数学原始概念汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学原始概念范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

这类似的表达，书中无处不在。夏勇先生是非常明确的措辞似乎明白了什么是人权的西方的概念，并且在其他的事情，我知道西方古典中国的人权状况，准确，完全不同。两个完全不同的东西都不需要，需要进行比较，既似是而非的东西。稍微熟悉历史的西方人权的读者会很清楚的西方人权，所谓的自然权利，直接关系到人的品德。

但夏勇先生在东方和西方之间的差异，准确地表示说：“我认为中国文化在其自己独特的方式来弘扬人的主体精神。成就功德，神圣的境界涅磐，由于个人的道德努力，本身反映了作为一个人的尊严和价值的人。（《人权概念的起源》P185）夏勇先生也知道，此人是根据抽象的道义上的个人，或者是抽象的伦理道德的个人主义日下跌，倒挂对人权和个人的权利，在西方是两个不同的东西。

在这方面，夏勇先生缺陷不能说，相反，夏勇先生故意。故意的目的，就是探索西方人权概念的名称，解决真正的问题。不幸的是，西方的概念虽然在中国的土地上广为传播人权的西方差异，但地球不能扎根。夏勇先生也很无奈，他是多么希望能够“一桥飞架南北，但事实摆在面前。所以，10年后，夏勇先生还寻找权力的概念，在过去一百年的空前繁荣，特别是在革命期间，1911年“宪法”，“共和”后，为什么中国人民在面对权力，那么的无助，软弱和无助吗？他们怎么能在实际的社会生活中真正享受公法意义上的权利吗？他们是如何看待权利？社会变化所带来的1978年改革开放以来公民权利这是什么意思？为什么过去党和政府的利益保护好，但现在他们已经侵犯。在过去一百年来，在中国的权利已成为一个流行的名词。

和谐这个词，成为核心词汇的时刻之一。夏勇先生一旦这个词表达了他的愿望，来仔细比较夏勇先生的和谐与和谐的相似性和差异目前的主流。我读夏勇先生是最早表示的和谐理论，同时也基于对人权的和谐。

夏勇先生的博士论文《人权概念起源》提出了和谐的理念。夏勇先生探讨人权的概念，尾部的“人权和人的和谐”。长尾理论的起源，似乎是顺便说一下，顺带讨论，但事实上，这是夏勇先生目的地先生夏勇讨论花费大量的空间，人权的概念要弄清楚来龙去脉，只是一种手段，真正的意图是要弄清楚人权概念的目的。，夏勇先生直言不讳介绍：“我们应该通过对人权的历史事实为基础的研究，总结了历史上的人权和发展的规律，这将传递和发扬了中华民族的文化传统，尤其是在追求和谐精神，根据社会的进步，中国的人权理论和人权制度的建立和发展的需要。这是本书的意图所在。

篇（2）

高职教育16号文件中明确指出，课程建设与改革是提高教学质量的核心，也是教学改革的重点和难点。对此，嘉兴职业技术学院坚持从市场需求出发，立足高职生成长特点，不断探索改革教育教学模式，进一步明确了高技能人才培养方向。

在旅游管理专业人才培养方案制订过程中，学院首先组织专业教师深入当地旅游产业进行调研，明确了该专业的教学定位是培养旅游企业、事业单位一线基层管理人员，而企业管理者必须具备人员分工、组建团队、项目实施、员工激励、绩效考核等基本意识和素质。

与此同时，学院教改人员对传统的教育模式进行了自我诊断，发现了许多弊端。例如，“我说你听，我考你答，我罚你受”这种原有的教学管理模式和方法，容易在教师与学生之间形成鸿沟。在该模式下，学生被简单地当成一个“真空的容器”，教师则一味地用知识去填充。由于学生是被动地接受信息，注意力是有限的，特别是当教师的声音单调乏味时，更容易感到厌倦，这种“一次准备、多次重复”的灌输式教学模式，不能根据学生情况有针对性地进行教学。而对学生的知识考核，由于缺乏过程跟踪考核与评价，缺乏实践演练，更是让学生养成了“临时抱佛脚”的陋习，从而造成“学一门、丢一门”的结局。

为此，学院在制订人才培养方案中，尝试引入企业管理思维，进一步明确了人才培养定位，着力提高人才培养质量。学院在进一步调研后发现，课程建设与改革是提高人才培养质量的核心与关键环节，专业核心课程则是课程教学改革的重点和难点。

为攻克教改中的重点和难点，学院旅游管理省级特色专业携手乌镇旅游股份有限公司成立“厂中校”――嘉兴职业技术学院乌镇旅游股份有限公司校区，开展人才联合培养，共同以订单培养的方式拓展办学空间，校企共同确定将“公关与礼仪”这门课程确定为乌镇订单班的特色课程，实施旅游人才的标志化培养战略，并以此为抓手，共同打造乌镇特色精品旅游人才，为学院进一步明确人才培养定位积累了宝贵的经验。

多筹并举促教改

在教学改革中，学院领导意识到，只有真正激发学生自主学习的主动性与热情，才能助力教学改革深入推进。为此，学院积极启发教师实施教学改革的创新思维，帮助他们明确教学内容和教学目标。并把整个教学目标分为知识目标、能力目标和素质目标，让学生在学习之前了解熟悉每门课程的知识点，使他们能够对下一步的学习内容和脉络有个初步的了解。

组建学习团队，实施项目管理。事先告知学生学习的内容，接下来就是告知如何组织教学，并告知组建学习团队时需要考虑成员的性别组成、特长组成、兴趣爱好、人员分工以及性格倾向，团队的组成结构及合理搭配、有序的组合都会影响到整个团队的成绩。由学生按照兴趣组合的方式自由组成以7～8名成员为一组的学习团队小组，按照学习团队分组就座，由组长担任项目负责人，充分挖掘每个成员的特长，取长补短、优势互补。

