函数最值的应用汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇函数最值的应用范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

 

重点难点

求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类型的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法来处理；还可以通过数形结合利用三角函数的图象或其他几何意义求解.

 

重点：明确三角函数的最值的常见类型和处理方法，能运用转化思想，通过变形、换元等方法熟练地求解三角函数的值域和最值.

难点：三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的取值范围，还要注意弦函数的有界性. 含参数三角函数的最值的分类讨论也是一个难点.

 

方法突破

篇（2）

俗话说得好：“学好数理化，走遍天下全不怕”，我们在讲解数学知识的过程中也要充分和实践相结合。综合分析多年来的单招高考试题，不难发现，试卷的重难点大多集中在函数这一章节。函数知识点灵活，和中职所学的很多知识都有关联，均值定理是中职数学的重要组成部分，在单招高考中占有一定的比重，成为单招高考的高频考点，总能以各种形式出现在单招高考的舞台上，成为考验学生综合能力素养的体现。因而，我们教师如何将均值定理运用于函数最值这一个知识点讲得通透准确显得尤为关键，下面给出常规的例题讲解和教学方法。

一、指导学生多种解题思路，避免出题陷阱

例1 求函数f（x）=+x（x

对于均值问题， 最常规的解题思路是直接套用公式，但是很多学生往往忽视使用公式的前提条件，忽视“一正，二定，三相等”这一前提，因此在解答这道题时很多初学者会犯一类错误，直接由均值定理得出答案是2，但很明显，当x

例2 如果a>b，ab=1，求的取值区间。

这类题我们首先应该观察所求表达式本身的分子与分母的关系， 通过使用配凑法以及取公因式得到新的函数，根据题目所给条件，确定a>b，a-b>0确保了“一正，二定，三相等”的使用原则，令x=a-b=a-，则f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值区间。在解决此类题的过程中，最重要的是引导学生简单地分析题目的条件，根据所给关系式运用配凑法等找出解决题目的核心，然后判断题目所给的既定条件是否符合均值定理的使用原则，找出核心的关系式是解决此类问题的关键。其实之所以均值问题会成为单招高考中的杀手锏，是因为学生不能够根据题目条件很迅速地确定答题关键，找出核心的关系式。因此，我们针对学生出现的这类问题，需要适时地调整我们的教学方法，尽量做到一题多解，并且指导学生掌握正确的学习方法，这对后期的学习会有更大地帮助。

二、明确学习目标，结合各地单招试题分析

很多学生对单招高考比较迷茫，对数学知识点更是没有很好地把握。因此，我们教师要分析各地多年来的高考试卷，结合单招改革的形式，搜集有关的试题，结合例题讲解，让学生理解并学会应用均值定理解决函数最值问题。教学过程中，我们要考虑学生的接受能力，步步为营、稳扎稳打，在学生平时的学习过程中穿插一些高考题，让他们对高考有个简单的了解，并且在讲解的过程中要注意学生的解题思路，很多学生乍一看答案都是对的，但是很多都是误打误撞的，并没有准确地理解定理运用的前提，这是解题的大忌，要做到精细和准确两手抓，确保学生明确均值定理后再开始运用。

笛С杉ê玫难生并不是老师教出来的，学习最重要的过程是反思和将知识内化，彻底理解并形成自己的思维模式才是最难能可贵的，因此我们要指导学生掌握科学的学习方法，尤其是在均值定理这一个知识点中。首先，学生得明确数学的学科性质，死记硬背是行不通的，对于均值定理虽然只有几个简单的概念，但是真正的消化并不容易，我们在上课的过程中就要帮助学生准确地理解均值定理的由来，三个条件缺一不可。其次，在我执教的过程中，我都会要求学生准备错题集，均值定理在函数最值问题中的应用范围很广，很多题目初看觉得和定理无关，其实很多解题关键都是很隐秘的，学生必然会掉到陷阱里。那么如何将这些知识做一个很好的归类呢？这就要发挥错题集的作用了，将自己经常错的和题目条件隐晦的题目整理起来，帮助自己后期系统复习，也弥补了这类知识的学习漏洞，考前将错题重新做一下相较于做新题更有价值，学习本就是不断温故知新的过程。

综合而言，均值定理的教学过程中要充分帮助学生正确地理解使用原则，并且运用不同的典型例题进行讲解，帮助学生建立基本的知识架构，并且要做到一题多解，避免学生思维单一性。最关键的是要指导学生科学的学习方法，让学生成为学习的主体，完成对知识的内化。

篇（3）

例1 （2012年江苏扬州）如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是 .

