数学思维的主要类型汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学思维的主要类型范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

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中图分类号：G640 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0113-02

“思维类型”是一个通用概念，大量学者都对其进行了研究。事实上，明确区分思维的类型对教育来说具有重要的实际意义。为了更好地指导大学生的学习，增强他们的创新能力，本文从新的角度对思维类型进行分类，从四种思维类型出发给出学生的学习方法，特别对数学思维方法展开讨论，最后再给出创造性思维的彻底性原则。

一、思维类型及其对教育方法的启发

一般来说人们思维分为下述四种类型：接受快且深刻，接受快但肤浅，接受慢但深刻，接受慢且肤浅。当然最好的是接受快且深刻这种类型，这种类型的人往往自小就表现出天才模样，他们大都被称为是神童。可惜的是，他们在赞扬声中成长，很容易养成骄傲情绪，久而久之他们就不习惯于“艰苦研究”，最后变成平庸之人。王安石的《伤仲永》写的就是这种情况。所以对第一种类型的学生，我们对他们的爱护首先就是不要多表扬他们（例如各地过分吹捧高考状元是不明智的做法），其次对他们要多加督促，让他们养成艰苦学习习惯。列宁小时候聪明异常，他往往很快就完成作业，然后就嬉闹不止。他的父母很担心，怕他今后不会踏实学习，除了教育他以外，还时刻注意他。有一次列宁看到他的妹妹坐在钢琴边，不停地弹奏一首乐曲，花了许多小时，才把它弹得正确。为此列宁感悟道：做任何事情，没有坚毅品质是不行的。列宁的父母知道这件事后才放心，他们知道列宁已经懂得养成勤劳习惯的重要性。第二种类型（接受快但肤浅）的人，他们平常的表现最容易使人迷惑：许多复杂的问题他们一听就懂，可是他们自己做起来却经常出错。他们的家长和老师都误认为这是由于“粗心”造成的，除了告诫他们要细心以外，家长、老师（甚至他们自己）对这种现象都不在意。举一个例子，初中学生刚学习有理数时，写负数时往往会遗漏负号，当你向他指出时，他立刻就知道是自己错了。人们大都认为这是粗心的原因，殊不知是他在他的意识里还没有真正接受负数这个概念，也就是说他虽然接受了负数概念（也许很快就接受了）但是却很“肤浅”，他的潜意识里并没有它的“真正”位置。因为引导学生思想深化是一件困难的工作，所以对于接受快但肤浅的学生，我们也许更应该留心。除了教育他们不要骄傲（这是由于他们接受快而造成的错误）以外，还要训练他们的思维，让他们养成深思的习惯。（顺便提一下，怎样培养学生养成深思习惯，如同怎样提高学生的写作能力一样，至今都尚未找到特别行之有效的办法）第三种类型，即接受慢而深刻，在某种意义上它才是最好的一种类型。领会深本是探索一切知识的必要因素，可是他具有这种优越品质而不觉，有时他还为自己接受慢而苦恼，这样他对学业从不掉以轻心，为了克服自己接受慢的缺点，他总是“笨鸟先飞”，这样在漫长的学习生涯中，他养成一种坚忍不拔的品质，这又是一个获得成功的必要条件。第三种类型的人“天然”地具备了成功的两个最重要的因素，所以大部分在学术上有成就的人都来自于他们。据说牛顿、爱因斯坦小时候都很“笨”，倘若真是这样，这便是上面论述最好佐证。另外的例子是真人真事，20世纪伟大的数学家吉伯特（1862—1943），他接受新的思想很慢，但一经接受，在运用和进一步发展这些思想上，就没有人能和他比拟了。至于第四种类型的人，虽然他们在学业上很费力，但他们的成功机率并不比第一、二种类型的人要少，甚至还要大于第二种类型的人。这种人只要不放弃努力，那么在他艰难的学习过程中，自然会养成一种深刻钻研的禀性，此是“勤能补拙”之谓也，这正是一切在学术上获得成就的人所要必备的主要品质。明末清初的一位历史学家谈迁，小时候很愚笨，记性差、反应慢，他对自己所读的书籍很难弄懂，他很苦恼，不过他锲而不舍，经常读书到深夜，由于长期的努力，他终于大彻大悟，从此他便突飞猛进，成为那个时代最有学问的人之一。金庸小说《射雕英雄传》里的郭靖大概就是这种类型人的最好写照。总之，无论是哪种类型都有成功希望，只不过有的开始要多费点力气而已。“聪明”并不是人成功的不可缺少的条件，最重要的是人的刻苦和坚忍，而且随着人们的成长，差的类型在不断刻苦努力下，也会迅速朝着最好类型转化，李白说“天生我材必有用”，是千真万确的。

