高中数学片段教学设计汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇高中数学片段教学设计范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

微课（micro leaming reSource），是指运用信息技术按照认知规律，呈现碎片化学习内容、过程及扩展素材的结构化数字资源。“微课”的核心组成内容是课堂教学视频（课例片段），同时还包含与该教学主题相关的教学设计、素材课件、教学反思、练习测试及学生反馈、教师点评等辅教学资源，它们以一定的组织关系和呈现方式共同“营造”了一个半结构化、主题式的资源单元应用“小环境”。因此，“微课”既有别于传统单一资源类型的教学课例、教学课件、教学设计、教学反思等教学资源，又是在其基础上继承和发展起来的一种新型教学资源。

一、高中数学微课教学的特点

高中数学与其他的科目相比较，学科的知识体系较为完整，系统性比较强。要求学生在学习数学的过程中必须具备较好的抽象思维能力和数理推理能力。微课可以将有效的教学资源加以整合和运用。能够最大程度的将较为枯燥乏味、平面的课堂转化为形象生动的立体课堂。综合高中生数学微课的特点，主要体现在实效性、针对性、广泛性等方面。

（一）实效性

微课教学不同于课堂教学，也不是视频课的缩减版。微课是以某种题型、模型、方法、知识点、方法等为主题展开教学的，教学的主要资源除了有效的文本资源外，还包括现代多媒体技术，集合网络、视频、动画制作等多种手段对课堂进行全方位包装。高中数学采用微课教学可以有效的弥补课堂教学的不足。高中数学涉及集合、三角函数、不等式、数列、空间几何、复数、排列组合、平面几何等知识点。每一知识板块都有诸多的知识单元需要学生认真的学习和掌握。绝大部分的学生由于时间和精力的原因，在对每个知识单元理解的过程中难免有所偏差。高中数学实行微课教学后，教师可以将易错易混、重点难点、典型例题、基本的思维方法等板块作为主题，分层、逐点的加以剖析和讲解。

微课可以优化教师和学生的时间，教师在录制视频的过程中，时间、主题、方式方法、类型等要素可以自主的选择和安排。学生在听课的过程中也是如此，可以自由选择所要学习的内容，可以自主的选择自己所喜欢的老师和授课方式。听课的地点也是可以灵活选择的，既可以是在家，也可以通过手机或平台电脑在学校或是其他场所。

（二）针对性

微课的针对性相对较强。就内容而言，教师可以根据学情有针对性的选择上课的主题。可以根据学生所处的年龄段、学习层次、学习能力、学习进度，灵活的选择和挑选授课的内容。微课上课的时间通常为5～15分钟。采取板块化、c对点的授课模式，可以有效的解决学生的困惑，激发学生学习数学的信心和情趣。就授课形式而言，微课可以针对不同的授课群体选择不同的授课方式。视频的制作既可以采用大众的普世的方式，也可以以个性化的方式进行。在教学设计、课件制作、教学反思方面，教师可以以模块化、知识单元等方式展开设计与制作。

（三）广泛性

微课的受众面比常态课的受众面要广的多。微课通常是以视频的方式呈现的，当视频与网络相结合，大大提高了微课的效率。当教师将视频录制好后，通过反反复复的核对、修改尽量做到尽善尽美。然后将视频通过校讯通、校园网、微课备课网、微信、QQ等平台加以，让学生根据自己的需求和情趣选择相应的内容加以学习。学习的对象既可以是本学校的学生，也可以是外校的学生。从视频包涵的内容来看，既有知识板块、模型、方法、习题、考点等内容，也有态度情感价值观方面的内容。从视频的呈现方式来看，既可以以时间为模块展开录制、也可以以授课的主题为单位展开录制。既可以以平面的形式呈现，也可以以动态的立体的方式呈现。

二、高中数学微课效果述评

篇（2）

伴随着近几年互联网的飞速发展，网络已经与我们的学习与生活密不可分了，介于此，学生的思维越发活跃，传统的教学方式已然不能完全满足学习者的需求。社会各界教育人士在新课改的影响下，为了顺应当下的时代背景马不停蹄地在互联网中寻找教育突破口，教育者们对于教育信息化的迫切需求使得微课应运而生。如何将这种新型的教育模式融入到传统的数学课堂这一问题也随之而来，本文将从多方面角度来分析微课在高中数学教学中的应用及制作方法。

一、微课应用在高中数学教学中的意义

（一）微课的主要特点

相对于较宽泛、较死板的传统课堂[1]，微课的内容更加精简、新颖、富有多样性，微课使问题聚集，主题突出，更适合广大教师的需求。教学视频是微课的核心内容，根据高中生的认知能力和学习规律，教师可以贴合学生的实际来制作最适宜的视频长度，以保证学生最大限度地掌握传授知识。除了上述的部分特c，微课还有着资源容量小、主题突出内容具体、草根研究趣味创作及成果简化多样传播等优点。也使得教师在教学过程中根据教学任务和学习的客观规律，从学生的实际出发采用微课这种新颖的方式，启发了学生的思维，调动了学生学习的主动性、积极性，从而促使学生对数学教学更感兴趣。

（二）微课的作用及影响

相比于传统课堂以教师为主导且仅仅靠一块黑板传授知识的教学模式，微课的表现形式更为直观，通过声音、图形、文字相结合[2]，很大程度上提高了学生自主学习的积极性。高中数学知识中有许多知识点是与日常生活密不可分的，微课的最大好处就体现在可以将生活情景轻松进行模拟，学生通过微课这一学习途径，还可根据自身对知识点的理解情况利用视频的暂停、重播功能反复对疑难知识点进行掌握和巩固，不仅适合当下学生个性化的学习需求，而且还提高了学生学习的主动性，培养学生学习热情。

二、高中数学微课制作分析及应用

（一）高中数学微课制作

“关注孩子每一个微变化，从小处着手，创建一个真正属于学生自己的课堂”，以上便是微课所遵循的宗旨，面对在高中数学中众多的重点、难点，同时也是为了让学生能更好地理解、掌握知识，制作好微课尤为重要。教师要熟悉教材和学生的情况，再融入自身多年对于数学教学的经验及心得，在制作微课时，教师还要熟悉教材的整体规划、重点难点以及课标要求，更要明确在实际的课堂实践中，学生的困惑和障碍点所结之处。其中必不可少的是教师要有好的教学策略或者创意，要站在学生的角度以好的策略或者创意去解决数学教学中的难点，同时还要把微课的特点与课题的内容紧密结合。微课的精髓之处便在其“微”字，正规课堂的时间都是在45分钟左右，那么既然要应用微课，制作微课的时候一定不要使其时间过长，最理想的长度是在10分钟以内，在充分考虑了学生认知水平的前提下，巧用多媒体手段，积极调动起学生的主动性、积极性，微课内容简洁生动，不遗漏重点、不缺失主题、不拖沓进度，同时所用的语言也要简明扼要、一针见血。而在对微课内文字、视频、图像的处理上也有更加用心，微课内主要凸显的是教学内容，图片等内容避免过于花哨[3]，以免扰乱学生的注意力。

（二）高中数学微课应用策略

微课作为一项新颖的信息技术产物，不仅仅可以在课堂内来运用，同时也可以恰到好处地运用在课堂外，这样学生及时回到家也可以及时地准确掌握所学知识点。在微课的讲授中，要尽可能地只有一条线索，与此同时，要突出重点内容，着重对主干知识进行剖析与讲解，同时也要伴随着教师积极的引导，力争在有限时间内圆满地完成课题所规划的教学任务。在数学课堂上，板书也不宜太多，要真正起到对内容要点的提示作用，要多多利用多媒体教学，同时借助挂图、实物等展示，起到了节省时间的作用。高中数学相比于初中数学有着很大的难度提高，而且还具有抽象性。拿经典的函数图像来说，一般情况下，函数一直以来都是数学教学中的重点同时也是数学教学当中的难点，学生缺少对逻辑思维的培养，导致了对函数参悟不透、理解能力差，而光靠教师反复指点也会造成学生对于学习函数的兴趣度下降。微课的出现恰好打破了这一瓶颈，通过多媒体与网络技术，即便是复杂的函数图像或者解析过程都可以更直观地呈现在学生的面前，这时教师便可以让学生进行自主探究，引导学生自主学习，从而增强了与学生之间的交流沟通，也使数学课堂变得生动有趣、丰富多彩。