图1

解析：设AC=x，则BC=2-x.

ACD和BCE都是等腰直角三角形，

∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.

∠DCE=90°.

DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■・（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.

当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.

例2 （2012年宁夏）如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作APPE，垂足为P，PE交CD于点E.

（1）连接AE，当APE与ADE全等时，求BP的长；

（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？

（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长.

图2

分析：（1）由APE≌ADE，可得AP=AD=3.在RtABP中，运用勾股定理即可求得BP的长.

（2）由APPE，得RtABP∽RtPCE. 根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式，然后化为顶点式即可求得当x=■时，y的值最大，最大值是■.

（3）由PE∥BD，得CPE∽CBD.根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP的长.

解：（1）APE≌ADE，AP=AD=3.

在RtABP中，AB=2，BP=■=■=■.

（2）APPE，RtABP∽RtPCE.

■=■，即■=■.

y=-■x2+■x.

y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，

当x=■时，y的值最大，最大值是■.

（3）设BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.

PE∥BD，CPE∽CBD.

■=■， 即■=■.

将上式化简，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合题意，舍去）.

当PE∥BD时， BP=■.

二、求线段积的最值

例3 （2012年江苏苏州）如图3，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2

（1）当x=■时，求弦PA、PB的长度；

（2）当x为何值时，PD・CD的值最大？最大值是多少？

图3

分析：（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l.又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行. 根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出PCA与APB相似.由相似得比例式，将PC及直径AB的长代入比例式求出PA的长.在RtAPB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长.

（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点.再由有三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OACE为矩形.根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.

解：（1）O与直线l相切于点A，AB为O的直径，ABl.

又PCl，AB∥PC. ∠CPA=∠PAB.

AB为O的直径，∠APB=90°.

∠PCA=∠APB.PCA∽APB.

■=■，即PA2=PC・AB.

PC=x=■，AB=4，PA=■=■.

在RtAPB中，由勾股定理得PB=■=■=■.

（2）过O作OEPD，垂足为E.

PD是O的弦，OEPD，PE=ED.

在矩形OECA中，CE=OA=2，

PE=ED=x-2.

CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .

PD・CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.

2

当x=3时，PD・CD有最大值，最大值是2.

三、求周长的最值

例4 （2012年四川南充）如图4，在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点.把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B.

（1）求证：MA=MB；

（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

图4

分析：（1）连接OM，证明PMA和OMB全等即可.

（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，则在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.

解：（1）证明：连接OM .

在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，

PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.

∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，

∠PMA=∠OMB.

PMA≌OMB（ASA）. MA=MB.

（2）AOB的周长存在最小值.理由如下：

PMA≌OMB ， PA=OB.

OA+OB=OA+PA=OP=4.

设OA=x， AB=y，则y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.

当x=2时，y2有最小值8，从而 y的最小值为2■.

AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2■.

四、求面积的最值

例5 （2012年四川自贡）如图5，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.

图5

解析：设BM=xcm，则MC=（1-x）cm.

∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，

∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.

ABM∽MCN，■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.

S四边形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=

-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.

-■

当x=■cm时，S四边形ABCN最大，最大值是■cm2.

例6 （2012湖南株洲）如图6，在ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.

（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？

（2）当t为何值时，AMN的面积最大？并求出这个最大值.

图6

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程，求出t值即可.

（2）作NHAC于H，证明ANH∽ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算AMN的面积得到有关t的二次函数，最后求出最值即可.

解：（1）M点从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，

AM=12-t，AN=2t.

∠AMN=∠ANM，AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.

当t为4秒时，∠AMN=∠ANM.

（2）如图6，作NHAC于H，∠NHA=∠C=90°.NH∥BC.

ANH∽ABC.