二、数学思维方法和数学学习方法

在一切学科中，数学是一门最重要而且最奇怪的学科。它研究的问题似乎虚无飘渺，并不接触现实世界，但却有莫名其妙的大功效。麦克斯韦尔认为，研究问题时首先要引入数学概念，以他的名字命名的著名方程就是以这种方法推导出来的。狄拉克也认为，应该遵循数学方向前进，因为“正电子”也满足以他的名字命名的方程，所以他预言“反物质”正电子的存在，几十年后人们果然在宇宙射线里发现了它。也许最值得一提的是，陈省身的“纤维丛”几何学理论，竟然可以平行移动到杨振林的“规范场”物理理论里，对此杨振林感叹地说：数学家研究数学问题时，根本没有考虑到物理世界，而却能深刻地阐述世界，这真令人惊叹。如今关于物质粒子最新研究的“弦理论”也和数学家丘成桐的微分几何成就有密切关联。计算机科学和数学理论的关系同样也非常密切。就连过去一向被认为是最难找到实际用途的数论也在计算机科学里发挥着重要作用，例如大整数质因数分解定理丰富了密码学方法：RSA公钥系统，根据大整数的分解，它采用“公钥”和“私钥”技术。[1]由此可见，在数学上花费时间是值得的。一般人并不喜欢数学，他们或者认为数学枯燥无味，或者认为数学深奥难懂。在人们心目中，数学里只有推理，没有猜测；只有逻辑，没有艺术；只有抽象，没有直观；只有理性，没有想象。人们感到数学的结果是一步一步推出来的，没有过人的聪慧是不行的。然而，幸亏事实并非如此，否则我们的数学就不会兴旺到如它目前所示，它早就不会吸引任何一个有智慧的人。其实数学是一门融合了人类一切认识世界方法的学科，只是在它整理自己的知识时，才采取了“定义”、“定理”和“证明”严格方式，这是为了保证它的结论准确无误所致。但是这并未妨碍人们用其他方式获得数学知识，其实最伟大的数学家在他们思考问题时，都是凭借直观（甚至是最粗糙的直观）前进的，特别是当他们在做划时代事业时，更依赖直觉，甚至有时连逻辑也不顾。这在牛顿和莱布尼兹创立微积分时特别明显。本段叙述直接来自于文献[2]。明白了上面道理，我们建议：要在感性上下功夫，要理解数学精神实质，即要有数学质感。对数学的学习要运用人类一切认知手段，即实验、猜测、直观推理、试错法、合情推理和正统的逻辑推理；对于基本知识要有透彻了解，基本技能要熟练掌握。对于较难或者很难的题目，应该努力解决它，真正解决不了，也不要气馁，可以暂时放下，“历史总是带着问题前进的”；对一门数学学科，如果你感到对它的任何一个习题，只要有时间你就可能会做出，即使不会做，但对别人做出的看一眼就会，那么这门学科你就基本过关了，没有必要搞题海战术，这是我国著名物理学家严济慈的观点。

三、彻底性原则

创造性思维最显著的特征就是彻底性。欧氏几何里有一条平行公理：“在平面内过直线外一点，能且只能引一条直线和它平行”。但在欧几里德的《几何原本》里，很迟才引入平行公设，且叙述很啰唆，并不像上述的那样简练。后人怀疑欧几里德并不想把它作为公理，只是“证不了它”，才不得不把它作为一条公设采用。后来的数学家们跃跃欲试，用各种方法试图证明它，就这样证明了一千多年。不少人采用“反证法”，得出许多奇特结果，可惜他们认为“荒谬”，就匆忙下结论说，他们发现了矛盾从而证实了平行公设。只有高斯、鲍利埃、罗巴切夫斯基和旧观念，即认为“欧氏公理体系是唯一正确的”，彻底决裂，他们发现了非欧几何。高斯惧怕旧观念势力，鲍利埃患得患失，他们都没有发表他们的工作，只有罗巴切夫斯基勇敢地发表了他的成果。[3]同样，爱因斯坦相对论和量子力学也都是彻底摒弃旧有观念的好例子。旧有观念根植于人的潜意识里，人们很难发现它，更难突破它。诚如一位物理学家说，他花了好几年工夫才真正弄懂相对论，不是由于他知识的缺陷，而是由于他头脑里的固有观念妨碍了他的理解。他的话有助于我们理解突破旧观念时，坚持彻底性原则的重要性。只要是创造性工作，哪怕是很小的创新，实质上都是在突破我们潜意识里某个旧有观念。希望有所创造的人，对此不可不察。

对思维类型做深入的反思和研究，可以及早发现学生的思维特点，进而就可以给予学生有效的指导和引导，并且我们还要鼓励学生创造性思维，努力攀登科学的顶峰。

参考文献：

[1]Michael Sipser.计算理论导引[M].张立昂，黄雄，译.北京：机械工业出版社，2000.