明确成绩考核评价方法，引导学生自主设计考核量表。能否制定合理的考核量表和评价方式是决定能否有效地调动学生参与课堂教学的积极性，能否控制好教学质量很重要的一环。针对以往的教学中通常是教师制定考核标准来考核学生的做法，学院在制定新型成绩评定标准时，要求教师首先启发学生去回答5个W，即谁来考核，考核谁，考核的内容，怎么考核，怎么达到奖优罚劣的目的，启发学生启动管理思维。由学生根据项目的不同，制定出考核个人业绩的量表、考核团队的量表、考核实际成效的不同量表。自行制定考核量表，这样就对学生的学习情况实施了全面的过程动态自主管理。

按照能力渐次提高的思路，组织开展实施。在教学过程中，学院要求，要以学生个人能力训练为主，培养他们收集信息的能力、PPT制作能力和讲解能力。同时，以团队能力训练为主，培养团队协调、沟通能力，合作和分工意识。比如，在讲授“公关与礼仪”课程时，教师以学院承担的西塘景区委托项目――《西塘景区游客满意度调查》为案例，指导学生分组制作调查问卷、开展调研、汇总和整理数据、进行形象差距分析并撰写调查分析报告，将动手动脑的能力培养贯彻在整个教学过程中，极大地调动了学生自主学习的热情与兴趣。

教改成果育新知

经过一轮教育教学改革与探索，嘉兴职业技术学院教育教学质量稳步提升，同时也让教师对高职教学有了新的认识――在这样一个信息爆炸的时代，网络信息无处不在，教师适当的引导，恰当的方法就可以让学生在知识的海洋中自由地撷取珍宝，学生展示的作品往往超出了教师的意料和想象。

很快，尝到了教改甜头的教师不由自主地发出了这样的感叹：原来我们的学生是如此的优秀！企业管理思维下的项目化教学促使学生不断发现自我，去发掘自身的学习潜力。学生发现自我、完善自我的过程，也是对自我再认识的过程。

教师和学生之间绝对不是简单的居高临下的教与学的关系，师生之间完全可以互教互学。真正的教学相长不仅会打开彼此心灵的窗户，还对教师业务知识的提升、师德师风的建设起到很大的促进作用。

平等和尊重是开展课堂教学改革的核心。教师必须放低身段，放下架子，摆正自己的位置，以平等的身份发自内心地尊重学生，尊重他们的自主创造，这样才能激发学生发自内心的愉悦和创造力，并自觉地接受教师的引导，学生开心了，才能全身心地投入到项目的学习和实践中去，并尝到学习的无穷乐趣。

篇（3）

一、选择题

1下列说法中,正确的是

(

)

A.弦是直径

B.半圆是弧

C.过圆心的线段是直径

D.圆心相同半径相同的两个圆是同心圆

2如图MN为☉O的弦,∠M=30°,则∠MON等于

(

)

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

3.下列说法中,错误的是

(

)

A.直径相等的两个圆是等圆

B.长度相等的两条弧是等弧

C.圆中最长的弦是直径

D.一条弦把圆分成两条弧,这两条弧可能是等弧

4.在☉O中,直径AB=a,弦CD=b,则a与b的大小关系为

(

)

A.a>b

B.a≥b

C.a

D.a≤b

5

如图1,在☉O中,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为

(

)

图1

A.25°

B.50°

C.60°

D.80°

二、填空题

6.如果圆的半径为3,那么弦长x的取值范围是

.

7如图2,点M,G,D在半圆O上,四边形OEDF,HMNO均为矩形,EF=b,NH=c,则b与c之间的大小关系是b

c(填“”).

图2

8如图3,在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为(3,0),☉M的半径为2,过点M的直线与☉M的交点分别为A,B,则AOB的面积的最大值为

.

图3

三、解答题

9.如图,已知AB为☉O的弦,点C,D在AB上,且AC=BD.求证:∠AOC=∠BOD.

10.如图4,CD是☉O的直径,A为DC的延长线上一点,点E在☉O上,∠EOD=81°,AE交☉O于点B,且AB=OC,求∠A的度数.

图4

11.如图5,A,B,C是☉O上的三点,BO平分∠ABC.求证:BA=BC.

图5

12.如图6,两个正方形彼此相邻,且大正方形ABCD的顶点A,D在半圆O上,顶点B,C在半圆O的直径上,小正方形BEFG的顶点F在半圆O上,顶点E在半圆O的直径上,顶点G在大正方形的边AB上,若小正方形的边长为4,求该圆的半径.

图6

答案

1-5

BDBBB

6.[答案]

[解析]

圆的半径为3,则圆中最长的弦即直径的长度是6,因而弦长x的取值范围是0

7.[答案]

=

[解析]

如图,连接OM,OD.

四边形OEDF是矩形,

b=EF=OD,同理c=OM.

OM=OD,b=c.

8.[答案]

6

[解析]

AB为圆的直径,AB=4,

当点O到AB的距离最大时,AOB的面积最大,即当OMAB时,AOB的面积最大,最大值为12×3×4=6.故答案为6.

9.证明:OA=OB,∠A=∠B.

在OAC和OBD中,OA=OB,∠A=∠B,AC=BD,

OAC≌OBD(SAS),∠AOC=∠BOD.

10.解:连接OB,如图.

AB=OC,OB=OC,

AB=OB,∠A=∠2.

∠1=∠A+∠2,

∠1=2∠A.

OB=OE,∠1=∠E,∠E=2∠A.