篇（4）

一、最小二乘法求直线拟合的原理

在大学物理实验中，有不少直接从实验的数据求某种物理规律的经验方程即函数关系的问题，此类问题称为方程的回归问题。方程的回归的首要问题就是确定函数形式，两个物理量x、y之间存在：y=a+bx（1）的线性关系，如用自由下落物体测量重力加速度，在气垫导轨上验证牛顿第二定律，用拉脱法测量液体表面张力系数实验中力敏传感器的定标，等等，（1）式中a、b均为常数，且只有一个变量x，此类关系也称为一元线性回归。回归的问题可以认为是用实验数据来确定方程中的待定常数，即求解参数a、b。例如实验测得的数据是x=x，x，…，x时，与之对应的y=y，y，…，y。假设x的误差可以忽略，仅y具有相互独立满足正态分布的测量误差，记作d，d，…，d。这样，把实验数据代入（1）式中，有：y=a+bx+dy=a+bx+d……y=a+bx+d（2），此方程由于未知数比方程数多，故不能直接求解，要想得到合理的a、b值，就要根据最小二乘原理，使y的残差平方和RSS=?蒡（y-（a+bx））（3）为极小值。由=0和=0，分别可得?蒡（y-（a+bx））=0（4）和?蒡（y-（a+bx））x=0（5），联立上式可得：a=（6），b=（7），进一步可得x和y的相关系数r：r==（8）。

二、LINEST函数的应用举例

拉脱法测量液体表面张力系数实验是大学物理实验中的一个经典实验。随着实验仪器的更新，传统的焦利氏称逐渐作简便准确度更高的FD-NST-Ⅰ型液体表面张力系数测定仪所取代，实验仪器如图1所示。

在该实验中，记下吊环即将拉断液柱前一瞬间数字电压表读数值，拉断时瞬间数字电压表读数U，便可依据公式f=（U-U）/b（9）测得液体表面张力f，（9）式中b为硅压阻力敏传感器的灵敏度。在力敏传感器上分别加各种质量的砝码，测出相应的电压输出值，结果见表1所示。

力敏传感器为测力装置，在拉力小于0.098N时，拉力和数字电压表的输出值成y=a+bx的线性关系，其中b为力敏传感器的灵敏度。得到b值的过程我们称为力敏传感器的定标。在定标过程中需要用最小二乘法拟合仪器的灵敏度b，该计算很繁琐，但根据误差理论此方法最佳，我们可利用Excel软件中的LINEST函数进行数据处理，方便简洁不易出现错误。

打开Excel软件，在A栏和B栏分别输入数字电压表的输出值和砝码对应的拉力数值，其中B栏数值的单位为N，如图2。

选C、D栏为放计算结果的区间，鼠标点击“插入”栏选择“插入函数”，弹出“插入函数”二级界面后，在“或选择类别”栏选择“统计”，在“选择函数栏”点击LINEST函数，如图3所示。

鼠标点击确定后进入如图4所示的界面，在Known_y’s栏输入A1∶A7，在Known_x’s栏输入B1∶B7，Const和Stats栏分别输入true。

按Ctrl+Shift+Enter键，便得到了最小二乘法求直线拟合后的数据，如图5所示。其中C1栏显示为斜率，即经最小二乘法拟合后的仪器的灵敏度b，b=3.015×10mV/N。C3栏为拟合的线性相关系数r=0.9994。

三、结语

通过以上的实例分析可知，在大学物理实验数据处理中，用传统方法求解一元线性回归方程的参数计算量大，容易出现错误，学生在处理数据时也易产生抵触心理。合理利用Excel软件中的LINEST函数进行数据处理，简单方便，不失为最小二乘法求直线拟合的一种好方法。

参考文献：

篇（5）

在中学数学中常遇到一类求函数最大值、最小值的问题，它是中学数学教与学中普遍感到困难的一类问题。函数最值涉及的知识面较广，方法也灵活多变，训练思维能力效果好，因此在数学中占有重要的地位，要学好函数最值就必须了解和掌握求函数最值的方法与技巧。函数最值的基本方法有很多，这章主要介绍代数法、导数法、构造法、数形结合法、引进复数求函数最值。

一、配方法

代数法是中学阶段应用最广泛的方法，它包括配方法、判别式法、换元法、不等式法等。首先，我们介绍配方法。

利用配方法将二次型转化为标准型求函数最值的方法不仅易于掌握，而且思路清晰，操作简单，它是求二次函数最值一种行之有效的方法。配方法及其思想在数学分析、高等代数、空间解析几何等中都有着广泛的应用。配方法的基本步骤如下：

