概率论和统计学汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇概率论和统计学范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

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【中图分类号】G642

前言 目前概率论与数理统计被广泛的应用于科学研究、企业管理以及经济预测等多个领域，故而其教学质量的好坏将对学生和社会未来的发展起到关键性的作用。由于该课程具有体系、方法错综复杂，并且公式概念繁多的特点，进而使得学生不能有效地将知识吸收和掌握，更谈不上培养学生的创新能力。故而，在后期的教学过程中，必须改革教学的方法，促进学生学习能力的提升，同时也培养学生的创新能力。

一、激发学生的学习兴趣

由于很多学生在传统的教学模式中，并不能很好地理解和消化概率论与数理统计知识，使得部分学生对该学科失去了兴趣和热情。这就要求老师必须将这些抽象的概念和公式进行深入挖掘，同时注重智慧的启迪，避免形式化教学。在讲授数理统计知识的时候，老师通过设置合理的题目来达到完成激发学生兴趣的目的。课例1：（1）数理统计的研究对象是什么；（2）随即与必然现象之间的关联性与区别；（3）具体的研究方法；（4）统计的核心任务；（5）具体的应用方法。通过这一系列问题，让学生将每个独立的知识进行串联，进而加深对知识的理解和灵活应用，并在此基础上树立学习的信心，提升学习的兴趣，并通过这种由浅入深的知识结构体系，使学生的创新思维能力得到逐渐的培养。

二、提升老师自身的创新能力，完善知识结构

老师自身具备较高的创新能力与创新精神，是培养和提升学生创新能力的前提。故而为了保证概率论与数理统计的教学质量，在进行教学的过程中，老师必须具备熟练地计算机操作知识、专业的理论知识、丰富的人文哲学知识等。在教学的过程中，用这些知识潜移默化的去感染和陶冶学生，同时引导学生借助计算机完成对数据的整理与分析，让学生进行实践操作，对SPSS、MATLAB等数学软件灵活应用，做到理论与实践的结合。

三.采用多样化的教学模式

在概率与数理统计教学过程中，老师应摒弃传统的灌注式教学模式，而应该采用引导学生进行案例研究、辩论和讨论等方法，同时将理论与实践结合，增加学习的趣味性以及应用性，使学生各抒己见，积极主动地参与到教学过程中，为学生创造良好学习氛围的同时，也使学生的判断与决策能力得以提升。课例2：已知某种子一千粒每粒的平均重量约为396g，经过人工培育之后，现在采取随机抽样的方法，对100例树种进行称量，每粒平均重量为437g，让学生推断好术中的质量是上升了还是下降了。这样老师就可以针对课例引导学生进行如下分析：（1）若母树林的种子每粒重396g，求得它的分布规律；（2）样本均数标准化后的分布状态；（3）概率表达式怎样得来；（4）样本平均数值的范围；（5）得出的概率结论。通过这种将知识由浅入深，由易到难的转换，让学生的注意力逐渐被题目吸引，进而很好地发散思维，促进对概率和数理统计知识的掌握，并提升学生的创新能力。

四、关注学生对知识的消化和理解

为了使学生的学习能力得到有效的提升，就必须使他们对知识有一个理性的认识，同时能够应用已经掌握的知识来对问题进行分析、判断、综合以及推理，确保知识结构的完整性和全面性。而并不是采用传统教学模式中死记硬背的方法，这样只会造成知识的大量沉积，却不能得到有效的发挥和利用。例如老师在讲授抽样分布理论知识的时候，要充分调动学生的积极性以及创新思维，让学生能够对所学的知识有个深刻的理解，对概率的基础知识（随机变量的概率分布、事件的发生概率以及事件的概率）充分掌握， 为概率与数理统计学的学习奠定扎实的基础。

五、制定系统、科学、动态的教学评价方法

为了有效的培养和提升学生的创新能力，制定全面、系统、动态、科学的评价内容、评价过程以及评价方法。其中评价内容是评价的关键，它主要包括了学生对知识的记忆能力、知识的灵活应用能力以及解题能力等，借此来有效的培养学生的动脑和动手的能力。对过程的评价主要是指教学成效提升的幅度和速度，并针对反馈的信息，及时的调整教学的方式与方法，并对学生做出积极地评价，树立他们学习的信心。在评价的方法上，也可以采取实践操作或是实验操作等方式来培养学生的创新能力，而并非以考试来作为评价的唯一标准。只有结合了多个方面的评估，才能将教学的评价的职能充分展现，促进学生学习质量提升的同时，创新能力也逐渐得到培养。

六、注重实践教学

目前随着社会对创新型人才需求的逐渐加剧，使得培养创新能力的人才成了教学的首要目标。而怎样通过概率和数理统计教学来达到培养学生创新能力，成了当前老师教学工作的重点。创新是在实践的基础上体现出来的，创新思想是关键，知识是基础，而实践就是根本。实践教学主要包括了以下几种方式：一是“做中学”的方式，它独立于理论教学；二是“学中做”的方式，它依附于理论教学；三是“做中思”方式，是一种实践与理论相结合的方式。但是在教学过程中，将重点放在“学中做”和“做中思”的方式上，这样有助于加强学生的理解。如老师在进行参数检验讲解时，老师让学生对比两组数据的差异性，进而让学生合理的选择检验方法（或方差检验或均值检验）。同时在实践的过程中，老师应适时地对学生加以引导，并鼓励学生进行创新，宽容失败，促进学生创新能力的养成。

七、结语

目前教育的主要目的就是培养具有创新思维、创新精神以及创新能力的新生代，促进未来社会经济、科技等各个领域的发展。因此，老师肩负的责任重大，为了有效的培养学生的创新能力，老师必须要激发学生的学习兴趣，提升自身的创新能力，完善知识结构，采用多样化的教学模式，并将理论与实践结合。

参考文献

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【关键词】民办高校；概率论与数理统计；教学效率

当今，国际竞争实际是人才的竞争，而人才竞争实质上是教育的竞争，教育对经济和社会的发展具有全局性、先导性的作用.我国高等教育从精英向大众化过渡，民办高校面临着较大的生源压力，作为人才输出的主要基地更需要培养社会发展所需要的合格人才，主动适应社会需求.而概率论与数理统计是经管类、理工类等专业的一门重要基础课，是学好后续专业课的必要准备，同时也是一门应用性和实践性很强的课程.目前现行的中学课本里也安排了一定的概率统计知识，其难度也在一点点加大.在新的形势下，探索并实践出有突破性的“概率论与数理统计”改革策略是民办院校高等教育的重要研究课题.而课堂教学是学生在校期间学习文化科学知识的主阵地，也是教师对学生进行思想品德教育的主渠道.现在，由于知识的快速更新，对民办高校“概率论与数理统计”教师来说，最迫切的问题，就是如何提高课堂教学的效率，尽量在有限的时间里，出色地完成教学任务.那么，怎样提高民办高校“概率论与数理统计”课堂教学效率呢？笔者认为：

一、把哲学思想渗透到概率论与数理统计教学中

概率论与数理统计中蕴含着丰富的哲学思想，如事物都是普遍联系的、对立统一规律、质量互变规律等等.教师若能以哲学思想来指导教学，在教学中自觉地渗透辩证的思维方法，不仅能提高学生学习数学的效率，也能取得更好的教学效果.在“概率论与数理统计”这门课的教学中，要使学生能利用辩证唯物主义的观点来解释“概率论与数理统计”的形成和发展.普遍联系规律是辩证法的核心.如离散与连续是两个不同的概念，二项分布属于离散型，正态分布属于连续型.而中心极限定理表明了二项分布的极限分布是正态分布，体现了离散和连续是普遍联系的.同时离散与连续又是对立统一的.量变和质变，是事物发展变化的两种基本形式，量变是质变的必要准备，质变是量变的必然结果.当量变达到一定程度，突破事物的度，就产生质变.如“实际推断原理”指出“概率很小的事件在一次实验中实际上几乎不会发生”.小概率事件在一两次试验中一般不会发生，但在大量重复实验时这个事件几乎是必然发生的.例如地震、海啸、泥石流、交通事故等在某一具体地点是小概率事件，几乎不会发生，但在自然界都是必然发生的，不可避免的.