∠EOD=∠A+∠E=81°,

3∠A=81°,∠A=27°.

11.证明:连接OA,OC,如图.

OA=OB,OB=OC,

∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO.

BO平分∠ABC,

∠ABO=∠CBO,

∠BAO=∠BCO,

OAB≌OCB,BA=BC.

12

解:连接OA,OD,OF,如图.四边形ABCD为正方形,CD=AB.又OD=OA,OC=OD2-CD2,OB=OA2-AB2,OC=OB.

设OB=x,则OE=x+4,AB=2x.

在RtAOB中,OA2=OB2+AB2=x2+(2x)2=5x2.在RtOEF中,OF2=OE2+EF2=(x+4)2+42.

又OA=OF,(x+4)2+42=5x2.

篇（4）

数学是以现实世界中的空间形式和数量关系为研究对象的学科，由于一切事物的特性或事物间的关系在不同程度上都需要通过一定的量的关系来加以描述，因此数学是我们认识世界的基础。在人类不断认识和改造世界的过程中数学自身也在发展，它已成为现代社会中一般成员必备的科学文化素养，是各类劳动者不可缺少的知识，更是学习各专业知识的重要基础。在各类专业学习中，数学都是作为一门重要的必修课，因为数学的学习直接影响专业知识、技能的学习。在数学中数学概念是非常重要的一个内容，正确地理解数学概念是掌握数学知识的关键，是进行数学判断、推理的前提。只有概念明确，才能判断准确，推理有据，只有深刻理解数学概念，才能提高解题的能力。因此，搞好数学概念教学是提高数学教学质量的一个重要方面，本文就数学概念的教学谈几种方法。

从实例引入

数学知识是前人通过辛勤的智力劳动获得、积累并证明的正确结论，它的获得过程蕴含着培养智力的因素，它所运用的归纳、论证、推理等逻辑方法训练人的思维，具有可贵的启发智力的作用。数学内容可分为科学的数学内容和作为教材的数学内容；科学的数学内容一般结论精确、逻辑严密，作为科学专著，其目的是让读者明确并信服相应的数学理论。而作为教学内容的数学，其教材除了保证必要的严谨性以外，更力求于理解。它不仅要保证相应的理论和方法让学生信服，而且还要让学生完全理解，还必须吸引学生的学习兴趣，能够提高学生的能力。但由于篇幅等因素，一般的教材，尤其是职业学校的教材，不可能具备上述条件，因此教师就要想办法，充分备课加以补充，尤其是对数学概念的教学。数学概念分为原始概念和推出概念。对于原始概念，不能用别的数学概念去定义，只能从实际事例中抽象理解。如集合、平面等。对于一般的概念，在传统数学教学中，往往忽视给概念，下定义的过程，而仅仅强调“从定义出发”，只是注重了内容的学习。如果从概念定义到概念定义或采取直接定义的方式来引入某个数学概念，学生也不易理解，也没有注重思维方法的培养，这不符合数学发展智力的作用和素质教育的要求，因为学生没有参与概念的形成。即便是死记硬背，把概念机械地记下来，也只能是知其然不知其所以然。而运用启发式从实例出发经过分析、比较、综合、抽象、概括等一系列思维活动，不但能理解抽象的数学概念，而且学生充分参与到概念的形成中，培养了学生的思维能力。因此在数学概念教学中，如果是原始概念，最好用实例去解释，让学生来理解。而对于一般的数学概念，也要从具体实例出发，运用启发式，让学生参与到概念的形成中去。例如函数的概念，就可以运用生活中的实例：以一种书的数量、书价与所付款的关系来进行讲述，形成自变量、应变量的关系，抽象出数学概念。对于数学概念的教学来说，从实例引入，抽象出数学概念是一种很好的方法，当然不能一概而论。

概念对比法

在数学中，概念非常多，而且很相象。学生学习起来易产生混淆。采用对比法，可帮助学生对概念的理解，如指数函数和幂函数，对数函数和指数函数。通过分析它们的区别从而使学生分清各函数的性质，以便利用性质解题。如果把新概念与旧概念对照起来讲，不仅能使学生比较顺利地接受、理解新概念，还能使学生从中看到新旧概念之间的区别与联系，对理解新旧概念都有帮助。如函数概念是反函数概念的基础，对于反函数概念的理解，是在函数概念的基础上，因为反函数也是函数，符合函数的概念。通过学习反函数，又加深了对函数概念的理解。因此运用对比法进行数学概念教学，尤其是对于相似的数学概念非常有效，所以这也是帮助学生理解数学概念的一种方法。转贴于

从简单概念引出复杂概念

许多概念是由其他概念推出来的，而数学知识具有严密的逻辑性，前一个知识往往是后一个知识的条件或基础。因此对于数学概念来说，除原始概念外，都是前一个概念的深化和更高度的概括。所以在讲授新概念、尤其是复杂的概念时，若能在旧概念、旧知识的基础上，从简单的概念入手，引出复杂概念，从低级概念引出高级概念，则能起到很好的过渡作用。如利用学生熟悉的变速直线运动中求某一时刻的速度的方法引入导数概念，会很容易理解导数的概念。利用这种方法，大大降低了学生接受复杂概念的难度。因此，利用深入浅出的方法来理解复杂的数学概念也是一种化难为易的好方法。

利用图像法

有的数学概念可以利用图像进行辅助教学，例如函数的特性（单调性、有界性、周期性）、导数的几何意义都可以利用画图的方法进行直观说明。图像具有直观性，对于较复杂的数学概念用图像来说明可以达到事半功倍的效果。

