直线与过平面外一点及平面内不在该直线上的一点的直线是异面直线”这一结论，但常用的还是反证法。

例1 如下图所示，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P， A∈a， D∈a， B∈b，E∈c，求证BD和AE是异面直线。

证明 设BD和AE不是异面直线，则BD与AE确定一个平面β，有A∈β， B∈β，E∈β，D∈β。因为A∈a，D∈a，所以a β。

又因为P∈a，所以P∈β。因P∈b，B∈b，所以b β。因E∈c，P∈c，所以c β，这与a、b、c不共面矛盾，从而有BD和AE是异面直线。

2、否定性命题

当结论以“没有…”、“都不…”、“不是…”、“不能…”、“不存在…”等否定形式出现时，由于直接法证明不易入手，可以考虑用反证法证明。

例2证明：在空间中不可能有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而它们的每个面又都有奇数条边。

分析：条件中出现“奇数个面”、“奇数个边”，由此联想到奇数的性质，借助于奇数的性质来证明结论。

证明：假设存在这样的多面体。它有n个面（n为奇数），每个面的边数分别是S；、S：、…、S n（S，、52…S。都是奇数），并设多面体的总边数是5。因为每条边都是两个面公有的，所以S；十52+…+S。~25。此式的左边是奇数个奇数的和，仍然是奇数；而右边是偶数，这是不可能的。所以命题得证。

说明：在命题结论中涉及否定论断，因为再否定就是肯定，而对于肯定的结论一般比原结论更具体明确，易于证明。

3、此前无定理可直接引用

学习立体几何的初始阶段，有时面对题目中需证的结论，由于所学定理很少，往往没有能从正面直接可用的定理，显得无法入手。此时若用反证法，很可能豁然开朗，化难为易。

例3 已知四边形ABCD的四个角ABC、BCD，CDA、DAB都是直角，求证四边形ABCD是矩形。

A

分析 要证四边形ABCD是矩形，因其四个角都是直角，故只要证明四边形是平面四边形即可。

证明假设四边形ABCD的四条边不在同一个平面内，不妨设边BC，CD在平面a内，则AB ，AD都在平面a外。

作AA'a于A'，连结A'B，A'D，则由AB上BC，ADCD，根据三垂线逆定理得A'BBC，A'DCD。从而平面四边形A' BCD中有三个直角，则四边形A'BCD是矩形， BA'D=900，BD2=A'B2+A' D2。

又在RtABD中，BD2= AB2 + AD2，因而有A'B2+A'D2=AB2+AD2。但由A'B < AB，A' D < AD，知A'B2+A'D2

所以假设不成立，则四边形ABCD是平面四边形，进而是矩形。

4、数量上无限的某种元素

结论是数量上无限的某种元素都具有某种特征的命题，无法把这些元素一一列举出来给以直接证明，这时可采用反证法证明其中任意一条莫不具有这种特征。

例4 过已知平面外一点且平行于该平面的直线，都在过已知点平行于该平面的平面内。

5、运用反证法应注意的问题

（1）穷举法的运用。如果原命题的否定只有一面，那么只须把这一面，这种单纯的反证法叫归缪法：如果命题题断的否定不只是一面，此时必须将其各面都驳倒，才能肯定原来的题断成立。这种较繁的反证法叫穷举法。我们在运用反证法时，要注意穷举法的运用。例如已知：a//b，a =A，求证：b和 必相交于一点。用反证法证明时，应假设b和 不相交于一点，然而不相交于一点包含两个方面，一是b ，二是b// ，因此必须分两个方面予以推论而得：b 不可能，及b// 也不可能，从而得出b和必相交于一点。

（2）反证法时的图设。用反证法证题时，假设和命题的事实是相矛盾的。因此在空间图形的图设中，不可能用一个图形把两个相互矛盾的方面同时反映出来。所以作图时，我们常常把所作的图形故意加以歪曲。

（3）反证法的图设大致可分三类：一类是按事实原本无法成型的。这类题目在应用反证法时，我们应对事实作全部的歪曲，也就是在证题过程中作出一个假设成立的四棱锥，并且它符合题设给我们的条件。第二类是在正确的图形中，添补局部与事实不符的图形。第三类，是按题设可以正确作出图形的，此类题目也就不必对图形加以歪曲。

参考文献：

[1]郝睿达.立体几何中的反证法[J].数理化解题研究（高中版）,2007(3)

篇（8）

数学是一门注重培养学生思维的学科。《高中数学课程标准》中明确指出：“数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用，要注重对数学本质的理解和思想方法的把握。”长期的实践表明，如果按部就班的对学生进行引导，会导致学生形成思维定式。而有意识的对学生进行逆向思维的训练，有利于帮助学生转变错误的观念，形成正确认知，而且有利于帮助学生发展创新思维。本文结合笔者多年的教学实践经验，就“高中数学教学逆向思维能力的培养”这一课题浅谈如下自己的看法。

