数学除与除以的区别汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学除与除以的区别范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

1.通过两位数除以一位数的口算、笔算以及验算方法的复习，沟通不同的两位数除以一位数知识间的联系，增强学生的理解能力，进一步提高计算的正确率和熟练程度。

2.引导学生应用所学的计算知识和方法解决一些实际问题，增强数学应用意识，提高解决实际问题的能力，感受所学知识的应用价值。

3.在练习中培养学生的反思、概括能力与积极参与学习的情趣，养成自觉验算的习惯。

教学重点：熟练掌握两位数除以一位数的口算、笔算和验算方法。

教学过程：

一、回顾旧知，归纳深化

1.复习两位数除以一位数的口算。

（1）请每个小朋友回顾一下除数是一位数的除法你学会了哪些知识？（随着学生回答，教师板书：口算、笔算、验算、估算……）

（2）板书并提问：36÷3，你会口算吗？怎么想的？

（可以这样想：30÷3＝（　），6÷3＝（　）　（　）+（　）＝（　）

（3）口算，看谁算得又对又快。30÷3　60÷2　16÷4　210÷7

（4）请小朋友同桌相互交流在口算时有什么发现？又有什么收获？

（5）全班交流。（强调口算前要看清运算符号和数字。）

（6）归纳总结：让学生说说乘、除法的口算方法有什么联系，加、减法的口算方法又有什么联系，以促进学生形成合理的认知结构。

（设计说明：通过学生自己回顾、总结，不仅调动了学生参与学习活动的积极性，而且培养了善于思考的习惯。通过学生与学生的交流互动，巩固了两位数除以一位数的口算方法。口算练习完成后，再次引导学生思考，对培养学生先审题再计算的良好习惯有很大帮助。）

2.复习两位数除以一位数的笔算和验算。

（1）全班交流，两位数除以一位数笔算方法和经验。

（2）用学过的笔算方法计算下面各题。

64÷2　52÷4　55÷4　42÷4

（3）指名学生板演。

（4）小组讨论上述4道题的联系和区别分类。

（5）学生交流。（按首位能否被整除分，64÷2和42÷4为一组，52÷4　55÷4为一组。按是否有余数分，64÷2　52÷4为一组，55÷4　42÷4为一组。）

（6）提问：怎样才能知道做得对不对呢？（验算）

（7）分别说说没有余数的除法及有余数的除法的计算与验算方法。

（8）选择其中两题让学生验算。

（9）归纳总结：两位数除以一位数中的几种情况，主要区别在于首位能否被整除，首位能整除，除完首位再除个位；首位不能整除。把十位余下的数和个位上的数组成新的数继续除。但要注意的是，当首位除完，个位不够商1时，要在个位上补0占位。算完后，用验算的方法检验自己做得对不对。

设计说明：复习课不仅要回顾、巩固已学知识，还要对相关知识进行联系、沟通，使知识点形成体系，逐渐完善认知结构。在笔算后，根据题目之间的联系和区别，小组讨论进行分类，让学生对除法的内在联系有更深的感悟。充分调动学生积极性，形成一个学习成果共同分享、共同进步的局面。从笔算方法的回顾到讨论分类，归纳总结，让学生独立思考，合作交流，学会学习。

二、练习应用，发展提高

复法的口算、笔算和验算后，要引导学生应用这些知识来解决相关的问题，层次分明的练习又是使每个学生都得到发展的重要手段。

1.填一填。

（1）从84里连续减去（　）个4，正好减完。

（2）55是5的（　），55的5倍是（　），55是（　）的5倍。

（3）一个数除以7，商是5，余数最大，这个数是（

）。

（4）63里面有（　）个7，51里面最多有（　）个5。

（5）÷9＝8……，最大是（　），最大是（　）。

2.估一估。下面各题的商是几十多。

84÷4　75÷3　91÷7　68÷2　92÷5　98÷3

3.找一找，说说错在哪里，再改正过来。（设计说明：复习课最大的特点就是注重知识的归纳、整理与构建，体现对知识的扩展、延伸。所以，必要的练习对于学生巩固相关知识，形成计算技能是不可或缺的。在回顾、比较、归纳的基础上，设计多层次的适量的练习，意在通过练习巩固所学知识，深化学生的认识，拓宽学生的视野，同时强化学生综合应用知识的能力。在练习设计中，我既注意用好教材资料，让学生打牢基础，又注重了学生思维能力的发展。）

三、总结提升，激励评价

篇（2）

著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。”小学数学中有许多内容既有联系又有区别，在教学中充分运用比较的方法，有助于突出教学重点，突破教学难点，使学生容易接受新知识，防止知识的混淆，提高辨别能力，从而扎实地掌握数学知识，发展逻辑思维能力。

一、运用比较法，训练形象思维，丰富感知

小学生由于生活接触面窄，社会实践经验少，感性知识比较贫乏，空间想象力差，采用比较的方法进行教学，可使学生对感性知识获得较深刻的印象。如在教学毫米和分米的认识（人教版小学数学第五册）时，因为学生已经认识了“1厘米”，为了使学生对“1毫米、1分米”有比较正确的认识，可以让学生拿着尺子，对着“1毫米”和“1厘米”的刻度进行比较，再拿“1分米”和“1厘米”比较，然后让学生用手势表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的长度，最后让学生填空：课桌宽大约是60（ ），一块橡皮的长大约是30（ ），数学教本的长度大约是2（ ）。通过这样的比较，学生对这些长度单位就有了比较深刻的印象。同样，用比较的方法教学面积单位、体积单位，也会取得很好的教学效果。

