数学中的分析法汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学中的分析法范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

一、分析法的基本概念

分析法是从问题的结论出发寻求其成立的充分条件的证明方法.即先假定所求的结果是成立，分析使这个命题成立的条件，把证明这个命题转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么可以断定原命题成立.我们称之为“执果索因”。

要证明命题：“若A则D”思考时可以由结论D出发向条件A回溯，先假定所求的结论D成立，寻求D成立的原因，而后就各个原因分别研究，找出它们成立的条件，逐步进行下去，最后达到条件A，从而证明了命题.其思考路线如图：

D？圯C？坩B？坩…？坩A

用分析法进行证明，每一步推理都是寻找充分条件，最后找到要证命题的条件。就是说，每一对相连的判断中，后者是前者的充分条件，这样，联成一个逻辑链时，才保证了由条件A到结论D.由传递律得出，A是D的充分条件，从而证明了命题“若A则D”.分析法的证明中，每一步都是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，此处的“需知”是倒推的“中途点”。

二、例析分析法

要证明命题：“若A则D”.思考时可以由结论D出发向条件A回溯.先假定所求的结论D成立，寻求D成立的原因，而后就各个原因分别研究，找出它们成立的条件，逐步进行下去，最后达到条件A，从而证明了命题.其思考路线如图：

篇（2）

做任何事情都需要讲究一定的方法，用对了方法，才能事半功倍，把一件事情做得更好. 在初中数学的学习中也是一样的，分析问题和解决问题都需要正确的方法.

一、分析法概述

对分析法的运用主要就是把整体的内容分解为若干个部分，是一个从整体到局部，从复杂到简单的过程，再针对各个部分进行分析和探究. 在数学中的一些证明题中，逆推法就是一种分析法，它的过程就是从一种结果追溯到产生这种结果的原因，不断地追溯上去，一层一层地分析. 还有，在求多边形的面积时，通常我们都是把多边形分解成若干个三角形再进行计算，这也是分析法运用的一种形式. 分析法的运用也可以把一个完整的过程分解成若干个有序的步骤，在我们所学习的列方程解应用题中，就可以把解题过程分解成几个步骤，如假设，找等量关系并列方程，解方程，检验. 通过完成每一个步骤来解决这个问题，可以让整个过程变得更加清晰，容易理解.

二、分析法的应用

分析法的运用范围很广，在一些几何类的证明题中，分析法的运用具有非常明显的特征. 下面我将举例来说明分析法在解决问题的过程中该如何运用，具体说来，就是要从数学题的特征和结论出发，一步步不断探索，最终达到与题设和已知条件相关联.

例1 如图1所示，点P是圆O外的一点，PQ切圆O于点Q，PAB和PCD是割线，∠PAC = ∠BAD. 求证：PQ2 = PA2 + AC·AD.

分析过程：根据已知条件，我们可以很容易得出PQ2 = PA·PB.

这样，通过逐步地分析就把问题转化成了我们所熟悉的求三角形相似的问题.

那么再根据已知条件，证明这两个三角形相似. 连接BD，因为∠PCA是圆内接四边形ABCD的一个外角，所以∠PCA = ∠ABD. 又因为已知中已经给出的∠PAC = ∠BAD，所以APC∽ADB. 再把整个过程反过来书写，命题得证.

例2 如图，在ABC中，AB = AC，∠1 = ∠2，求证：AD平分∠BAC.

这是一道比较简单的证明题，但分析的方法还是一样的.

分析过程：要证明AD平分∠BAC，就要得到∠BAD = ∠CAD.

由于这两个角在不同的三角形内，因此，就要证得ABD ≌ ACD，已知条件中已给出了AB = AC，AD又是公共边，那么只要证得BD = CD即可. 要得到BD = CD，必须要该三角形的两个底角∠1 = ∠2，而这刚好就是已知条件. 通过这样的分析，思路明确了之后，写出来就很容易了.

三、综合法概述

综合法与分析法可以说是两种相逆的方法，但却又是两种有着密切联系的方法. 综合法运用的具体过程就是要把事物中的不同部分，各个方面以及相关的要素综合起来，从整体上来考虑. 也是根据已知条件推导出结论的一种思维方法. 比如我们在学习有理数的概念时，就需要把正整数，零，负整数，正分数，负分数，综合起来研究并形成有理数的概念，这样我们对有理数的概念才能有更加深刻和清晰的理解. 综合并不是把各个部分进行简单机械的拼凑，而是要找出各个部分之间的相关性和规律性. 就比如说有理数，它包括很多个部分，而这些不同的部分之间的相同点就是它们都不是无限不循环的数，这也是相对于无理数而言的. 总的来说，综合法的应用过程是从已知条件出发，根据已知条件再进行适当的逻辑推理，最后达到解决问题的目的.

四、综合法的应用

下面我们同样以一道证明题来展示综合法的具体运用.