[2]王健吾.数学思维方法引论[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

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关键词：

类比思维；高中数学；解题应用

所谓类比思维就是从两个事物之间在某些方面的相似中推出其他事物相同或不同属性的思维推理模式。包括：通过新事物对已掌握知识进行回忆与巩固的联想模式和通过类比在不同事物间查找相似、相异之处的思维模式。类比思维的运用，可有效提高数学解题效率，培养和提高学生的综合素质能力。本文就自身在高中数学解题中的实际经验，总结类比思维在解题实践中的有效应用，与大家分享如下：

一、类比思维在高中数学解题中的重要性

在高中数学学习中，有效的学习方法很多。类比思维作为高中数学解题中的一个重要思维模式，在实际应用中显示出了它独特的重要性。首先，基于类比思维的解题，我们能够将新旧不同知识进行全方位、有效的对比，从而强化我们已有的记忆并对不同知识面进行分类区别，避免了所学知识的混淆，也有助于消除我们学习中的不良习惯。类比思维的解题，还有助于我们积极构建已学知识的知识网络，使学习和应用更具清晰化、条理化。通过类比思维在数学解题中的有效应用，我们能够更加深入的理解数学知识并培养和提高我们的自学、自创和自行研究问题的能力。创新能力的不断培养拓宽了我们对数学解题的思维模式，提高了学习兴趣。总之，在类比思维的运用中，我们能够不断向未知领域前进，并提高自身的数学学习能力[1]。

二、类比思维在高中数学解题中的有效应用

在高中数学学习中，很多人感觉很吃力，学习成绩不够理想。从高中数学整体的学习上来看，如果我们能够掌握科学合理的学习方式，也就能够快速有效地解决数学问题，从而提高学习效率和学习成绩。这时类比思维作为数学解题思维的重要模式之一，在实际应用中就显示出它独有的有效性。现就以位置关系、概念、图形特征等类型的数学问题为例，阐述类比思维在解题中的具体运用。

1、基于位置关系类型的类比思维应用

高中数学学习中，几何知识内容比较丰富，并具有一定的抽象性。繁杂而抽象的理论增加了我们对知识的理解难度。如何学好几何知识和有效解决系列问题，对同学们的逻辑思维能力就有了较高的要求。而类比思维在学习中的有效运用，使我们瞬间能够明白几何图形的相交、相切、相离等多种位置关系，对高效解题十分有利。类比思维在其中的运用重点是，寻找相似知识点之间的不同，进行对比着记忆和学习[2]。在运用类比思维时，我们必须对知识的异同点加以准确、有效的把握，才能更好运用类比思维来解题。例如：在“直线与圆的位置关系”和“圆与圆的位置关系”中，容易混淆的知识点比较多，所以我们在学习中就应该积极寻找二者的差异，必要时可在草纸上画出二者之间的位置关系。这样我们的解题思路就能够更加清晰，更有效地高效解题。

2、基于概念类型知识的类比思维应用

在概念类型的知识教学中，我们也可以运用类比思维，同样能够取得良好的学习效果。以代数为例：在学习过程中，诸多抽象的概念需要我们加以有效理解。如果相类似概念同时出现，则难以有效区分。如果我们通过类比法对数学概念进行区别学习，以了解相似概念之间的相同和不同点，对以后学习知识的推进非常有利。例如，在“推理与证明”知识内容的解题中，演绎法和归纳法两个概念相类似，使我们在解题过程中极易产生误区，降低解题效率。运用类比思维于其中，将两种概念的解题方法、应用方式进行类比分析，使复杂问题简单化，同时也能够使我们对二者的概念加以更加深入的理解。

3、基于图形特征类型的类比思维应用

立体几何是高中数学的重难点，在学习立体几何时，对我们抽象思维、逻辑思维的要求更高。如果不能对立体几何图形知识内容加以有效的把握，则难以解决数学难题。在学习中，图形特征是比较容易混淆的知识点。基于此，我认为，对立体几何的图形特征学习中，可运用类比思维，不仅能够快速寻找图形特征的差异，而且可强化自身对数学知识内容的记忆。例如，圆柱、球台、圆锥等立体几何图形，虽然都具有各自独特的特点，但是受诸多因素的影响，使我们在解决数学问题过程中，可能对各立体几何图形的特征不能有效把握。因此，在引入类比思维的条件下，我们为区分各图形特征，可自己动手制作各图形的模型，并对图形的侧面进行展开，以更好区分各自的不同。可见，类比思维在图形特征类型知识内容中的有效应用，对解题十分有利[3]。

三、结论

在高中数学解题过程中，可运用的数学思想模式相对比较多。类比思想作为其中的一种重要思维模式，它贯穿于高中数学学科的始终。通过对该思维模式在解题中有效应用的研究，使得数学学习不再成为难题，也有效地提升了我们在学习中的主动性、创造性，培养了良好的思维方式和正确的学习习惯。在学习中也不断提高了我们对数学学习的浓厚兴趣，为将来进行数学科学研究奠定良好的基础。

作者：梁雨田 单位：内蒙古省包头市第九中学高三18班

参考文献：

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中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2013）09-0164-02

数学学习的本质，是思维培养的过程。而数学思维的形成主要是从问题开始的。数学学习中学生良好思维的形成主要依托于教师对问题的设置，相比其他学科而言，提问在数学学科课堂教学中的重要性更为突出。提问是否得法，直接影响着数学课堂教学高效性的实现。

为了发现课堂教学中教师提问中存在的主要问题，2011年我县中学数学课堂观察组对两所中学的八名中学数学教师的九节数学课，进行了2个纬度、9个视角、23个点的课堂观察及分析。根据课堂观察组提供的数据，我就"维度二教师教学：观察教师的主要教学行为"的"视角八提问"中1提问对象、次数、类型、结构、认知难度、候答时间；2、教师理答方式和内容如何？有哪些辅助方式？是否有效？这两个观察点进行陈述和分析，并提出教学建议及应对策略。