结语

微课虽然短小，比不上一般课程宏大丰富，但是它的意义非凡、效果明显，乃是如今非常重要的教学资源。微课的知识内涵和教学意义巨大，看似进度慢，但稳步推进，实际教学效果显著。经过教师精心制作的信息化教学设计，使学生自主学习达到最佳的学习效果，通过积少成多、聚沙成塔的作用，通过不断地累积微知识、微学习，最终达到大道理、大智慧。

参考文献：

篇（3）

1 加强“亲和力”设计，以自然、亲切、水到渠成的方式，以数学的内在魅力，激发学习兴趣

课标课程理念强调亲和力，“自然”了也就“亲和”

这种“自然”的包括知识产生的自然、知识间衔接的自然、问题解决的自然，具体到一节课的设

包括课题引入、情景创设、为什么要学这些知

点与问题并存，主要存在的识、这些知识在一节课中出现的顺序、师生交流、、重结果轻过程、方问题解决方法的产生等，如果教师在教学设计过程中，都能从这些“自然”出发，那么数学也就“亲和”了，从而达到“把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”的境界.

案例1高中数学必修1“用二分法求方程的近似解”的设计片段.

步骤一 情景创设，引入主题

师：一元二次方程可用公式求根，那我们又如何求解方程ln260xx+?=的根呢？

生：方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标，函数在区间

，

何找出零点

也就是函数的零点

师：我们已知( )ln26f xxx=+?(2 3)内有零点，进一步的问题是如？

设计意图：产生认知冲突，引起学习兴趣.

步骤二 函数的零点应用二分法求

师：老师的年龄在30岁到42岁之间，你说我几岁呢？

生：36岁.

：我没这么老吧？生：33岁.

师：你们猜的真好，你为什么这么

从而引出二分法的概念，然后引导学生用二分法求出方程

设计意图：让

2 用“问题”激活课堂，

的数学学习，

课标课程注重教学内容的问题性，以提高

、分析、解决问题的能力为目标，通过恰当的、对学生数学思维有适度启

索 ，经历观察 、实验、猜测、推理、交流、

等理性思维的基本过程，切实改进了学生的学习方式.在教学中，教师要根据教学内容，注意理

部分知识之间的内在联系，依据知识之间的内在联系设计问题，遵循循序渐进的原则，设计有层次、有梯度的问题，引发学生去思考、联想，激发了学生的学习动力，发展了学生的问题意识.比如高中数学选修3《微积分基本定理》这节课的问题设计片段.

问题1 设某物体作直线运动，已知速度( )

vv t=

是时间间隔[]a b，上t的一个连续函数，且( )0v t≥，那么物体在这段时间内所经过的路程为多少？（( )

∫与( )( )

问题2 设某物体与问题1作同样的直线运动，已知路程( )ss t=是时间间隔[]a b，上t的一个连续函数，那么物体在这段时间内所经过的路程为多少？（( )( )s bs a?

问题3 ( )

s bs a?相等吗？为什么？

问题4 函数( )vv t与( )=ss t=是否有关？

问题上面四个问题的思考，对( )

3 加强思想方法的渗透与引导，站在数学方法来引导学生解决问

程改思想性，数是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律的理性认识，是数学的基本观点和基本学的指导思想解决数学问题的

处理方法，是建立数

根本想法；数学思想方法对数学创造和推动人类文化发展有着巨大的作用，是数学教育价值的根本所在，这已越来越被广大数学教育工作者所接受.教师在教学过程中要注重数学思想方法的参透与引导，站在数学方法论的高度来引导学生数学地思考问题、解决问题，提高数学思维能力，例如下解题教学的设计片段.

案例2 已知抛物线2

:2 C yx=，

直线2ykx=+交C于A B，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与

AB平行；

（Ⅱ）是否存在实数NB?=求k的不存在，理由.

设计路 以问题串的形式，站在高度引导学生对解题方法的探究，

问题1 当直线2ykx=+的斜率坐标确定吗？（斜率

k确定，点的是变化的主因）

斜率确横坐标与

问题2 既然N点的坐标由定，那么如何用k表示N点的坐标呢？（N点的

坐标一致）

问题3 抛物线C在点N处的切线的

（求导）

问题4 所有的N点中，是否有

M点的横斜率怎么求？一点使得

？如何求得该点？（应韦达定理将0

??

??，，所以

×=，所以抛物线在点????数等数学思想，更重要的是学会了探究解题规律的方法，提高了解题能力.

比、归纳、推广、特殊化和化归，沟通不之间的联系与启发

《课标》的课程理念强调知识内在联系，数学新知识的掌握总在某种程度上依赖学生原有的知识

，学生原有的知识通过类比、归纳、推广、特殊化等数学思维方式不断产生新知识，比如通过椭圆学习双曲线、通过函数的性质学习数列的性质、

等差数列学习等比数列、通过数的运算学习向量的运算、通过平面向量学习空间向

方法之间的类比应用、解题过程中已知与未知的联系、数与形的联系等.在教学中，教师应有意识地引导学生通过类比、归纳、推广、特殊化、化归等数学的思维方式不断加强知识之间的联系，使之成为一个整体.

案例3 高中数学选修2-3“二项式定理”的教学设计片段

观察特例：222+=+++B

.

是数学结论，而是思想上的升华.用数学知识解决实际问题，发展学生的应用意识、增强学生对数学的理解识，那么如何才能真正做到发展学生的数学应用意识呢？

篇（4）

数学，与我们的生活紧密相连，生活中处处都有数学.在日常生活中，我们无时无刻不在使用数学.高中数学对抽象思维、逻辑思维、空间想象能力要求较高，具有一定的难度，多数学生或多或少地都会对数学学习存在一定的抵触心理，认为数学无用，尤其是在日常生活中不会用到数学，不愿意学习数学.因此，为了改变学生对数学的这种认知，提高学生学习数学的兴趣和激情，提升学生学习数学的能力，我们要适当地将生活中的素材、用具与我们的数学教学、学习结合起来.本文基于几个高中数学教学片断，分析探讨了如何将高中数学教学、学习与生活相结合.

一、将新课情境引入和生活结合

为了迎合新课程改革对高中数学的教学要求[1]，我们必须明确教学过程和生活息息相关，在新课伊始使用生活中的案例帮助学生对即将学习的新的知识感受到熟悉的气息，从而引起学生对新知的学习兴趣和注意，进而促使学生提高学习效率.因此，笔者认为，在新课的教学之前，教师可以将事先准备的生活化气息浓厚的教学案例列举出来，逐步引出新课的知识点，从而帮助学生顺利过渡到新知识的学习中.

教学片断1：[上课前教师用一张报纸包着一辆依维柯汽车模型（仅仅露出汽车的头部），和学生有了下面的交流]

师：今天，我将和大家一起学习数学，学习过程中大家要分成小组进行活动，教师带来了一个礼物，奖励给合作最有成效的小组.这是什么？

生：汽车模型！

师：什么汽车？

生：依维柯！

师：这辆依维柯汽车模型有多长？

生：……（一时无语，继而杂乱地叫嚷起来）老师，您得将汽车模型转过来，再把报纸拿掉，我们就知道了.

师：看来，仅仅从一面，并不能全面地了解一个几何体，需要多从几个角度（方向）看，今天我们就一起研究从不同方向看――空间几何体的三视图……[2]

空间几何体的三视图这一节课选自人教版必修2第一章中的第二节.上面教学片段中，教师通过一辆汽车模型引导学生发现要想全方位、全面地了解一个物体，只看一面、只从一个角度看是不够的，我们要想窥到一个事物的全貌，必须要从多角度、多方向看待事物.进而顺利进入新课的学习.

