数学学习的概念汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇数学学习的概念范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）14-291-01

一、农村中下层初中生数学学习主动性培养的概念解析

伴随着基础教育新课程改革的深入，突出教育教学过程中的学生参与性、激发他们学习的主动性已经成为课堂改革的必然要求。着重突出学生在教育教学过程中的自觉性和主动探究性，这不仅仅是教育教学行为的变革，更是教育教学理念和思维的转变。而学习主动性的培养重点就在于创设各种有利条件和机会，让学生作为学习的主体去体验知识，锻炼能力，实现教育教学的三维目标。

农村中下层学生是指由于各种原因引起的，学习成绩偏差的农村学生，这些学生有的是可以通过一些方法能够改善学习成绩的。激发他们数学学习的主动性是教师根据他们的现有学情，认知特点和学习规律，通过创设现实的情境和机会，呈现或再现、还原数学的教学内容，能让学生自觉和积极的参与思考和学习， 使学生在学习的过程中积极的理解并掌握文化知识、发展自身能力。

二、农村中下层初中生数学学习主动性培养的意义探究

1、体现时代性的优势，培养了大批创新型人才

创新型人才就是不拘一格，各式各样的人才观，与此相适应，我国“《基础教育课程改革纲要》指出，要转变学生的学习方式，就要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生学习的自觉性和主动性，让他们乐于探究、勤于动手，培养搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。”培养学生的自主性和创造性意识。学生主动参与知识形成过程，自主探索，独立思考，利用已有的认知结构，对外部信息进行主动性选择、推断，主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题，成为知识的发现者与运用者，可以发展学生以创新精神和实践能力为核心的素质，智力也会得到较好的发展。

2、把握规律性的优势，定位了教与学共同发展的结合点

学习主动性的培养是把握学生成长成才的规律，很好地改革教材和教学方法的体现。随着教材改革的全面铺开，初中数学课教材已经实现了新旧转型，教学方式也做了创新和改革，尤其是增加了学生参与活动的环节，自主探究的环节，如：“想一想”、“议一议”“说一说”、“阅读天地”、“操作平台”、“辩论会”等；初中数学课每一单元开头都设置了“探究主题”（探究活动）来指导单元教学，案例和活动也较多。总之这些变化都强化了过程性、体验性目标以期引导学生主动参与学习过程、培养自主合作探究、激发学习主动性等主体性精神，变革单一的记忆、接受、模仿的被动学习方式。

3、富有创造性的优势，提高了学生的社会品质

在初中数学学习的过程中，激发学生学习的主动性可以培养学生良好的社会品质。努力培养学生良好的社会品质是教学义不容辞的责任。在学习中，突出学生主动性能力的培养，让学生成为学习的主体，自始自终充当主人的角色，他们把教学看作是自己的责任，在活动中，能够确立敢于负责的意识和精神。主动性的培养可以使学生在与教师、同学频繁的交往中学会与人相处的艺术，从而使自己具有一定的亲他性。学生在积极主动的学习过程中，既能够恰如其分地表现自己，又能使别人有表现的机会，共同的活动是人们交往的前提，学生在共同的活动中将学会如何与人相处、与人合作。

4、强化沟通的优势，有利于建立良好的师生关系

学生主动性的培养，是让学生成为学习的主角，我们知道，教师与学生之间彼此相倚，教师是教学活动的组织者、指导者，学生是自我发展的自主参与者，是积极的探索与创造者，师生之间是一种民主、平等、合作的交往关系。教师能够创造条件满足学生的参与愿望，学生就会有明显的向师性。他们高昂的参与热情会在一定程度上助长教师的教育热情，一种更加强烈的情感或许由此产生。在学习中培养学生的主动性，可以增强学生与教师的交流与合作，学生的人格价值也会得到体现。在与教师的交流过程中，也会感受到教师对教育工作的责任感，对学生无私的关爱，从而增强对教师的理解与尊重，教师的人格价值也会在学生心目中得到升华。

5、活跃的课堂气氛优势，有利于提高教学质量

在学习中，培养学生的学习主动性会形成多边的教学交流，这是课堂气氛活跃的前提。学生主动性的培养有利于学生的需要（即表现的需要、求知的需要、发展的需要）得到满足。通过参与，学生可以获得表现的机会，他们学习的积极性会被调动起来，课堂上洋溢着的不只是教师的热情。成功的体验更有助于学生求知欲望的产生。轻松、活跃的学习氛围，会让师生双方体会到教学是人生的一大乐事。学生在参与的过程中，将形成学习的自觉性、积极性，并不断反思学习方法，从而获得良好的学习效果。由此看来，教师应根据教学的实际特点，提出行之有效的策略，让学生在课堂上充分地发展，通过培养学生学习主动性实现教学过程整体的最优化，提高教学质量。

篇（2）

由于小学生的认知能力还不够，对事物的认识一般都是从感性到理性、从具体到抽象的过程，尤其是低年级学生的思维还处在具体形象的阶段，更加需要注重从实际引入概念。随着小学生年龄的不断增长，其知识面也在不断地扩大，所学会的概念也在逐渐增多，思维逐渐朝着抽象方向发展，但是这种抽象的思维也是建立在具体事物形象的基础之上的。所以，小学数学教师在引入数学概念时，就应该先从学生熟悉的事物出发。例如在讲解长方形之前，学生已经对直线、线段、角等概念有了初步的认识，教师就可以利用黑板、课桌、书本等实际的例子让学生观察，从而帮助学生抽象出长方形的具体特点。通过学生的总结能够得出，长方形有四条边，并且其对边相等，四个角都是直角，这样能够使学生更加直观地理解概念。

同时，教师在引入新概念时，也可以通过与其相关的旧概念引入，并通过对旧概念的引申和指导，使学生更加直观地理解新概念。例如教师在讲解分数乘法的概念时，就可以通过整数乘法的概念引入，先帮助学生复习整数乘法的概念，再逐步地深入分数乘法概念，这样不仅能够复习旧知识，也能够降低教学难度，帮助学生更好地理解概念。

二、形成概念，深化理解

学习数学概念最根本的目标就是为了揭示概念的内涵与外延的意义。针对一些描述性的概念，就需要了解概念的本质属性，从其内涵上深入；而针对定义性的概念，除了揭示其内涵以外，还需要讲清楚它的外延，这样才能够帮助学生更加深入地理解概念。首先，教师在概念教学当中应该突出概念的本质属性。由于数学概念都是从客观事实当中总结出来的，而客观事实都具有很多属性，其中就包括本质属性与非本质属性。其中，本质属性是指这一事物与其他事物相区别的特征，在教学当中教师只有抓住了最本质的属性和特征，才能够深化学生的理解。例如教师在讲解无限循环小数的概念时，就应该注意其两点本质：第一，这部分讲的是小数部分，和整数部分无关；第二，循环的一个或几个数字应该重复地出现，并且需要依次不断地出现。

其次，教师在讲解概念时需要进行比较。在数学当中有很多概念都是具有相互联系的，这些概念既有相同点，也有不同之处，教师在讲解时只有帮助学生理解了异同之处，才能够使学生更加明确这些概念。例如在帮助学生区分长方形和平行四边形时，就需要让学生了解长方形是特殊的平行四边形。通过这种对比的方法，就能够更加清晰地反映出两个概念之间的异同。