二、运用比较法，理解内涵，掌握概念

为了使学生正确地理解和掌握概念，就要揭示概念的本质属性，充分理解其内涵，而对事物进行比较是揭示概念本质属性和理解内涵的重要学习方法。如教学“整除”这个概念时，让学生对一些除法算式进行比较，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道单有“商是整数而没有余数”这个条件，还不能判断一个数能被另一个数整除，还必须有“被除数和除数都是整数”这个条件才行。通过比较，学生正确地理解了整除的含义。再如教学“求比值”和“化简比”，要从意义、方法和结果三方面进行比较，“求比值”也就是求商，而“化简比”是把一个比较复杂的比化成一个最简单的整数比；“求比值”和“化简比”的方法可以通用，都可以用除法计算；“求比值”和“化简比”的结果是不同的，“求比值”的结果是一个“数”，可以写成分数、小数，有时能写成整数，而“化简比”的结果则是一个“比”，可以写成真分数或假分数的形式，但是不能写成带分数、小数或整数。比较以后，学生才能充分理解“求比值”和“化简比”的内涵。

三、运用比较法，新旧知识联系，形成知识网络

在教学一个新知识点时，如果能与以往学过的旧知识相联系，进行比较，弄清新旧知识的联系与区别，不但容易学会新知，还巩固了旧知，并且使知识系统化，形成知识网络。如教学“比的意义”时，将“比”“除法”和“分数”进行比较，可列表如下：

通过这样比较，使学生明确比和除法、分数的关系和区别，把比、除法、分数联系起来，形成知识网，为后面学习“比”的应用打下基础。

四、运用比较法，区别应用题的结构，正确选择解法

在应用题的教学中，经常应用比较的方法来区别应用题的结构，以便分析数量关系，选择正确的解题方法。如低年级的加减法应用题、乘除法应用题、高年级的分数乘除法应用题。如教学应用题：（1）池塘里有12只鸭和4只鹅，鹅的只数是鸭的几分之几？（2）池塘里有12只鸭，鹅的只数是鸭的，池塘里有多少只鹅？（3）池塘里有4只鹅，正好是鸭的只数的，池塘里有多少只鸭？通过比较，学生知道了应用题在结构上的相同点和不同点，使他们懂得第（1）题，根据分数的意义和分数与除法的关系，要用除法来计算。第（2）题，根据一个数乘分数的意义，用乘法计算。第（3）题，根据一个数乘分数的意义，列方程解答，或根据除法的意义直接用除法计算。通过比较，使学生了解了分数乘除法应用题的结构和思路的异同，从而能正确解答分数乘除法应用题。

五、对比练习，异同结合

学习新课之后，不仅要集中练习所学的内容，还要练以前学过的内容，特别要练习与新学内容相似而容易混淆的题目，使学生既能深刻理解新的知识，又能掌握新旧知识之间的“同”和“异”，区别应用。如练习“归一应用题”，应带练“归总应用题”；学完“连除应用题”后的练习，也应有“连乘应用题”的题目。通过比较它们的解题思路，明确它们之间的相互联系，可使各个零碎的知识串成线、联成网，从而构建起完整的知识结构。这样的对比练习也便于学生辨别和巩固所学的数学知识，培养学生分析问题、灵活运用知识解决实际问题的能力。

六、运用比较法，观察特征，发现规律

篇（3）

教师出示“整理与复习”中的第2题。

147÷20= 312÷50= 720÷70=

147÷21= 312÷53= 720÷72=

147÷29= 312÷58= 720÷68=

师：请同学们观察一下这些题目，有什么共同特点？

生：都是三位数除以两位数。

师：你们会算吗？请大家先算一算第一组的三道题。

学生计算后，集体校验每道题的结果。教师统计全班学生的练习情况，剖析练习中的错误，并板书：

①147÷20=7……7

②147÷21=7

③147÷29=5……2

师：第一组题中，你可以帮这三道题分分类吗？

小组同学之间相互讨论、反馈。

生：我想把第①②题归为一类，第③题为另一类。

师：你们知道他这样分类的理由吗？

生：因为第①②题可以直接试商，而第③题需要调商。

师板书：调商。

生：我想把第①③题归为一类，第②题另为一类，因为①③两题都有余数，而第②题没有余数。

师：没有余数的除法怎么验算？有余数的除法呢？请你从中各选一题验算一下。

学生验算后，师生共同总结除法的验算方法。

师：大家观察得真仔细，那么你还有什么发现吗？

生：被除数都是147。

生：除数20、21、29，变得越来越大。

生：被除数相同，除数越小，商越大；反之，被除数相同，除数越大，商越小。

师：第①②题的商都是7呢，你又能发现什么呢？

生：被除数相同，如果商一样，那么余数越大，除数就越小；反之，被除数相同，如果商一样，那么余数越小，除数就越大。

师：回忆一下，刚才你们是怎样计算三位数除以两位数的？

生：笔算三位数除以两位数的除法时，通常把除数看作与它接近的整十数来试商，计算时从被除数的高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位上面，除得的余数必须比除数小。