二、突出重点，化解难点

三、运用现代化的教学手段辅助教学，采用多种教学方法

随着科学技术的飞速发展，掌握现代化的教学手段显得尤为重要和迫切.多媒体教学与传统的“黑板+ 粉笔”教学有着不可比拟的优势.多媒体教学显著的特点：一是直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性；二是减轻教师板书的工作量，使教师能有精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；三是能有效地增大每一堂课的课容量；四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结.如概率的定义、全概率公式的推导过程都可以用多媒体来演示.另外，根据教学中大量计算和模型分析的需要，充分利用数学软件如Excel，Matlab，Mathematics，SPSS 及Lingo软件等来进行图形描绘和数据分析.这样就使比较晦涩、难懂的内容直观化、形象化，有效提高学习效率，刺激学生的形象思维.但传统教学也不能舍弃，对于数学类课程特别是民办院校的学生来讲板书还是很重要的.民办院校的学生学习自觉性和基础相对弱一些，容易受到外界因素的影响，课下不能及时巩固和预习.如果只讲讲，很多学生跟不上，学起来感觉难，特别是大多数同学容易出错的题目和典型例题要在黑板上详细讲解，使大多数同学能听懂，最好能触类旁通.教师要随着教学对象的变化，教学内容的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法.“概率论与数理统计”教学的方法很多，对于新授课，我们往往采用讲授法来向学生传授新知识.在“概率论与数理统计”课程中，我们可以结合课堂内容，灵活采用读书指导、谈话、练习、作业等多种教学方法.此外，我们还可以穿插演示法，向学生展示模型，或者验证结论.有时，在一堂课上，要同时使用多种教学方法.俗话说：“教无定法，贵要得法.”只要能提高学生的学习积极性，激发学生的学习兴趣，有利于所学知识的掌握和运用，有助于学生思维能力的培养，都是好的教学方法.

四、重视学生在课堂上的表现，兼顾不同层次的学生

在教学过程中，“概率论与数理统计”教师要随时了解学生对所讲内容的掌握情况.如在讲完一个概念后，让学生复述；同时教师要精选例题，可以按照例题的难度、思维方法、结构特征等各个角度进行全面剖析，不片面追求例题的数量，而要重视例题的质量.解答过程视具体情况，可以部分写出，或者请优秀学生写出，也可以由教师完完整整写出.也可以将解答擦掉，请中等水平学生上台板演.可以对基础差的学生多提问，让他们有较多的锻炼机会.同时为了培养他们的自信心，让他们能热爱“概率论与数理统计”，学习“概率论与数理统计”，教师可以根据学生的表现，及时进行鼓励.关键是讲解例题的时候，要能让学生也参与进去，而不是对学生进行满堂灌，由教师一个人承包.教师应腾出十分钟左右时间，让学生思考教师提出的问题，或解答学生的提问，或做做练习，以进一步强化本堂课的教学内容.若课堂内容相对轻松，也可以提出适当的要求，指导学生进行预习，为下一次课做准备.要时刻认识到学生不是“容器”，是“人”，学生是学习的主体.教师要围绕着学生展开教学.在教学过程中，让学生成为学习的主人，教师只是学习的领路人，使学生变被动学习为主动学习，自始至终让学生唱主角.教师在教育过程中必须重视情感因素的作用，尊重学生差异.反之，采用放任不管，迁就学生，或者高压政策，粗涉，简单说教，都不可能得到好的教育效果.

五、处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学

尽管教师对每一堂课都做了充分的准备，但有时也可能遇到一些预料不到的事情.如有一次我在讲授随机事件的概率中概率的性质时，有“不可能事件的概率为0，概率为0的事件不一定是不可能事件”这一结论，但没有说明原因，教学计划中也没有说明原因的要求.在课堂上遇到这个问题时，有一位成绩较好的学生不理解，要求我说明原因.我就因势利导，向学生介绍了连续型随机变量，并用一个均匀分布的例子来说明在某一点上的概率为0，但不是不可能事件；然后，话锋一转，对那名同学说，关于详细的原因，我在课后再跟你面谈.这样，虽然增加了课时的内容，但也保护了学生的学习主动性和积极性，满足了学生的求知欲.

【参考文献】

[1]段勇，傅英定，黄廷祝.浅谈数学建模思想在大学数学教学中的应用[J].中国大学教学，2007（10）.

[2]杨叔子.文理交融打造“数学文化”特色课程[J].数学教育学报，2011，20（4）：7.

[3]龚克. 全国高校数学文化课程建设研讨会开幕致词[J]. 数学教育学报，2011，20（4）：1.

[4]史宁中.漫谈数学的基本思想[J].数学教育学报，2011，20（4）：8.

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中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）12-0192-02

一、大类招生背景下软件在概率论与数理统计课程教学中应用需求分析

概率论与数理统计课程教学改革随着大学从专业招生到大类招生的转变，课程教学诸多改革逐步展开，为了激发同学们的学习兴趣，克服概率论与数理统计抽象难懂的特点，借助软件进行数学实验课的引入显得尤为突出。关于数学实验课的教学不少专家进行了研究[1]，早在本世纪初，西安邮电大学李昌兴、史克岗[2]（2003）在总结西安邮电学院多年的数学实验和建模教学的基本内容上探索出了较好的数学实验课的教学方法，近年来随着统计软件的发展和推广，相信软件的加入会对数学课程的教学增加新的活力和创新性的方法；朱旭[3]（2004）在文献中也探讨了如何通过开展数学实验教学来加强学生科学素质培养，如何通内容体系和教学方式的改革、通过在数学实验的教学实践中充分发挥课程的育人作用培养提高学生的科学素质；赵礼峰[4]（2011）研究了数学实验课程在实际中对大学生素质培养的一系列重要作用；张序萍、韩晓峰、吕亚男[5]（2011）研究了煤炭院校大学数学实验教学体系的构建，谈到了概率论与数理统计等课程实验教学的组织实施。《概率论与数理统计》作为重要公共课程数学类的课程之一，是全国研究生入学课程的考试课程之一，也是今后工科类、经济类、医学类等领域的重要基础课程，如何借助统计软件加深对概率论与数理统计教学概念、方法的认识，引导更加科学的教学方法就要借助较好的教学工具才能激发学生的学习兴趣，培养学生的学习热情，进而养成好的学习习惯，这就为能力的培养奠定基础。

现在流行的软件非常多，比如商用软件统计软件SAS、SPSS、Stata，还有开源软件R、Python，通用数学软件matlab等，商用软件进行统计分析效果好，但是对学生来说负担太重并不可取，我们想借助国际上比较流行的两款开源软件R、Python，结合具体的内容比如如何引导学生编程来实现圆周率的计算，圆周率最早由我国古代数学家祖冲之求出较为精确的数值，后来西方数学家也计算出圆周率，那么我们就想引导学生自己通过这两款软件编程实现圆周率的近似计算，同时也对近似概率加深了理解。

二、以基于R、Python芍秩砑编程实现圆周率的计算为例引导学生进行兴趣学习

1.基于Python软件的圆周率编程计算分析。Python是1989年由荷兰人Guido van Rossum研发的一种面向对象的解释型计算机程序设计语言，早在1991年就有公开发行版问世。其语法既简洁又清晰，它的库非常丰富和强大。它能够把用其他语言制作的各种模块轻松地联结在一起。Python的官网地址：https：///，Python可以从其官方网站获取各种资源，且大多数都是免费的，有利于学生们的安装及下载。（1）圆周率计算机软件近似计算的建模分析。在学生学习随机事件和随机数的基础之上，给学生强调我们计算机产生的随机数和物理方法得到的随机数还是有一些不同，但通过仿真模拟可以达到所要求的精度，所以我们可以通过伪随机数进行仿真模拟实验。设X、Y独立并且都在（0，1）区间上服从均匀分布，首先我们定义示性变量I：I=1，X+Y≤10，其他，则E（I）=P（X+Y≤1）。根据几何概率论所学概念我们知道随机点落在四分之一圆内的概率即为P（X+Y≤1）=π/4，而概率我们可以用大量重复事件的频率来近似代替，进而计算出圆周率的近似值，随实验次数的增多可以达到要求的精度。（2）圆周率计算机软件近似计算的Python编程分析。Python有3.5版和2.7版，本程序可用2.7.11版本完成，进入python官方网站可以下载Python的2.7.11版进行免费安装，调用python的numpy、random、pandas等模块后就可以运行如下的程序得到近似的计算值，精度要求可通过改变模拟次数达到，如果模拟次数是千万次级的运行比较快但精度稍差，如果模拟次数是亿次级或更高的得到的精度就比较高，但是运行的时间比较慢，实践教学中希望教师引导学生各种情况都尝试一下，激发他们的学习兴趣。程序中充分利用了Python提供的求和函数sum，并且程序非常简洁，程序如下：[1]import numpy [2]import pandas [3]import random [4]from random import random [5]n=10**8 [6]pi=sum（1 if random（）**2+random（）**2