一、什么是逆向思维

所谓逆向思维，是一种创造性思维，它是指与原先思维相反方向上的思维。相对正向思维而言，它是与人们常规思维程序相反的，不是从原因（或条件）来推知结果（或结论），而是从相反方向展开思路去分析问题、得出结论。

逆向思维就是突破习惯思维的束缚，做出与习惯思维方向相反的探索。如果学生有逆向思维的能力，采用这种思维去解决问题，就很容易找到解题的突破口，寻找到解题的方法和恰当的路径，使解题过程简洁而新颖，逆向思维不仅可以加深对原有知识的理解，还可以从中发现一些新的规律，或许会创造出更新更好的方法。在数学教学中有目的地设汁一些互逆型问题，能从另一个角度去开阔学生的思路，就会促使学生养成从正向和逆向两个方面去认识、理解、应用新知识的习惯，从而提高学生分析问题和解决问魉的能力。

二、高中数学教学逆向思维能力的培养途径

1.在数学概念教学中训培养逆向思维。高中数学中的概念、定义总是双向的，不少教师在平时的教学中，只注意了从左到右的运用，于是形成了思维定势，对于逆用公式法则等很不习惯。因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展。

2.在解题教学中的培养逆向思维。解题教学是培养学生思维能力的重要手段之一，因此教师在进行解题教学时，应充分进行逆向分析，以提高学生的解题能力。

（1）顺推不行则逆推。有些数学题，直接从已知条件入手来解，会得到多个结论，导致中途迷失方向，使得解题无法进行下去。此时若运用分析法，从命题的结论出发，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解题途径。

（2）直接不行换间接。还有一些数学题，当我们直接去寻求结果十分困难时，可考察问题中的其他相关元素从而间接求得结果。

3.利用反证问题培养逆向思维。反证法实质上是证明命题的逆否命题成立，即当命题由题设结论不易着手时，而改证它的逆否命题，是从题断的反面出发，以有关的定义、定理、公式、公理为前提，结合题设，通过推理而得出逻辑矛盾。从而得知题断的反面不能成立。应用反证法证明的主要三步是：否定结论一推导出矛盾一结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

4.强化学生的逆向思维训练。一组逆向思维题的训练，即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目相似的新题型。在研究、解决问题的过程中，经常引导学生去做与习惯性思维方向相反的探索。其主要的思路是：顺推不行就考虑逆推；直接解决不了就考虑间接解决；从正面入手解决不了就考虑从问题的反面入手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性。

5.灵活运用基本数学方法，促进逆向思维发展。

（1）分析法是从结论出发“执果索因”，步步寻求结论成立的充分条件，它只要求每相邻的两个论断中，后一个是前一个的充分条件（不一定等价），用分析法思考，要论证的结论本身就是出发点，学生知道了应从什么地方着手，能自觉地、主动地去思考，学生的解决问题的信心便大大增强了。“由因导果”的方法通常称为综合法。分析法和综合法各有千秋，可以互相弥补对方的不足。在实际论证一个命题时，先用分析法思考发现可以作为论证出发点的真命题，再用综合法表达出证明过程，两者配合起来，在教学中运用十分广泛，且分析法常用于不等式和恒等式的证明。

（2）逆证法虽然也是从结论出发，但它与分析法还是有区别的，逆证法要求推理过程中，任何两论断都互为充要条件，逆证法首先对不等式或恒等式进行变形，逐步推出一个已知的不等式或恒等式，这比较直截了当，检查这些变形是可逆的并不困难，但在一般情况下使用逆证法并不省事，应让学生重点掌握分析法。

参考文献：

篇（9）

        二、克服反证法教学心理障碍

        学生的心理结构的发展过程包括图式—同化—顺应—平衡等四个过程。当一个新知识出现时，学生首先是用旧的认识结构对其进行解释与吸收，将新知识纳入原有的认识结构之中。当原有的认识结构不能解释，不能容纳新知识时，则内部系统及对原有认识结构进行重新改组，扩大。使之足以包摄新知识，达到新的平衡。学生在以往学习的只是直接证明方法，推理中的每一步在感知上和逻辑上都不会与原有的知识系统和认识图形相互矛盾。他们在具体证明某一题目时，只须将题目具体内容“同化”到他们原有的认识结构或演绎体系中去。这种感知上与逻辑上的一致性已经形成了他们进行演绎推理的心理基础，成为他们达到心理平衡的依据。运用直接证明方法时，也有心理障碍存在，但那是由于在错觉影响下，或在下意识作用下的原因所造成的。而学习反证法时，推理过程中出现的是感知与逻辑上矛盾的情形，与错觉或下意识是不同的。要使学生真正掌握反证法。不将学生原有的演绎体系提高到更高的层次，也就是进行“顺应”的过程，是不可能的。反证法的教学，不应拘泥于教材，宜采取分散难点，逐步渗透，不断深化的方法。有步骤、有计划地落实到教学之中，着重培养学生进行形式演绎的能力。