例3 如图，在ABC中，AB = AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC = 130°，求∠BAC的度数.

综合法的分析过程：

从已知条件入手，把每一个已知条件发散出来，不断地得出更多的条件.

根据AB = AC，以及AE是∠BAC的角平分线，可以得出∠DEC = 90°，又因为条件中的∠ADC = 130°，所以∠ECD = 40°.

篇（3）

中图分类号：G424 文献标识码：A

Exploration and Practice of the Discovery Teaching

Method in Mathematics Analysis Course

ZHOU Qiyuan， XIANG Xuyan， ZOU Qingyun

（Department of mathematics， Hu'nan University of Arts and Sciences， Changde， Hu'nan 415000）

Abstract Combining the characteristics of the course of mathematical analysis， Applying the discovery teaching method into mathematical analysis course is important to inspire the learning interests and voluntary learning consciousness of students and cultivate the abilities of problem-solving and team-work of students.

Key words mathematics analysis； discovery teaching methods； teaching reform； practice

发现教学法亦称假设法和探究法，是美国认知主义心理学家布鲁纳提倡的一种启发式的教学方法，是指教师在学生学习概念和原理时，不是将学习的内容直接提供给学生，而是向学生提供一种问题情境，只是给学生一些事实（例）和问题，让学生积极思考，独立探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种方法。①布鲁纳认为，学生主要不是去发现人类尚未知晓的事物，而是去认识人类几千年来的认知成果和历史经验。

1 对数学发现法教学的认识

所谓数学发现教学法，就是指借助教师和教科书向学生提出一系列精心设计的数学问题或作业，使学生在阅读、观察、实验、解题等过程中，亲自去“发现”数学的概念、定理和解题方法等，使学生成为知识的“发现者”，以达到使学生加深对知识的体验和感悟，逐步形成学习和研究数学的积极态度与情感，掌握学习和研究数学的基本方法与技能，发展学习和研究数学的能力的目的。②

2 发现教学法在数学分析③教学中的探索与实践

数学分析课程是高等院校数学类专业的主干课程，在培养学生形成严谨的逻辑思维能力和推理论证能力、提高学生运用数学方法解决实际问题的能力和开拓学生的创新能力等方面都起着重要的作用。但长期以来，数学分析的教学效果总是不能令人满意。如何通过改革数学分析课程的教学，提高数学分析的课堂教学效果和教学质量一直是受关注的问题，近年来，也有不少学者做了这方面的研究。④⑤本文将从数学分析的概念教学、命题教学、解题教学、课后作业等方面尝试进行发现教学法，促使学生成为知识的“发现者”。

2.1 在数学概念的导入中实施发现教学法

建构主义观点认为，数学知识不是简单地通过教师传授到学生头脑中去，而是要根据个人的操作、体验、感悟、交流，思维由浅入深，由低级到高级，由感性认识上升到理性认识来主动构建，并通过反省来调节。⑥

关于定积分概念的建立，是通过求曲边梯形的面积与变力所做的功而引入的。在求曲边梯形面积时，是通过分割、近似作和得到其近似值。教学中通常是直接对曲边梯形进行块分割，学生往往不得要领，我们从学生能解决矩形面积的计算与逼近思想出发，利用发现法教学，提出课题：曲边梯形面积如何用对应的矩形面积去近似代替而使得其误差趋于零？引导学生将曲边梯形中的连续曲线所在的边用一条水平线段代替，就得到一个曲边梯形面积的近似值，但误差较大，学生不难发现：若将该曲边梯形分成两块，即在底边上插入一个分点，每一块都用矩形面积代替它，这时的误差就会比前面的要小.设想：如果将这些曲边梯形分成三块（即插入2个分点）、四块（即插入3个分点）、十块（插入9个分点）、一百块、一千块……、无数多块，这种误差是不是会越来越小，最终趋于零？辅助多媒体演示，让学生表述结论，学生不难得出结论：我们的设想是可行的，即当分的块愈多（即插入的分点越多），每个小矩形面积的和就越接近曲边梯形的面积，从而小矩形面积的和就越接近曲边梯形的面积。将此过程用准确的符号语言来叙述并辅以多媒体演示，学生很自然地解决课题所涉及问题，同时也让学生感知了“以直代曲”的数学思想。

这样通过明确课题，揭示矛盾，分析矛盾有助于学生对数学概念的深刻领会；有利于数学思想的渗透，同时也有利于学生认识“发现”思维的某些规律。

篇（4）

数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。 而小学数学教材是数学教学的显性知识系统，看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的 心智活动过程。 而数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。 因此，教师在小学数学教学中，要使“数学方法”与“数学思想”结合，于无形之中让学生在学习数学的时候了解到解决问题的思路以及由来，从而培养学生的解决问题以及数学能力，从而学会独立借用数学思想解决问题。正所谓“授之以鱼，不如授之于渔”， 要让学生知道如何解决这道题的同时，更知道解决问题的思想，从而受到启发，能解决于此类似或相关甚至变换、延伸出来的问题，提升学生数学素质。