1.教师各种类别提问行为中存在的问题

通过本次课堂中各种提问行为类别频次的观察分析，目前课堂教学中提问的现状主要存在以下几点问题：

1.1提出问题的类型单一，并且提出的问题指向性不明。教师在课堂上发问随意，无效问题较多，消耗了学生的精力，消磨了学习数学的兴趣，不利于学生思维多角度、深层次发展。学生回答问题类型观察结果，也印证了教师提问类型单一结构不合理这一现象。观察结果显示，教师提出的常规管理性问题的比例过高，而提出的推理性问题（理解性问题）、创造性问题（发散性问题）、批判性问题（评价性问题）太少。数学课中过多的常规管理性问题挤占和冲击了学生数学知识的学习和数学思维的发展，因此学生只能回答一些能够通过模仿、记忆等浅层思维学习到的认知记忆性问题，而不能够回答或提出反映思维的逻辑推理性、创造性的问题。其原因是：

1.1.1教师的数学专业知识不足。因此教师教师不能够站在一定的高度把握问题的本质去设计问题，设计问题的深度或广度不够。如，在教学"蒲丰投针"问题中，教师如果了解探究"蒲丰投针"的本质，是找针与平行线相交无关的因素，教师就会有效提问并指导学生的思维方向。

1.2.1课堂教学任务较重，教师没有过多时间关注各个层次的学生。从初中数学的教学任务来看，一般情况下每节数学课至少涉及5个新旧概念，既要求掌握知识点又要在旧知识基础上形成新概念和新技能。教师为了完成教学任务，往往会赶课而忽略不同想法、不同思路的学生。

1.2.2教师不能更多的站在学生的角度思考问题、设计问题，因而教师忽略了知识在学生思维中形成的过程，只注重所需要的结果，提出的问题缺乏梯度于层次。

1.3教师在提问中缺乏策略意识。为了激励学生关注课堂、关注问题，教师可以设计适当的问题情景来吸引学生；或者，引入适当的评价机制、竞争机制激励学生。如，在教学"三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边"时，可以创设情景：老师手中的教鞭、粉笔、学校的旗杆，这三样东西能构成三角形吗？这样创设情景的好处在于，教鞭、粉笔、旗杆学生很熟悉；长短对比强烈，激发了学生探究的好奇心。

2.提高教师课堂提问有效性的对策

2.1教师要继续加强数学专业知识的学习。国家对教师在学历上的要求体现了教师必须具备学科的专业知识，正所谓"深入才能浅出，屋才能建瓴"。教师掌握过硬的数学专业知识，提出的问题更有针对性和目的性，也是有效提问的基础。

数学教师要①掌握必须的数学知识及数学学习方法，了解小学、初中和高中各个阶段的数学教材内容及他们之间的关系；②研究教材编者对各部分内容设计意图；③把握课标对每阶段、每部分的要求。

2.2教师要积极参与学科教学知识技能的交流和培训学习。学科教学知识是指教师将自己所掌握的学科知识转化为学生易于理解的知识，体现为教师知道使用怎样的演示、举例、类比、提问来呈现学科内容。美国心理学家艾伯特・梅拉别恩的实验说明：信息的总效果=7%的文字+38%的音调+55%的面部表情和动作。可见，非言语行为在信息的表达中起着非常重要的作用。掌握丰富的数学学科教学知识和技能，能让更多的学生参与到思考问题、解决问题与提出问题当中，使学生的学习学习兴趣更浓厚，学习更加深入，思维空间更加广阔。

2.3教师要关注分层问题的设计。一个班，学生现有的知识水平各不相同，教师要关注全体学生的发展，就要设计出适合不同层次学生的问题，使各个层次的学生都有思考、展示的空间，有体验思考带来快乐的机会。

2.4教师要给学生足够的思考时间。根据调查显示，普通学生对一般难度的问题的思考时间大概为3-5秒，因此教师提出问题后，要给不同的学生留足够的时间思考问题，也可借助小组合作学习互助学习，使各个层次的学生都形成较完整的思路，再回答问题或提出问题。

2.5教师要充分尊重有不同见解的学生，注重生成新的课堂资源。不同的学生总会有不同的想法和思路，教师不仅要充分尊重不同于自己预设思路与答案的学生，而且要善于将课堂中新的生成作为鲜活的课堂资源，进行概括总结和提升。

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数学教育要给予每个人在未来生活中最有用的东西。因此，我们在数学教学中不能把目光停留在数学知识的讲解和解题方法的运用上，而应以它们为载体，加强对学生思维能力的训练。

现代教学论认为，数学教学是数学思维活动的教学。数学教学培养的是学生的思维习惯和思维品质，是数学思维教育素质化的重要内容。思维培养的成功与否将直接影响数学教学质量的提高，影响着中学数学教育改革的深化与发展。