第三，教师在讲解概念时需要突出概念中的内涵与外延。如果在教师的教学过程当中不断地重复某一种例子或者图形，就很容易把学生的注意力引入到一些非本质的属性当中去，却忽视了对事物本质属性的认识。教师在讲解概念当中的内涵和外延时，就应该通过例题的变化来加深学生的理解。例如教师在讲解图形时，就可以把三角形、平行四边形、梯形等图形不断地变换，让学生在变换过程当中也能够认识图形，从而激发学生对数学学习的兴趣。

三、巩固概念，加深认识

教师在教学当中运用识记教学的过程就是对学生数学概念的巩固过程，也能够加深学生对数学概念的理解与运用。首先，教师应该更加深入、透彻地讲解概念，通过这种深入的理解，学生的记忆才会更加深刻，在今后的学习当中才能够更加灵活地运用。巩固学生的数学概念不能直接让学生死记硬背，而是应该在实际的应用当中深入，而在实际的计算、应用等问题当中，就需要使用大量的数学概念，通过实际的应用，不仅能够帮助学生巩固概念，也会更加深入地理解概念。因此，教师在讲解完新概念之后，就应该给学生设计一些练习题。

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一、建构主义的概念学习

建构主义的最早提出者是瑞士心理学家皮亚杰，他对于建构主义的基本观念是：儿童在和四周的环境相互影响时，慢慢获得有关大千世界的知识，这样自己的知识结构得到了发展.其中相互作用涉及三个基本过程：同化、顺应和平衡、个体将外部刺激所提供的信息整理到自己已有的认知结构的过程叫做同化.顺应指个体原有的认知结构受到外部刺激而发生变化的过程.平衡指个体通过自我调节使认知发展从一个平衡点到另一个较高平衡点变化的过程.他认为，人类智慧的实质，就是同化和顺应间的平衡过程，个体受到新的刺激时，就会用原有图示去同化.若成功，就会出现短时间的平衡；若不成功，个体就会调动以前的图式或新建一个图式，直到最后认知上达到新平衡.儿童的认知结构就是在“平衡――不平衡――新的平衡”的循环中不断地丰富、提高和发展的.建构主义教学论的本质：建立一类认知结构就是学习.建构主义对概念学习的积极方面：(1)数学概念是一个主动建构的过程，并不是客观实在被主体简单的、被动的反映；(2)在建构的过程中主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用，并处于不断的发展之中.

二、学生已有的经验

学生已有的经验来自学校学习和日常生活，它对新概念的学习有积极作用和消极作用.

1积极作用

因为数学知识之间本身是有连续性的，又根据皮亚杰的认知发展的理论，学生在学习数学概念时往往是从原有的认知结构来出发去理解和区分事物的各种联系及性质，若成功，就获得短暂的平衡；若不成功，学生就会建立新的认知结构或调节已有的认知结构，去顺应新概念，最终获得成功.因此学生要想牢固掌握所学新概念，就必须依靠原有认知结构中的有关知识和经验.理解概念本质的前提是丰富的经验，一名学生的认知结构越完善，表明他的生活经验就越丰富，这样获得概念的效果更好.因此学生在数学学习中，一定要学好前面的知识，否则就会影响后续的学习，因为学习者如果不具备与新概念有关的知识就很难全面认识和理解新知识，此时新旧知识又出现了断链，形成了不连通的网络，如果再继续下去，就会出现更大面积的破网，所以学习的基础很重要.

2消极作用

日常概念具有模糊性、广泛性和多义性，很容易导致学生错误理解数学概念，因为有些概念的日常用语的含义和数学的实质不一致，例如数学中的“或”“和”等概念，这样就会使得学生在掌握概念的过程中遇到困难，产生误解形成错误概念，而当学生建构了错误概念，就算学习了科学的概念，但是这种先入为主的观念依然存在于他们的潜意识里，美国著名的数学教育家戴维斯教授就曾说过这种错误观念的顽固性.另外，学生生活在客观世界中，在学校学习数学概念之前，就已经有一系列的概念和观念，但当时受到思维水平的限制，这些概念是片面的或是错误的，尽管如此，波利亚曾说明了过去的经验和知识才让我们产生好念头，因而这些前概念对学生概念的学习有很大的影响，有的概念已经在大脑里形成了一定的理论体系，即已经根深蒂固，这样它就会抵触与之相关的科学概念，就算接受了，也是一个错误概念和科学概念的混合体.例如，学生熟悉幂的运算律(ab)n=anbn，而出现了错误m2・n2=(m・n)2.又如，logaM+logaN=loga(M+N)，logaM・logaN=logaMN等.

三、学生思维定式

近年来，很多老师抱怨不少学生做概念的相关题目时“一望就会、一动就错”“眼高手低”等，这是因为学生在解题中出现了思维定式，即用原来的思维方式去学习新的概念，或者用原来的方法去理解新概念，这样就出现了一些惯性错误，这是因为已形成概念思维定式了.当概念的学习从一个层次转入另一个层次、从一个阶段转入另一个阶段时，通过表象网络等的作用，对应的思维表象、思维模式、知识网络便自觉地进行了加工，做了不恰当的推广，而很多同学则按照过去的思维，自认为是做了合理的推广，其实新的层次与原来的层次之间的差异被忽略了，因此学习的概念往往是错误的.通常概念的表象、定义及运用在各个阶段的转换过程中也会不自觉地进入思维定式而导致错误.同时随着认知层次的发展数学概念是不断改变的，这时就要求学生打破已形成的数学概念模式，去建立新概念，但是学生的思维还是陈旧的，当在新的领域里讨论问题时，思维还是不自觉地进入了限制的领域，而且同阶段的差异性之间也存在着矛盾，导致了学生学习概念的困难.例如函数概念的学习，在初中是描述的，是作为常量数学的函数，然而到了高中就可以用映射或者别的观点来描述，其核心是“对应关系”，因此，若初中过于强调这种描述性的定义，必然给高中函数的学习带来困难，因为学生的思维已经定式.

1学生概括的能力

心理学研究表明，学生形成和掌握概念的直接前提是抽象和概括.事实上，数学概念的抽象性具有层次性的特点，因此在学习数学概念的过程中，只有按照数学概念的结构层次，让概念的学习成为一个螺旋上升的过程，让抽象程度低的概念成为高层次概括活动的具体素材，伴随着不断提高的概括活动层次，学生掌握的概念的抽象程度也被提高了，并逐渐形成了良好的结构功能的概念体系.这样学生才会准确地掌握概念的本质属性，然而很多学生有较低的抽象概括能力，他们不能掌握事物的本质属性，因而影响了数学概念的理解和掌握.因为只有概括了的概念才方便记忆，也有利于迁移，李秉德先生曾经强调在数学教学中与其说为教迁移而不如说为教概括.如果概括能力差，信息就很快被遗忘或储存很乱，这样就影响了概念的同化和顺应，因此，数学教师要注意不断提高学生的概括水平，比如可以实施启发式教学，在教学中创设问题的情境，并且精心设计数学概念的形成过程，让学生亲自体会由具体到抽象概括事物本质属性的过程.例如函数的定义，课本是比较局限的定义F(x)是函数，而F(F(x))就不明白了，逐渐地深入，这样有利于提高学生对数学抽象的概括能力，这样就有利于学生学习数学概念.