师：那也就是说两位数可以分成非整十数和整十数两类，我们还要把非整十数转化为整十数来试商，这里还渗透了转化的思想，帮助我们解决了难题。

教师根据学生的小结，顺势板书：非整十数，整十数，转化。

师：根据同学们刚刚所说的方法，请大家完成第二组的三道题目，比一比谁做得既快又准确。

学生计算后，集体校验每道题的结果。教师反馈全班练习的情况，并板书：

④312÷50=6……12

⑤312÷53=5……47

⑥312÷58=5……22

师：这一组题，结果都有余数，那你觉得可以怎么分类呢？

生：把④⑥分成一类，⑤分成另一类，因为④⑥试商以后，不需要调商，而⑤试商以后需要调商。

师追问：这组中的⑤312÷53=5……47与第一组中的③147÷29=5……2都需要调商，那它们在调商的时候有什么不同呢？

学生独立思考。

生：第⑤题是把53看做50，用6试商，发现不够减，说明商太大了，要调小；而第③题是把29看做30，用4试商，发现余数比除数大，说明商太小了，要调大。

师：调商的规律，我们总结成一句话――看小调小，看大调大。

师板书：看小调小，看大调大。

师：至此，我们一起总结了调商的方法，同学们的概括能力、语言表达能力都不错。请同学们完成第三组的三道题目，比一比谁做得既快又准确。

学生计算后，集体校验每道题的结果。教师反馈全班练习的情况，并板书：

⑦720÷70=10……20

⑧720÷72=10

⑨720÷68=10……40

师：你在做这组题的时候，发现与第一组题有什么不同吗？

生：我发现第⑦题除到被除数的个位时，个位上不够商1，要用0占位。第⑨题也是这样。

师：请大家比较一下第一组题和第三组题的商，都是三位数除以两位数，你又发现了什么？

生：三位数除以两位数，商可以是一位数，也可以是两位数。

师：为什么第一组的商是一位数？而第三组的商是两位数呢？

生：先看被除数的前两位，第一组，被除数前两位比除数小，就要看前三位，商写在个位上，所以第一组的商是一位数；而第三组，被除数前两位等于除数或大于除数，所以第三组的商写在十位上，是两位数。

师：总结得太好了。通过这三组题，我们总结出了整数除法的计算法则――先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要用0占位。我们还学会了三位数除以两位数的调商的方法――看小调小，看大调大。

师板书：商是一位数，商是两位数。

板书：

【课后分析】

第一，教材为什么要编制这一题组？

笔者认为备课时有必要对教材进行深入解读与分析。这一单元主要目标是让学生经历探索三位数除以两位数算法的过程，会笔算三位数除以两位数。在“整理与复习”中安排这一题组，除了变化形式为学生提供笔算三位数除以两位数的机会外，还有更重要的目的：通过思考，把握题目之间的联系和区别，主动发现计算规律，在更高层次上理解算法、运用算法，发展数学思考能力。从上述教学过程中，看出了执教者如何体现“引导学生在计算过程中积极思考”。

第二，学生的认知Y构是否得到必要完善？

篇（4）

要弄清错误资源的有效利用首先得知道什么是课堂教学中的错误资源，建构主义认为：教学是学生根据自己已有的知识和经验去认识事物的过程，从未知到已知这一深化过程中，学生的思维水平和方式决定了他们会犯错，必然会出现一定的片面认识或认知偏离，这就是课堂中学生产生的错误资源。对这种错误资源，教师不能简单的一口否定学生的观点，而应该形成正确的理解态度，善于发现这种错误资源中的积极因素，有效帮助学生纠错，采取“对症下药”的教学策略，实现教学效果的最优化。

二、错误现象产生的原因

1.学生认知水平的限制

虽然小学数学具有较强的逻辑性，但数学知识与语文学科有很大的联系，它是通过文字让学生去理解题意，在一定程度上，小学生对文字的理解能力受限，数学学习常常出现因文字理解错误而造成错误的决断。比如“除”和“除以”两者的区别，虽然都是一个意思，但是动作的对象就不一样，“D除C”和“D除以C”，前者表示C是被除数，后者表示D是被除数，小学生常常分不清两者之间的区别。

2.后摄制抑制和前摄制抑制的相互干扰

前后摄制抑制的干扰就是我们所说的新旧知识的相互影响，前摄制抑制指学生在学习前面的知识对后面学习的知识产生影响，同样，后面知识的学习也会出现相同的影响。尤其是在学习乘法的各种规律时，容易受到之前的加法各种规律的影响，比如（4+2）×25时，某些学生会受到乘法结合律的影响，将括号直接去掉做成4+2×25；而在算（4×2）×25时，又会受到分配率的影响，做成（4×25）+（2×25）。

三、小学数学如何有效利用错误资源

小学数学课堂教学中的错误资源利用，关键在于教师，主要从以下几方面做起。

1.转变观念，正确对待“错误”