2.基于R软件的圆周率编程计算分析。（1）R语言产生发展简介。R语言产生于1980年前后，在统计领域使用广泛，R语言是源于S语言，两者有着千丝万缕的联系。AT&T贝尔实验室开发了S用来进行数据探索、统计分析和作图。后来Robert Gentleman和Ross Ihaka（新西兰奥克兰大学）及其他志愿人员一起开发了一个R语言系统，由“R core team”进行研发。由于R语言的开源性和广泛的兼容性使得R在国际学术及研究机构快速流行起来，官方网址是：https：///，可以从R官方网站获取各种资源，大多数都是免费的，有利于学生们的安装及下载，下面我们就基于R软件的圆周率编程计算分析进行探讨。即首先用计算机可以计算出落在四分之一圆内的模拟点数，它与所有落在正方形内的点数之比，当模拟次数非常多时，即近似为π/4，模拟频率的四倍就是π近似的计算值。（2）圆周率计算机软件近似计算的建模分析。（3）圆周率计算机软件近似计算的R程序模拟500次的近似结果是3.112（程序略）。

通过实际的计算机编程模拟学生会对概率中的相关概念比如：随机事件、概率与频率的关系、大数定律与中心极限定理、如何把所学知识糅合在一起，而且有了更深刻的理解，为将来解决实际问题打下好的基础。

三、软件在概率论与数理统计课程教学中应用注意的问题及结论

1.应用软件帮助学生理解难点，突出教师的主导与学生主体相结合，不论是单开数学实验课还是在教学中穿插引用，教学手段上都离不开突出软件的吸引力，使学生学习更加有兴趣、更加易于激发学生创新能力。

2.现在流行的软件都有比较好的界面、可视化功能更加强大，更易于抽象问题形象化；但也要注意基础完整理论体系的学习仍然非常重要，不能过分依赖软件，运用软件要和实际结合，比如进行实际数据的统计分析，不能简单地运用软件求出数值结果，要结合实际意义去进行解释；引导学生发掘自我的创造性。

3.无论是验证式教学还是探索式教学，都要选择选择合适的软件，我们推荐的两款软件都可以非常方便地下载安装，如果是慰式课程就要认真设计好组织考核，好的组织考核形式也是督促同学们学好基础知识的重要方法。

总之，通过这些方法培养学生的求知欲，带着问题通过自己编程独立地解决实际问题；大类招生下，由于没有分具体的专业，大一学年是刚入学的大学生必须抓住的重点学年，尤其是大学的教学和管理体制和中学差异非常大，引导学生自主独立地去学习、去解决困难更值得提倡，这也使概率论与数理统计的教学更加易于理解、更加利于接受，从而使教学效果全面提高。

参考文献：

[1]徐向红，孙旭阳，丁雪梅.基于SPSS软件进行统计实验的农医类概率论与数理统计课程教学模式的改革与实践[J].黑龙江畜牧兽医，2015，（07）：234-6.

[2]李昌兴，史克岗.“数学实验”和“数学建模”课程教学改革的实践与研究[J].工程数学学报，2003，（08）：107-10.

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概率论和统计学是研究自然界中大量随机现象统计规律性的一门科学。随机现象是客观世界中广泛存在的一类自然现象，它具有三个特点：（1）一次观测的不确定性；（2）大量观测具有统计规律性；（3）每次观测结果可数据表示。概率论从数学观点研究随机现象的基本性质；统计学从搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特性，这两本学科已经形成一门理论严谨，应用广泛，发展迅速，方法独特的数学分支。

1 赌博中的问题、随机游戏――概率论的起源

概率论创立于17世纪，但它的思想萌芽一般来说始于意大利文艺复兴时代，最先引起数学家们注意的则是赌博中的问题。15世纪意大利和法国赌博盛行，而且赌法复杂，赌注量大。一些职业赌徒，为求增加获胜的机会，迫切需要计算获胜的思路，如意大利贵族请天文学家伽利略（1564-1642）解释下列问题：掷三个筛子，出现9点与10点的各种六种不同组合法，但在经验上，发现出现10点的次数多于9点，是何缘故？伽利略给出了使对方信服的答复：

三个骰子各面点数构成总和为9的各种组合：1、2、6；1、3、5；1、4、4；2、2、5；2、3、4；3、3、3；而组合等于10的各种组合为：1、3、6；1、4、5；2、2、6；2、3、5；2、4、4；3、3、4.。而各种组合出现的机会并非相等。例如，3、3、3只有一种途径掷出；而3、3、4则有三种不同途径掷出；这样，9可有25种不同途径掷出；10则有27种不同途径掷出。这一解答成为概率论应用题的首次成果。

另一位法国赌徒梅耳提出了一个掷骰子中的难题：掷一粒骰子4次至少出现一个6的机会要比掷两粒骰子4次至少出现一对6的机会更大些，这是否成立？这就是有名的“梅耳猜想”。他拜请法国数学家帕斯卡（1623-1662）来解答，这一问题引起了帕斯卡和他的朋友费马的极大兴趣，经过多次通信研究，于1654年对此问题获得一般的解法，肯定了“梅耳猜想”是对的，并奠定了近代概率论和组合分析基础。

16世纪意大利数学家卡当曾计算过掷两颗或三颗骰子时，出现某个点数的可能性的大小，并讨论了博弈中有限个等可能的情况问题。他的研究成果集中体现在他的《论赌博》一书中，由于赌博中的概率问题最为典型，因此，从这个问题开始研究随机现象的数量规律，便成为当时数学研究的一个重要课题，但这时期对博弈问题讨论的思想方法尚未形成独立的数学内容。

2 社会保险与社会实践的需要――概率论的发展

概率论发展的直接动力在于实践中应用，特别是社会保险中的需要。17世纪资本主义工业和商业的兴起和发展，是社会保险应运而生，各种意外事件发生的概率，如火灾、水灾等，这就大大刺激了对概率问题的研究。也正是对这些问题的研究，推动了数学的发展，是一门崭新的数学学科――概率论的诞生。其中做出突出贡献的数学家有帕斯卡、费马、伯努利、棣莫弗等人。如帕斯卡、费马基于排列组合的方法，讨论了赌博中的赌注分配问题，为古典概率的形成提供了思想基础，帕斯卡在他的《论算术三角形》中用组合数学方法计算只涉及有限个基本条件的概率问题，称为组合概率。1657年荷兰物理学家惠更斯发表了《论赌博中的推理》的重要论文，提出了数学期望的概念。伯努利把概率论的发展向前推进了一步，于1713年出版了《度术》，指出概率是频率的稳定值。他第一次阐明了大数定律的意义。在单一的概率与众多现象的统计度量之内建立了关系，为概率论推向更广泛的应用领域奠定了理论基础。

概率论的诸多重要定理是在18世纪提出和建立起来的，例如，1718年法国数学家棣莫弗发表了重要著作《机遇原理》书中叙述了概率乘法公式和复合事件概率的计算方法，并在1733年发现了正态分布密度函数，但他没有把这一结果应用到实际数据中。法国数学家拉普拉斯将棣莫弗的结果推广到一般的情形。即现在所指的棣莫弗―拉普拉斯定理，这是概率论中的第二个基本定理，拉普拉斯对概率的意义如何抽象化做出了杰出的贡献，提出了概率的古典定义，并把概率论有效的应用到人口统计学等社会各领域，他的著作有《分析概率》和《概率的哲学探讨》。在《分析概率》中，拉普拉斯不仅实现了概率方法上的革命，而且系统整理了18世纪之前概率论所处理过的所有重要的问题。德国数学家高斯发展了误差理论，并提出了最小二乘法。一些数学家开始注意把等可能思想推广到含有无数个可能性的情况，从而产生了几何概率。法国数学家蒲丰在其《或然算术问题》中提出了有名的“蒲丰问题”。对这一问题的研究导致了著名的蒙特卡洛方法的产生。泊松提出了一种重要的概率分布――泊松分布。