函数y=ax2+bx+c，经配方得

y=ax+2+，

若a>0，当x=-时，ymin=；

若a

配方法是一种对数学式子进行定向变形（配成完全平方）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。掌握这一方法关键在于合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧。

二、判别式法

判别式法主要是应用方程的思想来解决函数的最值。它是我们解题时常用的方法，具体的过程如下：

将函数y=，

改写成关于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，

则它有实数解x的充要条件是其判别式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，

从而由等式（方程）转化为关于y的不等式，从而求其最大或最小值。在解题中应注意a（y）≠0。

利用判别式法求函数的最值时应注意两点：

（1）求函数的定义域；

（2）对于二次方程的二次项系数要分零和非零两种情形。

三、换元法

利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决。求函数最值的换元法主要有三角换元法和代数换元法。中学数学中较常见的是下面两种形式的换元。

（1）y=ax+b+，令t=，将y转化为t的二次函数，再求最值。

（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，将y转化为t的二次函数，再求最值。

四、不等式法

中学数学中利用均值不等式求函数最值是一种基本的、常用的方法。灵活运用均值不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值。均值不等式的运用有三个严格的限制条件，即（1）各项均为正数；（2）积或和是定值；（3）等号能否取到，简言之“一正二定三相等”，三个条件缺一不可。以下是有关均值不等式两个定理。

定理1：当a，b∈R+时，则≥，当且仅当a=b时等号成立。

定理2：当a，b，c∈R+时，则≥，当且仅当a=b=c时等号成立。

五、导数法

导数法一般用来解决一类高次函数的最值。

用导数法求函数最值的步骤为：

第一步：找出fx在a，b内所有可能的极值点，即驻点和一阶不可导点；

第二步：求出fx在上述点和两个端点a与b处的函数值；

第三步：将函数值进行比较，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

综上可知，函数最值内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，当一题有多种解法时，应注意选择最优解法。以上就是本文整理出的有关于求函数最值的一些解法。当然求函数最值的方法不止这些，这里只是对求函数最值的方法作部分的归纳，具体的方法还有待去进一步的发现和总结。

六、结语

函数最值的方法是数学解题中既重要又实用的技巧。因此，深刻理解函数最值，熟练掌握求解函数最值的方法并在实践中灵活运用，是我们学好数学的关键。

以上求解函数最值的方法与应用并不全面，事实上还存在很多有关函数最值的求解方法和在其他方面上的应用，因此需要不断更新、研究，以便总结出更多求解函数最值的方法和更有效地应用这些方法解决函数最值，让函数最值的方法的应用更加广泛。

参考文献：

篇（6）

利用三角函数的有界性求三角函数的最值，关键在于应用三角函数的公式、性质将三角函数式化为复角的单名函数式或某些已知其最值的三角函数，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函数y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中le=arctg，即sin（x+le）=。

|sin（x+le）|≤1，≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函数y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中le由cosle=，sinle=决定。

又因为 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用变量代换法求最值

求三角函数的最值时，有时选取适当的变量代替式中的三角函数式，能使问题迎刃而解。但作变量代换时要特别注意式中变量的取值范围。

例3 求函数y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），则sinxcosx=。

t=sin（x+），-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函数y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函数变形得y=sin2x-4sinx+5。

设sinx=t （-1≤t≤1），

则得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又-1≤t≤1，当t=1时，ymin=2。

当t=-1时，ymax=10。

三、应用平均值不等式求最值

应用平均值不等式来求三角函数的最值，关键在于恒等变形，把三角函数式变为能应用平均值不等式的基本形式。

例5 求函数y=+（a>b>0，0

解：y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，当且仅当atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=时，ymin=（a+b）2。

四、利用几何图形性质求最值

利用几何图形性质求最值的特点是直观、简洁，将最值问题转化为求直线的斜率问题，求形如y=的最值关键在于把F（f（θ），yθ）=0看作一条曲线的方程，那么y=等于曲线上的动点A（f（θ），g（θ））与定点B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲线上找一点，使KAB最大或最小。