一、数形结合的思想方法

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。

二、集合的思想方法

把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。

如用圆圈图（韦恩图）向学生直观的渗透集合概念。让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。 　三、化归思想

化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个 较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。

例： 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳4 1／2 米，黄鼠狼每次可向前跳2 3／4米。它们每 秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12 3／8米设有一个陷阱， 当它们之中有一个掉进陷阱时，另 一个跳了多少米？

这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每 次所跳距离4 1／2（或2 3／4）米的整倍数，又是陷阱间隔12 3／8米的整倍数，也就是4 1／2和12 3／8的“ 最小公倍数”（或2 3／4和12 3／8的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉 入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。

四、极限的思想方法

极限的思想方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学思想方法，它是事物转化的重要环节，了解它有重要意义。

现行小学教材中有许多处注意了极限思想的渗透。在“自然数”、“奇数”、“偶数”这些概念教学时，教师可让学生体会自然数是数不完的，奇数、偶数的个数有无限多个，让学生初步体会“无限”思想；在循环小数这一部分内容中，1÷3=0.333…是一循环小数，它的小数点后面的数字是写不完的，是无限的；在直线、射线、平行线的教学时，可让学生体会线的两端是可以无限延长的。

那如何加强数学思想方法的渗透呢？

篇（5）

一、分层教学的必要性

班级内，学生群体上，个体间的差异普遍存在，而且多种多样，诸如智力差异、学习基础差异、学习品质差异、学习态度差异、学习目的差异、学习环境差异等等。心理学的研究结果表明：学生的学习能力差异是存在的，特别是学生在数学学习能力方面存在着较大的差异这已是一个不争的事实。造成差异的原因有很多，学生的先天遗传因素及环境、教育条件都有所不同，还有社会因素（即环境、教育条件、科学训练），这些原因是对学生学习能力的形成起着决定性作用，所以学生所表现出的数学能力有明显差异也是正常的。教育要面向班级每一个学生，每一个学生都有获得知识和享受应有教育的权利。班级教学不能“放弃”任何一名学生，不能只针对某一个层次的学生，但又要满足每一个层次学生学习和进一步提升的需要。初中数学新课标要求学生分层次提高，进而达到班级学生的最优化组合。按照教育家达尼洛夫关于教学过程的动力理论之说，认为只有学生学习的可能性与对他们的要求是一致的，才可能推动教学过程的展开，从而加快学习成绩的提高，而这两者的统一关系若被破坏，就会造成学业的不良后果。“分层教学”，实际是在大班教学的背景下，将学生依据学习情况分成几个不同的层次，在此基础上，对不同的学生开展不同的教育，实行不同的教学方法、制定不同的教学目的、采用不同的评价标准，从而努力使不同程度的学生在班级学习中，都能在自己已有的程度下获得知识的进一步提升，实现班级教学水平的整体提升。

二、分层教学的过程

备课时，教师认真研究教材，抓住问题的本质，了解知识的发生、发展、形成过程，设置合理的认知层次：形象记忆性内容设为第一梯级，保证后进学生“吃得了”；抽象理解性内容为第二个阶梯，使中等学生“吃得好”；知识扩展性内容为第三个梯级，满足优等学生“吃得饱”。 作业是巩固和提高学生所学知识的中要途经。针对不同层次的学生，布置不同的作用，才能避免差生在难题面前的受挫和无奈，也能避免优等生对大量基础题的趣味索然，使不同类型的学生都能在作业中得到自己所需的：巩固，还是提高，都能给以满足。

“分层次”教学法在遵循由浅入深，由易到难的一般讲课规律的基础上，在知识和时间的安排上做了较大的改进。就新授课而言，对于不同层次的学生，在不同的教学目标下，应该才用不同的实现手段，及教学方式。如，对于成绩优秀的学生，可以进行探索式的教学方式，对其思维进行更深层次的训练；而对于依靠努力取得成绩的这一类稍差一点的学生，则不妨通过各类题型的讲解以及拔高题目的训练，开拓其视野，使其掌握相对较深的解题思路；对于又差一点的学生，基础知识的理解和掌握，则显得十分重要。既要明确不同层次学生回答相应层面的问题，又要激励低层面学生回答高层面的问题，完成高组的任务。分层上课就是教师在数学教学过程中，能兼顾各类层次的学生，让其主动参与获得发展，克服过去单一教学的传统模式，按照分层备课的归类，在施教过程中得以完成。

篇（6）

2.质疑启发。“学起于思，思源于疑”。教育心理学研究表明，疑最容易引起定向――探究反射。有了这种反射，思维也就应运而生，恰当地设“障”立“疑”，使学生有所想，联系新旧知识，设想种种解答方案，促使学生头脑中思维波涛迭起，自觉地由疑到信，从而收到良好的教学效果。