3 中心极限定理与概率论公理体系的建立

到19世纪末，概率论的主要研究内容已基本形成，但有两个问题从理论上没有解决：

一是概率论的公理体系；二是中心极限定理成立的条件。1928年原苏联数学家柯尔莫戈洛夫总结前人之大成，提出了概率论公理体系即概率的公理化定义，给出了柯尔莫戈洛夫不等式，这是证明大数定律的重要工具。

概率论里所说的极限定理，主要研究随机变量序列的各种收敛性问题，其中包括两种类型定理：一是大数定律；二是中心极限定理。中心极限定理的名称是美国数学家波利亚1920年提出的。历史上最初的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，条件A出现的次数渐进于正态分布的问题。中心极限定理早在1730年棣莫弗就研究过。随后拉普拉斯用了将近20年的时间研究独立随机变量及分布，提出了其极限分布是正态分布，然而他的证明不够严格。数学家李亚普诺夫于1901年给出了严格的证明，在证明过程中他提出了特征函数这一非常有用的工具，自1901年起许多人在这方面做过工作，主要目标是研究使中心极限定理成立的最广泛条件，直到1922年才有突破性进展。林德伯尔格提出了以他的名字命名的条件，到1935年美国数学家南斯拉夫―费勒发现：在独立随机变量数列情况下，这个条件不仅是充分条件，甚至在一定条件下还是必要的。

4 各种随机过程的形成与概率论的现代应用

自20世纪初开始，随着生产和科学技术中的概率问题的大量出现，概率论得以迅速发展，并不断诞生出一系列新的分支理论，其理论方法在科学技术、工农业生产及国民经济各部门日益受到更广泛的应用。当代概率论的研究方向主要是随机过程，随机过程是研究无穷多个随机变量的集合，它是现实世界中随时间变化的随机现象的数学抽象，如某地区每年的降雨量；百货公司每天接待顾客人数等，随机过程的发展与力学体系理论有密切的关系，马尔可夫推广了大数定律和中心极限定理的应用范围，奠定了随机过程的发展基础，他提出的马尔可夫过程，是现代概率论的基本内容。在理论物理、化学和其他方面有着广泛应用。（下转第224页）

（上接第179页）早在20世纪30年代末至50年代初，著名数学家杜布和莱维就创立了鞅论。鞅论理论的发现不仅成为随机过程中最活跃的分支之一，而且还愈来愈广泛地应用于马氏过程、点过程、估计理论、随机控制等理论分支及其应用领域。另外，随机过程与基础学科相结合，又产生了一些新的边沿分支，如与微分方程、数理统计、数论、几何、计算数学等相结合，便产生了随机微分方程、随机过程统计、几何概率、计算概率等新分支。这样，当代概率论的研究方向大致可分为极限理论、马尔可夫过程、独立增量过程、平衡过程、鞅论和随机微分方程、数理统计学等。

【参考文献】

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概率和统计是既有联系又有区别的两部分内容，就其内容而言，初等概率论属于数学思维的范畴，而描述性的统计学属于数学常识的范畴。中学“概率和统计”教学也只是初步传授概率思想和介绍数据的分析与描述。当然，概率论的教学能提供更多的培养数学思维的机会，而统计是不能离开思维而进行的，它对发展学生逻辑思维能力、提高运算能力、培养良好的个性品质等都有很大益处。更重要的是，它对于完成教学大纲的教学要求，学生今后的全面学习和走上社会从事劳动生产及研究现代技术都有很大帮助。

一、通过介绍数学史使学生明确学习概率和统计的意义

教学应从概率论的渊源讲起，如关于赌场的概率论从16世纪就开始了，1797年第一次出现了统计这个词。历史上，帕斯卡、费尔马和贝努利都对统计学作出了开创性的贡献，但与研究确定性现象的数学问题相比它起步较晚，直到20世纪才作为一种数学思想和科学方法登入科学殿堂。教学时，应引导学生认识我国概率统计学科教育的现状，20世纪60年代大学数学系才有概率课，80年代以后才在理工大学普及，但也出现了许宝J这样驰名世界的数理统计学家。通过数学史的讲述，使学生明确学习概率统计基础知识的重要性，它是我们在日常生活和生产实践中经常用到的工具，也是今后进一步深入学习的基础。

二、发展学生的逻辑思维能力，提高学生的运算能力

“概率”部分中概念较多，公式规律性较强。教师应通过大量实例讲清它们的意义，使学生正确理解并准确区分概念，学会利用有关定义和公式计算事件的概率，掌握求解一些事件概率的方法。在统计部分主要和数据打交道，如计算很大数据的平均数、方差等，需要一定的计算能力和灵活的计算方法，应该引导学生选择最简便的方法，使学生熟悉数学工具的正确使用方法。

三、引导学生领会数学思想方法，形成数学观念

在众多数学问题中，随机性数学与确定性数学紧密联系。一方面，概率论的使用方法主要是确定性的数学方法，只是对推导出的结论作不同的解释。如初等概率论中的概率计算主要使用排列组合的计算方法，而将结果给予概率解释。另一方面，概率思想反过来推动确定性数学的发展，例如著名的蒙特卡洛方法就是用随机数学方法求确定性的数学问题，这些都可举例向学生阐述。

统计数据隐藏着概率特性，统计数字虽然枯燥，但有概率分析就活了起来。统计的任务是通过对样本分析来推断总体的特性。统计部分渗透了许多数学思想，如转化、比较、估计等。当数据较大且在一定位置上下波动时求平均数或方差，若用常规方法计算量大且较烦琐，因此可以“转化”为用简化公式的方法，通过对众数、中位数和平均数的“比较”，从不同角度描述一组数据的集中趋势，还可以通过样本平均数或方差来“估计”总体平均数或方差。

四、展现知识形成过程，激发学习兴趣

本章概念较多，而正确理解概念是准确解题的关键。如引入概率定义时，可举“生日问题”，与学生打赌，激发其学习兴趣。统计部分中涉及的问题与学生生活密切相关，如求数学平均成绩，比较两班学生成绩哪个班较好，计算商店销售额与纯利润相关程度等。这些问题学生都很感兴趣，都能主动阅读本章内容。教学时要充分利用课后的习题激发学生的求知欲，调动学生学习的积极性，从而使学生感到数学并非枯燥无味。本章教学若能注意到这一点，将会取得很好的教学效果。

篇（6）

从1998年教育部把计量经济学列入高等学校经济学门类各专业核心课程之一，计量经济学已经成为现代高校经管专业必不可少的核心课程[1]，它和微观经济学与宏观经济学一起构成了中国经济管理类本科生和研究生的核心理论课程[2]。近20年来计量经济学课程受到了越来越多的重视，在中国大多数经济与管理相关的专业的教学大纲中，计量经济学作为本科公共必修基础课，一般都要求学生已经修完微积分、线性代数、概率论与数理统计等前期课程。事实上计量经济学的基础知识主要来自于概率论和数理统计，计量经济学的基本研究过程与概率论和数理统计是一致的，先设定模型，然后通过样本抽样，参数估计和假设检验[3]。

在计量经济学实际教学中发现，许多同学对统计学中基本概念掌握得很好，依然无法理解计量经济学的内容。主要的原因是已有的计量经济学教材缺乏引导学生从概率论和统计学过渡到计量经济学的相关知识衔接。由于学生在学习这两门课的过程中，缺失了知识点的过渡和迁移，常常用孤立和割裂的视角来看待计量经济学的内容，这无疑提高了学生学习计量经济学的困难程度。学生不知道将已有的数学知识与计量经济学相互结合，形成完整的逻辑体系。针对上述问题，本文将论述从概率论和统计学过渡到计量经济学过程中出现的知识点相互割裂的主要问题，阐述造成学生理解困难的原因，并提出相应的改进方法。

一、从概率论与统计学过渡到计量经济学出现的教学问题

虽然大多数学生在学习计量经济学之前，已经学过计量经济学的基础课程——概率论与数理统计。但学生在计量经济学学习的过程中，面临的巨大挑战是如何将已有的概率论和数理统计的知识和计量经济学中的知识点相串联。造成这一问题的原因主要有：第一，许多计量经济学中的重要知识点，在概率统计中只是简略的介绍，甚至一带而过，并未引起学生的重视。第二，许多计量经济学的教材常常忽视概率论与数理统计的知识点，这可能是由于在欧美的计量经济学课程，并不要求学生前期修过概率论和数理统计。所以中国在引进的国外的计量经济学教材后，也没有在课程上复习概率论和数理统计的相关知识。为了具体说明教学中遇到的问题，本文以本科计量经济学教学大纲中最主要的教学内容：经典线性回归的最佳线性无偏性质和违反基本假设造成的后果两个重要的知识章节作为案例说明。