2学生语言表达的能力

波利亚认为转化是最独特的一种智力活动.因此在数学概念的教学中必须重视确立和运用数学语言.教学实践表明，若一名学生能够把所学的数学概念的有关属性及它们之间的关系用自己的语言来表述，那么他就容易地把它们应用在新的情境，那样就能更好地学习数学概念.然而在实际的教学中，学生自我语言的形成被很多教师和学生都忽略了，他们往往认为数学概念追求的目标是形式化的语言，这样导致的结果是一方面学生学习的概念是通过不完善的自我语言来建构的，另一方面学生又要记老师教的形式化的语言，同时又隔离两者，片面理解了概念，这样就增加了解决问题的障碍与记忆的负担.著名科学家A.Einsetni曾指出一个人的智力及学习的方法很大程度上是取决于语言，这一精辟论述深刻地揭示了数学语言表达能力与概念学习的密切关系.因此，对概念的语言进行分解，能使学生掌握概念应用的操作程序，这样就能更深刻地理解和熟练地运用概念.

四、学生不好的学习方法和习惯

方法是成功的必要因素，科学的学习方法和良好的学习习惯可以在一定程度上弥补学生智力上的不足，而不少学生有不好的学习方法和习惯，少部分学生会去做笔记和整理错题，相当一部分学生的学习习惯不好，不会归纳总结方法，以及忽略不懂的概念.

1学习方法

每名同学有不同的学习方法，学习方法不好的同学开始学习成绩差，若不及时总结经验，改变学习方法，成绩只会越来越差.当与别人的差距到一定程度时，就很难赶上去，这时就会对学习失去兴趣，造成恶性循环，慢慢就对自己完全失去了信心.所以学生会不会学，有没有好的学习方法，会直接影响到数学概念的学习.很多学生上课不认真做笔记，而人的记忆只能停留几天，这样就会导致遗忘，学了等于白学.还有的学生不重视订正错误，对做错的题也不善于从中分析原因，而一个人的大脑里错误的观念是非常顽固的，这样的后果是之前做错，以后还会做错.当然，还有其他的不好的学习方法，例如，盲目地解题，不注重理解知识、领会方法，只会死记硬背概念的定义、公式.我认为在数学的学习包括数学概念的学习中，准备笔记本和错题本是很重要的，因为笔记本可以防止学生的遗忘，并且让学生把握重点知识，错题本可以起到帮学生避免负迁移，订正头脑里的错误的观念的作用.因此，做笔记和订正错误是个很重要的学习方法.而学生的学习方法是需要靠教师和父母来指导的，但是主要是老师，所以老师要加强学法指导.让学生珍惜和重视自己的学习过程，多尝试和训练领悟到的学习方法，让它们内化成自己的能力，提高自己学会学习的本领.而概念方面的错误常常是学生数学成绩差的主要根源之一.因为概念是学习数学知识的奠基石，基础打好了才能越爬越高.概念的学习也需要方法，有好的学习方法就能不断地学习到新知识，逐步使自己有更加好的成绩.

2学习习惯

我国著名教育家叶圣陶先生说过好的学习方法可以转化成好的学习习惯，所以我们要养成做笔记和改错题的好习惯.当然还有其他的很多的好的学习习惯，很多学生不善于总结知识，学习了很多知识，解完了很多题目，都不去总结、归类和推广，以后碰到类似的题目，还是不会做;还有的学生不重视学习，没有主动性和积极性，习惯放松，没有探索的精神.比如一些数学成绩差的同学，不能理解一些概念，与概念相关的题目也不会做，就自动放弃和忽略了，自己根本不愿意去花时间思考，也不去弄清楚搞明白.试想：若不经历一个思考的过程，不经过很多思维的碰撞与组合，怎么可能学好概念？很多学生在初中就养成了直接套用公式的学习模式，而进入高中就不同了，同样的问题，不同的思维角度，将直接影响解题的繁简程度.例如求二次函数的最值，看似它是一个纯代数的问题，但是用代数观点解非常麻烦，若对解析几何中的斜率和两点间的距离公式很熟悉就可以使问题变得非常简单.所以平时养成归类、总结和推广的好习惯，能轻松解题.另外，认真思考的学习习惯可以加深对概念的理解和记忆，从感性认识升华到理性认识，还可以防止死读书和读死书，在学习时都能批判地吸收以及激发灵感，解开困惑.而在实际的教学中，我们会注意到，很多同学急于求成和急功近利，学习概念时，没弄清概念的内涵和外延就被假象所蒙蔽，抽象、概括、判断和准确的逻辑推理未能采用多层次的分析，同时数学概念应用于问题解题后的整体思考、回顾和反思，包括都用到哪些概念、数学概念的应用是否正确、对问题的解决有什么独特之处、是否可找出另外的方案、能否推广和迁移等，都被忽视了，从而导致他们的兴趣和注意指向偏差，忽视了数学过程而偏重数学的结论，而且学生之间的交流就是比较分数，这样就很少有同学去深层次地讨论数学概念建构过程和对解题方法的影响.这样学生就不能完全理解概念，不能从本质上认识数学问题，正确的概念就没办法形成，深刻的结论也难以领会.

数学是玩概念的！数学思维的特点是用概念思维，是抽象思维；数学解题离不开概念，解题又有利于对数学概念的理解，相辅相成.让我们把数学概念的学习放在数学教学的首要位置.

【参考文献】

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一、生活中的距离

生活中人们对距离概念的理解通常是来自所看见两个物体的相对位置关系，也就是我们所说的远近程度。在物理学中，距离是由某些媒介，如人、动物和交通工具所经过的路线的长度，由起点到终点的向量则是位移。在数学中，距离是一种标量，不具有方向，仅含量，这种量不会是负数。同时，距离也是泛函分析中最基本的概念之一，它所定义的距离空间连接了拓扑空间与赋范线性空间等其他空间，是学习泛函分析首要接触的概念，也是定义在度量空间的一种函数。

下面我们主要从数学的角度来探究距离的概念。

对于一维、二维、三维空间中两点间的距离，我们都非常熟悉，以三维空间为例，在三维欧式空间中，设其中的两点分别为A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则两点间的距离为

AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2+（z1-z2）2。

这是对于我们现实生活中的距离，我们能借助勾股定理将两点间的距离刻划成线段来得到他们间的数量关系。同样，对于n维线性空间上的距离，我们通过代数形式的类比，得出A，B两点的距离表达式

AB=AB=OA-OB=∑ni=1xi-yi21/2。

从上述内容中可以看出，不论是R中的点还是Rn中的点，甚至任意集合中的点，只要在其中定义了距离，我们就可以用它来衡量两点的接近程度。众所周知，极限是分析数学学习的基础，而距离又是极限定义的基础，所以，下面我们首先来考察距离与极限的关系。

二、距离与极限的关系

首先我们给出数列极限的定义。

定义1：设为数列an，a为定数，如果对任给的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时有an-a<ε

则称数列an收敛于a，定数a称为数列an的极限，并记作

limn∞an=a，或anan∞

读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”。

从直观上看，如果将数列看成实数轴上的一列点，任意两点间的距离等于两点差的绝对值，当n越来越大时，an与a的差越来越小（足够小），也就是说an与a之间的距离越来越小。