教学片断2：（学习“线面垂直性质定理”的那节课，班长喊“起立”，师生互相问好致意后，教师让大家先别坐下，师生之间有了下面的对话）

师：当大家都起立站直时，每个人与地面是怎样的位置关系？

生：与地面垂直.

师：你们相互之间又有怎样的位置关系？

生：互相平行.

师：这就是我们今天要学习的线面垂直的性质定理，请坐下，你能叙述这个定理的内容吗？用符号语言该如何表述？怎样证明这个定理？[3]

线面垂直性质定理@节课选自人教版必修2第二章第三节中的第二小节，这样的问题与对话生动活泼、印象深刻、先声夺人、简单有效.教师巧妙使用学生上课起立站直时这样一个生活化场景，问学生问题，通过师生之间的对话来进入新课题的学习.实际上通过这一场景以及师生的对话，学生就能够很容易猜测出线面垂直的性质定理是什么，同时借助这一场景学生也很容易理解这一定理，也便于记忆.通过这样一个日常的起立上课的生活场景引入新课、灌输数学知识，长此以往，学生的数学意识也会逐步提高.

二、将习题和生活相结合

新课标提倡学生经历“问题情境―建立模型―解释或应用”这一重要的数学活动过程[4].《普通高中数学课程标准（实验）》在基本理念中指出：“高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力.”[5]目的在于逐渐提高学生的数学问题意识与提出数学问题的能力，逐步增强学生应用数学知识解决实际生活中的问题的能力.

习题练习是高中数学学习中比较重要的环节，是通过运用知识解决数学题目的实践运用环节，是巩固所学的知识的环节.因此，新知识学习结束后，还需要精心设计一些立足于本节课知识点、与日常生活相关的习题进行选择性的练习，让学生在运用所学知识解决生活化的数学问题时充分感受到数学的有用之处.通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活.

教学片断3：

师：刚才是一个明确给出我们首项、项数、公差、末项的例题，我们直接代入公式很容易就得到了结果.但是有的题目不会明确给出我们数据信息，那么你能不能从题目中抽取出有用的数据信息呢？大家看下面一个题目.（PPT呈现，教师读题）

师：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？[6]

学生独立思考、讨论交流.

学生讲解、补充.

（PPT展示具体的解题计算过程）

该片段是选自人教版必修5第二章第二节中的第三小节“等差数列的前n项和”.教师选择了这样一个生活化背景的课堂习题，将数学信息隐藏在这样一个生活化问题中，学生需要一步步将多余的、具有干扰性的背景信息略过，提取出有用的数据信息，进而变为一个熟悉的数学问题，再选择已学过的公式进行求解.让高中生在真实生活情境中体验数学知识，结合自身所学，既有利于学生逐渐养成理解问题、分析问题、提取关键信息、解决现实生活中的实际问题的能力，又有利于学生巩固掌握所学的数学知识.同时，学生会发现数学就在我们的生活中，就在我们的身边，能够让学生发现数学的有用之处，有利于激发学生热爱生活和热爱学习数学的情趣.当然，要让学生自己思考、讨论、分析、解决问题，教师适当引导，提高学生的自主性，体现学生的主体地位，提高学生的合作意识和能力.

三、将生活中的多媒体技术、用具与数学教学相结合

由于多媒体教学工具可以将传统教学中难以表述的抽象知识直观地、具体地描述给学生或者展示在学生面前，可以将一些图像（尤其是动态的图像）通过多媒体技术快速、精确地呈现给学生，学生可以通^观察图像自主地发现其性质和规律，既体现了学生的主体地位同时又省时省力、提高教学效率.因此，越来越多的数学教师在教授一些难以表述的知识时倾向于借助多媒体来呈现，使其为数学教学服务.由此可见，多媒体技术也符合生活化的要求.

因此，在平时的教学过程中我们要善于学习多媒体技术、使用多媒体技术，使之更好地为我们的教学进行服务.

教学片断4：（在学生描点画出几个指数函数图像后）

师：我们想能不能再进一步了解对所有的可能取值的a，它的图像如何呢？（打开事先做好的几何画板文件，此时图像自己在动）

师：这就是它的分布，根据这个分布，你能发现什么特性？

学生独立思考、讨论交流.

学生回答、补充.

（PPT展示指数函数的性质）

本节课选自人教版高中数学必修1第二章第一节中的第二小节“指数函数及其性质”.将几何画板这一多媒体软件的使用与指数函数性质的授课结合起来，尤其是随着a的变化，图像的变化、性质一目了然，学生通过观察、讨论交流能比较容易地将指数函数的性质得出来，简洁明了，便于理解记忆，省时省力.当然，应该注意在教学过程中要让学生自己积极主动地去观察这一动画、分析得出指数函数的一些性质，体现学生的主体地位，学生间互相交流讨论，提高学生合作的意识，最后若有不足，教师再启发引导学生或者稍加提示.

随着社会的不断发展，我国已经进入到信息化的时代，手机、计算机等已走进我们的生活成为我们生活的一部分，学生课后的一些娱乐生活、学习都可借助手机、计算机和互联网进行.因此，教师可以经常将高中数学中的一些知识难点、重点、易错点、易考点整理出来，将这些知识建立一个学习的题库，上传到云盘或者班级群里面，学生在进行课后复习的时候，可以根据自己的时间、实际掌握情况，有选择地进行复习.并且，教师也可以在平常将一些重点、难点、习题讲解录制成微课的形式，学生根据自己的时间安排进行观看，同时根据自己的情况，哪地方不懂可以反复观看，进而能很好地理解、消化吸收所学知识.学生对教师在课堂上教授的知识能够有一个巩固的过程，及时解决自己不明白的知识点，为后续学习新知打下良好基础，避免因为某些知识点没学好而导致后续学习难以进行、学生产生厌学的不良状况.这样，学生利用这些生活中的信息工具进行学习，不仅有利于学生的课后复习、巩固，更加牢固地掌握所学知识，收到较好的学习效果，而且还能够培养学生的学习能力，激发学生学习的积极性，提高学生学习的自信心，不断地促进学生的进步[7].

四、反思结语

当然，数学与生活相结合并不是说所有知识点的新课引入讲授、所有课堂习题、所有课堂环节都要与生活相结合.数学与生活相结合要适度、适宜、适可而止.

【参考文献】

[1]李伟.关于提高高中数学课堂教学质量的思考[J].教育界，2013（12）：103.

[2]章飞.数学教学设计的理论与实践[M].南京：南京大学出版社，2009.

[3]喻平.著名特级教师教学思想录：中学数学卷[M].南京：江苏教育出版社，2012.

[4]喻平.著名特级教师教学思想录：中学数学卷[M].南京：江苏教育出版社，2012.

篇（5）

一、将信息技术与数学教学相融合

高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。社会的进步对教学内容提出了新的要求,同时也为教学提供了新的技术手段,为学习提供了新的学习方式。数学是研究空间形式和数量关系的科学,数学能够处理数据和信息,进行计算和推理,可以提供自然现象、科学技术和社会系统的数学模型。

(一)信息技术与数学教学融合后的功能

数学是学习和研究现代科学技术的基础,在培养和提高思维能力方面,发挥着特有的作用,其内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。信息技术被运用于数学教学,弥补了传统教学的不足,提高了教学效率,同时也培养了学生的信息技术技能和解决问题的能力。信息技术与数学教学融合后,主要有以下几方面的功能。

1.激发学习兴趣、培养参与意识。

能否激发学生的学习热情是教师能否上好一堂课的关键。近半个世纪来,中国的教育受凯洛夫教育思想的影响极深,注重认知,忽略情感,学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性,影响了人才素质的全面提高,尤其是影响了情感意志与创造能力的培养和发展。情境教育反映在数学教学中,就是要求教师注重数学的文化价值,创设有利于当今素质教育的问题情境。

例如,在学习函数基本性质的最大值和最小值时,我先播放了一段壮观的烟花片段。然后提出问题:“”盛放,制造时,一般期望它达到最高点时爆炸。那么,烟花距地面的高度h与时间t之间的函数关系如何确定?如果烟花距地面的高度h与时间t之间的函数关系式为h(t)=-4.9t2+14.7t+18。烟花冲出,什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少?