篇（5）

概念，思维的基本形式之一，反映客观事物的一般的、本质的特征。人类在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点抽出来，加以概括，就成为概念。因此，概念从逻辑结构上看，就是反映某种事物及其特有的本质特性的思维形式。具体到数学教科书来说，数学概念指的就是书本中那些名词术语的释义。它们中，一类是占量较多而给一定义的，如有理数、无理数、方程、平行、垂直、相似形、轴对称图形、函数、数列、数列的极限等等，另一类是占量较少而不给定义的，如点、直线、平面、集合、对应、同侧、异侧等等，对它们只做些简单描述性的说明。

每一个概念都有它自身的内涵和外延。内涵是指这一概念所包括的对象的一切基本属性的总和，外延是指适合于每一概念的一切对象。概念的内涵和外延之间，还存在着反比例的关系，即概念内涵扩大，外延就缩小；内涵缩小，外延就扩大。概念有种（概念）、类（概念）之分，平行四边形和菱形的关系正好说明这一点。

二、数学概念在数学教学中的作用

正确理解数学概念是掌握数学规律的前提。数学概念是数学的一般知识，它包括定义、定理、公式、性质、法则。数学概念是数学中进行逻辑推理的基础。如果概念不清或错误，那么由概念构成的判断、推理就会产生错误的论证和运算，更谈不上得出正确的结果。例如初中数学中算术根的教学，近几年使用的教材是这样描述的：正数正的方根叫算术根。显然这是定义，而下定义的概念（正数正的方根）的外延（所有正数的方根）容易被下定义概念的外延（所有正数正方根，所有零的方根）。这违反了下定义的外延相等的规定，于是就成了一个过窄的定义，在这种过窄的定义的指导下，学生在理解时经常出现错误。例如:

1.当x为何值时 =- 。

解：当X＜-1时等式成立。

2.求函数Y= 的定义域。

解：X＞-3的一切允许值是该函数的定义域。

上述二例忽略了X=-1和X=-3时的可能性，使题解失去了完整性。因此，正确的算术根的定义应该是：非负数的非负平方根的叫算术根。

三、在数学教学中如何利用数学概念

1.寻求形成根源，理解概念。

数学概念教学的第一步是引入概念，它是理解和应用概念的前提，如何引入呢？我觉得应从寻求其形成的根源入手。

几乎每一个数学概念的引入都伴随着一个动人的故事，如引入无理数时，可向学生介绍无理数发现的背景；又如讲解析几何时可向学生介绍笛卡尔，讲二项式定理时可向学生介绍杨辉三角。了解一个概念的发生、发展过程，有利于学生对某一概念的形成，同时，数学史也是对学生进行思想教育的极好教材。

2.用直观的对比方法引入概念。

新数学课程标准别指出：抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景和形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。一个概念在学生思想上的形成是有一定过程的，教师在教学中应从具体到抽象、从现象到本质，引导学生逐步形成概念，运用直观对比的方法引入概念，就可以达到新课标提出的要求。它往往比单纯孤立地讲授概念效果要好。它可以将抽象思维转化为形象思维，这样既可避免学生听起来感到枯燥无味，又可减轻他们记忆的负担。在中学数学里，不少内容是可以通过直观对比方法来引入的，如：立体几何里讲异面直线概念时，可以先让学生观察教室里或生活中的各种实例，再看异面直线的模型，抽出本质特征，概括出异面直线的定义，并画出直观图，即沿着实例――模型――图形――想象的顺序逐步抽象形成正确的概念。现行的各种版本的新教材中，在每章的前面，都设计了“章头图”，这些图形都是学生们非常熟悉的事物，以此加强学生对数学概念的认识。有些内容，若“数”、“形”能够结合的一定要尽量结合起来讲，不能怕麻烦，如在实数集合、指数函数、对数函数等内容的教学中，都可以用数形结合的方法来组织教学。

3.利用联系对比，巩固概念。

在中学数学中，有许多概念既有本质不同的面，又有内在联系的一面，教学中，如果只注意某一概念的本身，忽视不同概念之间的联系，那么就会使学生对概念的掌握停留在肤浅的表面上。因此，我们应采用联系对比的教学方法使学生区别异同，防止概念的混淆，起到深化巩固概念的作用。

如：函数，结合中学阶段所讲的函数概念，指出函数就是从定义域到值域的一类特殊映射，所以映射中的集合A、B必须是非空的数的集合；其次，作为函数其对应关系与映射也不尽相同，请看下列从集合A、到集合B的映射（AB中元素为实数）。

（1）在图（a）中，B中每一个元素在A中都有唯一的原象；

（2）在图（b）中，B中每一个元素在A中都有原象（但不唯一）；

（3）在图（c）中，B中部分元素A中无原象（b3）。

那么图(a)(b)相应的映射无谓函数，而图(c)则不是函数。映射作为函数，必须满足以下两条：集体A，B是非空的数的集合；集合B中每一个元素在A中都有原象。

4.用发展、变化的观点，深化概念。

篇（6）

数学学科本质二：对数学思想方法的把握。基本数学概念背后往往蕴涵重要的数学思想方法。数学的思想方法极为丰富，小学阶段主要涉及哪些数学的思想方法呢？这些思想方法如何在教学中落实呢？我们的基本观点是在学习数学概念和解决问题中落实。小学阶段的重要思想方法有：分类思想、转化思想（叫“化归思想”可能更合适）、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。

数学学科本质三：对数学特有思维方式的感悟。每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外，尤其数学又享有“锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙”的美誉。小学阶段的主要思维方式有：比较、类比、抽象、概括、猜想――验证，其中“概括”是数学思维方式的核心。