由此可见，距离在极限的学习中起着至关重要的作用。

定义2：若fx在点x0的某领域内有定义，且limxx0fx=fx0，则称f在点x0连续，x0称为f的连续点。

用“ε-δ”语言即：若对任给的ε>0，存在δ>0，使得当x-x0<δ时有f（x）-f（x0）<ε， 则称函数f在点x0上连续。

由此可见，在数列和一元函数的极限中，距离都可以用两点间的差的绝对值表示出来，所以我们可以得出结论，极限和距离有着密切的关系，极限均可用距离来表示。一般n元函数极限的定义与一元函数的定义类似。

三、度量空间中的距离

定义3（度量空间定义）：设X是任意一个非空集合，x，y，z∈X，都有唯一确定的实数d（x，y）与之对应且满足

1.（非负性）dx，y≥0，d（x，y）=0x=y;

2.（三点不等式）d（x，y）≤d（x，z）+d（y，z）;

称dx，y是x，y之间距离，称X，d为度量空间（或距离空间）。

对于距离空间，我们举几个例子：

例1：对于点集Rn，对Rn中任意两点x=（ξ1，ξ2，…，ξn），y=（η1，η2，…，ηn），规定d（x，y）=（∑ni=1ξi-ηi2）12，可以验证，d（x，y） 满足距离的定义要求，故Rn，d成为一个距离空间，即我们熟知的n维欧氏空间。

例2：l2表示满足∑∞i=1xi2<+∞的实数列（即平方可和数列）xi的全体，在l2上定义：x=x1，…，xi，…∈l2，y=（y1，…，yi，…）∈l2，ρ（x，y）=∑∞i=1xi-yj212，可以验证，ρ（x，y） 满足距离的定义要求，从而（l2，ρ）为距离空间。此空间在处理无限维Hilbert空间理论时非常重要。

下面我们再给出几种不常见到，但又具有重要意义的特殊距离。

四、几个特殊距离定义

1、切比雪夫距离：数学上，切比雪夫距离（或是L∞度量是向量空间中的一种度量，二个点之间的距离定义为其各座标数值差的最大值。以x1，y1和x2，y2二点为例，其切比雪夫距离为max（x2-x1，y1-y2）。

若二个向量或二个点p 和 q，其坐标分别为pi及qi，则两者之间的切比雪夫距离定义如下：Dchebyshev（p，q）=maxi（pi-qi）

这也等于以下Lp度量的极值：limk∞（∑ni=1pi-qik）1k。

因此切比雪夫距离也称为L∞度量。

以数学的观点来看，切比雪夫距离是由一致范数（或称为上确界范数）所衍生的度量，也是超凸度量的一种。

2、伪双曲距离

在复平面单位圆盘中，定义ρ（z，w）=z-w1-zw，z，w∈DT∈B（H），记T=（TT）12，设A，B∈BH，φAB=A-BI-AB-1，令d（A，B）为A，B间的伪双曲距离。

3、Bergman距离：设z，w是Ω中的两点，Ω 中连接z，w的光滑曲线全体记为Q，即Q=γ：0，1Ω是光滑曲线：γ0=z，γ1=w，定义z，w的Bergman距离β（z，w）=infrB：r∈〗Q ，βz，w=12log1+ρ（z，w）1-ρ（z，w）。

伪双曲距离和Bergman距离在函数空间上算子理论研究中起着很重要的作用，在许多问题的讨论中需要借助于这两种距离的各种酉不变性质。

此篇文章，我们从生活中的距离，引出数学中的距离，分析抽象中的距离，这使我们愈加清楚了距离概念的重要性，也会对我们今后对数学的学习产生更加深刻的领会。（作者单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院）

参考文献：

[1]梅加强. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社.2010.

[2]郭大钧，陈玉妹，裘卓明.数学分析[M]. 山东：山东科学技术出版社.1982.

[3]刘玉琏，傅沛仁，林玎，苑德馨，刘宁.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社.2002.

[4]匡继昌.实分析与泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社.2003.

[5]A.H. 柯尔莫戈洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步[M]. 北京：高等教育出版社.2006.

[6]孙玉泉，张有光.序列极限的统一叙述[J]. 甘肃联合大学学报：自然科学版.2013，27（3）;88.

[7]夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌.实变函数论与泛函分析[M]. 北京：高等教育出版社.2010.

篇（5）

1.感知素材，形成清晰表象。

概念教学首先是引入概念，概念如何引入，将直接关系到学生对概念的理解和接受。在引入过程中，要注意使学生对所感知材料加以观察、分析或通过语言文字形象描述。建立表象的关键在于学生观察所提供的材料时，能否抓住事物的共性。例如，一位教师在教学“三角形的认识”时，准备了4厘米长的小棒3根，3厘米、2厘米、9厘米长的小棒各1根，先请学生用9厘米长的小棒去搭三角形，学生发现：随便配上哪两根小棒都不能搭成三角形，为什么呢？学生认为：这根小棒太长了，其余两根小棒太短了。“如果把它们换掉，能搭成吗？”学生积极尝试，结果搭成了各种三角形。孩子们兴趣盎然，积极主动地投入到操作活动中，在亲自操作中做出有序的观察，获取了有效的信息，初步感知了三角形的特征。教师为学生提供的学习材料，及时让学生领悟了数学的思想和观念，学会了用数学语言交流，培养了实事求是、严谨认真的科学态度，让学生在体验中感知，形成了清晰、准确的表象。

2.分析探究，建立概念模型。

教师除了提供丰富、准确的感性材料让学生形成鲜明的表象外，还必须在此基础上，引导学生分析和探究比较它们的属性，并及时抽象出共同的本质属性；引导学生主动参与概念从具体到抽象的概括过程，建立起数学概念的语言和形式上的模型。我在教学“分数的意义”一课时，为帮助学生建立分数的概念模型，安排了如下的活动。

师：把8支铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是多少？

生：4支。

师：把10支铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是多少？

生：5支。

师：把所有的铅笔平均分给2位同学，每位同学得到的铅笔数是多少？

生：。

师：如果把它平均分给5位同学呢？10位呢？50位呢？如果是100支铅笔呢？1000支铅笔呢？500本练习本呢？

这样做沟通了具体数量和抽象数量之间的联系，让学生深刻感知把一个整体平均分的含义，帮助学生有效地建立了分数的概念模型（把文具盒里的铅笔平均分给几位同学，每位同学得到的铅笔数就是几分之一）。这样学生就在老师有意识、有计划的指导下掌握了学习数学的方法，增强了学习能力。

3．错例比较，理解概念意义。

现代教学论主张“学生要想牢固地掌握数学，就必须用内心的创造与体验来学习数学”。因此，有效的数学学习在于让学生自己去发现，教师可以创设情境引导发现。我在学习完长方体的长、宽、高之后，设计了这样一个问题：利用小方块摆长方体，并说说是怎样想的。

生1：我是这样摆的（图1）。（绝大部分同学都是这样摆的）

生2（迟疑地）：我这个长方体（图2）好像和别人不一样。

师提问：你更倾向于哪种观点，是不是长方体？（学生纷纷举手表决回答）

生3：它是不完整的，没有6个面、12条棱和8个顶点，不是长方体。

生4：我们组在摆的时候是紧扣长、宽、高来的，我们觉得只要摆出相交于同一顶点的三条棱的长度，就能确定这个这个长方体的大小了。

生5：我反对，他们讲的不是长方体，性质已经变了。

生6：我们知道它虽然不完整，但根据长、宽、高是完全可以想象出来的啊！

生7：……

对于学生在课堂上出现的错误或是认知矛盾，我没有急于解释、下定论，而是把错误抛给学生，把错误作为一种教育资源，引导他们从正反两面去修正错误，给他们一些研究争论的时间和空间。对于片段中的问题争论的结果已显得不那么重要了，学生在争论中分析、反驳，在争论中明理，在争论中内化知识，从而形成学习智慧。这样的课堂呈现出“万紫千红春满园”的景色，学生在情境中生动地实践、体验、探究，尽可能地去重新经历知识的形成过程，在这个过程中体验和领悟、探究和发现、把握和发展。这一富有创造性的设计促使学生获得成功体验，丰富了审美情感，使学生感受到智慧的力量，增强了学生的自豪感与自信心。