（一）经典线性回归估计的最佳线性无偏性

经典线性回归估计的最佳线性无偏性是小样本理论下的普通线性回归的最重要的性质，大多数本科计量经济学教材最前面的2-3章都是介绍这一内容，例如国内最常用的教材李子奈的教材《计量经济学》[4]和国外的伍德里奇的教材《计量经济学导论：现代观点》[5]等。学生对这一内容的理解程度也将直接影响到计量经济学的后续学习。然而对于学完概率论与数理统计的同学来说，虽然他们学过随机变量的数字特征，包括期望和方差，还有n阶原点距以及n阶中心距的内容。但他们在概率论与数理统计的课程中并没有接触过无偏性和有效性的概念，事实上，就计量经济学的本质来说。无偏性就是用一阶中心距来计算，有效性则用二阶中心矩来衡量。而这两个概念在在概率论与数理统计的课程中都已经学过，但如果在计量经济学的教学中不特别加以说明，学生很难意识到两者之间的联系。学生难以理解的另一个原因在于，在数理统计课程中，关于中心矩的介绍很简略，许多学生可能并没有意识到其在计量经济学中的重要性，而计量经济学教材中往往忽视对概率统计的中心矩的介绍，导致学生采取一种割裂的视角，无法建立一个统一的思维框架。

在计量经济学的教学中，常常遇见许多同学难以理解为什么要用最优线性无偏性来衡量最小二乘法的优劣？因为大多数计量经济学教材往往直接介绍最小二乘法种种优良性质，在同学们不熟悉无偏性和有效性与中心矩之间关系的前提下，直接引入这两个概念往往显得突兀，学生在学完了线性最小二乘法的最优线性无偏性之后，仍然会产生为什么要用这两个指标来衡量的疑问。更合理的方法是，可以在介绍最小二乘法的内容之前，先介绍均方误差的概念来引入无偏性和最小方差两个概念，这与数理统计中如何衡量参数估计的性质等内容部分是一脉相承的，学生如果学过了数理统计学，就很容易理解均方误差的概念。关于这种过渡知识的介绍，已有计量经济学教材在这方面做了很好的改进，例如陈强著的计量经济学教材[6～7]，與许多其他的计量经济学教材不同，他并不是在计量经济学教材中直接介绍最小二乘法具有最优线性无偏性的性质。而是在还没有引入最小二乘法之前，先介绍了如何评价参数估计的优劣，即介绍均方误差的方法，均方误差可以进一步分解成方差和偏差平方之和。偏差平方等于零就是无偏性的证明，方差最小就是有效性的证明，这种分解方法可以直观的表示为什么线性回归的最小二乘法估计会得到最佳线性无偏的优良性质。因为这种对参数估计优劣的评价是通用于所有的参数估计，而不仅仅是对最小二乘法。同学在理解了评价参数估计的方法之后，就不会再对最小二乘法最优线性无偏性的证明过程感到难以理解了，这有助于同学们理解如何从数理统计过渡到计量经济学的相关知识。

（二）违反基本假设对最优线性无偏性的影响

当违反普通最小二乘法的基本假设时，其最优线性无偏性会如何受到影响？许多同学常常依靠背诵的方法记住违反了每一条假设产生的后果，正如已有研究中所指出的[8]。这会导致学生混淆违反不同基本假设与产生后果之间的关系。古典线性回归模型是基于以下四条假设而得出的最优线性无偏的优良性质，第一，线性假定；第二，严格的外生性；第三，不存在严格多重共线性；第四，球形扰动项。事实上，在对于无偏性的证明当中，并没有用到第三条和第四条假定。第一条假定可以通过设定线性方程的形式来保证实现，一般我们可以假设其满足。所以，影响无偏性最重要的假定是第二条严格外生性。第二条假设也是最容易违反的，而且直观上并不能看出是否违反了第二条假设，也很难使用计量的统计方法来检测第二条假设是否被违反。事实上我们所有关于线性回归方程内生性的讨论，都是基于违反的严格外生性的假定而展开的。只有违反第二条假设，最终的估计才是有偏的，而违反第三条和第四条假设，并不会对估计结果的无偏性产生影响。在教学中发现，许多同学最容易犯的一个错误，就是他们常常认为违反多重共线性或者球形扰动项的假设都会影响无偏性的估计。以至于他们认为所有变量之间不可以存在任何相关性，或者认为不可以存在异方差和自相关，否则他们认为会导致估计结果有偏，这都是错误的观念。究其原因，还是因为没有理解在推导无偏性中所使用的概率论与数理统计学的相关知识。这里所需要期望的概念，同学们在数理统计中已经学过，但是另一个重要的知识点——迭代期望定律，在本科生概率论和数理统计课程中一般并不会介绍，如果在推导普通最小二乘回归的无偏性之前，先介绍迭代期望定理，则可以让同学们很容易理解整个推导过程，从而理解得到无偏性所需要的假设，并可以推导出违反不同假设对最优线性无偏产生的影响。二、统计学和计量经济学相结合的教学改进方案

上述介绍的从概率论和数理统计学过渡到计量经济学教学过程中出现的问题及原因，这些是高校计量经济学教学过程中常出现的现象。结合教学实践和相关教学研究，笔者提出以下改进的方法和建议。

总体而言，在计量经济学的教学过程当中，推荐多采用互动式的教学方法，对于一些非常新的概念和知识点，先让同学分组讨论，由此可以了解他们的概率论和数理统计的基础，并且让同学们尝试应用概率论和数理统计的相关知识推导出计量经济学的结论，在此基础上。教师可以知道学生已有的知识储备和知识缺口，同时能够很好的将计量经济学的新知识和他们的知识储备相连接，帮助学生从概率论和数理统计的知识点过渡到计量经济学的知识点，建立一个整体的知识框架，在具体实践中可以采用以下方法。

（一）计量经济学教材的选择

在计量经济学教材的选择方面，最好选用计量经济学教材在介绍最小二乘法内容之前，先复习概率论和数理统计的相关知识。虽然有些教材将这部分知识放到了附录部分，但是在实际教学过程中，往往忽略对这一部分基础知识的介绍。所以更合适的方法是先介绍完概率论和数理统计的基础知识，比如，最重要的知识点包括条件概率、条件分布、数字特征，迭代期望定理，随机变量的性质、假设检验、统计推断、大数定理和中心极限定理、随机过程等。让同学们在学习计量经济学之前能够回忆起已经学过的概率论和数理统计基础知识。尤其对学生后期进一步学习最小二乘法的性质的数学推导过程和性质非常有帮助。

（二）课堂教学的改进方案

在课堂教学方面可以采用“学生分组讨论+教师讲解+课后习题演练”三者相结合的方法，传统的教学方式往往重视教师的讲解和课后的习题演练。而忽视学生的分组讨论，虽然学生分组讨论在学生较多的时候很难开展，尤其是在总学时有限的情况下。但是，如果在课堂上给出五分钟，让同学们能够自行讨论，并反馈他们对于计量经济学推导过程的理解，将有助于老师掌握学生真实的基础知识，尤其在不知道他们掌握了哪些概率论和数理统计的基础知识的前提下，一味的介绍计量经济学的相关知识，往往无法在他们已有知识库和新的知识之间建立很好的链接。造成学生在理解计量经济学的推导过程中采用孤立的视角，无法跟他们之前的概率论和数理统计的知识点形成有效的联系，最终无法建立更加统一的知识框架和体系。

