高效课堂案例与解析汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇高效课堂案例与解析范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

数学具有较强的逻辑推理、抽象思维、严密严谨等特性.在数学学科教学活动中，教师经常借助数学案例这一“抓手”，进行数学知识内容的巩固强化，以及数学学习技能素养的锻炼和培养活动.案例教学是课堂教学活动的重要环节之一，也是课堂教学的重要形式之一.教育学指出，由于数学案例在数学知识内容方面的概括提炼特性及在数学学习技能培养提升方面的显著功效，案例教学成为其主要教学形式.随着新课程标准的深入推进，学习能力素养培养成为“主旋律”，如何开展有效、深入、高效的数学案例教学活动，成为重要的课题.笔者现结合案例教学感悟，对高中数学案例教学活动进行阐述.

一、案例教学要体现师生之间的互动交流特性

案例教学是数学课堂教学的一项重要活动，同时也是教师在数学教学方面的一项重要形式.案例教学作为课堂教学活动的一种形式，理应遵循和按照课堂教学活动的要求.案例教学过程，既包含教师讲解指导的活动，又包含学生探知分析的活动.并且教师与学生之间的各自活动，又有深刻密切的联系和包容.但通过大量观摩课堂案例教学发现，部分高中数学教师在案例教学活动中，将教师的“讲解”与学生的“探析”二者之间的活动过程进行割离，未能将“讲”与“探”有效融合、渗透，影响案例教学效能.因此，案例教学应生动体现课堂教学的显著特性，将互动交流特性在案例教学中予以有效体现，把教师对问题内容的讲解，解析方法的点拨，以及学生解题活动的指导等活动，融入整个案例教学的活动过程中，让教师的主导特性有效呈现，学生的主体地位充分展示，达到教学共进的目标.

如在“已知函数f（x）=|log（x+1）|，满足f（m）=f（n），m0.”教师引导学生一起进行讨论归纳活动，针对解析过程所应用的数学知识点内容及解题思路，指出：“在该类型的问题案例解答中，要利用函数的单调性，运用转化的数学思想，比较两个式子的大小.”

二、案例教学要落实新课程标准的能力培养要义

案例教学是教学活动的一种形式或阶段，需要认真落实新课程标准提出的学习能力培养的目标要求.高中阶段与其他教学阶段一样，其学习技能、学习素养及学习品质等方面，始终是教学活动的重要任务和唯一追寻.案例教学，不仅是为了教会学习对象感知案例、解析案例的方法和策略，更重要的是，让学习对象借助案例教学这一平台，其数学学习技能得到深刻的锻炼和有效培养.因此，高中数学教师不仅要将案例教学作为巩固所学知识的有效载体，还要将案例教学作为数学学习技能培养提升的有效“平台”，提供高中生自主探知案例、合作探析案例、归纳解析策略等活动时机，同时切实做好实践过程的引导和点拨工作，实现高中生在数学案例的探究实践活动中，数学学习技能的有效锻炼和提升.

问题：已知有实数x，y满足不等式组1≤x+y≤4y+2≥|2x-3|，如果a>0时，在（x，y）所在的平面区域内，求函数z=y-ax的最大值和最小值.

学生分析：该案例是关于简单线性规划的问题，先画出不等式组的平面区域图，根据所提出的问题条件，画出可行域，通过观察图像内容，可以发现需要采用分类讨论的解题思想，就直线z=y-ax的斜率a>2时和直线z=y-ax的斜率-1

教师指导：该案例是关于不等式的线性规划问题，主要考查学生对线性规划知识的应用能力.学生开展问题解答活动.小组讨论得出解题策略：正确地画出不等式的线性规划可行区域，准确深刻认知函数的几何意义是本题解答的关键.

三、案例教学要渗透高考政策的数学考查要求

高中数学阶段案例教学活动的开展任务，应达到高考政策的命题考查要求，以便高中生更好地达到高考数学命题要求.案例教学为数学高考活动“服务”，是案例教学的重要要求之一.因此，在案例讲解活动中教师不能“就问题讲问题”，开展浅显的案例讲解活动，还应该深刻研析近年来高考政策制定中，有关数学知识内容的考查要求和命题趋势，在案例讲解过程中，选取和设置近年来的典型高考试题，开展讲解和练习活动，拓展案例讲解的外延，丰富案例讲解的内涵，提高案例综合解析能力.

求函数f（x）的最小值及此时x的值的集合”高考试题，组织学生开展探析和解答活动.学生通过对典型模拟试题的研究、分析、解答等活动，认识到：“平面向量章节更注重学生对解题思想策略的运用，更突出向量与其他数学知识的交汇.”同时，也对数学高考考查要求有所认识和掌握.

总之，案例教学为教师数学知识讲解提供了有效平台，为学生数学学习技能锤炼提供了有效载体.