3.攻难启发。积极的思维与疑难并存，教师在教学中要精心地设置一些有一定难度，但经过努力可以解决的问题，有意地让学生“跳起来摘摘桃子”“碰碰钉子”，在难题面前，学生的思维高度集中，他们会运用已有的知识，积极地思考，大胆地探索。在教师恰当地诱导与启发下，学生通过自己的劳动攻克难关，获得知识，会产生一种愉快的心理，感受到学习的欢乐。不过，在攻难的过程中，应该把握好“度”。难度太大，学生会畏难而退；难度太小，学生不用思考就会得到答案，达不到启发的效果。

4.动情启发。教师把正确的观点与入情入理的主题讲述清楚，并寓于生动感人的具体事例中，有助于突出主题，强化认识。在引导学生明理激情的过程中，教师要自己先做到感情丰富，讲课直观形象、生动活泼，抓住启发学生感情的热点，重视学生情感的激发，做到有情有理，情景交融，以情感人，使学生从中得到启发。

5.分析启发。所谓分析就是“执果溯因”的思维方法。教师从命题的结论出发，逆推而上，提出一系列“欲证之，先要证什么”的问题，引起学生的思索，直溯到命题的条件或所学习的公理、定理、法则、公式等。这种分析启发能培养学生有规律地探索解题思路，有利于发展逻辑思维能力，不仅为数众多的习题在解答之前需要分析启发，而且教材中大量定理、公式等在证明之前，也应进行这种分析启发。

6.归纳启发。就是让学生对某些特殊事物进行分析和比较，抽象出个别特征，并分出本质的特性而舍弃非本质的东西，从而归纳出这类事物的一般特性，或者形成概念，或者形成法则和公式。这有利于培养学生的抽象能力和概括能力。

7演绎启发。演绎是从一般到特殊的思维形式。它是关于特殊事物同某种一般事物相适应的思想，演绎启发就是引导学生根据过去所获得的关于某种事物的一般性的认识（大前提），去指导自己认识这类事物中某个或某些新的个别事物（小前提）而得出正确的结论。这种启发是使学生获得新知识，认识新事物的重要方法，它可以使学生在遇到新问题时容易找到思考和解决问题的途径，对发展学生的抽象思维能力是有意义的，它在概念、规律的应用教学中经常用到。

8.类比启发。就是引导学生把所要研究的新问题与之有关的原有知识和方法进行比较，使学生认识到它们的共同特点和规律，从而以熟悉的方法和知识去解决新问题。类比有利于发展学生求同思维，培养学生举一反三、触类旁通的能力，促进知识能力的迁移。对于有区别但是类似的概念、运算、证明、作图等，常可运用类比启发。

9.直觉启发。是给出实物、模型或图形等让学生观察，在教师的指导下，使学生获得对一类事物的某种特殊性的认识，这种启发有利于培养学生敏锐的观察事物的能力和周密的审题能力。在引出定义或定理、公式时较为有用。

篇（7）

多年教学实践表明，凡是高等数学学习吃力的学生，多数属于对极限概念理解不透彻。因此，数列极限概念的学习是至关重要的。数列极限概念的教学难点极限概念难以理解、掌握的原因在于：概念在教学这过程中涉及“任意”“给定”“无限接近”“存在”“趋向”等较抽象的术语。例如：当x0时，sinx～x，tanx～x，1-cosx～■x2，ln（1+x）～x

一、极限的和（差）做等价无穷小替换

在通常情况下，等价无穷小替换只能在作积（商）时才能使用，在其他情况下不能随便乱用；那么，等价无穷小的和（差）是否可以做等价替换？如果可以，那么，现在讨论在什么条件下等价无穷小的和（差）分别能做等价替换？

定理1：设u（x），u1（x），v（x），v1（x），当x？鄢为无穷小，u1（x）～u（x），v1（x）～v（x）且■■=A≠±1，则u1（x）±v1（x）～u（x）±v（x）

证明：■■=■■=■=1

推论：设u1（x），u11（x），u2（x），u22（x），…un（x），unn（x）当x？鄢为无穷小时

u00（x）～u0（x），u11（x）～u1（x），u22（x）～u2（x）…unn（x）～un（x），且■■=A1≠±1，■■=A2≠±1，■■=An≠±1，则u00±u11±u22±…unn～u0±u1±u1±…±un