（三）教学大纲的优化方案

对于本科阶段计量经济学的教学，现有的教材在不同教学知识点的安排上并不十分合理。应该根据学生掌握的概率论和数理统计的基础情况，提出更合理的计量经济学的教学大纲。比如，从目前国内比较流行的计量经济学教材来看，往往会花很多笔墨来介绍小样本理论的普通最小二乘法的推导过程和相关性质，尤其是在违反了不同假设之后所导致的不同后果。许多教材都会介绍当扰动项存在异方差和自相关时，会产生什么样的后果，并提出多种不同的解决方法。但在计量经济学的实际应用当中，这两种违反假设产生的后果并不十分严重，在使用计量软件进行回归处理的方法非常简单。这与实际教学中所花费的学时不相符。另外，在计量经济学的理论教学中，往往会花很多时间来介绍多重共线性对于回归结果产生的影响，但在实际应用当中，我们并不经常讨论多重共线性的问题，除非是存在着非常严重的多重共线性，因为当建立回归的模型时，我们就会考虑变量之间的多重共线性问题，尽量避免使用多重共线性很严重的变量。而不是通过后期的测量多重共线性的方法来删除相关变量，因为如果该变量纳入到回归方程中，一般情况下我们首先应考虑其理论意义，而不是为了降低多重共线性将其删除，如果删除一个相关的变量，则有可能会因为删除一个重要的控制变量，导致最终的回归结果产生偏误，最终反而得不偿失。

篇（7）

关键词： 概率论与数理统计；改革；实践

Key words: probability and mathematical statistics; reform; practice

0 引言

概率论与数理统计是工程、人文、经济、社会等领域研究和处理随机现象的一门重要的随机数学，是目前数学专业大学本科阶段乃至其它理工类专业的唯一一门随机数学的必修课。自上个世纪六十年代引入大学课堂以来，它对于传承人类科学文明、培养人才的综合素质能力、解决实际问题的实践动手能力等起到了非常重要的作用。在信息社会高度发达的今天，随机数学的基本理论与方法作为信息采集、加工、利用的重要的理论基础和方法论基础，已经成为现代专业人才重要的必不可少的知识构成。文献[1-3]对该课程的改革与实践进行了探讨。本文就该课程的特点，结合我院（系）学生的特点就该课程改革与实践的必要性，具体思路与原则，以及改革实践的效果做一探讨。

1 概率论与数理统计课程教学改革的必要性与重要性

教学内容、手段、方法的陈旧反映出教育思想的落后，转变教育思想和更新教育观念是进行一切改革的先导。传统的数学教育理念重视教学过程的理论性，严谨性，逻辑性。但对于学生应用数学的理论和方法解决实际问题能力的培养从教和学两个侧面有所忽视。

现在，有一种流行的教育教学方法称为“案例教学”。“案例教学”就是通过实际问题的描述、假设、建模与求解，演示理论与方法的应用过程。数学上，这样的教学方式就是所谓的‘问题解决’的数学建模的思想。这种方法不拘泥于对理论和方法的阐述，更注重对理论与方法的实际应用过程的展示：包括问题的描述、所涉及的变量及其相互关系、问题的假设与简化、问题的数学模型的建立与求解。

信息社会的加速来临，在实际生活和科技工作中，海量、庞杂的数据不断产生，但是有用的信息并不会自动生成，它需要数学工作者利用数据采集、整理、分析与处理的工具，去发现有用的信息，以解决实际问题。数据采集与信息分析与处理的数学基础就是《概率论与数理统计》这门数学类专业的必修课程，这也是其它理工科专业的一门必修课程，只是对数学专业的要求既注重理论又兼顾方法的实际应用，而对其它理工科专业，这门课程主要注重方法的应用。

但是，《概率论与数理统计》这门课程不同于以往学习的确定性数学，对于第一次接触这门课程的学生，理解起来会很困难，更不用说去利用它去进行统计数据的采集、整理、处理、分析等。因此，单从这点考虑，我们就有必要对其教学方法、手段等进行改革。从本门课程的应用目的角度来考虑，也必须进行改革，以增加实践性教学环节，培养学生应用概率论与数理统计的理论和方法解决实际问题的能力。

从培养学生利用数学的理论和方法、基于统计数据，建立和求解数学模型的能力的角度看，这完全符合现代大众化高等教育的目的，也符合我校的办学指导思想。

《概率论与数理统计》是其它随机数学的理论和方法的基础，这些课程是：多元统计分析、时间序列分析、随机过程，基于支持向量机的现代非参数统计学习方法等，为了这些知识和方法的学习与应用，我们也必须改变教学方式，为学生打下坚实继续学习的基础。

2 概率论与数理统计课程教学改革的思路与原则

通过以上的分析，我们认为概率论与数理统计课程的改革必须首先改变教学方法，抛弃那种古板的、填鸭式的、纯粹的重视逻辑推理而不重视应用的传统的教学观念，而采取不仅重视理论与方法的学习，为后继课程的学习打下良好基础，又能激发学生学习兴趣，同时还能培养学生应用所学理论和方法解决实际问题的能力的培养。

因此，概率论与数理统计课程的改革是一项系统工程，既要考虑课程本身理论与方法的学习，还要也兼顾后继课程的学习（有些课程是研究生的必修课），又要考虑学生应用理论与方法解决实际问题能力的培养，还要使得学生学习起来兴趣盎然。应用系统工程原理，从理论、实践、计算能力等全方位改革和建设，不能只重视某一个环节，而应从整体上思考。

在学时有限的约束条件下，我们必须改革教学内容，教学方法和教学手段，以期达到预期的改革目的。改革过程必须培养一批从事《概率论与数理统计》课程的课堂教学、实验教学的人才，积累改革的成果，不断总结经验。改革过程不会一番风顺，遇到非议也是可以理解的。但是，改革的决策一旦确定，就要毫不犹豫的进行下去。

3 概率论与数理统计课程教学改革的内容与措施

首先确定合理的教学学时，经过大家集思广益，制定了相应的教学大纲，使教学改革有法可依。为了达到上述改革目标，我们对教材的内容进行必要的增加和删减。由于，《概率论与数理统计》课程是大学生接触的第一门研究随机现象及其规律的数学学科，不同于以往的确定性数学，学生理解起来是相当困难的。为此，考虑到实际课时和课程的难度，在课堂教学中，借助于多媒体技术和计算机编程技术，增加了对一些随机现象的直观演示。删除掉一些陈旧的知识，比如关于一些定理的证明，或者保留这些证明，作为自学内容，提供给有能力学习的学生。这也起到因材施教的目的。经过多年的实践，编写了自己的教材《概率论与数理统计》（陕西师范大学出版社出版），该教材是国家面向21世纪规划教材。

为了达到培养学生利用计算机和数学软件，以及应用概率论与数理统计的理论和方法解决实际问题的能力，我们在自己编写的教材中，首次引入了SAS(Statistical Analysis Systems)高级程序设计语言。

为了使得课堂教学生动、有趣、直观以及指导学生的学习，我们研制开发了多媒体课件，并编写了与本门课程配套的课程学习指导教材。

为了达到培养学生的收集数据、整理数据、建立数学模型、利用相关的理论与方法解决实际问题的能力之目的，我们增加实践性教学环节。从1997级开始，我们在全国首次开设了《概率论与数理统计》的实验教学环节，并且编写相应实验教学大纲和实验指导书，使实验课有纲可循，有事可做而不流于形式。

为了培养学生的综合应用随机数学解决实际问题的能力，我们构建了以《概率论与数理统计》为核心的课程群，包括《多元统计分析》、《时间序列分析》、《教育测量与统计学》、《随机过程》、《数学模型与数学实验》、《数学软件》等选修课程，大大丰富了学生随机数学的理论与方法解决实际问题的数据处理与分析的能力及数学建模能力。

为了开拓学生的视野，在学年论文和毕业论文中，我们加强指导，向学生介绍了一种现代非参数统计学习方法：《基于支持向量机的统计学习方法》，将这种方法用于相关关系的学习中。

为了达到培养学生学习《概率论与数理统计》课程及其课程群的学习及其解决实际问题的能力，我们连续多年组织了对我校参加全国大学生数学建模竞赛的学生的培训工作，特别是随机数学解决实际问题能力的培养。

由于我们改革教学的内容，增加了实验教学环节，并注重学生平时能力的培养，所以我们改革考核方式：学生平时作业及考勤占总成绩的20%，实验占20%，课程考试占60%。

为了传承我们的改革成果，我们注意在改革中积累经验，培养人才，使我们的改革有了传承、继续推进的后备人才，形成本门课程及其课程群的年龄、学历层次和职称结构合理的教师队伍，有博士1个，硕士3个，学士5个；教授1个，副教授6个，讲师2个。