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一、创设情境来激发学生学习的兴趣

很多小学生之所以不喜欢数学，可以从主观以及客观两个角度来进行分析。第一就是因为很多学生因为年龄较小所以其注意力较差，并且没有持久性，这样课堂教学就会很难达到其预设的目标。客观原因就是因为数学知识较为抽象并且很多抽象知识都是十分枯燥的，所以很多学生对于数学知识难以激起兴趣。所以就可以利用信息科学技术来把数学知识变得生动有趣，从而实现小学数学教育中趣味性以及知识性的结合。比如说在多位数的写法这一节数学课中，传统的教学方式去教导怎样去写多位数，这种讲课方式很容易导致学生转移注意力，在课后只能通过死记硬背的方式来加强记忆。但是在引入了信息技术之后，就可以利用多媒体技术来播放视频，在视频中插入多位数来进行播放，比如说中国的国土面积有960万平方公里，有13亿人民，在播放视频之后老师可以提问哪个学生可以写出视频中提及的数字，然后再对如何进行多位数的书写进行教学，不仅可以进行数学知识的传达，还可以激起学生热爱祖国的热情。

对于信息技术在小学数学中的引入，还可以通过图像文字声音以及动画等结合来调节课堂气氛，同时激发学生们学习的兴趣，比如说在对三角形的面积这一节课程进行教学，可以充分的利用多媒体技术中的色彩以及动画来对三角形进行旋转展示，通过三角形在动画中的平移以及不同组合可以形成不同的形状，这种动静结合的方式可以让学生更好的理解三角形的特点以及性质，不仅有利于学生去观察和思考三角形，还可以活跃课堂气氛，激发学生的求知欲和积极性。

二、呈现数学过程来突出教学中的重点与难点

针对小学数学中的概念教学，让学生知其然是不足够的，最重要的就是让学生知其所以然，这样才可以让学生去理解数学知识。比如说在对圆柱体的表面积进行教学中，就可以利用信息技术来演示，在动画中切割圆柱体，让学生更为直观的了解圆柱体的构成，以及其面积的计算应该怎样来进行。通过动画的演绎学生可以得知圆柱体的表面积就是顶部与底部的两个圆形以及中间的矩形，然后再通过慢动作的回放去展示矩形面积怎样来计算。这种动画的展示再结合现场的操作可以让复杂的问题简单化，同时加深学生对于知识点的记忆。

信息技术在小学数学中的应用与实验展示比起来具备很多优势，尽管实验展示具备更为直观以及趣味性等特点，但是信息技术中的多媒体技术等可以具备跨时空等特点，比如说在上文中的圆柱体面积计算中，多媒体技术的展示可以去展示多个物体的运动，然后展示圆柱体的形成以及分裂，同时还可以通过对不同区域进行变色来让学生更为了解。当然，在教学中通过信息技术与实验的结合可以取得更好的效果，信息技术的引用并不意味着传统教学手段的抛弃，而是两者进行有效的结合。

三、动静结合

在小学数学教学中利用信息技术来进行抽象和具象的转化、动静结合等可以让学生更为直观的感知抽象知识点。比如说在小学数学阶段中对于平行四边形的特点以及面积的计算。因为平行四边形本身的重要性以及推算的难度等，是需要对此来进行设计以突破难点的。比如说利用信息技术来设计出平行四边形，然后在四边形中标记处高，然后利用动画技术来移动高的位置，可以将平行四边形分成一个三角形以及一个梯形，然后可以移动三角形的位置到梯形的另一侧，这时学生就会发现其实平行四边形就是矩形的变形而得来的，这样就可以让学生得知平行四边形与矩形之间的关系，然后引导学生去思考这两者之间在面积上的关系。学生通过观察以及思考等就可以得知平行四边形以及长方形之间的长是相等的，宽就是平行四边形的高，这样两者之间的面积其实是相等的。这样设计就可以充分的发挥出信息技术的优势。

四、辨析概念

数学概念就是在小学阶段让学生更为掌握数学知识以及提高其实际解决能力的基础，但是因为很多数学概念都是非常抽象的，所以就会导致学生非常难以理解。比如说笔者在批阅试卷的时候会发现，很多学生都会把图形的面积与周长之间的区别搞混，这是因为很多学生在对面积以及周长进行概念确定的时候都是通过死记硬背的方式来进行的，并不是在深入理解之后进行的定义。这样就可以使用信息技术来加强理解，比如说可以使用闪烁效果来突出周长，通过颜色区别面积，这样学生就会理解周长是闪烁的部分，而面积是变色的部分，这样学生就会更为了解面积与周长之间的关系，通过概念的明确来从感性认识来上升到理性认识。

结语

根据上文的论述就可以看出把小学数学阶段的概念学习与信息技术结合起来是很有意义的，因为既可以帮助学生提高学习兴趣还可以充分的调动其积极性，并且可以活跃课堂气氛，来突出学习重点和难点。通过动静结合来进行学习，发掘出学生学习的潜力，拓宽其思维，起到优化课堂教学效果的作用，让学生可以更为轻松的学习数学概念。

【参考资料】

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1.运用填空法，培养概括的扼要性

有些概念单纯用语言表达，语言元素较多，句子较长，对小学生来说，领会和运用起来不太便利。教学时，我们可以只要求学生理解，学会用语言完整表达，教者可以抓住要害，设计填空练习，让学生突出地填写部分关键性词语，明白概念中的核心成分。

例如，教学乘法分配律时，可设计成填空的形式：“两个数的和与一个数相乘，可以先把两个加数（ ）相乘，再把两个积（ ），这就叫做乘法分配律。”学生在真正弄懂了意思的基础上，填成两个加数“各自与这个乘数相乘”也好，“分别（单独）乘这（一）个数”也好，都是不用计较的，不必强求一字不差的所谓“规范”表达。这样做，既减少了冗长的叙述，降低学生概括表达的难度，又突出其中运算方法和顺序变化这一核心内涵。教者设计的填空练习法，有利于引导学生对数学概念、规律和原理的快速理解，促进其概括能力的形成。

2.运用选词法，培养概括的准确性

语言是思维的外壳。要正确领会数学概念，叙述的语言就必须准确。在引导学生学习数学概念时，教者要十分注重引导学生像学习语文那样善于“咬文嚼字”“推敲词句”。数学教师可以通过组织对相近词多重选用的方法，来训练学生把握数学概念、法则等结语的真切含义。选词中不讲百里挑一，起码也得几者挑一，求得准确用词，培养学生概括思维的准确性。