        结果，指导学生练习时，一定要突出两点：一是要将结论的反面当成新的已知条件后，才能由此推出矛盾的结果，否则就不能导致矛盾。二是推理要合乎逻辑，否则即使推出了矛盾后，也不能断言假设不成立。也就是说在“归谬”的过程中其推理应是无懈可击的，其矛盾的产生并非别的原因，只因反设不成立所致。同时，导致矛盾又有如下几种情况：一是与已知条件矛盾。

        二是与已学定义、公理、定理相矛盾。三是与题设相矛盾。

        3、“结论”的练习：“反证法”中的结论是指最后得出所证命题的结论。教学时，一定要严格要求“结论”准确。否则，将前功尽弃。

        （四）比较辨析，恰当运用“反证法”

        “反证法”在几何、代数、三角等方面都能应用。教学时，为了扩展学生的视野，激发学生积极性，可适当补充这方面的练习题。另一方面，学生学了“反证法”之后，企图什么证明题都想用“反证法”来证，结果使一些简单问题复杂化了，以致弄巧成拙。教学时还应强调，什么时候用“直接证明法”，什么时候用“反证法”，应依所证命题的具体情况恰当使用。

原则上是“以简

  （一）浅显事例引入“反证法”的基本思想

学生刚接触“反证法”时，对于此法中根据排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教学时，可通过学生已有实践体会的浅显的生活方面的事例让学生逐步领会。开始将“反证法”用于解题时候，也宜于用学生已掌握的而且也是最浅显的例子引入。

        （二）精讲例题，找出“反证法”的基本规律

有前面的基础，就要注意讲好每一个具有代表性的例题。特别是重要讲好建立新概念或引出新方法时的第一个例题。教学时，宜于运用具体的几何实例。逐步说明证明的过程，并启发学生沿着思维规律进行思考，得出“反证法”的一般步骤和规律：

        1、反设：将结论的的反面作为假设。

        2、归谬：将“反设”作条件，由此推出和题设或者和公理、定义、已证的定理相矛盾的结果。

        3、结论：说明“反设”不成立，从而肯定结论不得不成立。

        （三）加强练习，培养用“反证法”证题的基本能力

在学生初步领会“反证法”的基本思想，掌握“反证法”的基本方法以后，还应靠足够的练习来逐步培养学生运用“反证法”证题的能力。练习要有针对性，要重点突出，根据“反证法”的特点，练习的着重点应放在“反设”、“归谬”、“结论”三个方面。

        1、“反设”的练习：“反设”即为“否定结论”，它是反证法的第一步，它的正确与否，直接影响着“反证法”的后续部分，学生初学时，往往去否定假设，教学时，应注意纠正。要突出“反设”的含义就是“将结论的反面作为假设”。在思考途径上可指导学生按以下几步进行：第一要弄清所证命题的题设和结论各是什么。第二找出结论的全面相反情况，注意不要漏掉又不要重复。第三否定时用“不”或“不是”加在结论的前面，再把句子化简。

        2、“归谬”的练习：“归谬”即“假定结论的反面成立，而导致矛盾。”就是说将结论的反面作为条件后，经过逻辑推理，导出矛盾的结果，这不但是反证法的主要部分，而且也是核心部分。学生初学时，为宜”。一般来说，用“直接证法”的时候居多，但遇下列情况可考虑用“反证法”。

        1、当直接证明某个命题有困难或不可能时，可考虑使用“反证法”。

        2、否定性问题：在此类问题中，结论的反面即可能就更为具体，常常可以由此去推出矛盾，从而否定可能，而肯定了不可能。

        3、唯一性问题：此类问题中，结论的反面是不唯一的，那么，至少可有两个不同者，由此去推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一。

篇（10）

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和的形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用得最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到。

二、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法，在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除了中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，还有如利用拆项添项法、求根分解法、换元法、待定系数法等。

三、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

四、判别式法与韦达定理

一元二次方程a2x+bx+c=O(a、b、c∈R，a≠0)根的判别，=b2―4ac不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形、解方程(组)、解不等式、研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

五、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

六、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法：通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

七、反证法

反证法是一种间接证法，它先提出一个与命题结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

八、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时也会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

九、几何变换法