我通过创设类似问题情境,让学生感受到数学是非常有趣的,数学不只存在于课堂上、高考中,其价值也是无处不在的。教师情境教学能使教学过程变成一种不断引起学生极大兴趣的,向知识领域不断探索的活动。借助多媒体强大的图形处理功能、新异的教学手段,教师可以创设生动有趣的情境,激发学生的学习情绪,使学生固有的好奇心、求知欲得以满足,同时给学生提供自主探索与合作交流的环境。

2.拓展教与学的资源。

信息时代,网络为师生提供了新的学习资源。新的课程资源除课本外,还有网络资源、地方课程资源、社区课程资源和校本课程资源。新课程中,学生的学习也离不开网络,网络课程资源是对课本的重要补充。许多研究性学习课题、探究课题,都需要学生自主查找资料。目前,查找资料最方便、快捷的方法无疑是网络。

例如,在学完《导数》一章后,有一个研究性学习课题:“走进微积分”,就是让学生自愿组成学习小组,上网查找下列资料:①我国古代有哪些微积分思想的例子;②微积分产生的时代背景;③牛顿、莱布尼茨的生平;④微积分对人类科学和社会的影响。大多数同学都利用网络资源完成了这个课题,对微积分有了更加深刻的认识。

(二)在数学教学中运用信息技术的注意点

信息技术与数学的整合也要求教师不断学习先进的教育、教学理论和方法,学习信息技术。除参加各级教研活动、参加各种培训外,最适合教师的,同时也是最方便、快捷的学习方法就是网络学习。高中数学是抽象性和灵活性较强的学科。成功的数学课,不仅有教学素材的合理选取,教学方式的变化,而且有老师与学生的思维、语言与情感的交流。所以,在运用信息技术时,教师还要注意以下几点。

1.不宜过于追求大容量、高密度。

不少教师对信息的大容量、高密度津津乐道,教学中不给学生思考、讨论的时间,一节课完成过去两节甚至三节才能学完的内容,“人灌”变为更高效的“机灌”。教学失去了学生的思考,看似充实的内容,也失去了意义。

2.不忽视师生情感交流。

有些教师将预先设计好的或网上下载的课件不加选择地按程序将教学内容一点不漏地逐一展现;或片面追求多媒体课件的系统性和完整性,从组织教学到新课讲授,从巩固练习到课堂作业,每一个细节都有详尽的与画面相配套的解说和分析。至于这些内容是否适合学生,是否具有针对性,则无暇顾及。忽视教学中最为重要的师生之间的情感交流,让学生体验学习数学的价值就无从谈起,数学的教育性就大打折扣。

3.继承传统教学中的合理成分。

虽然信息技术与数学教学整合具有传统教学手段所不具有的很多优势,但是传统教学手段,无论是物质形态,还是智能形态,之所以延续至今,是因为它有巨大的教育功能。信息技术不可能简单、完全地取代传统教学手段。目前很多课件的设计,仍然来源于一些教师在传统环境下的教学经验。因此,数学教师在使用信息技术的同时,还要吸收传统教学手段中合理的东西,做到优势互补,协同发挥其教育教学功能。

4.整合需要好的教学设计。

数学教学如何与信息技术整合,是最值得讨论的一个问题。史、地、政、生等学科在利用信息技术时,可以利用丰富的视、听等多媒体效果刺激学生的感官,激发学生的学习兴趣。但数学学科有它自身的特点,如果一味利用视听刺激,久而久之,学生必然产生厌倦情绪,反而不利于学生学习兴趣的激发。我的思考是,数学有它自身的魅力,就在于探索学习者未知的知识领域。因此,要把信息技术利用好,教师还需要不断改进教学设计,利用“问题”吸引学生,达到激发兴趣的目的。

总之,数学课程与信息技术的整合,改变了我们传统的数学教育思想与教学模式。它能让教学永远充满改革与创新色彩,让教学永远处于一种科学合理状态,是教师“学会教学”、学生“学会学习”的重要方法之一。

二、合理创设问题情境

新教材在编写过程中非常重视新授课的引入,从高中数学教科书中可以看出每一节新课的内容组织形式主要以“问题情境学生活动意义构建数学理论回顾反思”为主,因此问题情境创设是高中数学教学中的重要环节之一。常言道:良好的开端是成功的一半。精彩的问题情境,不仅会引起学生的注意,起到承前启后,建立知识联系的作用,而且能让学生经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉。

问题情境的创设要科学合理,符合学生的认知水平,能对新知识的生成起到抛砖引玉的作用。在新授课的教学中,大多数老师都能体会到问题情境的重要性,但在日常教学中,对问题情境的创设只是一种形式,甚至有些牵强附会。问题情境若不具有有效性,则起不到激起学生探索之欲望和点燃学生思维火花的效果。因此教师在高中数学新授课中,要以旧带新创设问题情境,以趣味性问题创设问题情境,用生活实例创设问题情境。

三、采用有效的教学方法

每一堂课都要有规定的教学任务和目标要求。所谓“教学有法,但无定法”,教师要能随着教学内容的变化,教学对象的变化,教学设备的变化,灵活应用教学方法。数学教学的方法很多,对于新授课,往往采用讲授法来向学生传授新知识。在立体几何教学中,教师还可以时常穿插演示法,来向学生展示几何模型,或者验证几何结论。在教授立体几何之前,教师可以要求学生每人用铅丝做一个立方体的几何模型,观察其各条棱之间的相对位置关系,各条棱与正方体对角线之间、各个侧面的对角线之间所形成的角度。这样在讲授空间两条直线之间的位置关系时,就可以通过这些几何模型,直观地加以说明。此外,教师还可以结合课堂内容,灵活采用谈话、读书指导、作业、练习等多种教学方法。在一堂课上,教师有时要同时使用多种教学方法。“教无定法,贵在得法”。只要能激发学生的学习兴趣,提高学生的学习积极性,有助于学生思维能力的培养,有利于所学知识的方法,教师都应积极尝试。

篇（6）

数学是思维的科学，数学教学的重要目的之一是培养学生的思维能力. 需要注意的是，思维能力形成只有在思维中才能形成，这意味着数学教师要将自身的教学行为转换成学生的思考行为，只有学生在思考，思维能力才有可能真正形成.从数学的角度来看，数学思维可以在多种条件下培养，但有一个基本的思维形式不可或缺，那就是“比较”.

比较在学生的生活中并不鲜见，当面对同一个难题时，他们也会比较，比较自己的思维过程；当学生的考试分数出来时，他们会比较，比较自己的学习结果. 比较是一种基本的方式，但其又往往因为没有思维能力培养方式的介入，因而往往只是一种形式上的比较，无法真正促进能力的提升. 在高中数学教学中，应当抓住学习中的比较机会，并以思维培养的具体方式介入，以最终培养学生的思维能力. 现以“函数的单调性”（高中数学人教版必修1）教学为例，谈谈笔者的思考与做法.

[?] 教学设计，寻找比较因子

比较的本质是在相同中寻找不同，在不同中寻找相同. 高中数学教学中的比较，往往是基于原有的学习基础，去发现新的数学知识与原有知识之间的联系与区别，从而促进对新知识的认识.

函数的单调性从定义上来说，就是用数学语言去描述函数的变化趋势――自变量按某种规律变化时因变量的变化趋势. 但这样的定义并不能直接促进学生的数学理解，笔者以为，这一数学理解是需要在比较过程中生成的. 分析本知识可以发现，对“单调性”这一概念的理解首先就需要一个过程――这是数学概念的本质所在，数学概念一定要能够凸显出数学规律的内在特征. 正如有学生所提问的：为什么叫单调性，而不叫其他的名称呢？笔者以为不能小视学生的这一问题，因为学生能否有效地建立一个概念，直接关系着学生对概念的理解与运用.