篇（2）

一、课堂练习问题应成为数学教材重难点的生动代言

开展的备课活动、设置的教学内容，选取的讲解方式等，都要贴近教材，围绕其目标要求以及重点难点等实施.作为预设活动之一的课堂练习问题设计活动，自然而且必须紧扣数学教材的核心要义和目标精髓进行科学、合理的预设.这就要求教者在设计课堂练习问题进程中，必须切实做好、做实教材研究分析的先期准备工作，找准数学教材的重点要义和目标意图，学习借鉴其他先进教学经验，认真研析并设计出与教材贴近、重点切合、难点紧密的练习问题，使所设计的课堂练习内容成为数学教材精髓要义的形象代言和生动代表，让初中生通过探析解决练习问题而窥得数学教材之要旨和核心.如“平方差公式”一节课课堂练习设计中，教师通过备教材前提活动，认识到该节课数学教材中教师需要围绕“平方差公式的应用”进行重点讲解，同时根据以往教学心得，“用公式的结构特征判断题目能否使用公式”是学生认知掌握的薄弱环节.此时，教师设计课堂练习问题时就胸中有数，有的放矢，设计出了“1.（a+b）（a-b）（a2+b2）；2 （a+2）（a-2）（a2+4）”、“1.（4a-1）（-4a-1）；2.（b+2a）（2a-b）”、“1.（a+b+c）（a+b-c）；2.（a+b-3）（a-b+3）”等练习案例，以供初中生进行思考分析、巩固完善，暴露缺陷，对症施教.值得注意的是，教者在围绕教材重难点设计数学练习问题时，要做到与新知讲解以及学习学情之间的深度融合，体现练习问题的巩固性、补缺性和完善性等鲜明特征.

二、课堂练习问题应成为师生双边互动的桥梁纽带

课堂教学活动中的讲授者和参与者之间，是一种平等、互动、交流、共赢的关系.任何一节课要达到“有效”一词的标准和要求，就必须体现落实教与学的双边、双向特性和要求.但笔者在平时的教学观摩和教学教研中发现，有不少教师存在布置问题了事，学生自主解析的“甩手掌柜”现象，没有将所设问题变为教师和学生之间有效互动、深切交流、深刻碰撞的桥梁和纽带，出现“剃头挑子一头热”的现象.教育学指出，数学问题应是教师与学生之间交流互动的“介质”，呈现互动、双向特性.因此，教师设计课堂练习问题应紧紧抓住教学活动双边特性，所设计的课堂练习内容要呈现出显著的交流特点和双向特性，融会贯通教师的提问和学生的回答等内容，层次性、递进式的呈现问题、设置要求，推动师和生之间的深入活动、有效交流、共频共振.如“如图1所示，已知AD是ABC的角平分线，DFAB，DE=DG，如果已知道ADG和AED的面积分别为50和39，试求出EDF的面积为多少”练习设计中，教师预设课堂练习问题时，采用层层递进、步步为营的填空式问题设置方式，提出如下需要学生一起协作解析的问题过程：

解作DM=DE交AC于M，作DNAC，交AC于N.

DE=DG（已知），

DM=DE（），

AD是ABC的角平分线，DFAB，DNAC，

（角平分线定理），

DEF≌DNM（）.

ADG和AED的面积分别为50和39，

SMDG=SADG-SAMD=50-39=11，

SEDF=SDNM=（）（）.

三、课堂练习问题应成为主体技能锤炼的重要平台

学习技能培养，是学科教学实践活动的根本要义和现实要求.教育发展学指出，数学练习题应是锤炼学习活动主体思维能力、锻炼学习活动主体辨析能力、培养学习活动主体归纳能力等方面素养的重要平台和有效介质.因此，数学学科教师设计课堂练习案例，不能照搬照抄、固定不变，而应该充分挖掘和释放数学练习案例中的丰富内涵和培养功效.一方面设计时兼顾导学合一方式运用，既强化初中生自主探析思维的活动实践，又重视学生探析过程的指导.另一方面设计数学练习时统筹教材丰富体系，注重对现有练习案例的加工和创新，设计丰富多样、解析多样、思路多样的数学案例，力促初中生在探究解析获得辨析、思维、创新等方面技能素养的提升.如教者在“正方形DEMF内接于ABC，若SADE=1，S正方形DEFM=4，求SABC”问题设计的基础上，通过认真研析、上下衔接，对上述问题案例进行“深刻挖掘”，利用数学案例的发散特性，加工和变化出“已知菱形AMNP内接于ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB=21 cm，CA=15 cm，求菱形AMNP的周长”、“在ABC中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AHBC交DE于M，DG∶DE=1∶2，BC=12 cm，AH=8 cm，求矩形的各边长”等案例.这些变式案例的设计意图和解析要求之间的侧重点有所不同，初中生在解析时需要运用到“相似三角形的性质及判定”、“菱形的性质”以及“矩形的性质”等知识点和方法，利于初中生数学学习能力的锻炼和提升.