证明：■■=■=■=1

下面我们来看几个例子：

例1.I1=■■如果用洛必达法求得正确解为■，若用等价无穷小代替得错解即I1=■■=■（因为当x0时，exsinx～xex

例2.I2=■■=■■=■■=1，若用等价无穷小替代得错解I2=■■=2（因为■■=-1不满足定理1的条件）

例3.I3=■■=■■=0（错解，因为■■=1，正确解法请见华东师大数学分析第62页。）

例4：I4=■■=■■=■■=-■

从例1、2、3我们可以观察到：它们都不满足定理1的条件即它们不满足互不等价；而例4满足定理1的条件，即可作等价无穷小替换的那两个式子互不等价。所以，两个（多个）无穷小做和（差）替换满足的条件是它们分别作无穷小的等价替换的式子不等价。因此，和（差）作等价无穷小替换是有严格的条件要求的，不可以随便作等价无穷小替换，否则，将会出现错误的结论。

二、统一了两个重要极限的1∞型极限的快速、准确求法

先来看一个“1∞”型的例子，求■（cosx）■这是一个1∞型极限。我们用取对数的方法来解这一题。作恒等变形为（cosx）■=e■，则■■lncosx=■■=■■=-■，所以■（cosx）■=e■

请认真仔细观察这个解题的过程，我们会发现并能总结得到求1∞型极限的一半步骤：

1.判断■uv是否为1∞型极限

2.若是1∞型

则（1）令■uv=ea

其中a=■（u-1）v

所以■uv=ea

这样，我们把两个重要极限统一到1∞型上来讨论，减少了其中的恒等变形，形式变得简单，统一了解题方法，不但好记而且解题准确率高，因此，用这种方法解决某些较难的1∞型极限从而变得轻而易得。

例1.■（■）■

解：令■（■）■=ea，则a=■（■-1）■■=■（■）■■=■■=■■=■

■（■）■=e■

例2.■（1+■+■）n

解；令■（1+■+■）x=ea，则a=■（1+■+■-1）x=■（1+■）=1

■（1+■+■）x=e，由此可得，■（1+■+■）n=e

例3.■cosn■

解：令■cosx■=■（cos■）x，令■（cos■）x=ea则a=■（cos■-1）・x=■■・x=-■

■cosx■=■ ■cosn■=■

例4.计算■■

解：由于■■=■（cos■）■，令■（cos■）■=ea，则a=■（cos■-1）■=-■■（■）2・■=-■

■■=■

例5.计算■■

由于■■=■（1+x2ex）■，令■（1+x2ex）■=ea，则a=■（1+x2ex-1）・■=■x2ex・■=■x2・■=2

■■=e2

从中可以看出这种解题方法的优越性：不但思路清晰，步骤简单，而且对比较困难的题也容易得出结果，因此，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。

三、在某些情况下，用定积分的定义求极限，但是在有些情况下，若函数不能直接转化为（*）式，也就不能直接运用（*）式计算，因此要解决这个问题，我们要引用一个习题的结论，把它作为定理来用

若f（x）在[a，b]上可积，则可对区间[a，b]用某种特殊的划分方法，运用定义法得到一种极限和式，如果这种和式可以通过变形即■■■g（n）=■f（x）dx…（？鄢），这种转化就是我们通常所熟悉求定积分的方法。下面我们来看两个例子：

例1.求■n[■+■+…+■]的值

解：原式=■■[■+■+…+■]

=■[■+■+…+■]■

=■■■■=■■dx=■

例2.求■■[sin■+sin■+…+sin■π]的值

解：原式=■■■sin[■・■]，设f（x）=sinx，x∈[0，π]，且f（x）∈[0，π]，从而f（x）可积。

所以原式=■■■[sin■・■]=■■sinxdx=■

定理2.对数列{an}，设■an=a，则■■=■■■an=■an=a

证明TH2：因为■an=a，由极限的？着-N定义知，对任意的？着>0，存在正整数N1，当n>N1，有│an-a│N1时，有│■│=│■│=│■│≤■（│a1-a│+│a2-a│+…+│aN■-a│+│aN■+a│+…+│an-a│）≤■N1・A+■≤■N1・A+？着，其中A=max{│a1-a│，│a2-a│，…│aN■-a│} 又■■=0，由极限的？着-N定义知，对给定的？着>0，存在正整数N2，使得当n>N2，有│■-0│=■N1时，有│■-a│

例1.■■■■（1+■）■

这一题型可以用定理2来计算。■■■■（1+■）■=■■（1+■）■，令yk=（1+■）k，显然，{yk}单调增加且与上界，故yk

■■■■（1+■）■=∞，0e

此结论的∞和0容易得到，在此我们只证明结论为e■的情况。

当a=e时，令zx=[■（1+■）x]x，两边取对数得

lnzx=x[xln（1+■）-1]，下面计算■lnzx的值，由Taylor中值定理得，ln（1+■）=■-■+■+0[（■）3]，其中-1

通过对题型结构认真的观察，适当的变形，这是解决问题的必要步骤和关键所在，能够起到事半功倍的效果，达到解决问题的目的。

参考文献：

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[13]崔强，宋涛.无穷小量的等价定理及其应用[J].山东建筑工程学院学报，1997（3）.