关于这一点，如果分析教材便可以发现教材编写者其实是很重视这一点的，就拿“函数的性质”这一标题来说，教材通过“在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质”的描述重点强调“性质”这一概念，正是注意到了概念的重要性.

笔者在教学设计时，遵循了传统的借助于某个情境，如将某地区气温变化图（如图1）作为引入，但重点放在花时间让学生对图象进行分析上. 这里的分析即是比较，譬如在图1中曲线的认识应当如何进行？可以分成几段？每一段具有什么特点？为了描述这些不同，可以借助于数学上的哪些语言？通过这一问题链去促进学生的比较，应当可以促进学生对单调性这一概念的理解. 当然，如果需要继续强化学生对概念的理解，还可以借助教材上的三幅图进行变式训练，限于篇幅，此不赘述. 与此类似的，单调增、单调减、增函数、减函数的概念也可以设计成让学生比较之后生成的概念.

再一个比较因子就是单调区间. 单调区间是相对于某函数的增减性而言的，其学习与运用对应着归纳与演绎的过程. 在概念形成的过程中，学生需要将“单调区间”与“单调”及“区间”两个概念进行比较，从而整合成一个完整的概念，在这个概念生成的过程中，又需要通过比较具体的图象来辅助概念的理解.将比较作为概念理解的基础，可以让单调区间这一概念更为具体.

除了上述两个比较因子之外，再如“研究函数的单调性与最大（小）值”. 教材上给出的是一个一次函数f（x）=x与一个二次函数f（x）=x2作为例子的，一般情况下教师的注意力往往放在例子的解析上，而事实上学生在遇到这两个例子时，往往会有一种自然而然的比较意识――这种意识来自于生活中的比较行为，说白了也就是在不同中寻找相同. 一次函数与二次函数的图象肯定是不一样的，而一次函数的图象“由左至右是上升的”，二次函数的图象“在y轴的左侧是下降的，在y轴的右侧是上升的”这样的描述，应当努力成为学生比较后的结果. 相比较之下，如果教师直接说出，那学生就少掉了一个比较的过程. 在比较之后再去认识最值，便会发现最值总是相对于一个区间而言的.

[?] 教学活动，引导学生比较

在具体的教学活动中，如何凸显出比较这一思维方式呢？答案无非是将上面的教学设计转换成具体的教学行为，只是需要注意的是，实际教学中学生的比较既有自发的，更离不开教师的引导.

教学环节一：“单调性”概念

根据笔者这些年的教学经验，学生一般是难以将函数在某个区间的单调变化与单调性这一概念联系在一起的，而这又恰恰是数学语言的魅力所在. 因此笔者在教学中创设了情境，让学生认识到函数在某个范围内的变化可能是单一的（具体的教学过程同行们比较熟悉，这里不赘述），在上面教学设计的问题链的基础上，再向学生提出一个问题：你觉得函数在某个范围内的单一变化用什么语言来描述比较恰当呢？

看起来这是一个非数学的问题，其实却是让学生整合原有思维并用自己的语言描述的过程.事实证明，这一过程对于学生的数学学习来说非常重要，当学生试图用自己的语言去理解某一数学规律的时候，数学理解也就产生了. 在教学过程中，学生往往会想出“只增（减）”“纯粹增（减）”，朴素的语言背后显示的是与“单调增（减）”一样的意思. 当笔者将单调一词呈现在学生的面前时，他们一阵惊讶，“为什么是单调”是他们此时一下子冒出来的问题，而这已经不需要教师过多解释了：比较了如图1中不同区间的变化趋势，比较了自己想的概念与数学中统一运用的概念，还有什么比单调这一概念更为传神呢？

教学环节二：单调区间

这个概念是组合而成的.学生此前有了单调性与区间的概念，那单调区间会是什么意思？教材上是通过一个“思考”来打开学生的思维的：如何利用函数解析式f（x）=x2描述“随着x的增大，相应的f（x）随着减小……”而实际教学中可以引导学生去比较图形并思考问题：某一函数的增减总是一成不变的吗？如果在函数变化的过程中既有增又有减，又该如何描述呢？这样学生自然会将图1中的图象分成不同的“段”，而不同的段恰恰对应着不同的区间，不同的区间的单调性又是不一样的，因此单调区间的概念也就应运而生.当然，对于“任意x1，x2∈D，当x1

经验表明，这样的过程不需要太长的时间，但学生的思维却因此而完整.

教学环节三：“最值”

给定一个单调区间，函数往往都会存在最值，这在教师来说是一个最为平常不过的认识. 但对于学生来说又是如何呢？笔者曾经做过试验，当直接向学生提供这一概念时，学生起初会认为这是一个抽象的概念，“最”怎么会与“值”直接组合呢？而当将“最值”理解成最大值和最小值时，学生思维中出现的又是类似于极值的概念. 这个时候，最好的办法其实还是引导学生回到如图1及其他三个变式的图中去比较，并回答问题：如果不给区间，那最值还有没有意义？真正不需要区间就能确定最值的函数，是不是真的不需要确定单调区间？

这样的问题引导学生去比较不同性质的函数，会让学生认识到最值的确定是离不开区间的，最值是相对于区间而言的.

以上只是从具体教学活动中剥离出来的三个小的教学环节，并非课堂的全部，意在表明比较之于学生构建数学概念、理解数学概念的重要性.

[?] 学习反思，促进能力提升

篇（7）

数学是思维的体操，数学学科在培养和提高学生的思维能力方面有着其他学科无法比拟的优势，但是数学是由数字和符号组成的语言，学生在学习时常常会感到枯燥乏味。随着网络技术的推广和普及，信息技术走进了课。多媒体教学以其资源丰富、形象生动的优势为教师所喜爱。多媒体教学辅助设备可将图、文、声、像融为一体，弥补传统教学的不足，使教与学的活动变得更加丰富多彩。利用多媒体设备和网络技术，可以呈现以往教学中难以呈现的课程内容，可以打破时空的限制，最大限度的拓展教学内容，实现课堂教学的开放性，拓宽学生学习的深度和广度，提高教学效率。

一、利用多媒体教学设备的优势

1.提高学习兴趣

兴趣是学生学习的最大动力。浓厚的学习兴趣会产生强烈的学习欲望，这是学生是否能够学好一门学科的关键。近半个世纪来，中国的教育受凯洛夫教育思想的影响极深，注重认知，忽略情感，学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性，影响了人才素质的全面提高，尤其是影响了情感意志及创造性的培养和发展。情境教育反映在数学教学中，就是要求教师注重数学的文化价值，创设有利于当今素质教育的问题情境。

例如，在学习函数基本性质的最大值和最小值时，可以先播放一段壮观的烟花片段。“”盛放，制造时，一般期望它达到最高点时爆炸。那么，烟花距地面的高度h与时间t之间的关系如何确定？如果烟花距地面的高度h与时间t之间的关系就为h（t）=-4.9t2+14.7t+18。烟花冲出，什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？

通过创设问题情境，让学生感受数学是非常有趣的，数学不只存在于课堂上、高考中，数学的价值是无处不在的。情境教学能促进教学过程变成一种不断引起学生极大兴趣的，向知识领域不断探索的活动。借助多媒体强大的图形处理功能，新异的教学手段，创设生动有趣的情境，激发学生的学习情绪，使学生固有的好奇心、求知欲得以满足，同时给学生提供了自主探索与合作交流的环境。

2.拓展教与学的资源

信息时代，网络为师生提供了新的学习资源。新的课程资源除课本外，还有网络资源，地方课程资源，社区课程资源和校本课程资源。新课程中，学生的学习也离不开网络，网络课程资源是对课本的重要补充。许多研究性学习课题，探究课题，都需要学生自主查找资料。目前，查找资料最方便、快捷的方法无疑是网络。