篇（3）

效率，是人们实践探究活动的“总追求”、“落脚点”。课堂教学效率，随着时代的进步、社会的发展及课改的实施，其效率所隐含的内在特性和衡量标尺发生了丰富的变革和深刻的变化。教育实践学认为，学科目标要求通常由知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等构成。初中生作为其重要参与对象，衡量评判有效“参考”。新课程明确指出：“学生是整个教学实践活动的‘中心’，学习能力培养是其教学活动的‘重心’。”因此，笔者认为，教学效率的提高应围绕学生主体做文章，让数学课堂师生充分互动起来，主体技能得到充分锻炼。鉴于上述感知，笔者现对提高初中数学课堂教学效率的方法进行论述。

一、实施互动协作教学活动，让初中生主体充分参与课堂教学。

实践证明，课堂教学活动效能由主体参与教学程度决定，课堂进程需要主体深度参加和积极互助。课堂是教师与学生之间交流互动的广阔“舞台”，课堂教学活动具有鲜明的双边性和互动性，课堂教学要取得好的“效果”，就要让学生主体得到充分的展示。因此，教师在课堂教学中应将初中生引入和纳入整个教学活动中，采用师生对话、讨论、交流、探析等双向互动模式，组织初中生参与到教师所设计的教学进程中，教师与学生之间遥相呼应，同频共振，互动协作，主体特性得到充分体现。如“矩形的性质”一节课“矩形的性质”知识点教学活动中，教者采用实验操作法教学手段，运用“师引生探”的形式，与初中生一起用三角板、量角器等学习工具动手测量矩形图形及折叠矩形图纸等，逐步引导初中生将测量和折叠的图形数据进行观察和分析，要求初中生通过同桌讨论活动，总结概括出矩形图形所具备的特性为“矩形对边平行且相等；（同平行四边形）；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线互相平分且相等；（4）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形”，初中生对矩形性质从“感性”认识上升到“理性”认知。师生互动、共同探知矩形性质的教学活动，将学生作为课堂重要“生力军”，其学习主体特性得到有效凸显，提高了初中生的数学认知程度。

二、实施探究解析教学活动，让初中生数学能力得到充实锤炼。

让学生充分“动起来”，让学生有效“升起来”，是初中数学的最根本、最现实的要义。教育实践学指出，课堂是学生锤炼、提升的“平台”，课堂教学进程就是学生锤炼技能的实践进程。当前课改背景下，课堂教学的重要考评标准之一，就是学习对象的学习能力是否得到有效锻炼和提高。这就要求初中数学教师在课堂预设和生成进程中，要始终树立“学生核心，能力第一”教学理念，将数学技能培养渗透于整个课堂教学中，引导主体深入思维实践，组织主体深刻思考研析，指导主体深切概括判断，在充足实践和有效指导下，切实锤炼和培养学习能力。

问题：如图所示，D，E分别是三角形ABC边BC，AC的中点，AB=2AF，试判断四边形ADEF的形状，并加以证明。

学生解析：该案例要证明ADEF的形状，应该借助于平行四边形的判定和性质内容，构建等量关系以此证明。

教师指点，强调指出：该问题证明时，要运用平行四边形的判定及三角形的中位线定理。

学生完善，推导解题思路：根据三角形的中位线性质可以得DE与BF平行，DE与AB的关系为1∶2.然后根据平行四边形的判定内容，从而判定出该四边形为平行四边形。

学生书写解题过程活动，过程略。

教师组织同桌之间批改解题过程并深入交流。

教师与学生结合探析案例进程，共同归纳解题方法：正确运用平行四边形的判定及三角形中位线的性质，是该问题解答的关键。

上述案例教学活动，初中生成为案例解答的“主要实施者”，并在教师科学有序的指点和引导下，完成了问题条件内容的探知、解题思路的确定，以及解题过程的探析和解答方法的概括等探究实践“任务”，初中生主体得到了有效锻炼，很好地落实了新课改核心精髓。

三、实施反思评析教学活动，让初中生数学学习素养精益求精。

学习实践活动需要学习主体进行深刻的自我总结、自我反思、自我整改，以期达到学习方法、解析素养、学习效果精益求精。初中生在课堂学习探究中，需要对自身学习活动进程表现及效能进行全面的认知和深入的“总结”及深刻的“反思”。教师作为学生学习活动的指引者，承担着指导评判学生学习活动表现及效果的“职责”。这就要求教师一方面要做好初中生学习实践的评判工作，运用教学评价，对初中生数学学习的活动、解析思路、解答过程及学习效能等方面进行客观的评判，多给予肯定评价，保护初中生学习积极性，教会他们学习的方法，提高他们的学习技能。另一方面要创新教学评价，组织初中生进行小组合作评价，让初中生成为学习活动“评委”，对他人学习活动进程进行评判，并深入交流评判观点，相互借鉴，形成科学评判结论，使初中生在他评和自评活动中，学习缺陷有效改正，学习效能有效提升。

值得注意的是，初中数学教师在有效课堂教学的实践进程中，在做好以上所述内容的基础上，还要创新教学方法举措，合理设计教学步骤，科学预设教学预案，助推课堂教与学和谐发展，共同进步。

参考文献：

篇（4）

数学思想方法在数学教学中的渗透

高中数学概念教学的分析与思考

例谈高中数学问题情境的创设

数学课堂有效教学的几点做法

初中数学概念教学方法初探

数学课堂教学中有效教学的途径初探

提高中职数学课堂教学质量六则

初中数学课堂教学中的有效沟通策略

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克服发展障碍激活参与热情——浅谈如何实现有效的数学课堂教学