例如，教学三角形概念，引导学生尝试揭示概念本质时，可这样板书：由三条线段（ ）成的图形，叫做三角形。让学生七嘴八舌地分别提出“组”“围”“拼”“连”等几个词，然后再让大家说说各自的理解，从中确认、选填一个合适的词。这样做，就能把三条线段的分离状态、折线状态、花束状态、不等号形的交叉状态与首尾依次相连的封闭状态相区别。这样既能准确概括，又能帮助学生学会运用概括思维中的比较、推敲，养成用词审慎，务求形象与抽象相统一的确切思考表达。

3.运用比较法，培养概括的严密性

概念的限定是很严密的，稍有疏漏，就可能偏离本来的概念而成为另一个概念。比如，正方形与长方形、平行四边形，正方体与立方体，等腰梯形与直角梯形等等。为了培养学生概括的严密性，可以把两个或几个相似的概念放在一起，引导学生填空或选词，作比较理解，加强认识。这种比较有利于学生同时掌握多个概念。

其实，选词法本质上也是比较，只不过不是比较不同的概念，而是比较提供给同一概念的不同词语。如，教学小数的性质，教师引导学生概括概念时，可以出示类似语文、美术教学的留空（布白）式板书：小数的（ ）添上或去掉“0”，小数的大小不变。让学生各自从“后面”“末尾”“中间”和“最后”等几个词中选填一个，这就是在词语的比较中使学生正确地概括和理解小数性质精确的意义，体会可以变动的“0”的确定位置，明确地否定与“末尾”相近的其他表达的具体形态，在思想上划清界限，提高概括思维的清晰程度，加强思维的严密性。

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一、 认知主义学习观与教学观

对传统的中学数学概念教学的反思数学概念的教学是数学教学中非常重要的一个环节。数学概念相对比较抽象，难以把握，教材中一般只给出数学概念的定义，省略了形成过程，给学生学习造成了一定困难，Ⅲ所以教师的教学观念和方法就显得特别重要。当前一大部分中学数学教师存在这样的传统教学观念：（1）把知识看成是定论，重结果轻过程；（2）把学习看成是知识从外到内的输入，重灌输轻引导；（3）低估了学习者的认知能力、知识经验及其差异性，重“教”轻“学”；（4）在教学中表现出了过于简单化的倾向。

（一） 认知主义的数学学习观与教学观

用认知主义学习理论指导数学教学就形成了认知主义的数学学习观和数学教学观。

（二） 认知主义的数学学习观

数学学习观是指对数学学习本质的认识，认知主义认为：数学学习是一个主

动的、积累的、建构的、诊断的、情境化的具有目标导向的过程（Shuell，1988）。

数学学习不会自动地产生，而需要学生进行大量的、高密度的心理活动。这些活

动涉及学习者对已获得知识进行意义归属；将新知识整合到已有的知识结构中或

智力模型中。此外意义学习是有目标导向的。

二、 高中数学教学概念的特征

数学概念具有很多其他学科概念不具备的特性，数学概念作为一种思维形式，反映着事物内部的本质特质，其具有双重性与抽象性的特征.在使用符号化与形式化的数学语言后，数学概念也更加抽象，高度抽象的概念都是在具体模型之上

建立的.数学概念的描述有必要借助符号化的语言，很多意思不能用汉字直观的表示出来，因此，强调符号的作用，可以将抽象化的数学概念形式化.数学概念也具有很强的系统性，概念之间的联系也较为广泛直接，学生可以在学习小概念的基础上，逐步扩充知识面，对整个知识体系有一个系统的了解.数学概念是在不断更新与发展的，因此，在高中数学的教学过程中，有必要提高概念教学的重视度，让学生对高中数学概念有个较为系统且深刻的掌握，为今后数学学习奠定基础。

概念，是人们对事物本质的认识，是逻辑思维的最基本单元和形式u J.概念是人们用于认识和掌握自然现象之网的纽结，是认识过程中的阶段.思维要正确地反映客观现实的辩证运动，概念就必须是辩证的，是主观性与客观性、特殊性与普遍性、抽象性与具体性的辩证统一.概念还必须是灵活的、往返流动的和相互转化的，是富有具体内容的、有不同规定的、多样性的统一心1.人类对真理的认识，是在一系列概念的形成中，在概念的不断更替和运动中，在一个概念向另一个概念的转化中实现的.恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系.”而数学的定理、法则、运算的逻辑基础就是数学概念，它是解决数学问题的基础和重要工具，同时，高中的概念明显比初中的增加很多，因此，强化概念教学是建立理论体系的中心环节和解决问题的前提，高中数学教师为了提高教学效果，对其必须予以重视.下面谈一些数学概念教学中应注意的问题。

三、在体验数学概念产生的过程中认识概念

数学概念的引入，应从实际出发，创设情景，提出问题：通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性。如在“异

面直线”概念的教学中，教师应先展示概念产生的背景，如在长方体模型中，当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线，接着提出“什么是异面直线”的问题，让学生相互讨论，尝试叙述，

经过反复修改补充后，给出简明、准确、严谨的定义：“我们把不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线”。在此基础上，再让学生找出教室或长方体中的异面直线，最后以平面作衬托画出异面直线的图形。学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识，同时也经历了概念发生发展过程的体验。

四、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念

新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。由止己慨念衍生出：（1）三角函数值在各个象限的符号；（2）三角函致线；（3）同角三角函数的基本关系式；（4）三角函数的凼象与性质；（5）三角函数的诱导公式等二可见，三角凼数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。

结语

概念教学是数学教学的重要组成部分，为提高高中数学概念教学的深度与广度，提高学生对概念学习的重视度，本文从概念教学的路径进行分析，提出了三种概念教学的方式，从概念的实际教学意义出发，希望能通过概念教学，提高学生学习数学的兴趣度，提升高中数学教学的整体质量与水平.，在概念教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材。对教材中干扰概念教学的例子要更换，对脱离学生实际的概念运用问题要大胆删去，优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和本质的目的。

参考文献：

[1] 杨帆 高中数学概念教学应注意的几个问题[期刊论文]-辽宁师专学报（自然科学版）2009，11（3）.

[2] 王世明 高中数学概念教学[期刊论文]-读写算：教育教学研究2011（41）.

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近年来，随着教学改革的不断深入，不断挖掘学生潜能，培养综合能力成为教学的主要目标。然而，目前高中数学课堂教学中，仍然以传统的教学模式为主，尤其是在概念教学过程中，大部分教师只重视概念结论而忽略教学本身，这种教学理念和方式一定程度上限制了对学生自主学习的培养[1]。因此，如何激发学生的学习兴趣，表现学生的主体地位，是高中数学教师在数学教学过程中亟待解决的问题。

1 数学概念和探究式学习的特点

1.1 探究式学习

探究式学习主要是指从现实生活或学科领域中进行主题的选择和确立，在教学过程中，通过创建教学情境，让学生通过实验、调查、操作等，探索问题，发现问题，并进行交流和表达，使其在探索过程中学习知识、获得能力，表达情感和态度[2]。总之，探究式学习具有自主、开放、合作、过程等特点。

1.2 数学概念

数学概念是培养学生学习数学基础知识和技能的核心，具有体验过程的直观性、定义过程的严谨性等特点，使学生在数学学习过程中充分了解相关数学概念和实际应用，并将其延续到后期的学习过程中。高中数学教育的课程目标主要是让学生理解数学概念，掌握其发生的背景和具体应用，在不同形式的探究活动、自主学习中发现和体验数学概念得到的过程。