数学思维是人脑和数学对象(空间形式与数量关系)互相作用并按一定规律产生和发展的。数学思维的种类有很多，从具体形象思维到抽象逻辑思维，从直觉思维到辨证思维，从正向思维到逆向思维，从集中思维到发散思维，从再现性思维到创造性思维，从中体现出了多种多样的思维品质。如思维的深刻性、逻辑性、广阔性、灵活性、创造性、发散性等。我认为，高中数学教学中主要应通过对学生思维品质的培养达到提高思维能力的目的，具体体现在以下几个方面：

一、注重对基础知识、基本概念的教学

高一学生，从初中数学到高中数学将经历一个和很大的跨度，主要表现在知识内容方面的衔接不自然，对高中数学抽象的数学概念、数学形式极不适应。比如第一册第一章的集合与简易逻辑，表面上看似很简单，而实际运用中却不能准确把握那些用集合语言所描述的题目含义。再如第二章函数，这是高中数学中的重点内容，教师会花很大的精力去讲授，学生会都会下很大力气来做题，结果却不如人意。学生做题时主要是在解具体题目时很难与基本概念联系起来。如经常遇到的二次函数问题，有时是求值域，有时是解方程或不等式，学生感到茫然。我把它们统一在一起，强调二次项系数对称轴、判别式等几个因素，帮助学生克服了思维的无序性。这一章内容是思维方法从直观到抽象、从离散到凝聚的过渡，是训练学生思维深刻性和广阔性的重要阶段。

二、加强数学思想方法的渗透

高中数学的四大数学思想和十几种数学方法是教学的关键与灵魂。一是解题的方法。为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解答的基本方法、步骤。二是数学思想方法。思想方法把不同章节、不同类型的数学问题统一了起来，如数形结合思想培养了思维的形象性、创造性，化归思想提高了学生的灵活性、辨证性等。如换元法是一种常见的变形手段，它不只限于解某一章或某一类的问题。注重对这些思想方法的渗透，可以提高学生归纳总结及联想能力，将数学知识和方法的理解提高到一个新的阶段，这对思维品质的培养十分有益。

三、挖掘数学例题习题的功能

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小学高年级是学生学习的关键阶段，对学生走进初中具有基础性作用，且知识的难度也有了提升。与一般的课程内容不同，小学高年级数学对解决问题的要求非常严格，题目类型多样，需要学生具有较强的逻辑能力，在解题中可以实现举一反三。但是由于教学上的不足和传统思想的影响，我国小学生的数学解决问题的解题能力还非常薄弱，无法找到正确的解决对策，甚至会导致学生产生厌学情绪。本文结合我国小学高年级数学解决问题教学的现状，简单阐述教学中面临的问题，并根据实际提出突破教学的科学对策，促进学生的全面发展。

一、目前小学高年级数学解决问题教学存在的不足

就目前来看，小学高年级数学解决问题教学主要存在以下三个方面的不足：

第一，教学形式单一。小学生以形象思维为主，兴趣的培养是学习的前提。但现如今，我国小学高年级的数学解决问题教学仍旧存在单一化的倾向，教学中没有利用现代化设备，教学方式只有枯燥的讲解，方法单一、封闭，不利于调动学生的学习兴趣。

第二，解决问题讲解“类型化”。解决问题题目多种多样，类型丰富，然而很多小学教师却只是凭借经验，将解决问题分为几个简单的模块，让学生尽快掌握解答技巧，实际上很多学生只是机械地记住了答案，根本没有理解其中的道理。

第三，忽视了对学生数学思维的培养。据调查，目前小学高年级的数学解决问题教学仍旧在搞“题海战术”，不断地让学生做类型题，使学生的数学思维被严重僵化，不利于学生发散思维的培养。

二、小学高年级数学解决问题教学的突破策略

（1）通过多样提问调动学生的学习热情。小学高年级学生正处于思维活跃时期，教师要突破传统数学解决问题教学存在的弊端，就必须利用多样化的手段增加问题类型，将教学活动变得更加富有乐趣。另外，多样化的提问还可以调动学生的思维，使其摆脱思维局限性。例如，题目小红有10支钢笔，小明的钢笔数量比小明的2倍少4支，小明有多少支钢笔？教师在讲解完问题之后，可以再提出另一个问题：小明比小红多几支钢笔？再次调动学生的思维，让学生产生积极的学习情绪，提高数学解决问题的学习效率。

（2）利用画图分析法培养学生的抽象思维。学生以形象思维见长，对于抽象的解决问题有莫名的畏惧心理。其实，只要学生理清数量关系，建立数学模型就能很顺利地列出数学式子，解决问题。数学解决问题对学生的逻辑思维、数学能力具有很高的要求，教师必须能够通过画图表的方式向学生传授分析问题的办法，帮助学生理清解题思路，找到解题技巧。例如，小明买了一本280页的漫画书，计划用7天看完。实际每天比计划少看5页，这本书实际看了多少天？列表分析：