对数学知识屡学不会现象的剖析

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对中学数学教学的一点反思

让“探究”与教学同行——来自两则案例的启示

第一型曲线积分在高考试题中的应用

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从神童走向顶尖数学家——华裔青年陶哲轩

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上期答案

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浅谈高考数学客观性试题的几种解题策略

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减少解析几何计算量的几种方法

篇（5）

教育运动学认为，课堂之中的“教”和“学”之间，不是相互孤立、互不相连、独自为阵的单独活动，而是相互联系、相互融合、相互包容的有机统一体.教师的“导”和学生的“学”之间应该是互动、呼应的双向活动.笔者以为，导学活动要深入实施、取得实效，就必须做到“教师有所指，学生就要有所应”，“导”与“学”之间始终是遥相呼应的双边活动.因此，教师实施导学活动，要遵循课堂教学双向性原则，既要积极的引导和指导学生的学习活动.同时，又要组织和设计具有双边互动的教学氛围和教学形式，推动学生根据教师的导学活动积极回应，对教师提出的学习任务和要求，主动地参与配合，深入地思考分析，并能主动地与教师进行讨论、交流等双向活动，有效避免了“剃头挑子一头热”的不良现象，实现在双边互动中推动导学进程.如“指数函数”一节课“指数函数的定义”知识点导学教学中，教师采用师问生答的互动形式，设计如下教学过程：

师：板书，指数函数的概念，并向学生定义指数函数.

师：组织学生讨论a的取值规定.向学生提问：“为什么要规定底数大于0且不等于1呢？”.

生：进行思考分析活动，出现认知卡壳现象.

师：引导学生分别讨论a>0，a

生：通过集体讨论交流，学生指出，a

师：组织学生讨论指数函数的定义域.引导学生回顾指数x的取值范围.

生：讨论分析初步认识到指数x的取值范围，并进行简单论述.

师：总结指数函数的定义域为R.

上述导学过程之中，师与生围绕知识点内涵进行了深入的讨论、交流等双向互动活动.在教师的提问、启发、引导过程中，学生根据教师所提任务要求进行了深入的思考分析活动，使得导学活动贴近学教事情，推动导学取得实效.

二、遵循启示性教学原则，在设疑解惑中开展导学

导学的过程，是一个循序渐进、解疑释惑的发展过程.教师开展的导学活动，不是传统教学模式下的“填鸭式”教学形式，而是依据学生认知实际，结合教学目标要求，循循善诱的教学过程.教师解疑释惑不能“到嘴到肚”直接告知，而应该“循序渐进”的娓娓道来，在有效引导中启发学生深入思考，找寻根源.因此，数学教师导学时，就必须遵循启示性教学原则，找准症结所在，设置的导学活动要富有启示性、具有渐进性，让学生在循序渐进的导学进程中，深入细致地思考和分析，逐步获取认知的“本源”所在和解析的“真谛”精髓.如“平面向量”章节“共性向量”教学中，教师针对学生存在“共性向量认知不清”的疑惑，抓住他们学习认知的实际情况，通过设置“a=（-2，1），b=（λ，-1）（λ∈R），如果a和b的夹角为钝角，试求出λ的取值范围”问题，组织高中生认真研析活动，并展示其某一解题过程，引导他们深入分析，使他们认知产生解析错误的原因是“忽视a与b反向共线的情况”造成的.因此，教师在认知疑惑的导学过程中，引导高中生分析推导，从而认识到该问题中的向量a和b的夹角为钝角等价条件是ab0，并且a、b不平行.

三、遵循探究性教学原则，在深入解析中开展导学

问题 已知集合A=xx2-2x-80，C=xx2-3ax+2a2

学生解析 通过解集集合A、B里面的两个一元二次不等式，就可以求出集合A、B中的x的取值范围.根据问题条件能够容易求出A属于B，根据CA∩B这一条件，可以对a的取值范围进行讨论，得出每种情况下集合C的情况，以及a的取值范围.

教师指点：该问解答时需要对集合的包含关系判断以及应用有准确的运用，需要运用到分类讨论的解题思想.

学生完成解题活动，归纳总结解题方法，教师进行补充完善，获得其解题策略.

教师进行点评：在解析这一类型问题时，要正确运用一元二次不等式的解法.

上述解题活动，是教师针对学生案例解析中经常出现的“不会运用描述法表示集合的概念及其表示形式”不足开展的导学活动.在此导学进程中，教师遵循了探究性教学原则，提供了动手探究的“舞台”以及实践解析的“时机”，抓住解答该类型问题的切入点和突破口，动手探究能力获得长足进步，解析问题水平得到显著提高.

解决问题，是学习数学学科的最根本任务和要求；解决问题能力，是学生数学学习能力的最基本要义.数学学习的过程，就是动手探究、思考分析的实践过程.数学开展导学活动，要注重学生数学探究能力的锤炼和培养，将数学探究活动融入教师导学进程之中.组织学生围绕教与学的任务要求，在教师的科学指导下进行亲身实践、深入解析等活动，并深刻汲取教师讲解指导的“精髓”，以期获得解析数学问题的方法，并对其科学使用深刻认知，提升学生数学技能和素养.