例6 求函数y=的最值。

篇（7）

一、灵活应用不等式转换

例1.设 且 ，求 的最大值。

分析：注意到 不是定值，而条件 中无根号，因而想到去掉根号凑成 的形式。

一般的：当 且 ，则 的最大值是 （其中 都是常数）

此例可见灵活应用不等式并不是无目标的猜想，其要求我们不墨守陈规，化生疏为熟悉，在推理过程中做到严密正确。

二、合理使用配方法

例2.求函数 的最值。

在应用配方法前，注意隐含条件的思维方法，不可盲目使用导致最值的扩大或缩小，注意条件的严密性。

三、充分利用数形结合

例3.求函数 的最小值

① 选取坐标的科学严谨性

② 转化数学思维的灵活性

四、谨慎使用判别式法

例4.求函数 的最值

① 用判别式法求函数最值时，解 0中，其“>”与“=”有一个成立即可。故写出最值时，务必考虑到它的“极端”情况“=”能否成立。

② 由于函数到方程，中间将有个变形（不一定是恒等变形）过程，将原函数转化为关于 的二次方程，在解关于 的不等式。

③ 若忽视隐含条件就容易出错，故务必考虑到其函数本身的取值，应谨慎使用。

五、合理使用换元法

当已知函数的次数较高，则想方设法降次是必须解决的任务。所以应用换元将是一个有力的工具。

例5.求函数 的最值。

六、奇妙的增量代换法

例6.求函数 的最大值和最小值。

解：函数 的定义域是 。所以 是4与一个增量之和，且这个增量在 内取值。

当 时， 取得最大值2；

当 时， 其的最小值1。

利用增量代换法取得来解决和处理最值问题，是中学数学中的一种重要方法，可表现出奇妙的作用。

七、利用导数求最值

例7.一个容器，下半部是圆柱上半部是半球，且圆柱底面半径和半球的半径相等；设容器的表面积为s，问圆柱的高与底面半径之比为何值时，容器的容量最大？

解：设圆柱的高为h。底面半径为R，则

（1）

容器的容积 （2）

把（1）代入（2），整理得

令 ，即 解得 （舍去负值）。

经检验，这个R值能使V有最大值，代入（1）得

故当 时，容器容积最大。

八、应用函数求最值

例8.已知 所在平面内有一条直线 过其直角顶尖 ，且 在直线的同一侧，求 以 为轴旋转所得旋转体的最大体积。

解：所得旋转体的体积等于一个圆台的体积减去一个小圆锥和一个大圆锥的体积，分别通过A.B做 的垂线，垂足为D.E，设圆台上、下底面半径分别为 ，大、小圆锥的高分别为 ，设 ，则

故所得旋转体的体积为

上两例，不管用导数还是有界函数求最值，都选择了某一几何量作为自变量，建立函数解析式。这是求最值问题的一种有效方法。

九、以市场经济为背景

例9.某旅行社在某地组织旅游团到北京参观，共需6天，每人往返机票、食宿费、参观门票等费用共需3200元，如果每人收费标准为4600元。则只有20人参加旅游团；高于4600元时，没有人参加，如果每人收费标准从4600元降低100元，参加旅游团人数就增加10人；试问：每人收费标准定为多少时，该旅行社所获得利润最大？

（职高教材基础版第一册P137第32题）

解这类营销应用问题需理解有关名词的含义，如“利润=销售价-成本价”，掌握有关函数及计算方法：

解：设每人收费标准为 元 ，则收费标准下降了4600- 元，旅游团人数增加了 人，根据题意得利润 （元）与收费标准 （元）的函数关系式：

整理得：

当 =4000元时， =6400元

答：当收费标准定为4000元时，该旅行社所获得利润最大，最大利润为6400元。

综上各例，无论用哪种方法求最值，奇妙的规律性是解决最值问题的关键；我们在教学中应积极培养学生的洞察能力来处理不同题型，才能进一步提高数学教学的质量。

参考文献

[1] 苏居宁.《立体几何中的最值问题》《中学数学研究》1996-8

[2] 邱志明.《关于函数最值问题的教学》.《中学数学研究》2003-10

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一、引言

最值问题是数学领域中的重要组成部分，更是函数研究中尤为重视的一块分支。它贯穿于多个学科中，更是被频繁的应用于一些日常生活中各种实际问题的解决，而其解法又具有多样性和灵活性，函数最值问题本质是求取具体问题的最优解，对于不同的最值问题，采取的解决办法都不尽相同，但其整个解题的思维方式都是通过一次或多次的转化，使其转化为相对简单的问题去求解。因此，本文通过对函数最值常见解法的探究，阐述了函数最值问题解法研究的重要性，并结合生活中的实例，进一步加强对函数最值问题解法的灵活运用，并分析总结出求解最值问题时应注意的一些问题，对后人的学习和研究奠定基础。