借助这种列表的方式，可以让学生直观清晰地看到出题人的意图，然后快速地解决问题。学生在独自面对其他解决问题时，就可以顺利建模，触类旁通，提高解题效率。

（3）让学生自编数学解决问题。想要提高解题能力，降低解题难度，教师在完善自己教学水平的同时，还要对学生的自主探究能力进行培养，只有会编题目的学生才能够解答问题。因此，结合教材的内容和教学的重点，教师可以适当让学生编撰题目，根据自己生活经验提出问题。例如，根据买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少X？学生就自主编写了：3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5 台拖拉机6天耕地多少公顷？这样的题目，对自己的能力有了明显的锻炼。

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随着新课标教学理念的不断发展，广大数学教育工作者对数学应用题进行了认真的反思和进一步改革。数学应用题是用来解决问题的，因为大多数的数学应用题来自于生活之中。所以，数学应用题的解答和分析一直是教育工作者致力研究和探讨的问题。我们可以根据小学数学应用题的解答特征，深入分析其关键所在，让学生利用在数学应用题中所学到的解答技巧，去解决实际生活中的问题。只有通过对数学应用题的充分认识，把握好解答策略，才能更好地促进学生思维能力发展。

1.简析小学数学应用题的特征

小学数学应用题是通过自然的语言表达，再利用小学数学中所学的相关知识，解决现实生活中遇到的问题的一种题型。学生解题可以采用先对题意进行审阅，即审题；然后根据相关题意进行解题计划；接下来执行原先的计划；最后验证的步骤。在这些解题的步骤中将会涉及数学知识、相关的应用题术语、语言知识和现实生活中的常识。就小学数学的应用题具有的特点而言，其特征可以分为典型类型及语言特点。

1.1小学数学应用题的典型分类

小学数学的应用题类型还是比较多的，其中都是以基础的、简单的、系统的题目为主要类型。小学数学应用题中的鸡兔同笼问题就是一个典型类型的例子。运算过程中使用到的都是整数的运算，需要运用到的知识也就会有所不一样了。小学数学应用题的解答可以通过归类知识的方法，找出这种类型特点的题型是用哪些知识去解答，这样才能更好地解决问题。

小学数学每个阶段的应用题涉及的问题也是不尽相同的。小学一至三年级的数学应用题一般分为一步应用题和二步应用题这两种类型。一步应用题大多是求和题，如求一个数比另一个数少了多少等。一步应用题中的整体部分题，求整体未知的例子：美术手工课上，丽丽做了12朵小红花，丹丹做了15朵小红花，求她俩一共做了多少朵小红花？二步应用题则是有减乘题、加除题，等等。例如：家里有一些铅笔，每盒有6支，哥哥事先用了3盒，现在还剩下5支，原来家里有多少支铅笔？

1.2小学数学应用题具有的语言特点

小学数学的语言主要是用来表达应用题中的数量与数量间的关系，在数学应用题的语言与平常所用到的语言不同的是：语义明确，表达简单。数学应用题的语言是用于表述数量间的关系，因此，在句法层面和词义表达都与平常的语言存在差异；数学应用题的句型大多为流水式句型，通常是用不同的词义去表述这个主语，例如：“同学们给果园收苹果，已经装了68筐，每筐38千克，还剩530千克没有装筐，把这些水果平均分4次运出，一共运出多少千克？”这道题中第一、第二句共用同一主语“同学”，第一、二、三、四句共用同一宾语“苹果”。流水句式的特点是小句中有小句，层层嵌套。数学应用题中的这种特点对学生解析和理解是有一定难度的。识别流水句的结构关系，找到相互衔接的关系，是解决应用题的重点。

2.小学数学应用题的解答策略

为探求数学问题的答案过程中采用的方法的认识，这就是解答策略。当前，针对小学数学的解题策略的探讨是较为杂乱的。我们可以从数学解题的方法和非数学解题策略的框架入手对小学数学应用题解答对策进行分析。

2.1图式策略

小学数学应用题解决的关键是要学会用图式的作用。小学生的数学图式能分为三个等级去分析。

第一种，小学生年龄小，感知还不是很强，可以通过运用事物的操作，对题意进行直接仿照，构成问题的情景特征。

第二种，利用图式的功能去记住题意中一些关键的数据及相互的关系。

第三种，用图式的关系表述部分与整体间存在的联系，能够使小学生对需要解决的问题中的信息有清晰的表征。

2.2结构策略

根据数学应用题的关系可以得到从已知数到已知数，从未知数到已知数的关系。经过整理可以有三种模式：由一个已知数与另一个已知数的关系，基于这样的数量关系可以解答这个未知数；先前已解答出的一个未知数与一个已知数的关系可以解决这个未知数；由两个已经解答出来的未知数，在已经建立的数量关系基础上解答出这个未知数。由以上三种情况，我们可以运用综合法与分析法进行解题策略。数学应用题的解答策略在运用的过程中，需要注意根据不同年级的学生能力水平的实际情况而定。对于低年级的数学应用题较为简单，我们可以采用综合的分析方法，对待高年级的数学应用题数量间的关系较为繁杂，则可以适当采取两者的方法进行解答。