篇（6）

常言道，一个巴掌拍不响.互动教学活动的双边参与者，一方面是教师要完成教学活动设计者的任务，一方面参与主体要完成教师预设的学习探究任务，这就决定了参与主体的互动、配合应体现出一定的程度和深度，并且对互通的互动进程产生至关重要的决定作用.而学生主体参与互动的程度，受到自身内心情感状态和学习内在情绪的制约和影响.教育心理学指出，外在活动环节或氛围，对参与主体的内心世界影响和作用尤为显著.这就决定了，高中数学教师所开展的互动教学活动要顺利、深入开展，首要工作就是要做好适宜教学情境的创设.高中数学教师要利用数学教材所呈现的丰富内在和外在特性，同时将现实事物或生活案例与教材内容有机融合，营造宽松、愉悦、平等的教学情景，深入到高中生内心世界，推动自觉参与互动意识的建立.如“集合”一节课新知探究环节教学中，教师为增强高中生参与互动探知的积极性、主动性，扎实做好先期导入活动，采用情景导入法，设置了“已知红星高中开展文娱活动，音乐组35人，参加舞蹈有34人，参加戏剧组有29人，其中音乐组和舞蹈组同时参加的有12人，舞蹈组和戏剧组同时参加的有14人，戏剧组和音乐组参加的13人，并且5人参加了三组，试问文娱活动有多少人？”教学活动，将该节课知识点的生活特性、应用之美予以呈现和展示，拉近新知与学生的距离，架起与情感沟通的桥梁，在积极情感驱使下，主动与教师一起深入探知数学知识内涵.

二、注重互动交流环节的创设，促进互动教学

教学活动具有双向性、对等性，是其显著的内在特征.但笔者发现，有个别高中数学教师片面理解互动教学模式的概念内涵，导致其实施和开展的互动教学活动，教师的教授指导和学生的思考解析等两个环节未能较好的融合起来，贯穿起来，形成一个有机整体，导致互动活动成为一种摆设和形式，缺乏其教育和教学功效和意义.因此，教师在知识讲解或案例讲析课中，实施互动教学方式时，应注重对师生之间互动、交流、谈话环节或过程的设置，把教者和学生的讨论、协作、交流以及补充等等活动进行高效渗透和融入，实现师与生深入、深刻交流沟通、互动协作，实现其互动效果的深刻性和实效性提高.

篇（7）

用好数学史 教好数学课

谈谈高职高考的数学复习

论数学思想方法在高中数学教学中的渗透

关于提高数学教学开放度的探索和思考

关于高中数学模型化教学方法的探析

数学公开课的易位解析

中专数学课堂教学的改革

浅析高中数学教学中的分层教学

目标引领,自学导航——浅谈学习目标的地位和作用

论中职数学分层分组合作教学模式的教学实践

浅议中职学校数学教学评价体系

数学建模与学生创新思维能力的培养

例谈数学课堂提问的部分原则

动生成的高中数学课堂教学模式的探究

基于Moodle的高中数学混合式教学设计——以《等差数列》为例

在数学课中发挥小班化教学优势

浅议中职数学的“教”与“学”

“数学过程”之浅见

让课堂成为学生思维的运动场

谈数学高效课堂教学的完整性

初高中数学衔接教学初探

《几何画板》在数学探究性活动中的应用

浅谈计算机辅助教学的实践与思考

浅谈电子交互白板对初中数学教学的影响

浅谈高中数学教学中如何实施素质教育

浅谈在数学教学中如何转化后进生

非智力因素促进学生学习数学

高中函数概念的有效教学策略

高中数学概念教学中的三个“什么”

浅析职业学校数学教学中的分层次教学法

高中数学教学中创新教育途径探讨

如何提高数学课堂的教学效率

浅谈变式教学在中职数学教学中的应用

浅谈新课程对数学教师专业发展的要求

试论新课改下文化课教学中情感教育的渗透

新课程理念下的高中数学课教师应当做什么

新课程改革理念下数学课堂教学的突破与发展初探

新课程下提高课堂有效性教学初探

拓展学生思维 提高课堂效率

项目导向教学法在中职数学教学中的应用

大学数学教学应加强案例应用

从学生的节外生枝说开去——谈高中数学教学预设与动态生成的和谐统一

新课程背景下高中数学有效课堂教学引入的十种方法

职高数学选择题的间接解法

化归思想在积分学习中的应用

分类讨论解数学题的几种常见情况

灵活思维在高中数学中的运用——以化归思想为例

以退为进思想在高中数学中的运用

浅谈思维定势在数学解题中的影响

积分上限函数的导数计算方法初探

探求轨迹（曲线）方程的几种常用方法

构造法证明不等式举隅

中职数学问题解决的反思策略

关于高中导数应用教学的思考

走好解析几何入门关——椭圆题型的优化策略

发散思维,培养能力

浅谈如何计算正态随机过程平方的协方差函数

利用向量巧解二面角

你会解已知面积作条件的题目吗

抓住本质特点 简化解题过程

浅析常微分方程的几种解法

利用斜率解决一类分式求值域的问题

级数的相关性质与应用

篇（8）

课程改革成为教学发展必然趋势，对课堂教学要求更具时代特性。学生是教与学活动的“参与者”，实践探究，是其探索新知、解决问题的重要手段。组织初中生开展探究解析活动，是教师课堂教学的一项重要任务和要求。本人现从数学探究能力培养角度，对初中数学课堂教学活动开展进行简要论述。