篇（8）

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）33-158-01

在传统教育模式的影响下，现阶段的初中数学教学绝大部分都是大班授课制度，此种教学方法虽然在我国教育发展史上起到了重要的推动制度，但其对于学生数学技能及知识水平的培养效果却不是最佳的。因为学生的生理成长状态、智力、数学基础、学习能力等各个方面都是具有差异性的，在这些差异性的基础上大班授课制是无法满足学生们的学习需求的，因此必须要有新的教学方法来改变这一教学现状，至此分层教学法应运而生。分层教学法的出现不仅改变了初中数学的教学模式，更实现了新课程改革下实现学生全体进步的教学目标，正因如此分层教学法受到了初中数学教师的普遍关注与使用，并在实践教学活动中得到了不错的教学效果。

一、教学主体的分层

学生是数学教学活动的主体，在数学教学过程当中所有的教学活动都是围绕学生来展开的，所以在分层教学初期必须要先对学生进行分层，只有对学生进行科学、恰当的分层才能够保证分层教学法的教学效果和有效性。笔者在采取分层教学法进行教学的过程中，首先在班级进行了阶段性小测验和问卷调查，小测验当中主要分为基础知识、难度问题以及灵活性问题三个部分，其测验的目的是为了掌握每一个学生的数学基础知识掌握水平，现阶段的数学学习水平以及数学学习能力。而问卷调查则是为了了解学生眼中的数学，看看他们对数学学科的认知、学习兴趣有多少。在此基础上笔者将学生分为了A、B、C三个层次：A层学生数学基础知识扎实，学习兴趣浓厚，学习能力及思维灵活性强；B层学生数学基础知识比较扎实、有一定的学习兴趣，学习能力及思维灵活性一般；C层学生数学基础知识不够扎实、学习兴趣不高，学习能力及思维灵活性较差。为了避免学生产生消极或自卑的心理，笔者在将学生进行合理的分层后，与学生探讨了自己的教学想法，并将各自的分层告诉他们，让他们放下心理负担，根据笔者的教学计划来进行学习，以期在教学活动完成后收到良好的教学效果。

二、教学目标的分层

教学目标是在教学主体分层的基础上来进行的，其根据不同层次学生的学习状态、学习水平以及学习态度来为他们设定出具有实际意义的、且能够完成的教学目标。在这一环节当中，笔者建议教学目标设置的不要过难或过大，以免学生无法完成而对他们的学习自信和学习态度产生消极影响。根据不同层次学生的实际学校特点，笔者为他们设计了不同层次的教学目标：A层学生以课外训练、实践和突破为主，学会将数学理论知识运用到实际生活当中，以达到学以致用的学习状态；B层学生以课内难度提升，解题思路的拓宽，思维逻辑性及敏捷性的提高为主，以达到能够独立解决中、高等难度习题的水平；C层学生以夯实数学基础知识，培养数学学习兴趣，树立正确的数学学习态度等方面为主，以达到学生能够对数学学科产生正确的认识和理解为主，进而主动的去学习数学知识。

三、教学内容的分层

教学内容的分层是整个分层教学活动中的关键环节，这一环节的教学分层工作会直接对整个分层教学的效果产生直接影响。在这一环节当中教师必须要注意好对教学内容难度的拿捏，根据不同层次学生的学习水平以及为他们制定的教学目标来由浅入深、由简至繁的对教学内容进行分层，通过有效的课堂提问与习题训练，来设置好教学内容的难度梯度，进而达到对不同层次学生的数学能力培养。例如笔者在进行因式分解的教学时就为学生做好了内容分层：

例题：多项式m（n-2）-m2（2-n）分解因式等于（ ）

A.（n-2）（m+m2） B.m（n-2）（m+1）

C.（n-2）（m-m2） D.m（n-2）（m-1）

在这道因式分解题当中，A层学生需要自己进行运算，来得出结果；B层学生则可以在4个选项当中选择出自己认为正确的选项；而C层学生只需要在A与B两个选项当中进行选择就可以。这一样不仅能够节省教师在为不同层次学生准备教学内容的实践，还能够实现利用同一个内容来对不同层次学生的学习水平和学习能力的锻炼，其效果可谓是事半功倍。

四、课后复习的分层

课后复习是整个分层教学过程中的总结阶段，其虽不像前三个环节那样会对学生的学习效果产生直接的影响，但其对于学生数学基础知识的掌握、端正学习态度、以及内部学习动力的影响也是非常重要的。笔者在课后复习分层环节当中，对于A层学生笔者主要以难度实用性训练为主，以培养学生解决实际问题及高难度数学问题的能力；B层学生笔者主要以课内拓展训练为主，以提高学生的数学解题能力，锻炼学生的数学逻辑性思维及头脑行灵活性；C层学生则主要是对例题同类型习题的训练和学习为主，让学生加深对例题解题方法、解题思维以及解题切入点的锻炼，切实提高他们的数学学习水平。