2.3非数学解题对策

非数学解题策略就从数学以外的视角进行剖析的方法。这样能够突破数学的思维，有利于培养学生的逻辑思维能力，开阔学生的思维视野。非数学解题策略主要有语言描述策略、生活化策略、应用策略等。语言策略的应用题，例如：“两个车站间的距离是354千米，甲乙两辆车同时从两站开出，相向而行，4小时相遇，甲车每小时行35千米，乙车每小时行多少千米？”这是一个路程问题，用了速度、时间和路程的概念，还涉及一些相关的专业词汇“同时”“从两地开出”“相向而行”“相遇”，老师在分析的过程中应注意相关的细节，帮助学生理清思路。

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一、强化基础训练，掌握数量关系

基本的数量关系是指加、减、乘、除法的基本应用，比如：求两个数量相差多少，用减法解答；求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答；求一个数的几倍是多少，用乘法解答等。任何一道复合应用题都是由几道有联系的一步应用题组合而成的。因此，基本的数量关系是解答应用题的基础。在复习时，我特意安排了一些补充条件的问题和练习，目的是强化学生的基础知识。使学生看到问题立刻想到解决问题所必需的两个条件；看到两个条件能迅速想到可以解决什么问题。在此基础上再出些有助于训练发散性思维的练习题。如给出两个条件：甲数是10，乙数是8，要求学生尽可能地多提出些问题。练习时，先要求学生提出用一步解答的问题，如“甲数比乙数多多少”、“乙数比甲数少多少”、“乙数占甲数的几分之几”等。然后再要求学生提出用两步解答的问题，如“甲数比乙数多几分之几”、“乙数比甲数少几分之几”、“乙数占两数和的几分之几”等。对于常用的数量关系，复习时我还采用给名称让学生编题的练习形式。如已知渭酆妥芗郏编求数量的题目；已知路程和时间，编求速度的题目等。通过这种形式的训练，使学生进一步牢固掌握基本的数量关系。为解答较复杂的应用题打下良好基础。在编题训练的过程中，还要注意指导学生对数学术语的准确理解和运用。只有准确理解，才能正确运用。如增加、增加到、增加了，提高、提高到、提高了，扩大，缩小等。发现错误，及时纠正。对易混的术语，如减少了和减少到等要让学生区别清楚。

二、综合运用知识，拓宽解题思路

能够正确解答应用题，是学生能综合运用所学知识的具体表现。应用题的解答一般采用综合法和分析法。我们在复习时侧重教给分析法。例如：李师傅计划做820个零件，已经做了4天，平均每天做50个，其余的6天做完，平均每天要做多少个？分析方法是从问题入手，寻找解决问题的条件。即：①要求平均每天做多少个，必须知道余下的个数和工作的天数（6天）这两个条件。②要求余下多少个，就要知道计划生产多少个（820个）和已经生产了多少个。③要求已经生产了多少个，需要知道已经做的天数（4天）和平均每天做的个数（50个）。在复习过程中，我注重要求学生把分析思考的过程用语言表述出来。学生能说清楚，就证明他的思维是理顺的。既要重视学生的计算结果，更要重视学生表述的分析过程。

三、系统整理归纳，形成知识网络

在应用题复习中，一题多解是沟通知识之间内在联系的一种行之有效的练习形式。它不但有助于学生牢固地掌握数量关系，而且可以开阔解题思路，提高学生多角度地分析问题的能力。例如：一个修路队，原计划每天修80米，实际每天比原计划多修20%，结果用12.5天就完成任务。原计划多少天完成任务？可有下列解法：①80×（1+20%）×12.5÷8=15（天）②12.5×（1+20%）=15（天）③设计划用x天完成。80x=80×（1+20%）×12.5x=15④设原计划用x天完成。80∶80×（1+20%）=12.5∶xx=15

四、进行同类题型归类，并有针对性的进行训练

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由于初中学生的年龄特征以及知识结构的限制，在初中阶段往往习惯于“静态”思维，而高中数学无论从思维的广度和深度上都有很大的提高.所以，为了让学生更好地感知高初中数学的区别，我们让学生开始体味静、动态思维的区别.

二、应变能力的初、高中衔接

目前不少学校在解决初、高中衔接问题时，往往在高一新生入学的几个星期内集中复习一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数等内容，这些做法从知识的整体结构来考虑有一定好处，但如果不加创造性地复习往往会抹杀新生的“求新感”，容易产生厌烦情绪.下面以“一元二次”为例谈谈我们的做法，主要是如何搞好应变能力的衔接.