二、函数最值常见解法

（一）定义法：关键在于抓住定义中的“任意性”和“存在性”。

（二）配方法：主要针对二元函数的一般形式[1]，即

四、结束语

本文介绍了几种常见的有关函数最值问题的解法，并结合实际给出了生活中不同方面的关于最值的实例，将生活中的问题转化为数学思维来求解，同时探讨了解题时需要注意的细节，总结出求解问题的关键在于找准变量关系选择合适方法，因此灵活的运用函数最值的解法是至关重要的，通过它解决的不仅是学业上的课题，而且它将在解决实际问题中扮演着一个至关重要的角色。

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1、配凑法

例1．已知函数 ，求y的最小值

解：因为 ， ，所以 ，当且仅当 即 时取等号。所以，当 时 。

变式1：函数 ，求y的最大值。

解：因为 ，所以 ，则 -4

，当且仅当 即 时，等号成立，故 -6。

变式2. 当 时，求 的最大值。

解：因为 ，所以 ，

，当且仅当 即 时取等号。所以，当 时

评析：当题目中给定的函数形式往往比较简单，但不符合直接使用基本不等式时，就需要对函数式用“拆、拼、凑，合”等方法，创造基本不等式的条件和形式，并且在运用基本不等式后有取等号的条件。以上三个例题的函数式都不能直接利用基本不等式求最值，故需要通过拆或拼来创造运用基本不等式的情境。如（1）中 与 的乘积不是定值，看似无法用基本不等式求解，若将 拆成 即可。（2）可配成 (3)中 与 的和不是定值，若将 拆成 即可。

2、拆项法

例2 已知函数 ， 求y的最小值。

解：因为 ，所以

当且仅当 即 时，等号成立，故 。

评析：本题采用了拆项法将式子进行了变形，然后把分子分母同除以一个含自变量的式子，使分子变为常数，此时可对分母使用基本不等式。

3、换元法

例3 求函数 的最小值。

解：因为 :所以， ，则 ，所以，

，

当且仅当 ，函数的最小值是 。

评析：本题采用了换元法，将原式转化为可以使用基本不等式求最值的形式。

4、常值代换

例4 已知 且 ，求 的最小值。

解：因为

,当且仅当 即 时，等号成立。

所以，当 时，有最小值是16.

变式训练 已知正数 满足 ，求 的最值。

解：将条件 等价转化为 后，常值代换处理即可。

例5 设 ， 为正常数，则函数 的最小值是

解析： 本题考查 及“1”的代换等知识，可将原式写成

当且仅当 ，即 时等号成立。

所以函数 的最小值是

评析：有些代数式含有两个以上的变量，但这些变量又必须同时满足某些条件，在运用基本不等式求其最值时，往往需要结合这些变量所满足的条件和所求最值的代数式的特点进行分析，通过适当的变形来利用基本不等式求最值，这类问题也往往可以通过代换消元转化为某个变量的函数形式来求最值。以上几题均采用了常量1的整体代换，通过这种变形可以转化表达形式，创造出可用基本不等式解答的条件。

5、重复使用基本不等式

例6 已知二次函数 （ ）的值域为 ，求 的最小值是

解：由题意知： 即 ,因为 ，

当且仅当 时等号成立，所以 的最小值是10.