篇（7）

能力的基础。

中学数学里有各种各样的概念，由于各个概念的具体内容，和它在数学中地位和作用的不同，数学概念有主要和次要之分，有难学和易学之分，有一般和关键之分。因此，对各个数学概念的教学具体要求也应有区别。一般来说，对数学中一些重要概念的教学应使学生得到较系统的知识，即使学生认识了概念是如何产生和发展的，但要明确数学概念，最主要的就是使学生掌握概念的内涵和外延及其表达形式（也包括定义名词符号），还要了解有关概念之间的关系，成为系统的知识，并能运用概念知识来了解数学问题。即要求理解、巩固、系统、会用，为了达到这样的要求，下面探讨有关数学概念的教法问题。

1、数学中如何引入新数学概念

有的数学概念是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映出来的，有的则是在抽象的数学理论基础上经过及其抽象才产生发展出来的。

但是数学概念不管如何抽象，都有它具体内容，对于中学数学概念的具体内容，中学生在生活和学习过程中，或多或少都有过接触。因此在中学进行新概念教学时，既要从学生接触过的具体内容引入，也要从数学内部的问题提出，这是比较好的一种教学方法。

例如：正负数的教学，一般是从有相反意义的量引入正数和负数，同时也要从正数减法运算产生矛盾，指出需要引入负数，又如无理数的概念教学可以无公度量的存在引出无理数，也可以从正数开方的产生矛盾引入无理数。

2、数学概念的外延和内涵的教学方法

对于原始概念的教学，一般是通过对具体事例的观察，找出某些特性，并给予说明或描述，使学生认识这个原始概念所反映的现象的范围和属性。例如在几何中关于“点”的教学，可以让学生观察箭头的尖端木板上外刺得痕迹，从而抽象出“占有位置而无大小”的概念，还应说明大小关系式无足轻重的，也就是对它的大小不加可否。正因为它脱离世界的物质内容，因此在数学中就可以吧箭头的尖端，或者针刺的痕迹作为“点”的模型。

对于定义的概念教学应重点讲解定义中的种概念和属概念的类差，使学生认识被定义的概念既具有它的种概念的一切属性，又具有它自己独有的特性既定义中的类差，这样学生就初步认识了概念的内涵。为了是学生对所学的概念加深认识，可以用概念的分类方法或者与其他有关概念比较的方法，进一步弄清楚概念和概念之间的关系，既概念的外延。

例如，在平面几何中，讲授圆的概念时，应强调指出圆是“平面内点的集合”这就是把圆与球面区别开来。另外还应强调指出，圆具有它自己的特性，即圆的任一点具有“到一定点等于定长”这个性质，这就是圆区别于其他平面、曲线的特征。学生掌握了圆的内涵与外延，就不难了解为什么一般圆弧不叫圆，也不难理解球和圆的区别。

3、如何使学生认识概念间的关系

中学数学概念在教学过程中是不断发展的，根据概念的互相联系构成一个数学知识体系。因此，数学教学必须使学生逐步认识数学概念间的关系，从而系统掌握数学基础知识。

为了使学生认识概念间的关系，数学上一般采用概念分类，或者比较概念的内涵和外延，找出它们的共同点和不同点，从而找出它们的各种关系，如同一关系、包含关系等。

例如，为了使学生对实数概念得到较全面系统的认识，在复习实数概念时可以先把实数进行分类，写出分类表。通过分类表指出数的概念从自然数到有理数导实数的扩充过程，进一步比较各种数集及其运算性质。从而指出数的概念扩充原则以及各种数集间的关系。这样，学生会对数的概念得到清晰的系统的知识。

4、要是学生正确理解并运用数学概念的名称和符号

篇（8）

【中图分类号】 G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2013）02（b）-0042-01

1 数学公理化方法概述

1.1 数学公理化方法的内涵

纯形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系统的基本概念、基本关系用抽象的符号表示，命题由符号组成的公式表示，命题的证明用一个公式串表达。一个符号化的形式系统只有在解释之后才有意义。同时，作为一个符号化的形式系统，可以用来提供简洁精确的形式化语言；提供数量分析及计算的方法；提供逻辑推理的工具。

公理化方法的具体形态有三种：实体性公理化方法、形式公理化方法和纯形式公理化方法，用它们建构起来的理论体系分别为《几何原本》、《几何基础》和ZFC公理系统。

1.2 公理化方法的基本思想

数学是撇开现实世界的具体内容来研究其量性特征形式与关系的。其结果只有经过证明才可信，而数学证明采用的是逻辑推理方法，根据逻辑推理的规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初的那个大前提是不可能再由另外的大前提导出的，既是说，我们的逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样的情况最原始的概念无法定义。

因此，我们要想建立一门科学的严格的理论体系，只能采取如下方法：让该门学科的某些概念以及与之有关的某些关系作为不加定义的原始概念与公设或公理，而以后的全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理经过精确定义与逻辑推理的方法演绎出来，这种从尽可能少的一组原始概念和公设或公理出发，运用逻辑推理原则，建立科学体系的方法叫做公理化方法。

2 数学公理化方法的逻辑特征

2.1 协调性

无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出的结果也不能矛盾，即不能同时推出命题A与其否定命题，显然，这是对公理系统的最基本的要求。如何证明给定的公理系统的无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出全部可能的推论并指出其中没有矛盾”来证明是不可能的。

2.2 独立性

独立性要求在一个公理系统中，被选定的公理组中任何一个公理都不能由其他公理推出。独立性其实要求的是公理组中公理之间不能有依从关系，若某一公理被其余公理推出，那它实质上就是一个定理，在公理组中就是多余的，所以，独立性要求公理组中公理数目最少。