世界上没有两片相同的叶子，同样也没有两个完全相同的人，所以学生之间存在的差异性是生理发展的必然规律。教师只有对学生之间存在的差异性给予充分的肯定，才能够实现教学工作当中学生的共同进步。由于数学学科的学习需要学生具有一定的逻辑思维能力，所以学生在学习过程中会遇到一定的难度，在这种情况下，分层教学方法的使用非常有必要，其不仅能够激发出学生对数学学科的兴趣，实现数学学习水平的进步，还能够帮助学生树立起数学学科的学习信心，以便学生在未来学习过程中，即使遇到了难题也能够从容的面对，并将其正确的解答出来。

参考文献：

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学生群体的层次化异步划分是高中数学教学过程中的先决条件，对后续教学过程的设计和课后作业的安排都有着直接的影响.按照素质教育和新课标改革的教学大纲，将高中数学教育的最终目标设置为底层的最小目标、中层的基本目标和高层的发展目标这三种.与之相对应的，将学生群体划分为A、B、C三个层次.A组是成绩相对较差，学习能力较低的学生.B组是学习成绩中等，综合素质一般的学生.C组则是成绩较好，各方面素质水平都较高的学生.A、B、C三组学生的人数比重通常设置为2∶5∶3.

二、教学过程的层次化异步设计

高中数学的课堂教学是一个师生双方彼此沟通、相互交流的教学过程.数学教师必须在课堂上充分调动起学生的学习主动性，才能发挥出学生在学习过程中的主体性地位和主观能动性.要想实现这一理想化的课堂条件，数学教师应该全面考虑到不同层次学生对课堂内容的不同掌握程度.在设计课堂教学的知识内容时，根据学生的实际学习情况选择与之相适宜的教学内容.

例如，在教授函数的几个基础概念时，数学教师可以在正式开始上课之前，向学生提出以下这些问题：

（1）函数在数学意义上的具体含义是什么？由函数中映射出的又是什么概念？

（2）为什么自变量x和因变量y会有一定的范围限制？怎样确定自变量x和因变量y的取值范围？

（3）假设自变量x和因变量y的取值范围分别是两个集合，集合与集合之间可能存在怎样的联系？

（4）表示函数的方法有几种？各种表示方法之间有哪些相同点和不同点？

（5）函数的知识点还可以辐射到哪些其它的数学知识点上？如何解决综合型的函数应用题？

这些问题的设计有难有易.数学教师在选择学生进行回答时，应该有意识地将问题锁定在不同层次的学生群体中.比如，问题1太过简单，不应该由B组或C组的学生回答，而应该留给A组的学生给出答案.问题2和问题3可以由B组的学生回答.而问题4和问题5则应该让C组的学生进行解答.这种从易到难的问题设置，保证了全体学生都主动参与课堂学习活动的兴趣与积极性，使得每一个层次的学生都能够在回答问题的过程中树立起学习的信心.

三、课后作业的层次化异步安排

高中数学教育中的课堂教学与课下练习是两个相互独立又有所联系的有机部分.前期的课堂教学活动有了层次化的异步设计，后期的课下练习活动自然也应该继续层次化的异步安排.学生的课下练习活动，主要是课后作业的完成过程.具体的安排方式就是为A组学生安排简单易懂的浅层次习题，帮助其在反复练习中巩固基础的数学知识.为B组学生安排难易适中的中层次习题，帮助其在基础训练后兼顾综合应用的数学题型.为C组学生安排难度较高的高层次习题，帮助其在完成课内知识的学习之后，还能进一步拓展数学思维和创新思维.

例如，在教授一元二次不等式的解题技巧时，数学教师可以针对学生群体的层次划分，为学生布置三种不同的课后作业.

第一种课后作业是简单的一元二次不等式求解问题，主要是为A组学生安排的基础题型：

（1）4x2-4x>15；

（2）14-4x2≥x；

（3）x（x+2）

（4）-x2-2x+8>0.

第二种课后作业是求一元二次等式中自变量取值范围的数学问题，主要是为B组学生安排的练习题型，难度适宜：

（1）y=x2-4；

（2）y=1x2+x-12；

（3）y=-x2+2x-1.

第三种课后作业是复合型的一元二次不等式问题，主要是为C组学生安排的拓展题型，解题思路较为复杂：

已知一元二次不等式kx2-2x+6k

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一、前言

榱巳醚生掌握高中数学的基础知识和方法，并熟练运用数学思维考虑问题，培养学生的逻辑思维和方法探究的能力[1]，教师的教学方法、教学进度和内容广度上都与初中的数学教学有很大的差异[2].面临这些挑战，很多高一新生无法适应新的数学学习模式，没有挖掘出一套适合自己的学习方法，进而导致学习积极性低下，成绩一落千丈.提高学生的数学学习能力，关键在于教师正确的引导、善于运用迁移理论以及提高课堂有效性，这对高一新生的数学学习具有举足轻重的意义.