例如，在学完《导数》一章后，有一个研究性学习课题――“走进微积分”，让学生自愿组成学习小组，上网查找下列资料：①我国古代有哪些微积分思想的例子；②微积分产生的时代背景；③牛顿、莱布尼茨的生平；④微积分对人类科学和社会的影响。大多数同学利用网络资源完成了这个课题，对微积分有了更加深刻的认识。

二、运用信息技术要注意的问题

要真正实现信息技术和课堂教学的有机融合，需要教师不断学习先进的教育、教学理论和方法，学习信息技术。这些学习，除参加各级教研活动，参加各种培训外，最适合教师的，也是最方便、快捷的，就是网络学习。高中数学是抽象性和灵活性较强的学科。成功的数学课，不仅要看到教学素材的合理选取，教学方式的变化，更需要体现的是老师与学生的思维、语言以及情感的交流。所以，在运用信息技术时，也要注意以下几点。

1.不宜过分追求大容量、高密度

不少教师对信息的大容量、高密度，津津乐道。教学中不给学生思考、讨论的时间，甚至一节课完成过去两节或三节课才能学完的内容，“人灌”变为更高效的“机灌”。失去了学生的思考，看似充实的内容，也失去了它的意义。

2.不应忽视师生情感交流

有些教师将预先设计好的或网上下载的课件输入电脑，然后不加选择地按程序将教学内容一点不漏地逐一展现；或片面追求多媒体课件的系统性和完整性，从组织教学到新课讲授，从巩固练习到课堂作业，每一个细节都有详尽的与画面相配套的解说和分析。至于这些内容是否适合学生，是否具有针对性，则无暇顾及。忽视教学中最为重要的师生之间的情感交流，让学生体验学习数学的价值就无从谈起，数学的教育性就大打折扣。

3.继承传统教学中的合理成分

虽然信息技术与数学教学整合具有传统教学手段所不具有的很多优势，但传统教学手段，无论是物质形态，还是智能形态，之所以可以延续至今，是因为它有巨大的教育功能。信息技术不可能简单、完全地取代传统教学手段。何况，目前很多课件的设计，也来源于一些教师在传统环境下的教学经验。因此，数学教学在使用信息技术的同时，要吸收传统教学手段中合理的东西，做到优势互补，协同发挥其教育教学功能。

4.整合需要好的教学设计

篇（8）

随着数学新课程改革的深入发展，数学教师纷纷开始生成性课堂的教学探求。我们的数学课堂正悄悄地发生变化，但迷惘和困惑常伴随着我们。一是教师过于重视预设而忽视生成，在课堂中完全忠实地实施预设方案，按部就班地完成了预定任务，限制了学生对预设目标的超越，学生的创造智慧泯灭其中——教师对“预期性生成”还是胸有成竹的，但一些教师面对课堂上纷至沓来的“非预期性生成”却束手无策，缺少教育机智，以致在丰富的生成变化中迷失了方向而无可奈何地又把学生硬拉回预设。二是有的教师一味追求生成，没有预设而随意设问，“脚踏西瓜皮，滑到哪里算哪里”，“生成”出许多离题万里、毫无必要的“麻烦”，导致了教学的“停顿”、“尴尬”和失控，最终影响了教学的生成及效果。

为此，探讨高中数学生成性教学资源的内涵、挖掘以及在挖掘过程中找到预设与生成的平衡点就具有十分重要的意义。

一、高中数学生成性教学资源的内涵

1.对生成性资源的认识

生成，一般来说是指起源、创始、创造、产生和发生，就是“在新的情境中产生”。本文中的生成，是指在教学实践中，因学情的变化，对预设的教学目标、内容、过程、方法的调整，以及教师在教学过程中产生的教学机智与合理调控。生成性资源，是指课堂教学中通过互动、对话、情境设置、教与学等活动即时产生的超出预先设计的问题。课堂生成性教学是指在弹性预设的前提下，在教学的开展过程中由教师和学生根据不同的教学情境，自主构建教学活动的过程。“意外”“节外生枝”“捕捉”“灵光乍现”是生成性教学资源的关键词。“意外”主要有两种类型：一种是客观突发事件，如教学环境的改变、教学参与主体的变化、教学场的外在嵌入；一种是主观预设之外又是情理之中的突况，如学生的突发奇问、教师讲授的卡壳现象等。大部分“意外”属于后一种类型。当教学不再按照预设展开时，教师将面临严峻考验和艰难抉择，这就要求教师既具有预设的目标意识，又具有生成的机智意识。应当指出，学生在教学中产生某种顿悟但没有引起教师的足够重视，或师生进行不着边际的无意义互动，这些都不属于生成。

2.高中数学生成性教学资源的常见来源

数学课堂教学中生成性资源的常见来源：学生练习中的问题与错误；学生回答中的“节外生枝”；教师在教学过程中迸发的思维火花和教学机智；学生讨论中的分歧。只有教师敢于运用非预设教学资源，打破课前教学设计的框框，踏着学生思维发展的步伐，诱导学生的思维朝更高的方向发展，真正做到“创造性地使用教材”，生成性教学资源的来源才更为丰富。

3.高中数学生成性教学资源的特点

（1）创造性。在教学中，教材是范例，教学活动是过程，二者是预设的，但不是不变的。正如著名的教育家叶澜所说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”。数学课堂中的生成性资源的产生源于创造。

（2）突发性。课堂教学中的生成性资源有时是学生和教师在活动过程中“灵机一动，计上心来”的结果，带有突发性。但是这并不是说，课堂教学中为了有效利用生成性资源，而完全不预设。科学的预设还是必不可少的，教师只有深入地备课，才能对生成的信息作快速的判断与取舍，才能把所需要的纳入到准备的“预案”中，与已有的知识建立联系。正如歌德所说：“我能看到什么，取决于我已经知道什么。”

（3）可挖掘性。使用任何一套教材进行教学都需要师生去挖掘、去创造性地使用，才能激活课堂中的教与学。

（4）不确定性。课堂上生成的资源具有不确定性，这种不确定性可能体现在教育价值的不同，有时还可能产生负面的教育效应。

（5）再生性。教学资源既包括教学物质资源，也包括教学人力资源。生成性资源属于后者。人力资源的显著特点是具有再生性，可进行循环开发和利用。生成性资源也是一种取之不尽、用之不竭的可再生性资源。

4.高中数学生成性教学资源的作用

（1）对教师预设的教学设计的完善。学生是一个个活生生的生命体，他们的家庭背景、生活环境、生活经历等都是不同的，因此他们的心理世界、思考角度、思维方式与水平也是不一样的。对于同一件事物，不同的学生会有不同的看法。所以在课前，虽然老师已经有了科学的预设、理性的思考、精心的安排，深入地备知识的内涵与外延，备学生已有的经验，备课堂教学中可能出现的问题，但对于所有学生可能出现的想法与教学过程中可能出现的问题还是无法一一预设出来的，学生的回答不时会偏离了设计的初衷，而这些意外正是完善教学设计的重要途径，是“教学相长”的体现。

（2）引起学生对问题的讨论与思考。学生之间的差异、教学中的偶发事件，乃至教师教学设计中的失误、灵机一动等，如果能被教师及时地抓住并恰当地进行引导、挖掘、升华，都会为课堂教学带来新的生机与可能，都可能成为有利于学生成长的课堂教学的闪光点，这样的教学对学生今后的发展具有积极的作用。

二、高中数学生成性教学资源的挖掘

研究中我们发现，有了充分的预设，课堂的“生成点”是有迹可循的，我们可以充分挖掘。“生成点”主要出现在以下教学环节中。

1.在学生的问题与错误中生成

数学课堂教学不仅仅是告诉，更需要经历。真正关注学生学习的过程，就要有效利用学生的错误资源，教师要乐于向学生提供充分研究的机会，帮助他们真正理解和掌握数学思想和方法，获得更加广泛的数学活动经验。