课堂教学是师生相互交流沟通的过程，对待学生所犯的错误不能打骂，甚至是侮辱学生人格，说学生“笨”，重要的是让学生在改正错误的过程中不断得到进步，所以教师的引导非常关键。教师要鼓励学生敢于暴露自己的错误思维，允许学生犯错，因为教师自身也会犯错，包容学生的错误。对于自己的错误要有正确的认识，而不是一味地自我否定，教师要帮助学生寻找产生错误的根源，带领学生走出错误区，并在这一过程中帮助学生获得自信心，让课堂教学变得活跃有趣。比如，针对上面所说的乘法规律（4+2）×25，学生直接去掉括号后计算得出错误的结果，教师应该对做错的学生进行提问，了解他们做成4+2×25的想法并顺势引导这两者的区别，前面表示的结果是“积”，后面表示的结果是“和”，从而帮助学生正确认识两者的区别。

2.培养学生发现错误的意识

培养学生发现错误的意识目的在于防患错误于未然，教师要根据自己已有的教学经验，针对性地对学生进行启发，对容易犯但没有暴露出来的错误进行呈现，让学生自己去找错误，纠正错误，培养学生的主动性。比如，在考查学生对题意的理解时，让学生对“圆周长的一半和一个半圆的周长相等”进行判断，学生往往被题中文字所迷惑而觉得是相等的。此时，教师可以通过多媒体展示图形，让学生理解半圆是多出了一条直径，两者之间实则不等，半圆周长大于圆周长的一半。

篇（5）

数学问题浩如烟海，面对一个个数学问题如何着手求解?有些学生做了大量的题目，但考试遇到新题型或只是稍稍变换一下，就不知所措，原因是在平时的学习中，缺乏掌握数学思考方法。掌握一种新的思考方法要比学会解几道具体习题更为重要，这些解题方法和技巧是进一步学习数学不可缺少的工具，数学方法的学习，在数学学习中起到事半功倍的效果，本文就数学类比和对比法在初中教学中的具体应用进行阐述。

类比是根据两个对象有一部分性质类似，推出与这两个对象的其他性质相类似的一种推理方法。因此，类比是从特殊到特殊的推理。通过类比，可以发现新旧知识的相同点，利用已有的旧知识，来认识新知识。

对比是通过比较，找出一事物区别其他事物的特点，通过对比可以找出差异，有助于进一步加深对新知识的理解。

类比和对比这两种方法是相辅相成的，都是通过新旧知识的相互联系，利用已有的旧知识，揭示新知识的本质。

例如：在学习分式这章时，关键是要用与分数类比的方法导出分式概念，分式基本性质与分式的四则运算法则，这样新知识易为学生接受与掌握，具体操作如下：

首先，复习小学学过的分数概念：两数相除，可以表示成分数的形式.如3÷4=,(-7)÷2=-,5÷(-9)=

，一个分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零，为什么分母不能为零呢?因为零不能做除数，分数有正分数、负分数，如果分子等于零，只要分母不是零(不论是正数还是负数)，这个分数的值就是零。把分数的概念引伸到代数式来，如

这两个式子有什么特点?(1)分式由分子、分母与分数线构成；(2)分母中含有字母，这就是分式，这样就很自然地引入了分式的概念，接着，指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。

其次，在讲分式的基本性质时，先复习分数的基本性质，推想分式的基本性质，我们来看如何做不同分母的分数的加法：；，这里先将异分母化为同分母，，这是根据什么呢?根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，分式是一般化了的分数，因此，分式应该有，这里，A、B、M是整式，根据分式的概念应该要求B0，由分数的基本性质应该想到M0。因此，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。

第三，分式的四则运算顺序也可以类比分数进行，先做括号内的运算，然后再进行乘除运算，最后进行加减运算，这个顺序和步骤正是分式四则混合运算的顺序和步骤。概括地说是：“先乘除，后加减、括号内先进行”。

在几何教学中，在讲解相似三角形判定定理可类比全等三角形得到，全等形与相似形的关系：全等三角形是相似三角形，当相似比值K＝l时的特例，全等与相似条件的比较：

(1)两角相等----两三角形相似

两角相等，夹边相等----两三角形全等；

(2)两边成比例、夹角相等----两三角形相似

两边相等，夹角相等----两三角形全等；

篇（6）

中考数学复习提纲数学中考复习提纲(实数与数轴)

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

实数和数轴上的点是一一对应的关系。二、实数大小的比较

1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0;

负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。 三、实数的运算 1、加法：

(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;

(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。

(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法：

(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。

无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

数学中考复习提纲(有效数字和科学记数法)

1、科学记数法：设N>0，则N= a×10(其中1≤a

2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。

精确度的形式有两种：(1)精确到那一位;(2)保留几个有效数字。

数学中考复习提纲(分式方程)

(1)分式方程的解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。特殊方法：换元法。

(2)检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根;使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。四、方程组

1、一次方程组：

(1)二元一次方程组：

一般形式：?a1x?b1y?c1(a1,a2,b1,b2,c1,c2不全为0) 解法：代入消远法和加减消元法a2x?b2y?c2

解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。 一、一元二次方程的解法 1、(1)用直接开方法解;(2)用公式法;(3)用因式分解法2、(1);先化为一般形式，再用公式法解;(2)直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 二、分式方程的解法：分析：(1)用去分母的方法;(2)用换元法 解：略三、根的判别式及根与系数的关系 四、方程组 1分析：(1)用加减消元法消x较简单;(2)应该先用加减消元法消去y，变成二元一次方程组，较易求解。[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。 1.在解方程2A.2xC.2x