2 探究式高中数学概念教学的过程

探究式数学概念教学的主要流程包括：情景模式的设置，数学概念的探索，讨论探究，概念的建立，迁移应用，对概念进行拓展，交流分析，对过程的反思。在探究式教学过程中需注重对教学情境的设置，强调学生的自主学习，鼓励学生进行互相合作和学习，以激励为主，对学生的探究学习结果进行合理评价。在高中数学教学中，利用探究式教学方法对提高学生的数学学习能力具有重要意义，使学生的主动参与意识和自身的综合素质均得到一定的提高。此外，在教学过程中，还要求老师统筹组织能力以及扎实的教学基本功，积极投身到探究式教学方法的创新过程中，致力于形成和谐的师生关系[3]。

3 探究式学习在高中数学概念教学中的具体应用

本文以人教版高一数学第二章《函数》的教学为例，通过问题式引导的探究式概念教学方式，对函数的概念进行感知、分析、概括、建立联系以及总结的过程，并对“函数”概念式教学的体会进行简要的阐述。

3.1 对概念的产生进行探究和感知

数学概念的形成具有过程性。对一个数学概念进行课堂教学时，应当从具体到抽象，对概念进行循序渐进地讲解。首先，可以为学生提供丰富的感知材料，或者从数学概念在实际生产发展和解决实际问题中出发，列举应用数学概念的具体生活实例，以数学研究中出现的问题和矛盾为出发点，设立教学情境并提出渐进性问题。在学生对具体材料进行感知、观察、实验操作等步骤时，可以对数学概念具有一个感知印象。例如，在“函数”概念的引入过程中，教师可以对学生已有的相关数学知识结构进行激活，帮助学生对旧知识进行回顾，并进行相关回顾性学习，使学生构建出和函数相关知识结构的整体，设置的教学问题可以是：

问题1：同学们回忆一下在初中学习过程中有没有学习过函数模型，有哪些？大家怎么理解函数的定义呢？

问题2：想想自己的日常生活中有什么是和函数息息相关的，列出几个相关的函数例子来，大家以小组讨论的形式探讨下各种函数模型之间具有的关系是什么？（让学生互相交流观点，合作思考）。

问题3：对下面几个案例进行观察，可以用已经掌握的函数定义对变量间的函数关系进行构建。是不是能用解析式对其进行分析呢？

例①：在某次数学考试过程中，某班学号1-5的同学分数分别为90、92、92、89、96。

例②：一枚子弹发射后，经过5s时间集中目标靶，子弹的射程为182米，子弹射出的距离m随时间t的变化规律是：s=25t-3t2。

例③：大气臭氧层近几年的变化情况如图1。

3.2 体验概念的形成过程

让学生对数学概念进行概括是体验式数学概念教学的重要组成步骤，让学生在对具体材料事物感知的基础上，对材料进行进一步的比较、分析、归纳、概括，并逐步完成对概念的形成。老师在教学过程中，可以通过问题式引导学生对函数属性进行概括，帮助学生对函数概念的逐步认识。

3.3 描述并明确概念

数学概念通常是由简洁、严谨的文字或符号描述，一字之差可能会变成截然不同的概念。因此，在描述和明确函数概念时要培养学生良好的数学阅读习惯和严谨的思维。对函数公式y=f（x）结构形式属性进行分析时，教师可以对公式中的关键词、符号的意义、定义域等对学生进行提问。

3.4 函数概念的应用

明确函数概念后，应对概念中图形、语言、符号等不同表示之间的联系进行探究，才能让学生透彻认识到函数的整体性。如函数概念形成后探究下列问题：

问题1：值域、定义域、对应关系三者之间有什么联系？

问题2：初中和高中所学的函数定义的相同点和不同点是什么？他们之间有什么联系？

4 结语

总之，在高中数学概念教学中应用探究式学习方法，可以较好地培养学生对数学学习的兴趣。在高中数学教学过程中，加强学生对数学概念形成过程的探索，有助于激发学生对新知识的探求欲望，培养其不断提出新问题，解决新问题的热情。使学生在学习高中数学时，从被动接受转变为自动探索，促进学生数学成绩以及综合素质的提高。

参考文献

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1.有关“数”的概念教学内容分析

“数”主要包括数的意义和数的运算[2]。数的概念主要包括整数、小数、分数、百分数、负数等。引入概念是概念教学的第一步，教师应从小学生看得见、摸得着的生活实际入手，合理运用实物、图表等直观教具，采取小学生动手操作等方法，帮助学生获得正确、完整、丰富的直观表象，把抽象的数学知识与学生日常生活中熟悉的、具体的事物联系起来，既易于学生理解，又能激发学生的思维能力和求知欲望。比如，“分数的初步认识”的教学，为了说明是“谁”的几分之几，教师可用不同形状和大小的图形作为教具，把它们分别折出二分之一，既让学生明白什么是二分之一，又知道虽然都是二分之一，却表示不同的大小。为此，教师一定要重点说明是“谁”的二分之一。

教师在数学概念的引入中，必须注重旧知识的铺垫。任何一个数学概念都不是突然出现的，它是从以往概念中逐渐演变而来的。旧概念是新概念的基础和推理依据，新概念是旧概念的深化和延伸。比如，教师可以从整除的概念引出约数和倍数的概念，继而导出公约数及最大公约数的概念等。

2.有关“代数”的概念教学内容分析

代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法[3]。代数早在古代就已经发明了，当算术需要解决大量的各种数量关系问题时，寻求一种更加实用、普遍的方法就成为一条重要途径，通过不懈的追寻和努力，以解方程原理为中心问题的初等代数就应运而生。“数与代数”不仅是小学数学教材的重要内容，而且贯穿于整个数学教学的全过程，是学好数学的基础性工程。“数与代数”通常包含：数与代数的基本概念、数的运算法则、以字母表示数、代数式及其运算、方程和函数等。小学数学教材中，将“式与方程”安排在第二学段，其目的就是要使学生更早地领会字母表示数的意义，并在实际应用中了解等量关系并能用字母来表示这种关系。随着小学生逐步进入更高的年级，其思维水平和理解能力均有不同程度的提高，从以往具体形象思维阶段逐步向抽象逻辑思维阶段发展，对代数知识的认识也会上升到新的高度，同时渗透一定的函数思想，为以后中学数学学习奠定基础。

对于小学生来说，方程一般会透着几分神秘的色彩。因此，小学代数教学必须从最基本的概念入手，再通过简易方程概念的讲解，使小学生明白数学问题也可以通过代数方法来解决[4]。小学阶段一般用算术方法来解决数学计算问题，按照加减乘除四则运算规则，通过数量关系来列出算式。算术方法的基本特征是通过已知数按照一定的数量关系列出算式，经加减乘除运算求出要求的数量。比如：小丽的哥哥和姐姐分别送她几本书，其中哥哥送了她5本，她现在一共有13本书，那么姐姐送她几本呢？如果用算术方法来计算，则可以列出算式：13-5= 。如果用方程来解决，则要设字母X 为姐姐送的书数，通过数量关系可以列出方程：X+5=13。可以看出，算术方法与方程解决问题的思路有区别，算术方法是已知总数和一部分来求另一部分，而方程是用部分加部分等于总体的思路列出等式，将未知数与已知数一起运算来求出X的值。如果要解决的问题较为复杂，那么用方程列等式求解的优势将更为明显。方程的主要特征就是将未知数和已知数同等看待，将未知数用字母表示，这就是代数思维，其与算术思维有着本质区别。