2.3 完备性

完备性要求在一个公理系统中，公理组的选取能保证由公理组推出该系统的全部真命题，所以，公理不能过少，否则就推不出某些真命题，这是关于完备性的古典定义。现代数学常借助模型的同构给公理系的完备性下定义，即如果公理系T的所有模型或解释都彼此同构，就称这个公理系是完备的。

在上述公理化方法的三个特征中，无矛盾性是最重要而又是非有不可的。独立性从理论上讲，从完美简炼上讲，应该要求，因为公理和定理在整个系统中处的地位不同，公理是出发点，定理是推出的，不能混在一块。但是，独立性要求有时可降低。现行中学几何体系就放弃了这一要求。至于完备性，要求就大大放宽了；而且“从研究完备的公理系确定的对象转向研究其公理系不完备的对象”被认为是现代数学的特征之一。

3 数学公理化方法在研究数学中的作用和意义

3.1 表述和总结科学理论

公理化方法使有关的理论系统化，把它们按照某种逻辑顺序构建成一个系统，因而便于人们系统地理解知识体系，便于掌握理论的本质。它是应用演绎推理的基本方法，它为认识世界提供了演绎推理的模式，提供了一种理性证明的手段，它是表述科学理论一种比较完善的方法，它为各门科学提供了一种思想方法上的示范和有效的表述手段，有利于促进理论的完善和严格化。它赋与数学内在的统一性，有助于人们了解数学各分支、各部门之间的本质联系。

3.2 完善和创新理论

公理化方法的应用要求一门科学的充分成熟：积累了一定数量的基础知识，进行了一定的系统分析和研究，对该门学科知识结构有了较深入的理解。因此，实现公理化的过程也是深入研究理论体系的过程。采用公理化方法还可以发现和补充理论系统中的缺陷和漏洞。从而有利于完善已有理论，创建新的理论。

3.3 培养和熏陶人们的逻辑思维能力

数学学习，重要的不在于只是记住概念、公式、定理和法则，而在于学会如何去获得这些知识，即学会正确地进行数学思维，逻辑思维正是数学思维的核心成分之一。逻辑思维能力是一种重要的数学能力。而公理化方法使逻辑思维在数学中的作用得以充分发挥，大大提高了数学教育的成效，实现高度的思维经济，这无疑对培养和熏陶学生的逻辑思维能力有其十分重要的作用和意义。此外，由于公理化方法可以揭示一个数学系统和分支的内在规律性，从而使它系统化，这也无疑有利于人们学习和掌握。

4 结语

公理化方法是是建立某些抽象学科的基础，是加工、整理知识，建立科学理论的工具，公理系统的形成是数学分支发展的新起点。公理化方法有助于发现新的数学成果，可以探索各个数学分支的逻辑结构，发现新问题，促进和推动新理论的创立和发展。对各门自然科学的表述具有积极的借鉴作用。同时公理化方法对于学生理解和掌握数学知识、数学方法及培养学生逻辑思维能力具有重要作用。公理化方法本身及其在数学理论和实践应用中的巨大作用，随着科学技术的发展还在继续向前发展。

参考文献

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一、数学史融入数学教育的资源开发

小学阶段，学生从最简单的自然数开始逐渐接触分数、小数等数系方面的知识。除了同一数学分支的学习在不断地纵向延伸拓展外，学生还开始慢慢接触多个数学分支，比如几何的初步认识，概率统计方面的初步认识，这些由“标准”的四大知识领域的划分就可以得到印证。但是长期以来小学阶段的数学知识主要是集中在其中的两部分，即：数与代数、空间与图形。这里将以小学“数与代数”知识领域的一些重要知识点为基础，研究其中比较基础的数学概念，编写一些适合一线教师在课堂可以直接使用的历史材料。

（一）自然数源于“比较”

毫无疑问，自然数是世界上公认的产生最早的一类数。英译为nature number，可见中文和英文的意思是一种直接的对应，“有自然而然产生出来的意思”。通常认为原始人类在运用匹配的方式计数以及考察动作的顺序时产生了自然数的概念，在自然数的概念产生的同时也产生了自然数的算术四则运算法则，随着运算的发展即自然数在生活中的应用，自然数的概念逐渐完善。

最初，原始人过着居无定所的“流浪”生活，靠狩猎为生。在长期狩猎与分配的过程中，他们逐渐形成了“有”和“无”、“多”和“少”的概念。在“有”中渐渐知道“1”和“多”的区别。例如，收获猎物与空手而归，就产生了“有”和“无”的概念；在分配猎物时，每人一个一个地分，以满足每个人得到的数量能相等，在每人分一个不够时和每人分完一个还有剩余时，就产生了“少”和“多”的概念。有研究表明：有些动物也有能辨别数目多少的才能。这种按人数一个一个地分配猎物，事实上就是匹配的方法，这里蕴含的是“对应”的思想，在历史上被称为“数学的第一次抽象”。或许这就是函数“对应法则”的最初原型吧。初入学的小学生和原始人认识自然数的思维过程是相似的。心理学研究表明，低年级学生的数概念已基本形成，能够理解数与实物的对应关系。所以，在低年级引入自然数的概念时，应该考虑到孩子的心理特点：先叫他们感受“有”和“无”的区别，然后再辨别数量的“多”和“少”。而在一年级教材中，也正是先让学生认识具体物体的个数，然后才抽象出数的概念的。教师在此阶段的教学中，不可急于求成，让学生慢慢地在“掰着手指头”“一一匹配”的基础上，感知事物数量的多少关系。