2分析：(1)可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解;(2)要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。

一、列方程(组)解应用题的一般步骤

1、审题：2、设未知数;3、找出相等关系，列方程(组);4、解方程(组);5、检验，作答;

数学中考复习提纲(列方程(组)解应用题常见类型题及其等量关系)

1、工程问题

(1)基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

(2)常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量

(3)注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 2、行程问题

(1)基本量之间的关系：路程=速度×时间 (2)常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题(设甲速度快)：

同时不同地：甲的时间=乙的时间;甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差;甲的路程=乙的路程3、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度; 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量;增长的量=原来的量×(1+增长率); 5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100

数学中考复习提纲(不等式及不等式组)

一、不等式与不等式的性质

1、不等式的性质：

(l)不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号方向不改变，如a> b， c为实数?a+c>b+c

(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变，如a>b， c>0?ac>bc。(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变，如a>b，c

1、能使一个不等式(组)成立的未知数的一个值叫做这个不等式(组)的一个解。

不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2.求不等式(组)的解集的过程叫做解不等式(组)。

三、不等式(组)的类型及解法 1、一元一次不等式：

(l)解法：

与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以(或除以)一个负数时，不等号方向要改变。 2、一元一次不等式组：

(l)概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

(2)解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

数学中考复习提纲(图形与变换)

知识要点

1.轴对称(轴对称、折叠)

(1) 轴对称和轴对称图形的区别与联系

区别：轴对称是指两个图形间的位置关系;轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。 联系：

(a) 它们都延某一直线折叠,图形重合

(b) 如果把两个轴对称图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;反过来,把轴对称图形的两部分当作两个图形,那

么这两个图形成轴对称。

(2) 线段的垂直平分线及其性质

性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

与一条线段的两个端点举例相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (3) 轴对称的性质：

(a) 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点连线的线段垂直平分线; (b)轴对称图形的对称轴是任意一对对应点连线的线段垂直平分线; (c) 轴对称的两个图形全等

(d) 轴对称的两个图形，他们对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上。

(4) 轴对称变换

考点：利用坐标表示轴对称(做关于坐标轴及原点的对称点)解析：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y);关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，关于原点对称的点的坐标为(-x，-y)归纳：关于谁对称谁不变，关于原点对称全改变

(5) 轴对称的图形：等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方形，抛物线，双曲线，圆 2.中心对称(中心对称、旋转) (1)中心对称及中心对称图形

(a)关于中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心，而且被对称中心平分; (b)关于中心对称的两个图形全等。

(2) 中心对称图形：线段、相交线、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆 (3) 中心对称与轴对称的区别联系

(a) 区别：关于直线对称和关于点对称 (b) 联系：都是旋转180°得到的 (4) 图形的旋转

(a) 图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫旋转，点O叫旋转中心，转动的角叫旋转角。

(b) 图形在旋转有旋转中心和旋转角决定，旋转中心在旋转过程中式不动的，旋转不改变图形的大小和形状。 (c)特征：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等。 (d) 旋转作图步骤

(i) 根据题意确定旋转中心、旋转方向和旋转角 (ii) 找出图形的关键点 (iii)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到这些关键点的 对应点; (iv) 次连接这些关键点的对应点，得到旋转后的图形。 3.位似

4.投影与视图

投影 (1)投影：用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

(2)平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影(3)中心投影：由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

数学中考复习提纲(三视图)

(1)三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状，三视图就是主视

中考数学复习建议认真学习，研究教材，研究考试，把握老师教学的要求，了解老师教学中的重点和学生学习中的难点，提高自身的业务素养。另外也要根据当前教改的要求、学生的实际，研究老师教学方法，达到提高老师教学效率的目的。

篇（7）

为了吸引顾客，超市准备用“2盒牛奶，3盒酸奶”组合，制成礼盒再销售，最多可以制成多少礼盒？

商品名称 数量

牛奶 18盒

酸奶 24盒

在解题过程中，相当一部分学生由于对“组合”的意思没有理解清楚，最终得出错误的答案9（18÷2=9）。事实上生活中这种组合搭配的案例数不胜数，如按不 同的人数比例组成调查小组，玩具装配过程中各零配件的使用数量等等。如果学生对“组合”之意不求甚解，则会曲解题意。

案例二：

计算：从1500里减去40个35，再除2.5，得多少？

错误列式（1500-35×40）÷2.5

正确列式：

2.5÷（1500-35×40）

=2.5÷100

=0.025

产生列式错误的主要原因是学生没有抓住题目中的关键词，如 “除以”与“除”的区别，没有弄清题目中的和、差、积、商的隶属关系。因此，正确解答文字题与语文的阅读能力关系很大。