4 概率论与数理统计课程教学改革与实践的效果

通过几年来的改革实践，概率论与数理统计的教学取得了较显著的效果。教学内容、方法手段的改革增加了学生学习该课程的兴趣，使学生真正体会到该课程的内容在工农业生产以及科学研究中的应用价值，充分调动了学生学习的主动性，激发了学生的创造性思维，增加了学生应用概率统计方法解决实际问题的能力。该课程的改革与实践取得了良好的教学效果，提高了教学质量，得到了学生的认可和赞同，问卷调查表明90%以上的学生对现在的教学方式和考试方法给予肯定，大多数学生都认为概率统计课在各学科中有较重要的应用。说明同学们对该门课程的思想方法和应用性有了较深刻的认识，教学改革的总体方向是正确的。

随着本课程及相关课程的深入改革，有许多学生在学年论文及毕业论文的选题上倾向于采用《概率论与数理统计》课程的理论与方法。与本课程相关的多篇毕业论文被评为校级优秀论文。

此外，本课程的任课教师还积极组织、培训、指导学生参加全国大学生数学建模竞赛并取得优异成绩。

参考文献

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作者简介：康国栋（1983-），男，土家族，湖南张家界人，吉首大学软件服务外包学院，讲师；周清平（1965-），男，土家族，湖南省张家界人，吉首大学软件服务外包学院，教授。（湖南?张家界?427000）

基金项目：本文系吉首大学教学改革项目（项目编号：2011JSUJGB25）的研究成果。

中图分类号：G642.0?????文献标识码：A?????文章编号：1007-0079（2012）22-0083-02

“概率论与数理统计”课程涉及的范围相当广泛，凡是涉及数据的收集、整理、分析、可视化和解释方面的问题，都是概率论与数理统计学大显身手的舞台，[1]由此可见此学科在计算机科学中的重要地位。随着软件技术的发展，概率论与数理统计价值也越来越得到凸显，软件系统的开发与设计实践能把“纸上谈兵”的数学模型变成可行的算法并加以实现，理论在显示强大力量的同时也露出了有趣的一面。如果不注重概率论与数理统计学的应用和直观性，将导致数学的孤立与衰退。尤其是在软件飞速发展的今天，概率论与数理统计科学与软件实践难舍难分。因而软件工程专业概率论与数理统计的教学改革必须围绕软件工程专业的人才培养目标，必须以软件行业的人才需求为核心。我国对软件工程专业的要求是培养“实用性、复合型及国际化”的软件工程人才，在人才培养过程中强调自主思维能力与工程实践能力培养并重的理念。其课程体系与传统的计算机专业相比，理论课时偏少，使“概率论与数理统计”课程在实际教学中出现了教学内容多与课时少的矛盾。因此，如何充分发挥教师的教学能力和调动学生学习的主观能动性，如何做好软件工程专业“概率论与数理统计”的教学，是当前亟需解决的问题。在近来的教学实践中，努力尝试了一些教学改革举措，得到了一些成功的经验。本文拟从教学内容、教学方法、考核方式等几方面分别进行探讨。

一、“概率论与数理统计”教学改革的基础

1.软件工程专业“概率论与数理统计”课程的定位

要做到真正意义上的“概率论与数理统计”教学改革，首先必须做好该学科的定位，提高学生、老师对其认识水平。当前，社会各行业对软件人才的需求日益增长，其需求常常是一般性软件、应用软件开发人员。这就给学生一个误导：应用强于理论（甚至只关注简单的应用），进而使学生忽视基础理论课程学习这种纯实用思维。这种纯实用思维取向将影响学生自主学习能力与逻辑思维能力的培养，降低学生学习其他专业课程的分析能力，进而降低其在工作中的拓展能力及竞争力。虽然我国高校软件专业毕业生逐年曾多，但是许多软件企业却反映招聘不到合适的人才。实际上，企业缺少的是有拓展能力、快速学习能力的高层次专业人员，这类专业人才必然要具有良好的数学素养。另外，软件工程专业学生本科毕业后，有相当比例的学生考虑继续深造，要用到“概率论与数理统计”学科的一些基本理论和方法去研究、解决相关科学问题。根据以上的分析，结合吉首大学（以下简称“我校”）提出的人才培养目标，“概率论与数理统计”课程应定位为数学思维+软件实现工具：既要求学生掌握“概率论与数理统计”的基本概念、思维模式、计算方法，培养学生的数学素养，又要求学生学以致用，培养学生对其在软件行业里的实际作用的认知和兴趣。

2.教学资源的优化整合

如果没有教学资源将会使教学改革成为无本之木，无水之源。因而，优化整合教学资源是实施教学改革的又一项重要的基础工作。目前，国内教学资源主要关注该学科体系的完整性与论证的严密性，[2]这对软件专业的学生而言，在学习时往往看不到该学科在软件工程中的应用，既不能与学科很好地结合起来加深理解，也不能调动学生的学习积极性。[3]而国外教材的特点是与计算机专业的联系更加紧密、例子更加丰富。[1，4]因此，需首先成立教学研究小组，将“概率论与数理统计”教学内容分为几个部分，每部分由一个小组成员负责教学建设及深入研究，整合国内外优秀教材，提炼教学内容：在选用国内经典教材的基础上，指定国外优秀教材作为参考书。[5]在整体分析后，适当增加概率论与数理统计在计算机科学中的应用内容，将之与理论知识结合介绍给学生，既有助于学生理解，又为后续的专业课程的学习奠定基础。[6]而对部分理论知识，或删节或安排学生自学。例如，集合论基础部分、古典概率算法等章节应当删除，随机变量复杂函数概率分布的理论推证适合学生自学；其次，建设网络课程，充分利用现代网络技术，为学生提供丰富多彩的网上教学资源，方便学生自主学习和师生间的交互，有利于指导学生进行个性化学习和协同学习，为实现精讲多练的教学目标奠定资源基础。

二、“概率论与数理统计”课程教学方式的改革

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吉首大学数学与统计学院（以下简称该院）2011年成功申报统计学本科专业和一级学科硕士点。《随机过程》是新办本科专业统计学的专业主干课，也是统计学硕士研究生的专业基础课。为使该课程建设顺利完成，该院统计与金融系成立随机过程教学团队，积极申报新开课程项目和教学改革项目，近三年对该课程进行了认真细致的研究，并结合教学实践开展了系统的研究和探索，本文是该课题组的教学研究成果之一。

对于《随机过程》课程教学方面的研究，陈建华[1]结合教学现状，提出教学内容及教学方法改革探索的基本内容。薛冬梅[2]针对《随机过程》课程概念多、理论性强、抽象等特点，提出加强《随机过程》课程建设的建议，对课程教学进行实践研究。吴俊杰[3]通过编写工程研究生《随机过程》教材，谈了自己的相关体会。吕芳[4]结合洛阳师范学院统计科学系《应用随机过程》的教学实践，从教师的学术水平、学生的学习、教学工具的使用等方面结合个人的教学经验提出一些措施和意见。陈家清[5]针对《随机过程》的教学，研究教学方法与教学措施的改革，提出以人为本的教学理念，优化课程教学方法。

随机过程是一连串随机事件动态关系的定量描述。人们总是通过事物表面的偶然性描述出其必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律[4]。它与其他数学课程如《实变函数论》、《泛函分析》及《测度论》等有密切联系，同时在统计学、金融学和经济学等领域中有广泛应用。因此，在讲解与其他课程有关联的相关知识时，应充分体现《随机过程》课程的实践这性和应用性，结合本学科的学术前沿与发展动向，拓宽学生的视野[6]。

高等院校统计学、经济统计、应用统计和金融工程及其相关专业将《随机过程》设置为专业主干课程，同时也是数学与应用数学、信息与计算科学等专业的选修课。《随机过程》的理论和方法在自然科学、工程技术、工农业生产、军事科学、金融和经济等众多领域内发挥着重要作用。《随机过程》课程具有概念多、理论性强、抽象难以理解、应用性强和应用难于上手等特点，使得统计学及其相关专业学生难于掌握该门课程的基本知识和基本技能[5]，应用起来更难。为使不同专业的学生对《随机过程》有更好的理解和掌握，在教学设计和教学内容方面应该大胆进行教学实践，提高教学效率，让学生更好地领悟随机过程的思想精髓，让其在应用中更好地发挥作用。