在生产实践中，人们匹配的对象不断扩展，例如手指、小石头、贝壳等等。尽管匹配的对象多种多样，但是人们发现它们在数量上有某种共性，例如一根手指、一块石头、一个贝壳等，都包含有一个共同的特征“一”，这样就抽象出了数字“1”的概念。英国哲学家兼数学家伯特兰罗素（Bertrand Russell，1872~1970）说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了”。当然，也就随之逐渐地抽象出用来表示数字的“2”“3”等等，但是随着感知数量的增加，先民却很难突破大于3的数，大于3的数他们都理解为一堆或一群。对于儿童而言也是如此，所以一年级的小学生先学习0-9的认识和运算，在学生学习基本的点数动作语言之后，接着学习10-20的认识和运算。慢慢这些匹配的对象演化为人们的记数工具。由于这种记数工具不易携带和保存，人们想到用结绳的方法来记数，并逐渐发展为在石头、木、竹片或骨上来“刻痕记数”。但是人类把数的共同特征抽象出来，并采用与大多数具体事物无关的某个语音来代替它，或许经历了很长时间。既然如此，在运算教学中，应让学生借助大量直观的“匹配”活动，比如数手指等，慢慢形成抽象的自然数。而不能急于求成，直接将运算知识交给孩子。这对学生思维的发展是毫无益处的。

（二）分数源于“分”的需要

随着人类社会发展的不断进步、人类实践活动范围的不断推广，在生产分配过程中常出现不能均分的情况、在测量或计算时不能得到整数的结果，分数自然而然就产生了。在小学，分数概念的引入，也是出现在不能平均整分的情境下。分数的概念从对汉字的考证来看，原始分数的概念来源于连续量的分割。殷商甲骨文“八”字，据考释是“分”的意思；《说文八部》中的解释是“八，别也。象分别相背之形。”周代金文中已常用“分”字：“分，别也。从八而刀，刀以分别物也”。《新华字典》中的解释可取为“分开，划分开，跟‘合’相反，引申为取整数的一部分”。在英语中分数是“fraction”一词，也有“小部分，片断”的意思，它能追溯到拉丁词“frangere”，是“打碎”的意思。它是源自过去分词“fractus”的词干派生的后期拉丁语“fractio”，意为“破裂”或“碎成一片片的”。

尽管各个国家的语言文化背景和社会政治经济发展不同，但是对“分数”概念的理解却有异曲同工之处，基本都理解为“被分割的数，被打碎的数，破碎的数”。所以，分数在原始人的思维起源应是一种事物不能够均分为几份了，那么一个整体就要被“打破了”来分。

分数的概念最早可以追溯到巴比伦人，他们采用六十进位制，但只不过限于简单的、、等。在量的意义上，他们把它当作“整体”来看待，而不是一的几分之几，因为分数是从量的度量（同另一量相比有这种对应关系）所得出的结果。例如，当把一元钱与一角钱对比时，就可以把一角钱写成，但是却把本身看成一个单位而不是一个分数，这是二者之间的一种“比较”，而不是“二者之比”。而我们今天通常把一元钱看成整体，把一角钱看成它的一部分，那么相对于一元钱就是一个分数了。埃及人表示分数的方式比我们今天要复杂得多。他们通常在整数上加一个卵形（或者是一个小圆点），表明它是分数。除几个特殊的分数外，他们的分数一般都拆成单位分数的和的形式。毫无疑问，对古埃及人来说这其实是一件极其复杂的事。古希腊时期（通常认为是公元前600年到前300年）人们把分数看成“两个整数之比，不提到整数的部分，而且只在比例里用到比”。而且认为：宇宙间一切现象都可以归结为整数或整数之比。事实上，这乃是毕达哥拉斯学派“万物皆数”的理念。经过时间的洗礼，希腊时期（一般认为是公元前300年到公元600年，或称亚历山大里亚时期）他们发明了特殊记号来表示分数。例如，在写分数时，他们在分子上加一个重音符号，然后再把分母写一次或两次并加两个重音符号。

从上面能看到古巴比伦、古埃及和希腊，都有关于分数的记载，但是多是关于分数如何表示，却没有关于分数起源的记录。分数在我国起源于何时，有待考证。但是可以说，我国古代数学在分数理论方面有着悠久的历史和卓越的贡献。有学者认为，中国是分数的故乡，分数概念最早可以追溯到商代，即文字出现的初期。在两周的金文中、战国的铜器铭文中、秦汉时期的著作中，都已出现了表示分数的概念。在《九章算术》（公元50~100年）以及《九章算术刘徽注》（公元263年）中都有关于分数概念、四则运算和基本性质的详细阐述。书中包括“合分术”“减分术”“乘分术”和“经分术”。分数是在“合分术”中从除法运算引进的：“实如法而一。不满法者，以法命之。”“命之”可理解为命名为分数，即定义为分数。这句话的意思是：被除数（实）除以除数（法），如果不能除尽，则以余数作分子，除数作分母，定义一个分数。可以说，《九章算术》中用除法来引进分数，是对原始的朴素的分数概念的自然发展。在古书《孙子算经》（约公元300~400年）中记载：“凡除之法，……除得在上方。……实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。”就是说，若除不尽有余数，便用一个分数来表示，以法作分母，以余下的实作分子。可以说“分子、分母”即是“上实、下法”“分子、分母”估计大概是形象地取“儿子、母亲”之意吧——儿子来之于母亲。

值得注意的是，我国古代用算筹来摆置分数，并没有分数线，那时也不需要分数线。据说分数线是阿拉伯人发明的。现在的分数表示法也是符合我国古代所提倡的“上实、下法”的规则的，只是在中间加了分数线而已。南北朝时期（公元420~520年）的《张丘建算经》给出了带分数的乘除问题以及分数的混合运算问题。可以说，中国在此时就建立起了完整的分数理论。