案例三：

胜利机械厂1995年的产值是65万元，1997年的产值比1995年增长了3倍。1997 年的产值是多少万元？

错解：

65×3=195（万元）。

答：1997 年的产值是 195 万元。

正解：

65+65×3

=65+195

=260（万元）。

或者 65×（3+1）

=65×4

=260（万元）。

答：1997 年的产值是 260 万元。

分析学生错解的原因是学生对“倍数”关系理解不清而造成的把 “增长了3倍”与“求一个数的3倍是多少”等同起来，不知道1997年的产值比1995年增长3倍以后，是1995年产值的4倍，因此产生了错误。

通过对以上案例的认真分析与研究，我们不难发现学生虽然计算过程无误，但是解题思路出现了偏差，看似一字之差（如“除”和“除以”）结果却大相径庭。这当然不能简单地归结为学生的“马虎”，而应追根溯源，挖掘其深层原因。小学生由于其生活阅历较浅，对于数学习题中的文字信息在理解上较为肤浅，再加上对一些数学概念认知模糊，最终会导致其审题不清，得出错误的答案。因此，数学教师在加强学生运算能力培养的同时更要注重学生文本阅读能力的培养。

众所周知，文本是学生接触数学知识，理解数学内容，应用数学解题的基本形式，文本内容的丰富性和特定的内涵性使数学知识变得“抽象”和“多变”起来，因此，提高学生数学文本认知与阅读能力是当前课改的新课题。

1.从教材阅读中提升理解能力

重视阅读数学课本，按课本原文逐字逐句，逐节阅读。在阅读中让学生反复琢磨，认真思考教材中的叙述或旁注的概念、定理、思考方法、操作方法、问题与要求。如在阅读分数的基本性质时，“分数的分子和分母都乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变”，性质中有本质特征的关键词句要仔细品味，深刻理解其语意，并不时提出一些反问，如：换成其他词语行吗？省略某某字行吗？加上某某字行吗？等等。要读出书中的要点、难点和疑点，读出字里行间蕴藏的内容，读出从课文中提炼的数学思想，观点和方法。

2.从习题阅读中拓展知识外延

习题是数学课堂训练的基本形式，也是学生巩固和消化所学知识并转化为技能的重要环节，其重要性不言而喻。习题不仅能够让学生熟悉更多的题型，还能拓展知识外延，让学生有更多机会了解数学在生活、在现实中的作用和价值。例如，教师在讲解四舍五入知识点时，什么时候该“舍”，什么时候该“入”需视情景而定，如货物装箱问题，即使是剩余了四或比四小，也是不能“舍”的，因为现实生活中我们总不能把货物丢弃。

3.从数学实践中提升理解能力

篇（8）

一、问题的提出

我们知道，判别一个数是否是3的倍数（或能否被3整除），一般按现行教材上所说（包括人教版等其它各版本在内）即：如果一个数（笔者注：本文中所涉及的“数”均指非零自然数）各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。表面上看这是将问题化简，再以简单的判断去推断原数是否是3的倍数的结论。实际上，严格地说这是个循环定义。试想：学生在此之前，并未学过“判断3的倍数”的概念，凭借什么去判断“和是3的倍怠保进而去实行新的推断呢？好在学生已学过数的整除的意义，学生最后还是归结为将“各位上数的和”除以3再去判断。可见，这与将原数直接除以3没有什么本质的区别。只不过一个复杂，一个简单，以简驭繁而已。

但我们注意到，现行教材中相关课题，涉及提到的都是“特征”二字。“特征”可作为事物独特地方所具有的征象、标志，一般乃事物的外部表现。教材在这之前讲到的2、5倍数数的特征，因其直观表现，比较准确。因为能被2、5整除的数，可以从该数外表上“看”出来。例如：个位上是0、2、4、6、8的整数，都是2的倍数；个位上是0或5的整数，都是5的倍数。那么3的倍数的特征在哪呢？所以这里所学的大部分情况的“特征”，实质是它的“特点”而已。笔者也注意到有的专家行文中提到“特点”，这或许就是当前有人提倡改变说法的原因所在吧。

表述的细微变化，恰恰让我们感触思考：本课例是否另外有一种教学的途径呢？有没有可以改进的方法呢？或者更直接提出现在的问题：我们能否找到3的倍数，它所具有的内部更直接的“具像”特征，哪怕是一种弱式的表现？甚至更为大胆的设想，今后的教材可否作相应的改进呢。

二、“叠加”的教学探求

我们说答案是肯定的。如何引导学生来探讨，我们作了一番思考，那就是进行“叠加”计算，再根据“叠加”出的结果进行直接的判断。为了更好的达到教学效果，可这样设计进行：

第一层次，探求关联。出示4张卡片，分别写上数字如：2、7、5、1，排出一个四位数后，例如是2751，再让学生除以3，得2751÷3=917，能被3整除，是3的倍数；接着任意调换位置，再让学生除以3，仍能被3整除，是3的倍数……为了更全面地说明问题，将其中的一个数加上1或减去1，如将上述的2751，其中的2改为3，排列得3751，将此数除以3，发现不能被3整除，不是3的倍数；再任意调换几个数的位置得到的数除以3，发现总不能被3整除，亦即总不是3的倍数。引导学生得出：一个数是否是3的倍数，与它各位上的数的大小有关但与其位置无关！