一、强化教师指导功效，在有序引导下有效探究

教育构建学认为，教学活动构建要素众多，内涵要素丰富，其中，教师、学生，是其不可缺少的两个重要“部件”。教师是整个教学活动体系的构建者和规划者，起着主导作用。而学生由于自身现有的学习能力水平与现行教学目标要求之间存在“距离”，致使学生学习探究活动需要借助于“外力”的支持和帮助。教师作为课堂教学“主导”，组织、引导、指导学生学习探知，是其肩负的重要职责。组织初中生数学探究研析活动，既不能做“甩手掌柜”，放任自由，又不能做“包办者”，全程代替，而应该在保证初中生亲身探究活动时间和空间基础上，切实发挥自身主导指导功效，做好对初中生数学探究活动的指引工作，有意识地设计探究任务要求，实时观察和了解探究实际情况，并能针对出现的探究实践不足及时“化解”，保证初中生在“收放”结合条件下深入有序开展探究实践活动。如在“平行四边形”一节课“平行四边形的性质”知识点讲解中，教者利用初中生具备的能动主体特性，采用实验法，进行平行四边形的性质探究研析活动。在此过程中，教师先向初中生提出本次实践操作的目标和任务，然后采用“教师示范，学生操作”的形式，教师一边示范操作，提出操作步骤，学生遥相呼应进行动手操作活动。教师组织初中生观察图形特征，学生观察图形，阐述图形特征，指出平行四边形具有“对边相等且平行、对角相等，邻角互补”等特点。教师针对初中生所阐述的图形特征内容，进行补充和完善。在此过程中，初中生借助教师有效指点，探究活动更为深刻，知识点内涵掌握更为深刻，学习效能显著提升。

二、注重双边互动活动，在合作互助下深入探究

教育学认为，学生学习活动不是个体独立活动，而是集体合作活动。学生作为班集体的“一份子”，其学习活动离不开与其他学生个体的合作、交流、探讨等双边活动。动手探究作为学生学习活动的一种形式，自然也需要互助协作活动的实施。加之，教学活动的双边互动特性，更决定了学生探究活动应融入合作互助集体“劳动”。但笔者发现，很多初中生习惯于单打独斗的自主探究活动，不愿意参与到群体中间进行合作互助探究实践。这就要求，初中数学教师在组织学生探究活动时，要注重集体合作探究活动的开展，按照“统筹兼顾，整体平衡”的原则，组建合作探究学习小组，引导初中生参与到小组合作探究数学知识或数学案例的实践活动之中，在互补互惠、深入探讨中，推进探究活动深入开展，提升初中生探究实践、互助协作能力。如“已知有一个形如二元一次方程，如果现在这个方程组x的值为负数时，y的值就为正数，试求出m的取值范围。”案例讲解中，教师组织初中生开展探究解析该案例时，采用小组合作探究形式，将初中生分成若干合作探究小组，进行问题探究、推导、解析、概括等实践活动。初中生合作感知问题条件后认识到，该问题要求m的取值范围，需要运用到解一元一次不等式组以及解二元一次方程组的内容。在确定解题思路时，初中生进行讨论交流，一致认为应先利用加减消元法求出x=2m-1，y=m+4，然后根据问题条件中的“x的值为负数时，y的值就为正数”条件内容，列出不等式，进行解不等式组活动，即可确定m的取值范围。教师针对初中生合作探析思路，强调指出，解题时要按照同大取小，同小取大，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解的思路进行解集活动。值得注意的是，教师组织开展合作双边探究活动，应在保证学生个体探究效果，避免出现“身在曹营心在汉”，参与程度不深，“随大流”、“走过场”的形式主义现象。

三、重视解析技能积累，在能力保障下高效探究

学生数学探究活动，就是学习技能、学习素养，巩固强化，学以致用的过程。同时，探究活动程度，受到探究者自身数学技能素养的制约和影响。因此，培养学生良好、优秀的学习技能和素养，是探究活动深入开展，取得实效的“保证”。教师应在平时的初中数学课堂教学活动进程中，注重数学教材内容要义的讲解，帮助初中生积累深厚的数学知识素养，重视数学解题方法策略的传授，帮助初中生形成良好的数学解题技能，在逐步积累和实践中，为有效自主探究活动的开展，提供素养“保证”和方法“指导”。值得注意的是，数学知识素养和解题技能培养，是长期、系统的教学“工程”，需要初中数学教师持之以恒、孜孜不倦的锻炼和培养，在点滴培养中实现初中生探究能力素养的升华和进步。

总之，教师应将学生探究实践活动纳入课堂教学体系之中，精心组织，科学指导，注重探究，有效培树探究技能型人才。

【参考文献】

[1]何文忠.从“效率”走向“效益”――谈数学教学的有效性[J].宁波教育学院学报，2012年04期

篇（9）

试卷是教师在学科教学中提升教学活动效果，锻炼学生数学学习技能的有效抓手和重要载体.试卷讲析是试卷运用的一个重要环节，同时，也是教师与学生之间进行互动交流的有效时机.在试卷讲析过程中，教师为了达到促进学生深入思考，认真探析，认知现状，锻炼技能，巩固提升的目标，试卷讲析活动进程中，需要采用和实施各种教学手段或方式.有效教学策略的运用，对整个试卷讲析活动的开展和效果，起到推进和促动功效.高中阶段，阶段性测试“家常便饭”，教师试卷讲习成为教学活动的一个重要内容.做好试卷讲析活动，也就显得更为重要和重大.本人现结合自己试卷讲析活动体会，就教学策略的运用，从几个方面作粗浅的谈论.