评析：本题连续两次使用基本不等式，等号成立的条件都是 ，原题的等号成立，所以3是最小值，因此，特别注意：在连续使用基本不等式时，等号成立的条件一定要一样。

6、平方后使用基本不等式

例7 已知 为锐角，求函数 的最大值。

解：因为 为锐角，所以 为正数，所以

= 。所以 的最小值是 ，则

7、整体代换

例8 若正数 满足 ，则 的取值范围是

解：由已知 得 ，即

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中图分类号： G427 文献标识码： A 文章编号： 1992-7711（2013）22-091-1

函数最值定义：函数最值：一般地，设函数的定义域为A.若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，有f（x0）≥f（x）恒成立，则称f（x0）为函数f（x）的最大值，记为f（x）max=f（x0）；若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，有f（x0）≤f（x）恒成立，则称f（x0）为函数f（x）的最小值，记为f（x）min=f（x0）.

分式三角函数最值求解方法很多，现主要归纳为以下几点：1.拆项观察；2.反解法；3.数形结合法；4.应用函数单调性求解法.如何求函数y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

一、拆项观察法

分析 可将原式化为整式和分式两部分，其中分式部分：分子是常数、分母是关于变量sinx的多项式.

解 在原函数仅含有变量sinx，于是原函数可进行如下整理：

y= sinx-2 2sinx+3 = 1 2 （2sinx+3）- 7 2 2sinx+3 = 1 2 - 7 4sinx+6 .

又由-1≤sinx≤1知2≤4sinx+6≤10，

于是有- 7 2 ≤- 7 4sinx+6 ≤- 7 10 ，

所以 -3≤y≤- 1 5 .

因此 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

二、反解法（三角函数有界性）

对于求形如y= ct+d at+b （其中t为三角函数）分式最值问题，可用反解法，即把原分式y= ct+d at+b 整理成t=- by-d ay-c ，然后由t的有界性得出y的取值范围.

例2 求y= sinx-2 2sinx+3 的最值.

解 用反解法，由y= sinx-2 2sinx+3 得y・（2sinx+3）=sinx-2，

可整理为 sinx= -3y-2 2y-1 ，

由|sinx|≤1知 -3y-2 2y-1 ≤1，

易解得 -3≤y≤- 1 5 .所以 ymin=-3，ymax=- 1 5 .

三、数形结合法（斜率与两点之间的距离有两种情形）

数形结合法即将代数问题转化为几何问题来处理.根据所给表达式的特点，在坐标平面上考虑各种曲线间的关系，以获得该三角函数问题的最值.

例3 y= sinx-3 cosx-2 的最值.

解 设P（cosx，sinx），Q（2，3）即y是直线PQ的斜率的取值范围点P的轨迹是圆a2+b2=1，即求圆上点与Q点连线斜率最值.由图知当PQ与圆相切时，斜率取得最值.

设PQ的方程为y-3=k（x-2），即kx-y+3-2k=0.

由相切条件得原点到直线的距离等于1得

|3-2k| 1+k2 =1，即k= 6±2 3 3 .

因此

ymin= 6-2 3 3 ，ymax= 6+2 3 3 .

注 此题中点P的轨迹，若是直线又如何呢？例8将为你介绍.

四、应用函数单调性求解法

例4 求f（x）= x+sinx 2+cosx （0≤x≤ π 2 ）的最值.

分析 可先证明f（x）在[0， π 2 ]上是单调增函数.

解 设x1，x2∈[0， π 2 ]，且x1

f（x1）-f（x2）= x1+sinx1 2+cosx1 - x2+sinx2 2+cosx2 =

2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+x1cosx2-x2cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

< 2（x1-x2）+2（sinx1-sinx2）+sin（x1-x2）+（x1-x2）cosx1 （2+cosx1）（2+cosx2）

所以

f（x1）

因此f（x）min=f（0）=0，f（x）max=f（ π 2 ）= π+2 4 .

注 此种解法仅实用于函数在给定区间是单调函数.

以上探讨了多种求分式三角函数最值的方法，由于三角函数最值问题题目类型的多样性，在求此类问题时，我们会发现其中许多题型的解法并不唯一，一题可能有多种方法求解.诸多方法也并非是独立的，解一道题目可能会应用多种方法，才能最终解出最值.并且在求解的过程中，我们要学会进行转化的思想.也许所给题型不是以上列举的类型，但是我们需要判断是否能够转化为已知类型的问题来求解，这就需要我们有一定的转化变换技巧和思想.因此，在解此类问题时不仅要灵活运用三角变换的方法和技巧，还要充分注意代数知识和几何知识的运用，以提高解决此类问题的能力.