例1：已知函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R，求实数a的取值范围。

师：函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R，要满足什么条件呢？

生众：满足x2+ax-a>0。

师：满足x2+ax-a>0的条件又是什么？

生众：

师：由

当a∈（-4，0）能保证函数f（x）=log2（x2+ax-a）的值域为R吗？（让学生思考）我们不妨取a=-2，则

f（x）=log2（x2+ax-a）=log2（x2-2x+2）

=log2[（x-1）2+1]log21=0，

此时函数f（x）的值域不是R，所以解答有误。问题出在哪里？（学生睁大眼睛听老师分析。）

师：正确的解法是因为值域为R，所以x2+ax-a必须能取到一切正数，故有=a2-4（-a）0?a≤-4或a0。

生1：0不正是x2+ax-a取到非正数吗？没有意义啊！

师：是的，但取到的非正数x不是我们需要的，这可以由x的范围来限制。例如，取a=-4，则f（x）=log2（x-2）2，定义域x2≠2就可保证f（x）值域为R了！也就是说当0时，能保证x2+ax-a0，结合对数函数的图像知f（x）的值域能取到一切R。

如果这样仍不能理解，我们还可以用方程的观点来解：原函数的值域为R，就是指关于x的方程f（x）=log2（x2+ax-a）=y对任意实数y都有实数解。

x2+ax-a=2y恒有实数解?=a2+4（a+2y）0对y∈R恒成立?a2+4a-4·2y对一切y∈R恒成立。

又-4·2y

故a的取值范围是（-∞，-4]U[0，+∞）。

数学的学习过程是一个再创造的过程，也是试错和不断改正错误的过程，教师顺着学生的错误理解解下去，再验证结果不对，进而找到正确的解法，生成有价值的认识，这本身就是一种很好的教学资源。

2.在创造中生成

培养学生的实践精神和创新能力，是基础教育课程改革的主要目标。课堂教学如果能为学生提供创造的机会，无疑是很好的教学资源“生成点”。记得笔者在讲解一道习题时，曾出现一个精彩的片段。

例2：函数y=3sin（x+20°）+5sin（x+80°）的最大值是（ ）。

A.5 B.6 C.7 D.8

笔者按常规思路讲解：把x+80°化成（x+20°）+60°，再把sin（（x+20°）+60°）按公式展开，结合前面的式子化成一个角的三角函数，即可求解。当然，也可以把x+20°化成x+80°-60°（解题过程略）。

笔者讲完后，一位学生迫不及待地说：“老师，有更简单的解法。”

“说吧。”笔者鼓励道。

学生兴奋地回答：x+20°与x+80°不可能同时取到k·360°+90°，K∈Z，最大值不可能是8，排除选项D。

又当x=10°时，y=+5=6，大于A、B选项的值，故可排除A、B，选C。

学生刚说完，热烈的掌声就响起来了，无疑，学生们在欣赏这个简洁的、富有创造性的解法。当然，这位学生能想到这样的方法，是因为在之前的教学中笔者曾介绍过解答选择题的估算法，可以说，学生的精彩生成是教师教学思想的延续，是师生共同建构的结果。

3.在适度拓展中生成

数学课程应当开放并充满活力，这就要求教师拓宽数学教学和运用的领域，使学生在不同内容、方法的相互交叉、渗透、整合中开阔视野，提升数学素养。显然，教师在教学过程中迸发的思维火花和教学机智也是一种生成。

有一道流传甚广的三角不等式问题。

例3：已知0

2010年，例3成为北京大学、香港大学、北京航空航天大学3校联合自主招生考试试题。作为例题，一般教师给学生讲两种解法：一是构造函数法，利用导数证得结果；二是三角函数线法。

问题讲解到此似乎该结束了，但笔者的脑海里闪过一个念头：这不正是渗透特殊与一般思想的好时机吗？于是笔者将题干求证部分改为“求证：sinx

学生很容易理解：上述命题要转化为一般性命题方可证明：若0

如此生成，既有知识，又有方法，还有智慧，学生终身难忘。

4.在尝试和探究的活动中生成

在尝试和探究性学习中，由于结论不是现成的，学生会有多种思路、多种方法，往往也会产生不同的结果——有些正确，有些错误。锄去“杂草”，让“庄稼”生成，课改的田野才会郁郁葱葱。

如在讲“椭圆的定义”一节时，笔者做了这样的演示实验。先将细绳两端重合，把粉笔套在其间在黑板上画了一个图形，学生马上指出这是一个圆，然后再将两端分开，固定在黑板上，把粉笔套在其间画了一个图形，并向学生说明这种曲线叫椭圆。然后让学生根据操作过程，相互讨论，让学生探究怎样的图形叫椭圆。学生甲：到两定点距离之和等于定长的点的轨迹叫椭圆。根据甲的叙述，我便将细线拉直将两端固定在黑板上，粉笔仍然套在线上运动，便画出了一条线段。学生乙提出定长必须大于两定点之间的距离。教师问这样下定义是否严密完整？这样学生便又提出“在同一平面内”这样的条件。最后探究出椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这里，有实验有辨误，有限制条件的理解，对椭圆定义的认识是比较到位的，也是比较深刻的。

5.在偶发中生成

课堂上有时会发生一些偶发事件。这种偶发事件有的与数学教学有关，有的与数学教学无关，与数学教学有关的，可以直接利用，与数学教学无关的，可进行其他方面的教育。变偶发事件为教育良机，也是教育教学的生长点。

例4：一位教师准备给学生上“简单随机抽样”（人教版高中“数学3”）一课，课前，他接到学校通知：要求每班选派5名学生代表参加下午学校举行的学生座谈会。

师：今天下午学校要召开学生座谈会，要我们班选出5名代表参会，学校为什么不让大家都参加呀？

生众：人数太多，座谈不方便。

师：让我们班选派5名代表参加座谈会，这实际上是使用了统计学上的什么方法？

生1：用样本估计总体。

师：样本和总体分别指什么？

生1：我们班的全体同学就是总体，被选派的5名学生就是在我们班这个总体中抽取的样本。

师：既然这里用了统计学的方法，那怎样从我们班选出5名代表比较合适呢？

生2：这好办，为每人准备一张纸条，上面写上每个人的名字，随便抽5张就行了。

大部分学生点头表示赞同。

生3：采用类似于击鼓传花的方式，花落在谁手里就选谁。

生4：教室里有滚动数字的机器就好了，就像抽奖，喊停时显示学号。

学生都笑了，课堂气氛顿时被调动起来。

篇（9）

高中学生在入学前发展了许多非形式教学知识，这些知识对学生来说很有意义也很有趣味，非形式教学常常是主动建构而不是被动接受．进入高中后，大量的学习是用符号写成的形式数学．研究表明，“学生常常不是按照教师的方式去做数学．”也就是说，学生不只是模仿和接受成人的策略和思维模式，他们要用自己现存知识去过滤和解释新信息，以致同化他们．

［案例1］ “二项式定理”教学实录片段

教师：大家一定知道著名的大数学家费马吧，他是解析几何的创始人之一．费马对数学的贡献远远不止于此，他几乎涉足到数学的每一个领域当中．与费马同期的有一位也相当著名的物理学家，他就是帕斯卡，帕斯卡与费马非常友好．费马三番五次要引起帕斯卡对数论的注意，这样他们可以一起研究讨论，可是帕斯卡从来对这门数学并不在意．可是他们却同时对一个问题产生了兴趣，而且一起研究．下面让我们一同来看一看引起这两位著名学者注意与兴趣的究竟是什么问题？

教师：他们感兴趣的问题是（屏幕上出现有关内容与动画演示）：丢掷一个铜板或者一粒骰子几次，我们所期望的结果出现的机会是多大？能不能计算出来？这个问题在我们先前学过的概率知识中是可以解决的，而帕斯卡和费马研究最简单的情形：掷铜板的游戏．一个铜板只有二面：头和花．我们用英文字母T代表花，H代表头．