二、提高高中数学学习质量的方法

（一）学生提高自身学习迁移能力

众所周知，数学知识相互关联，以前学过的知识是新知识的铺垫，新知识是学过知识的延伸和拓展.数学知识的获得是一个循序渐进的过程，是经过长时间的积累来逐渐获得的[5].比如，学习了点到直线的距离求解，有助于点到平面距离的求解；学习了三角函数，有助于对周期函数的理解；学习了向量，那么，求解几何中的距离、空间角等问题则能够得心应手.

学生培养迁移能力主要通过以下三个方面：

（1）建立自身的数学认知结构.数学的认知结构，简单来说就是经过长时间的学习和积累，学习者通过感知、理解、消化进而存储到大脑的记忆性的、相互关联的陈述性、过程性和程序性知识[3].

（2）提高自身对数学经验的总结概括水平.对数学知识的概括一般分为三种：先一般，后特殊；先特殊，后一般；先广义，后具体.其中的先广义，后具体则运用迁移的思维方法，把需要学习的材料，与之前学过的具有相同结构特征的规则联系起来，或者与生活中的现象联系起来.例如，在学习高中数学第一章的集合中元素的性质时，我们可以这么思考：一个班的人数为一个确定的值，对于任何人，有两种可能，即属于这个班和不属于这个班，这就生动形象地阐述清楚了集合中各个元素的确定性.如果班里学生之间调换座位，这个班里还是那些学生，这个集体并没有发生改变，这就说明了集合中元素的无序性.而班里的每名学生都是不同的人，这就说明了元素的互异性.

（3）巧用思维定式.思维定式既可以促进也可以阻碍学生迁移能力的培养.一般来说，在解决同类型数学问题时，思维定式起促进作用.

总的来说，培养自身的学习迁移能力，有利于学生建立系统的知识体系，形成数学知识认知结构.有助于学生们把所学数学知识、技能转变为一种数学能力.

（二）教师提高课堂的有效性

在当前教育制度下，数学教学存在着许多不可忽视的问题.为了“应试教学”，有的教师讲解每一个知识点都要求达到全面、详细，以至于平常上课时间不够用，需要加班加点来完成教学；还有的教师讲课追求速度，搞题海战术，这样导致教学效率以及学生学习效率低下，学习压力过大.让学生机械重复，使得部分学生产生厌学的心理，而且这种不讲效率的落后教学模式，也打击了部分教师自身教学的积极性.

因此，在数学教学实践中，教师有必要建立有效教学的意识，促进学生高效学习，以达到整个教学系统的良性和谐发展.

教师提高课堂有效性主要可以通过以下几个方面进行：

（1）培养学生的发散性思维.在对数学题的解答中，一题多解普遍存在，教师应该多启发并引导学生从多个角度思考，运用不同的知识理论来解题[4].比如，在高中必修二的第二章的直线和圆的方程中，可以利用多种解法来求解，这样，既能增加学生的学习积极性，活跃课堂气氛，同时又培养了学生的解题技巧与能力.

（2）通过多题一解法帮助学生提高知识迁移能力.在数学课堂中，常常提到“通法”即“多题一解法”.教师在课堂中可以针对一道题，通过变换条件或结论来解决同一大类问题，促使学生切身体会到触类旁通、应用知识游刃有余的乐趣.比如，在高中数学必修五第三章的解含绝对值的不等式中，运用“数形结合”的方法，简单明了.

（3）一题多变，提高学生活学活用的能力，培养创新性思维.一题多变就是对一个问题进行拓展延伸，这样既可以使学生克服单一狭隘的思维方式，又可以增强学生收敛思维的能力.在教学中，进行“一题多变”的训练，既可以规避孤立静止地思考问题的局限性，也可以激发学生解题的兴趣，使学生在联想探索中创新思维，从而养成良好的求异思维能力与解题的应变能力.

通过原题，可以延伸出其他具有相关性、相似性、相反性的新问题.这可以达到深刻挖掘习题的教育功能，培养学生灵活与综合运用知识的能力的效果.

三、结语

高中数学的学习是更高层次的学习的垫脚石，同时也是其他科目和知识的学习的风向标.学生本身作为学习的主体，应当有意培养自身在数学学习上更高的素养，善用知识迁移.教师作为学生学习的引导者和知识的传授者，应当提高课堂效率，力求做到“授之以渔”，教学生自主学习，培养其可持续性的学习动机.为实现高中数学课程目标，提高学生的数学学习能力，为学生的终身发展谋出路.

【参考文献】

[1]钱家凯.高中数学入门课――浅谈高中数学学习方法[J].语数外学习，2013（12）：44-46.

[2]喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010：33-35.