这样安排连续递进的数学活动，与原有教材探求方向保持一致。

第二层次，定向分类。师可出示先计算再作分类的题目，如先将下列各数分别除以3，然后分成两组：

15、56、97、112、235、864、1056、2381、2258、5475，

第一组：能被3整除的数有（ ）。

第二组：不能被3整除的数有（ ）。

“整除”的概念学生早已学过，而判断有待学习，所以必须先让学生具体计算进行。有意设置此项活动，让学生经历探求过程。

第三层次，指导“叠加”。对于刚才分类的两种数，让学生分别把各位上的数相加求和；若和仍是多位数，再去相加，一直加到和是一位数（数学术语叫“数字根”）为止。我们把这个过程叫做“叠加”。如724352，第一次将各位上的数相加得7+2+4+3+5+2=23；23是个两位数，再进行类似加法得2+3=5；5是一位数，结束。

第四层次，引导发现。“叠加”过程结束后，师及时让学生说说将某个数进行“叠加”所得的结果。引导同位同学进行对比去发现：能被3整除的数，“叠加”的结果是3、6或9；而不能被3整除的数，“叠加”的结果是1、2、4、5、7或8。这时针对小学生的特点，我们和一般现行教科书一样，采用不完全归纳法，让学生自己发现并初步总结规律，即：一个整数，如果“叠加”的最后结果是3、6或9，则这个数一定是3的倍数；如果“叠加”的最后结果不是3、6或9，则这个数一定不是3的倍数。

第五层次，验证结论（多项活动方式进行，略）。

三、“叠加”判断的教学价值

以上所述，“叠加”判断不失为是一种创新的方法，关键是符合“特征”且易于口算进行，既有知识性又有趣味性，学生有兴趣也能很好掌握。此外，多年实践的教材客观上也提供了这种教法的可能性，“叠加”实际上就是教材上所谓3的倍数的特征（即：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数）的反复运用，这如算法语言程序控制上的过程自我调用，亦即“递归”。只不过在最后不需要“算”能否“被3整除”，而是“看”是否是“3、6或9”罢了。

探求过程中，既培养学生的的应用意识和创新意识，又能让学生体验成功的快乐，习得科学的研究方法与态度。同时，对于解决问题而言，也更具有策略性。

我们通过探索提出的“叠加法”，或将为教材的编写提供参考：既可作为通行的方法，替换原有的课例，列入相应的教学内容，也可以一种补充方式作为扩展内容。

【参考文献】

篇（9）

在小学数学教学工作中，不少小学生对分数除法的实质及运用理解不透，导致数学学习困难，拉大了数学成绩的差距。如何通过教学工作让学生真正理解并掌握分数除法的知识呢？下面，我们就以小学数学分数除法教学工作中常见的分月饼的教学为例，分析设计教学步骤和内容，以期达到最好的教学效果。

一、明确教学内容，目标和重点

分数与除法是小学数学教学中的一个重点，同时也是较难为学生所理解的一个教学难点，这部分内容承接了之前有关分数的意义、分数单位等知识，进一步要求学生了解分数与除法的关系内涵，并能够根据分数与除法的关系掌握如何计算一个数是另一个数的几分之几的实际问题。学生在真正掌握了这部分内容后，能够进一步了解分数的意义。根据具体教学内容，我们可以确定以下教学目标：（1）引导学生理解并掌握分数与除法的关系，了解一个数除以分数的计算法则，学会用分数表示两个数相除的商。（2）通过实际教学道具操作，使学生理解3的就是。培养学生的分析、推理能力。教学重点和难点：3的与1的的含义。

二、教学设计及具体难点解析

1.从简入难地引入问题

利用课件出示一块饼，提问：把这一个月饼平均分给四个人，每个人能分到多少？引导学生说出每份是四分之一块，板书出1÷4和，并让学生重点了解除法算式和分数表示的区别。继续提问：这里的是把谁看作了那个整体1？小组讨论，分析，回答问题。让大家观察板书，概括分数与除法的关系，分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。明白除法是一种运算，分数则是具体的数量。

2.提出进一步的问题

如果把3个月饼平均分成4份，每份是这些月饼的四分之一，每一份是多少块？提问，板书出算式：3÷4。拿出圆形纸板，以小组为单位，每组四张，让学生亲自剪一剪，再拼到一起看一看，看看结果到底是什么？小组合作、交流，提问：几种分法，每个人能分多少？学生回答并用纸板演示过程。第一种分法：按照3个月饼，均分4份，每人一份，把每个圆形纸板各分为4等份，然后每个纸板拿其中的一份，三份拼到一起，再与完整的纸板对比，是完整纸板的。第二种分法：把三张圆形纸板叠放到一起，同时剪成4等份，拿出其中重叠的一份，拼到一起，再与完整的纸板对比，占完整纸板的。对两种方法做出比较，将两种方法下的纸板拼接好，放到一起进行对比，发现是一样大的，都是整块纸板的，也就是说，每人能分到个饼。

3.带领学生一起归纳总结两种分法的区别与联系，概括分数与除法的关系

要让学生明白，按照两种不同的分法，3个月饼的就是个饼，而1个月饼的也是个饼，即：3的与1的相等。使学生体会到分数的表示具体数量的含义。

4.课堂内容结束时进行总结，巩固练习，课后拓展和延伸

利用实际生活中的各种分数和除法问题，带领学生进行多个具体问题的分析计算。课堂内容结束后，为学生布置适量的课后巩固练习，并鼓励大家思考一个数除以分数，如果这个数是分数而不是整数怎样计算。