分数概念的形成与发展和数系中其他分支的演变一样，不同国家的发展轨迹不同，但是最后都能达到殊途同归。前面主要介绍了分数在几大文明古国中的历史演变，可见对分数理论贡献最大的非中国莫属。现在分数的表达形式也与古代中国“上实、下法”的形式一致。将分数的起源和历史演变讲给学生，无疑能加深学生对分数概念的理解和应用，同时能激发学生对分数的亲切感和对祖国悠久历史以及众多发明的热爱之情。

二、教学中的应用

数学教师是数学教育的主要力量，是将数学史与数学教育从理论到实践转换的直接力量。已有研究表明，教师认同数学知识的历史能有效促进数学教学，能有助于学生的数学学习，能促进学生智力和非智力的发展。但是由于受多种因素的限制，比如课堂上没有时间；很多小学数学教师没有接受过专门数学史知识的学习和训练，自己对所教授知识的历史并不了解；一些教师力求在课堂上渗透相关的知识，但造成的结果只是流于形式；一些教师课业任务繁重，没有时间进行相关知识的充电以及真正的课堂上没有时间进行相关知识的补充。产生的结果是教师对数学知识的历史进入课堂的价值认可度很高，但在实际教学中使用率却很低的现状，即所谓的“高评价，低应用”。鉴于此，需要在数学史融入小学数学课堂的途径和方法方面作一些探讨。

综合国内外学者的观点，数学知识的历史进入课堂，大体可分为从历史到教学和从教学到历史两种模式。从历史到教学，即从阅读历史资料出发，思考其和数学教学的关系，反思是否可以为教学所用，若有联系可以运用的话，则进一步查阅历史文献，设计适合教学应用的形式应用到教学中，教学结束后反思教学效果并进行进一步修改和改进。从教学到历史，即从分析数学课堂教学目标出发，根据目标设计教学计划，根据课堂教学活动去查找与之相关的历史文本，将历史文本中相应的材料进行合理的“再创造”后，运用到课堂教学，教学结束后反思教学效果并进行进一步修改和改进。

三、结语

数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录，数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化联系的一门学科。而现行的数学教材既不是按历史发展来讲，也不是按难易程度来讲，而是所谓的“教育数学”，是为了让学生“更容易”接受数学知识而特意编写的。因此，一个数学概念在历史上是如何产生的？一个数学定理或公式是如何发现的？一个数学分支是如何起源的？对这一系列问题，教材的编者、授课教师都很少关注。这样以来数学成了一门枯燥、呆板的学科，影响了学生对数学的学习和理解。在数学教育中融入数学史的教学中“通过生动丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生和发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。”以达到帮助学生通过学习数学，养成良好的学习习惯，认识数学的科学意义、文化内涵，理解和欣赏数学的美学价值。即使今后他们不从事数学教育或数学研究工作，可是正确数学观，以及对数学真切感受，会使他们受益终身的。

参考文献：

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中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）06-0071

一、数学概念的特点和学习意义

数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性。概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造。在某种程度上表现为对原始对象具体内容的相对独立性。

数学概念又具有抽象与具体的双重性。数学概念既然代表了一类对象的本质属性，那么它是抽象的。以“矩形”概念为例，现实世界中没见过抽象的矩形，而只能见到形形的具体的矩形。从这个意义上说，数学概念“脱离”了现实。由于数学中使用了形式化、符号化的语言，使数学概念离现实更远，即抽象程度更高。但同时，正因为抽象程度愈高，与现实的原始对象联系愈弱，才使数学概念应用愈广泛。但不管怎么抽象，高层次的概念总是以低层次的概念为其具体内容。且数学概念是数学命题、数学推理的基础部分，就整个数学体系而言，概念是一个实在的东西。所以，它既是抽象的又是具体的。

数学概念还具有逻辑联系性。数学中大多数概念都是在原始概念（原名）的基础上形成的，并采用逻辑定义的方法，以语言或符号的形式使之固定。其他学科均没有数学中诸概念那样具有如此精确的内涵和如此丰富、严谨的逻辑联系。

数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别像笔者所在学校这样的普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异。因此，抓好概念教学是提高中学数学教学质量的带有根本性意义的一环。

从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识。久而久之，严重影响对数学基础知识和基本技能的掌握和应用。比如有的学生认为是奇函数，有的学生在解题中得到异面直线的夹角为钝角，有的学生认为函数与直线有两个交点，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的。只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。

二、数学概念的教学形式

1. 注重概念的本源、概念产生的基础，体验数学概念形成过程

每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈现依赖性，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力。因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。

比如，在立体几何中异面直线距离的概念，传统的方法是给出异面直线公垂线的概念，然后指出两垂足间的线段长就叫做两条异面直线的距离。教学可以先让学生回顾一下过去学过的有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离有什么特点，发现共同的特点是最短与垂直。然后，启发学生思索在两条异面直线上是否也存在这样的两点，它们间的距离是最短的？如果存在，应当有什么特征？于是经过共同探索，得出如果这两点的连线段和两条异面直线都垂直，则其长是最短的，并通过实物模型演示确认这样的线段存在，在此基础上，自然地给出异面直线距离的概念。这样做，不仅使学生得到了概括能力的训练，还尝到了数学发现的滋味，认识到距离这个概念的本质属性。

2. 挖掘概念的内涵与外延，理解概念

新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。可见，三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。

3. 寻找新旧概念之间联系，掌握概念

数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量，平面角与空间角，方程与不等式，映射与函数等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。再如，函数概念有两种定义：一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来；另一种高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图像、表格、公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性。认真分析两种函数定义，其定义域与值域的含义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，所以两种函数的定义，本质是一致的。当然，对于函数概念真正的认识和理解是不容易的，要经历多次接触的、较长的过程。

4. 运用数学概念解决问题，巩固概念