二、 “图形与几何”中概念教学内容的分析

1.有关“平面图形”的概念教学内容分析

在小学数学中，平面图形的概念多数是通过抽象概括而形成的，主要涉及现实生活中的物体形状、大小、位置关系等。由于平面图形概念本身具有复杂性和抽象性等特点，加之小学生接受和理解能力所限，导致学习过程中会存在一定的困难。普遍来看，目前在平面图形概念教学中，通常会存在讲解概念机械照搬、揭示概念内涵不深、分析概念应用不直观等问题，导致学生理解掌握概念比较吃力，灵活应用的差距就更大。因此，在实际教学中，教师应该根据概念本身的特点和学生的认知特点，备课时对课程进行精心设计，上课时对学生进行科学引导。

在平面图形概念的教学中，教师可以提供一些直观教具，使学生更容易理解概念的本质。比如“认识长方形和正方形”中，教师可以以现实生活中的长方形物品做示范，让学生直观感知长方形的特征。到学生动手体验环节时，让学生自己动手做一个长方形，教师可以让学生借助自己做的长方形来观察长方形有四条边、四个角、四个顶点，进一步增强学生感知的效果，使学生能够建立正确的空间观念。当然，在平面几何概念教学时，不应孤立地来教概念，而应将新旧知识联系起来，将课堂知识和实际生活联系起来，通过这种联系的教学思路，引领学生以联系的观点来分析概念、掌握知识、解决问题。

2.有关“立体图形”的概念教学内容分析

小学数学是一门系统性强、枯燥、抽象的学科，尤其是小学所学的立体图形的体积和表面积。由平面图形到立体图形，是小学生空间观念发展中的一次飞跃。但小学生的思维正处在从形象思维向逻辑思维过渡的阶段，他们接纳、理解抽象数学知识的能力有限。因此，立体图形的教学应在平面图形教学的基础上进行拓展，使学生更容易接受。在“长方体和正方体的认识”教学中，在引导学生掌握长方体的基本特征之后，教师可以组织学生进行讨论：长方体相对面为什么相等、相对的棱为什么相等？让学生通过对教具摸一摸、比一比等方式来理解长方体的基本特征。既让学生知道长方体的基本特征，又掌握了相对面的面积为什么相等、相对的棱长度相等等知识。通过这种实践性教学，可以使学生很好地把握“认识”这一关键词的内涵。

在立体图形概念教学过程中，教师应充分利用积木等教具，指导学生先从外在形象上认识事物，在头脑中形成一定的表象，再在此基础上进行概括。有条件的学校，还可以利用多媒体手段来演示，使教学更生动、更直观。比如，让学生拼搭四个正方体积木，看他们能拼出多少种不同的立方体，并从不同的方向和角度观察，探讨各种立方体之间的不同特点，培养学生的空间思维能力和概括能力。教师在组织学生进行实际操作时，要重点处理好两个方面的关系：一是“扶”与“放”。既要“扶”，也就是对学生的操作进行必要的指导，又要“放”，即为学生留出一定的探索时间和空间。能让学生自己操作的就不演示、能让学生自己完成的就不干预、能让学生自己归纳的就不讲解。二是“动”与“静”。所谓“动”，就是操作活动的过程。既要让学生明白要做些什么、怎样做，又要让学生知道想些什么、如何想。所谓“静”，就是活动后的总结归纳过程。通过组织学生进行交流讨论，引导学生把对立体图形的感性认识上升到理性认识。更为重要的是，在“立体图形”的概念教学中，教师给学生的不仅仅是得出教学结论，还有研究学习的方法。

三、 “概率与统计”中概念教学内容的分析

数学课程改革，将概率与统计纳入小学数学教材，并作为一个单独的领域来设置，这一举措在某种程度上具有里程碑意义。因为通过“概率与统计”教学，使小学生能初步了解统计与概率的基本思想和方法，并逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度。同时，“概率与统计”教学还让学生知道了随机现象的概念，这对他们建立科学的世界观和方法论有直接影响[5]。小学阶段学习统计的主要内容是画统计图、求平均数。要认识某个随机现象，就可以用到统计的知识。比如，某地区20年来的10月9日的天气记录里有15次是秋高气爽，那么可以通过这一统计结果推测下一年10月9日是晴天的概率有多少。因为前20年10月9日这一天晴天的概率为75%，所以下一年同一天出现晴天的概率大约是75%。由此可见，通过合适的方法收集数据，并从统计学的角度进行分析处理，就可以从看似随机的现象中找到某些规律性的东西。

在小学数学教材中，一般都是将“统计与概率”这两部分内容融合在一起，主要有如下基本功能：一是知道数据在描述、分析、预测和解决日常生活中某些现象与问题的作用及价值；二是学会简单的数据收集、分析、处理的基本方法，并提高利用数据的基本能力；三是会制作简单的统计图表，解读一些随机现象并预测其可能性。比如，100粒种子大约有80粒种子发芽，那么种子的发芽率大约为80%；某产品平均每千件中大约有20件废品，则可以说该产品废品率为2%。由于统计与概率的概念对于小学生来说还有些艰涩，因此在概念教学中应少用些专业术语，而经常用可能性来代替概率这个概念。比如，让学生做20次抛掷硬币的试验，看看正面出现的可能性是多少，再引出概率的概念，如此更能让学生易于接受和理解。

概念的应用是概念学习的最高层次，可以帮助学生在解决一些情境复杂的问题时，使已知概念在头脑中相互作用、融会贯通，反过来又巩固、完善和拓展概念[6]。在学习“统计与概率”的过程中，教师应注重提高学生的能力。比如：组织交流、探讨活动，让学生自己选题，如“同学们每天几点钟睡觉的”，“每天都有多少同学上课发言的”，“同学们喜欢看哪类动画片”，“同学们喜欢什么运动”，“我们最喜爱的课程”，“我们最喜爱的游戏”……之后让学生按选择的题目进行分组，并调查收集相关数据，再用表格归纳整理，制成多种统计图。例如，根据统计图来看，如果喜欢某种运动的同学最多，那么可以根据这个统计结果，组织一次运动比赛，让大家切身体会统计工作的作用，从而加深对这一概念的认识。他们还可以把这些图表制成墙报、手抄报等，使同学们更有成就感。由此可见，“统计与概率”不仅是数学知识，还可以帮助学生提高运用统计和概率进行估算的能力。

综上所述，促进小学生对数学概念的认识和掌握，是小学数学概念教学的根本目的和主要追求。鉴于小学生的整体认知水平和接受能力有限，小学数学教师必须根据小学生的特点和数学概念本身的特点，以科学的、发展的、联系的观点来精心备课和组织教学。要通过多种直观、科学的方法，将教材中的数学概念转化为小学生易于接受的模式，帮助学生在观察、体验、实践和思考中直观了解、深入剖析概念的本质属性，以达到到良好的教学效果。

参考文献

[1] 高俊生.小学数学教师“图形与几何”领域疑难问题分析[D].长春：东北师范大学，2012.

[2] 钟鼎恒.小学数学教材“统计与概率”比较研究[D].武汉：华中师范大学，2013.

[3] 闫炳霞.小学数学“统计与概率”教学中的问题研究[D].重庆：西南大学，2007.