一、抓住教学过程双边特性，实施互动式试卷讲析活动

试卷讲析是教师课堂教学的一种活动形式，它属于教学活动体系的一个“分子”.试卷讲析活动进程自然要具有教学活动所呈现的双边特性，互动特点.但笔者发现，部分高中数学教师片面追求教学进度，将学生“抛离”试卷讲析活动之外，由教师一人完成试卷的“评讲”和试卷的“分析”活动，导致高中生不能“沉下”身子接受教师的“讲析”.教育实践学认为，试卷是锻炼和提升学生学习技能素养的有效抓手，学生应融入在试卷讲练的每一环节.这就要求，高中数学教师要将试卷讲析看作是师生相互之间，生生个体之间，深入讨论、深度合作、深刻探析的重要时机，采用互动式教学方式，通过教师的“讲”和“引”，来促使学生深刻的“思”和“析”，让师生在互动合作、交流探析的双边活动中，正确掌握试题的解析方法.如“设全集U={x∈Z|0≤x≤10}，A={1，2，4，5，9}，B={4，6，7，8，10}，C={3，5，7}.求：A∪B，（A∩B）∩C，（

”讲析活动中，教师采用互动式教学方式，引导高中生一起分析问题条件存在的关系，一起讨论解题要求与条件内容之间的“切入点”，共同推导解决这一要求的思维过程，从而让学生在互动交流的协作活动中，掌握该试题解答的方法，从而促进高中生参与试卷试题分析的程度和深度，提高讲析效果.

二、抓住试卷案例实践特性，实施探究式试卷讲析活动

实践过程学指出，教学过程，其本质就是引导学生科学、严谨实践探析的过程，探究性、实践性，应融合于教学过程之中.教师讲析数学试卷，不能简单的告知学生试卷试题完成的“对与错”，而应该采用逐步递进、层层推进的探究式教学方式，在指导和引导学生分析试题条件内容、推导解析问题过程和解答试题过程中，数学学习技能得到锻炼和提升.如在“在极坐标系中，从极点o做直线与另一直线1：ρcosθ=4，相交于点m，在OM上取一点P，使得OM・OP=12，求出点P的轨迹方程”试题讲析过程中，教师采用探究式教学方式，引导学生探析问题条件活动，学生合作探析试题条件后指出：“该试题是考查对圆与方程知识运用的案例”.根据试题所提出的解答要求，教师组织学生组建学习小组推导解析的分析过程，指出：“应该先求出直线1的普通方程，然后设定M，P的坐标，构建方程，求出OM，OP的向量，最后求出轨迹方程”.教师此时引导学生根据所探析的解题思路，找出解题存在的不足，改正其解题过程.高中生在教师组织开展的探究式教学活动中，通过自身探究分析试题条件及解题思路活动，解析问题的能力和动手探析的能力得到了有效锻炼.

三、抓住试卷练习巩固特性，实施反思式试卷讲析活动

从教育功效学的角度出发，可以发现，试卷练习的目的，就是为了帮助和促进学习对象更好的巩固所学数学知识内涵和技能，形成更加深厚、更加良好的数学学习素养.学生在试卷讲析过程中，借助于教师的有效讲解分析，进一步的促进了学生的自我思考、自我剖析活动的开展，其自身思考分析活动也得到了深刻锻炼.因此，高中数学教师讲解分析试卷试题，应有意识的引导高中生结合试题所包含的数学知识点内容，进行再次的回顾总结.同时，结合试题解析过程，引导高中生反思辨析自身解析试题过程，自我查找解题过程中存在的“优点”和“缺处”，教师针对高中生的“反思”过程，进行针对性的指导和评判，从而帮助高中生在巩固反思、辨析评判的过程中形成良好数学学习能力.

四、抓住试题典型示范特性，实施发散式试卷讲析活动

试卷讲析，不能采用局限的“眼光”，就试题讲试题；而应该运用发展的“思路”，举一反三，触类旁通，升华试题内容，提升讲析效果.高中数学教师在试题讲析时，要整体研析数学知识内容的深刻联系和丰富外延，利用试题案例所具有的典型性、概括性和发散性特点，就某一试题讲解时，要善于挖掘该试题丰富的内涵要义及深刻联系，设置出与该案例密切联系的其他案例内容，组织和指导高中生进行深入细致的分析和研究活动，能够通过原有解题方法和经验，实现对其他案例的分析和解答，提高其知识迁移能力和案例解析能力.

总之，高中数学教师在试卷讲解分析的过程，要紧扣课改要求，按照高考政策考查内容，合理利用教学策略，科学开展试卷讲析，实现高中生学习技能和数学素养有效提升.