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1.粗心大意型。从心理学的角度来看，粗心是一种非智力的负面因素，是受人的素质和气质的双重影响而形成的。小学生正处在心理、生理急速变化的阶段，于是粗心大意是他们司空见惯的行为，觉得无所谓。而这类错误又是学生出现最多的，占练习错误率的百分之四十。不管是学习成绩好的，还是一般的、差的学生都有这种犯错现象。其原因有：一是贪玩、惰性造成的，学生把作业看成一种负担，希望尽快完成，早点出去玩，更不会检查；二是马虎使然，审题不仔细而出错；三是做作业时思维不严谨而出错。要克服这一现象，除了教师要经常强调学生细心外，还要让学生养成做完作业后检查的好习惯。

2.解题策略型。由于小学生理解题目的能力及抽象水平较低，对题目要求不理解而导致出错。这一类错误占百分之三十。具体出错类型有三种。第一种是知识混淆致错。如下面两题：（1）一根铁丝长15米，用去3/8米，还剩多少米？（2）一根铁丝长15米，用去3/8，还剩多少米？这两题看上去很相似，实际差别很大，学生容易将3/8米和3/8混淆。为了预防此类错误，教师应多设计一些对比练习，加深学生的认识，有效培养学生的分析辨别能力。第二种是题意误解致错。很多学生只凭经验和感性认识，不作分析就作答，造成错误。第三种是思维局限致错。这主要表现在学生的思维杂乱无序，造成思考受阻，而无法解题。为克服这一现象，教学中要十分注意学生创新思维能力的培养，启发学生扎实探索解题途径和解题方法。

3.急燥好胜型。这一类占练习出错率的百分之五。小学生表现欲较强，将这一心理带进数学练习中，看到题目就凭着自信，急急解答，求成心切，不作思考检查，就交给教师，而导致出错。对于这些学生只要教师多加引导，表扬适度，学生是可以克服的。

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一、引言

应用题在小学数学教学和学习中，占有十分重要的地位，同时它也是培养和提升学生运用数学知识来分析问题和借鉴问题的重要途径。因此，在小学数学的教学实践中，应用题的比重也在不断增加。题目的新颖度、实用性和知识的应用性都在不断提升。但是万变不离其宗，其教学和解题思路还是有着严格的规律，在教学中要培养学生分析应用题和解答应用题的能力。应用题的解答不仅需要学生对课本的基础知识有熟练的把握和应用，还要求学生有着相应的分析、判断和推理的能力。这些数学思维和能力是需要按照一定的思路和策略进行培养的，本文对这一系列方法进行了总结，按照审题、解题、答题的思路进行了相应的阐述。

二、数学应用题教学思路探究

（一）精准锁定题目类型

要想进行应用题的解答，首先要确定题目的类型，并根据题目的类型锁定相应的知识点。在苏教版小学数学的教材中，应用题的题型非常多，既有图文结合的，又有对话式的还有表格式的，而且应用题的信息量普遍比较大，有时候在综合考核中甚至包含几道应用题。因此，在解题上必须要会审题，要锁定题目的类型。尤其是对低年级的学生而言，审题就显得尤为重要了。要从题目的大意中判断题目的考查点，小学应用题的类型非常多，有行程类的、有工程类的、销售类的，还有几何问题的，面积类的、周长类的等等。当然根据知识点分类也可以分为多种类型，单位一的问题、百分数的问题等等。当然，类别非常多，需要的知识点也非常多。尤其是数学广角问题中所蕴涵的数学应用题的知识点更是非常多，学生必须会根据题目中的语言进行应用题类型的归纳，这是应用题解题的第一步。

（二）有效分析关键句

大致分析并确定了题目所归属的类型才能更好地展开思考，根据知识点和相关例题去分析题目中的关键句，从关键句中提炼出有效的数学语言。

例如，妈妈买了3千克桔子和4千克苹果，共花了23.4元。每千克苹果的价钱是桔子的1.5倍。每千克苹果和桔子各多少元？

上面这道题明显是属于单价、数量和总价的问题类别，属于求单价的问题，这道题中的关键句就是3千克橘子和4千克苹果共花了23.4元，其中苹果的单价是橘子的1.5倍。我们可以根据方程中，是谁的设谁为未知数的原则设橘子的单价为x，那么苹果的单价就是1.5x，这样数学语言一下子就明确了，所有的已知条件也被应用了，解题的思路也就明确了。

因此，在解题的时候要根据具体的题型找出题目中的关键句，然后根据关键句提炼出其中所包含的数学语言，根据数学语言为之后的等量关系的确定做好充分的准备。

（三）迅速确立等量关系

在应用题的解答中，确立等量关系是教学过程中的重中之重，等量关系的确定首先考评的是学生对于知识点的掌握，然后是对题目类型的分析能力和对题目材料的提炼能力。在新课的教授过程中，等量关系的确立相对比较简单，因此，题目的类型在刚刚学过的课程当中，根据例题能够比较好地找到相应的题型解答思路，也能找到相应的等量关系。但是，在处理一些综合题目的时候，找题目的等量关系就相对来说比较难了。根据上文提到的关键句找到题目中形成等量关系的关键词，例如，“是”“比”“多”“少”“提前”“共”这样明显蕴涵等量关系的字眼，然后根据字眼来确定方程或算式中的等量关系式。数学语言中这些重要的字眼要及时总结，让学生见到这些字眼形成敏感性，知道这些字眼背后的等量关系。除此之外，还要明确常见的等量关系式，如速度、时间、路程问题，工作总量、工作时间和工作效率问题。在单位一的应用题解答中，如果单位一明确已知，那么一般采用乘法进行解答，如果单位一未知，一般用方程或者除法进行解答。把这些思路结合具体的题目进行教授，让学生形成明确的解题思路对于应用题的解答会产生事半功倍的作用。

（四）根据需求进行列式计算