一、人才培养方案中《随机过程》课程地位

吉首大学数学与统计学院数学与统计学院现有数学与应用数学、信息与计算科学、统计学（精算方向）、经济统计学、应用统计学、金融工程6个本科专业，拥有数学及统计学两个一级学科硕士点，可招收基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计、经济统计、应用统计等10个二级学科硕士研究生[7]。统计学一级学科硕士点将《随机过程》设置为专业基础课，统计学、应用统计和经济统计在人才培养方案中将《随机过程》设为专业主干课；金融工程开设《金融随机分析》，作为该专业主干课；数学与应用数学将其设为专业选修课。信息与计算科学虽然没有开设《随机过程》，但在实施中作为选修课。

随机过程的重点是研究现实世界中的随机现象，将是《多元统计分析》、《时间序列分析》、《回归分析》和《统计预测与决策》等后续专业课的基础。各高等院校将《随机过程》设置为专业基础或必修课，是比较合理的。金融工程包括创新型金融工具与金融手段的设计、开发与实施，以及对金融问题给予创造性的解决[8]。该专业需要应用随机过程解决金融中的实验问题，其侧重点与统计学专业有所不同。因此其教学重点是随机分析及其方法的应用。该院的其随机分析作为其专业主干课，如能先修《随机过程》或《应用随机过程》，对于该专业的发展将会更有利。查询高校人才培养方案，数学和统计学专业均开设该课程，各高等院校对随机过程及相关分析方法越来越重视。

二、课程所需基础

随机过程以初等概率论为基础，同时又是概率论的自然延伸。它的基本理论和方法不仅是数学和统计学专业所必须具备的技能，而且是工程技术、电子信息及经济管理领域的应用与研究所需要的基本手段[2]，该课程所需的基础是概率论的相关知识。但针对不同的专业及不同的学习要求，本课程如能有以下基础则学习更轻松：《测度论》、《实变函数与泛函分析》等。开设有这些课程的高校均将其设为《随机过程》的先修课程。学生如果想从事应用概率方面的研究，就必须加强测度论与分析学相关内容的学习。对于只是想了解并应用随机过程基本方法的学生来说，就只要学习概率论就能进行该课程的学习。因此不同专业的学生，该课程所需基础是有差异的，课程开设的时间也不一样。对于统计学专业的学生，应该让学生学习完概率论和测度论后开设此门课程。该课程可以设置《概率论》、《测度论》之后，《时间序列分析》之前。对于数学与应用数学、信息与计算科学和金融工程专业在学生学习完概率论与数理统计后就能开设该门课程，并在其他专业课中对其进行应用，更好地开拓随机过程的应用领域。

三、不同专业对随机过程课程教学内容和要求有差异

《随机过程》作为高等院校统计学专业必修课，将在金融和经济中发挥着重要作用。根据本课程在统计学及相关专业中的地位和作用，应该将其设置为专业必修课。《随机过程》要重视基本理论教学，对于统计学专业建议用测度论的语言对其教学，重视其理论推导。但此教学难度较大，要求学生数学功底好，已经系统学习《高等代数》、《数学分析》、《实变函数》、《泛函分析》和《测度论》等课程。按该方案设计，该课程的学习将重视培养学生理论推导能力，为今后学习打下坚实的理论基础。该方案要求学生数学基础较好，喜欢数学理论推导，各高校要根据学生基础进行灵活设置。

对于数学与应用数学和信息与计算科学专业来说，本专业的学生已经学习《高等代数》、《数学分析》《实变函数》《泛函分析》和《概率论与数理统计》等课程，已经具备学习《随机过程》的数学基础，为了适应我校重基础，宽口径的教学目标，供有兴趣的学生进行修读，将其设置为选择修课是比较合理的，以便让有兴趣从事金融、经济、通信工程和其他专业的学生打好基础，这对他们将来的发展是非常有利的。该课程可设置为第四学年的选修课。

对于应用性较强的金融工程专业来说，在其应用中需要应用随机分析的基本理论和方法，在该专业中应该加强随机分析的学习。因此在专业设置中所设置的课程重点应该是《金融随机分析》，但此课程难度大，抽象难懂。为了让学生把握教学内容，建议在该课程前先设《随机过程》，为学习《金融随机分析》做好知识准备，有利于学习掌握随机分析的基本原理和方法，并对其进行灵活应用。

四、随机过程教学改革和建议

1.金融工程专业设置改革。

根据该专业学时与学分的安排情况，本专业可以分别设置《随机过程》和《金融随机分析》两门课程，教学重点不一样。目前在经济和金融中很多地方需要应用《随机过程》的相关理论和思想，因此该专业需要加强本课程的学习。该专业的《随机过程》的教学重点是随机过程基本概念、泊松过程、马尔可夫过程、维纳过程和高斯过程等具体的一些随机过程，而随机分析和数理金融部分是《金融随机分析》教学重点。

2.各专业其学分、时间各异。

对于统计学专业来说，《随机过程》是其专业主干课设置为4学分，72学时。可以在修完《概率论》进行开设。若开设《测度论》和《实变函数》，应该将其设为《随机过程》的先修课程，设置在第五或第六学期。该专业建议其重视基本理论和方法讲授。

数学与应用数学和信息与计算科学这两个专业，该课程是选修课，学分为3学分，54学时。建议将其设置在第六或第七学期，让学生拓宽知识面，强调其应用性。金融工程专业可以将该课程设置为专业必修课或专业主干课，建议开设成两门课程：《随机过程》和《金融随机分析》，各3学分，54学时。《随机过程》作为《金融随机分析》的先修课程，重点是随机过程概念和基本理论，随机分析及应用基础，数理金融相关内容。

3.进一步提高该课程的应用能力，增加实验性环节。

改变传统授课以讲授为主，按照教材进行填鸭式的讲解。根据现代化的教学原则，该课程结合案例进行教授，将理论知识融入各实例中，应用多媒体设备进行设计，将复杂的理论转化为相关案例。一方面提高学生的学习兴趣，另一方面化解难点，提高教学效率。

在实际教学中，建议加入实践性环节，选定部分内容作为实验题目，构建融知识传授、能力培养、素质教育为一体的教学模式[2]。建议结合《时间序列分析》的相关实验，增加实验性环节。

通过该课程的教学实践与研究，结合该院人才培养方案，分析《随机过程》课程的重要性，结合不同专业的教学实际，为提高该课程的教学质量，培养学生的学习兴趣，提出部分教学建议。希望通过该新开课程的建设，加强教研结合，能建设成一支由多人组成、学术能力强、教学水平高超，并致力于将教学与改革结合、教研互促的教师梯队[1]。在此基础上，申请校级精品课程，促进该院统计学专业主干课程教学能力的逐步提高。

参考文献：

[1]陈建华.李海燕.张榆锋.施心陵.《随机过程》精品课程建设与教学改革探索[J].中国科技信息，2010，18：283-284.

[2]薛冬梅.《随机过程》教学改革研究与实践初探[J].吉林化工学院学报.2010，27（6）：54-56.

[3]吴俊杰，潘麟生.编写工科研究生《随机过程》教材的体会[J].1991，7（1-2）：217-219.

[4]吕芳，王振辉.关于《应用随机过程》教学的思考[J].中国科教创新导刊.2009，30：50，52.

[5]陈家清.统计学专业《随机过程》课程教学改革研究[J].湖北第二师范学院学报，2013，30（8）：106-108.

[6]钟启泉.新课程背景下学科教学的若干认识问题[J].教育发展研究，2008（24）：7-11.

[7]管理员.学院简介[EB/OL].http：///Article/ShowArticle.asp？ArticleID=544，2014.6.28.

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二、结合专业，注重案例教学

在地质类专业中，很多实际问题都直接用到了《概率论与数理统计》中的内容，比如:区间估计、假设检验、参数估计等，都是在地质类专业教学中常用的数理统计方法。那么，我们在《概率论与数理统计》的课堂教学中就可以有的放矢地将地质类学科中的案例与数理统计中的这些方法相结合，把地质学中的实际问题当作例子在《概率论与数理统计》课堂中进行讲解，地质类专业的案例在很多时候就是在具备专业背景下的统计学的应用，用这类问题来替换课本上枯燥的数学例子，一方面可以增强课堂的趣味性，提高学生的学习兴趣和积极性，另一方面也为将来学生在专业课中使用概率论与数理统计知识打下基础，帮助学生顺利地完成从基础课到专业课的自然过渡。