【参考文献】

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一、问题背景

经常会有学生反映：“老师，复习了那么长时间的解析几何，做了那么多解析几何试题，但是我现在还是很恐惧解析几何，模拟卷的解析几何题我都逼着自己尝试着做，有时会做，有时一点思路都没有，我该怎么办呢？”在解析几何的复习过程中，教师该如何带领学生在制高点获得突破？让我们首先来看一例：

引例 （2013浙江理21）如图，点P（0，-1）是椭圆C1：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径.l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求ABD面积取得最大值时直线l1的方程.

本题涉及椭圆的标准方程及简单几何性质，圆的标准方程及简单几何性质，直线方程，直线与圆相交弦长的计算，直线与椭圆相交弦长的计算，三角形面积的计算等，涉及内容丰富.第（Ⅱ）小题建立在第（Ⅰ）小题的基础上，起点低，入口宽，层次递进，由易到难，突出主干知识，紧扣考试说明.但是据统计，第（Ⅱ）小题得分并不高，究其原因，主要是解题方法选择不当，运算能力不够，最值求取存在问题，缺少知识的融会贯通和灵活运用.

那么如何高效地开展复习课教学，使学生学以致用呢？

二、案例操作

1.试题剖析

我们首先明确要求什么.题目要求我们求得三角形面积最大值时的直线方程，那么必须要得到三角形面积的表示.根据题意，我们能很快得到三角形的面积可以表示为S=12|DP|・|AB|.

那么怎么求呢？根据解析几何的基本思想，利用代数来研究几何，我们设法求出两条弦长的代数式，涉及求解这个问题的三个关键点：直线方程、面积表示、面积的最大值.故可确定本题的解决方式大致如下：参数设定方程及相关计算等价转化.

2.过程探究

万事开头难，教学中针对学生解题的薄弱之处――如何寻找解题的突破口，本题的分析过程从读题、审题入手，重视对有效信息的提取、翻译、加工、应用等环节的体现.通过几个问题，将题目层层剖析，让学生亲历问题分析的过程.

（Ⅰ）由已知得到b=1，且2a=4，a=2，所以椭圆的方程是x2[]4+y2=1.

（Ⅱ）（1）如何选取参数？

我们发现直线l1的位置一旦确定，整个图像就确定了，而用代数来控制直线l1的就是它的斜率.因为直线l1l2，且都过点P（0，-1），由题可得直线l1的斜率一定存在.这一步骤中借助图形的几何性质合理地分析出两条直线的假设方式，既避免了分类讨论，又没有任何遗漏.考查了直线方程相关基础知识，也通过这样的步骤合理地设定了本题的参数.所以设直线l1：y=kx-1kx-y-1=0，则直线l2的方程为x+ky+k=0，目标量为S=12|DP|・|AB|，难度为分别求弦长AB和DP.

（2）题目中罗列的条件有哪些？

①l1交圆C2于A，B两点；②l2交椭圆C1于另一点D.

（3）如何用代数的方法进行翻译刻画呢？

在合理假设直线方程的前提下，通过联立方程，利用代数法可求得弦DP的长度，以及在圆中利用几何法可求得弦AB的长度，这样就可以顺利写出三角形ABD的面积表示.这里涉及解析几何大题中的一些基本方法，如联立方程、韦达定理、弦长等.

弦长AB根据直线与圆相交，利用垂径定理求取得到关于斜率的一个函数d=1[]1+k2，AB=24-d2=23+4k21+k2.

DP则根据直线与椭圆相交，通过联立方程组和弦长公式求得.由x+ky+k=0，

3.回归本质

这个题思路简单，采取的方法是通性通法.其实仔细分析每年高考题，我们会发现解析几何的题具有很强的规律性，在每一题中总是若隐若现地出现那种看似无形却有形、犹抱琵琶半遮面的情景，表达的精髓无非是坐标与方程，方程的核心则是直线方程，曲线方程往往是已知的.对直线方程，我们要有效地假设未知的信息，譬如引进斜率作为变量，通过直线与曲线方程联立，结合韦达定理用设而不求的方式求解.总之，直线及其位置关系只有通过方程才能展开运算，只有运算才能对几何关系进行有效的表达.

一堂课的内容是有限的，但对问题的研究是无止境的.在课堂讲评之后，做以下变式，留作学生课后探究：

变式1：把椭圆改成抛物线y=2x2-6，点P（0，-2），l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，l1交抛物线于A，B两点，l2交圆于另一点D，求ABD面积取最大值时直线l1的方程.

变式2：椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别为P，N.

1.求椭圆C1的方程.

2.（1）设PM的斜率为t，直线l的斜率为k1，求k1t的值；

（2）求三角形EPM面积最大时直线l的方程.

三、教学反思

解析几何是一门“方法论”色彩浓厚的学科，应当以“用坐标法研究问题”为主线，在教学过程中，向学生渗透函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想及运动变换思想.

（1）课堂教学应当“把时间还给学生，把方法教给学生”；

（2）课堂教学应当使学生的思维由“表层结构”向“深层结构”发展.

【参考文献】