三、教学心得体会

从事教学工作的教师要具备足够的耐心和责任心，认真进行备课及课堂教学。在教学设计时，要尽可能多地增加直观演示，利用各种教学道具，课件、图片等直观地对教学内容进行演示。在进行新知识内容的讲解时，要合理地提出疑问，巧妙地进行引导，结束讲解时，要及时全面地对所有知识点进行归纳总结，带领学生梳理知识脉络。同时，还应努力培养学生发现出问题的意识与能力。学习不单单是对已有知识的熟练掌握，更是发现新问题并努力解决的过程，所以，努力培养学生的创新精神，也是我们日常的教学工作关键。例如，在上面的实例中，我们不但要为学生讲清楚课本知识的内涵，更要鼓励大家积极地观察身边的实际生活，并进行发散思维，思考学习内容中的新问题。

参考文献：

篇（10）

构建主义学者认为，教学反馈就是教师根据教学活动中学习对象所产生的反应或结果，进而进行有效运用和实施的教学活动传递过程。日常教学活动中，学生完成的作业、测试的试卷、上课的表现以及思维的表述等方面都可以作为教学反馈的有效内容。众所周知，“掌握了学生学习表现，就等于抓住有效教学的命门”。有效性、高效率的教学活动，每时每刻都在掌握并运用学习对象的教学反馈进行深入、细致、系统的教学活动。如果教师脱离或忽视教学反馈内容的运用，就会陷入到“应试教学”“形而上学”的片面教学“轨迹”中。小学低年级学生在学习数学知识过程中，更容易表现和流露出自身的学习表现，这就为教师有效运用教学反馈提供了有利条件。本人现结合教学实践体会，对运用教学反馈开展有效课堂教学进行简要论述。

一、发挥教师主导作用，精心备课，做到教学活动有的放矢

学生作为学习活动的主人，是整个教学活动的关键和核心，更是教师实施教学策略的重要对象和依据。小学生，特别是低年级的学生，在生理、心理上具有显著的特点，既有积极性、稳定性和普遍性的良好一面，又有畏惧性、可变性和特殊性的消极一面。同时，低年级学生对知识内容的学习效果能够较为全面的呈现出来，这就为教师发挥自身主导特性，开展有效教学活动提供了条件和基础，为选取有针对性的教学策略提供了事实依据。而课堂教学是一个随机性、开放性的教学过程，没有固定程式，一层不变的教学套路，是动态发展，适时变化。这就要求教师要具有较好的教学机智，预测到学生在课堂上对知识的理解、技能的掌握、方法的运用所出现的问题，认真研究教学内容，深刻掌握和领会教学目标和学习要求，并能在实际操作中，根据教学实际和学生学习实情需要，有针对性地设计教法，加以调整，使教学活动更具针对性和时效性，实现学生对教学重难点的有效掌握和解答。

例如在教学除法算法时，有许多学生在除法计算时经常将“除一个数”和“除以一个数”看作是同一个除法算式。因此在备课时，教师将“一个数除以一个数”和“一个数除一个数”作为教学的重难点。同时，在课堂教学过程中，通过采用引导、计算、观察和分析等方式，让学生认识和掌握“除以”和“除”之间的区别和联系，使学生能够深刻掌握和领会“除以”实际上就是“前面一个数除以后面一个数”，“除”实际上就是“用后面一个数除以前面一个数”。最后，再让学生进行针对性的巩固练习，从而使学生准确掌握学习内容，提高学习成效。

二、立足学生认知特点，勤于捕捉，实现教学反馈及时矫正

数学知识的形成过程是一个不断丰富、不断充实、不断严密的发展过程，学生学习知识的过程同样如此。由于小学生受自身学习能力、知识素养、思维水平等方面的影响和制约，在学习知识和解答问题过程中易出现问题或不足。而课堂教学是教师获取学生学习信息的主渠道、主阵地。教师在日常课堂教学过程中，要善于具有“火眼金睛”，根据不同类型学生学习的实际情况，认真观察学生的学习反应，学习表现和解答效果，及时掌握和抓住学生学习活动表现出的优点和存在的不足，实时调整和优化课堂教学教法，让学生在循循善诱、逐步引导中认识自身学习不足，及时改正缺点，及时进行反馈与矫正，从而将传授知识的过程变为培树良好学习素养的过程。

如在教学“异分母加、减法”问题时，有些学生计算此类算式时，没有将异分母通分为分母相同的分数，而是直接进行加、减法的计算。教师针对学生这一情况，引导学生在充分讨论的基础上，指出：进行异分母加减法时，分数单位不同的分数是不能直接相加减的，应该将异分母分数通分为分母相同的分数，然后再进行加减法的计算。在此过程中，教师通过学生课堂练习的教学反馈，通过实施的指导和讲解，使学生能够及时认亲自身不足，从而进行有针对性的矫正和改进，有效提升了学生的解题能力。

三、彰显教学互动特点，善于引导，确保积极情感有效树立