掷铜板一个一次出现的可能情形是：T、H．

掷铜板一个二次出现的可能情形是：TT、TH、HT、HH．

掷铜板一个三次出现的可能情形是：TTT、THT、HTT、TTH、THH、HTH、HHT、HHH．

在这类游戏中，我们并不关心头和花出现的次序而是它们的次数．因此我们把TH和HT看成是一样的，THT和HTT及TTH是当作相同，又如果我们把TT、TTT简写成T2、T3．那么我们看看掷铜板游戏的结果：

掷一次： T H

掷二次： T2 2TH H2

掷三次： T3 3T2H 3TH2 H3

掷四次： T4 4T3H 6T2H2 4TH3 H4

… …

同学们也来当一回小数学家，你如果得到上述结果， 你会有何推测与联想呢？

（课堂上以小组为单位热烈的讨论起来．）

学生1：我有发现！我把那些数字提取出来便可以得到一个三角堆．

0行1

1行1 1

2行1 2 1

3行1 3 3 1

4行1 4 6 4 1

5行1 5 10 10 5 1

6行1 6 15 20 15 6 1

…………

教师：非常好！按照这位同学的方法我们可以得到一个数字结构．请大家看大屏幕．我们可以设第0行的数字是1，或者可以这样说，没有掷铜板，那么结果只有一种，大家同意吗？

学生们：同意！

教师：以上同学们推测的结果就是“杨辉三角”．让我们来看一下有关我国古代著名数学家杨辉及其成就．（在屏幕上显示有关我国古代著名数学家杨辉及其成就，增强学生的民族自豪感）

教师：当然以上的杨辉三角仅仅是大家推测的结果，正如牛顿的名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”同学们现在就把自己置于数学家的位置，仔细观察一下这个蕴涵丰富数学思想的杨辉三角，看看它会使你联想到与哪些我们已经接触过的数学结构有关呢？

教师提示：与什么样的代数结构有关？

（小组讨论若干时间后）

学生2：我们小组讨论的结果是杨辉三角与

(a+b)n展开后的系数有关．

n＝0， 我们有(a+b)0＝1

n＝1， 我们有(a+b)1＝a＋b

n＝2， 我们有(a+b)2＝（a＋b）（a＋b）＝a（a＋b）＋b（a＋b）＝a2+2ab+b2

n＝3， 我们有(a+b)3＝(a+b)1(a+b)2＝a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)＝a3+3a2b+3ab2+b3

… …

教师：Very good! 大家的探究已经有了成果．处于17世纪末的牛顿也发现了二项式的一般展开式的系数具有这样的规律．这个结果一般我们的数学教材上称为二项式定理，有些参考书目上也称为牛顿二项式定理，这是代数上的一个基本和重要的定理．下面就让我们大家一起来揭开这个重要的代数定理的神秘面纱．

2 创建适当情境，自述概念实质

学生能用自己的语言解释概念的本质属性是学生深刻理解概念的一个非常重要的标志，而将日常语言翻译成数学语言则是一项常规的数学活动，是数学应用的必要步骤．在数学教学中，我们应当从数学学习的自身特点出发，在使用抽象的数学语言和符号表述思想之前，通过可观察的（实物、图形、图表等）、描述性的、可亲身体验的形式来传播新的思想，从而引起学生的学习兴趣，促使他们自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，以达到对知识的真正的理解．要为学生创造一种环境，使他们在其中能扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造性学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的对数学原理的解释．

［案例2］ “函数最大值与最小值”教学设计片段

2．1 看股市行情，渗透最值概念

下面是一段摘自股市分析的话：

从一月份股市行情看2007年大盘走势．通过对以前K线图的分析，还可以得出一个结论：这就是大盘很容易在年中形成大顶部，而在年前、年后则很容易形成大底部．

（1）给出大盘走势的一张草图．引导学生分析大盘走势草图中隐含的函数关系：横坐标的现实意义；纵坐标的现实意义；两个变量之间的一种函数关系．

（2）在大盘走势的函数图像中引导学生进一步思考它反映了曾学过的函数的重要性质：函数的单调性．

（3）让学生考虑用数学语言来解释“大盘很容易在年中形成大顶部，而在年前、年后则很容易形成大底部”这句话．从中隐含着函数的另一个重要性质：函数的最大值与最小值．

设计意图：数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来，有些数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设归纳、抽象的情景，引导学生提炼数学概念的本质属性．在这里我们用现今的股市行情作为问题的实际背景引出函数的最大值与最小值，让学生认识到我们的生活中处处有数学，处处渗透着数学模型．

2．2 分析辨别概念，由表象到本质

让学生通过上述问题情境，通过“数学学习共同体”的探讨，根据自己的理解给出“函数最大值与最小值”的概念，并把这些概念罗列在黑板上．（学生给出的一系列概念中或许有些是不完善的，有些甚至是错误的．）

（1）对学生给出的一系列“函数最大值与最小值”的概念加以辨析，对一些不完善的理解加以完善，对一些错误的理解加以修正，从而得到“函数最大值与最小值”在直观图像上的理解：函数在给定的定义域内的最大值对应于函数图像上的最高点的函数值，最小值对应于函数图像上的最低点的函数值．在函数取得最大值处，函数呈现先递增再递减的趋势；在函数取得最小值处，函数呈现先递减再递增的趋势．

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（2）教师给出严格的函数最大值的定义．

（3）让学生类比的给出函数最小值的定义．

（4）对函数最大值与最小值概念的进一步理解与辨析

教师提问：若在上述定义中去掉“任意”两字，这个定义是否正确？

让学生体会“任意”两字的重要性，进一步从图像（上面的股市大盘走势函数图）上理解函数最值的真正含义．

设计意图：尊重学生的主体意识，利用“情境相关性”促使学生的认知在“数学学习共同体”的探讨与辨析中不断得到同化与顺应，矛盾对立不断得到统一，概念理解不断得到提升；让学生在“数学学习共同体”这个实践场当中与群体、环境产生互动与协调，从而使学生中的“边缘参与者”向“中心成员”转变；最后由教师给出函数最大值的严格的形式化定义，学生是应该能够理解与接受，再让学生类比的给出函数最小值的严格表述，这样就给学生寻找了一个合适的台阶进行过度．

3 渗透数学形式化，合理提升思维

高中数学偏重于非形式化，但一定的形式化也是必不可少的．数学是抽象化了的理论, 完全由数学特有的语言、符号、组织方式来体现,我们所操作的、所面对的也都是这些形式化了的对象．因此,掌握数学形式演变的常规的、必然的规则, 数学表示与结果形式的习惯模式、乃至具体到每一类问题的表示形式、结果形式等等, 也就显得十分必要．当然这里面绝不只是指那种纯粹的变化规则, 而是要结合逻辑的、直觉的思想方法, 以推进数学解题的进程．加强形式化思维的教学, 符合数学内在的规律, 是数学认识的一个重要方面．应当培养学生进行较复杂的形式推演的训练,培养学生善于用数学的符号、运算、名称、关系等来考察与对待各种实际问题中的数量方面的内容, 把对象系统中量的方面的表现通过恰当的数学形式，比如：坐标系、函数、集合、方程、不等式、曲线、图形等来表示,以提出规范化的、切合实际的数学问题, 建立数学模型、目标．

［案例3］ “糖水问题”案例设计

糖水应该是日常生活中再简单不过的东西，糖水浓度向我们提供了丰富的教学资源．

这个平凡的糖水能提供这么丰富的数学素材，我们能引导学生将这样一个普遍而又简单的实际问题一层一层的上升到数学形式化的表达式，归纳出数学形式化的不等式．对于学生来讲，这不能不说是一种数学能力与数学素养的提高，因此我们可以说，在必要的时刻对某些问题进行适当形式化的处理是十分必要的．

4 调整知识顺序，建立网络结点

数学的教育形态之一就是要把教科书上线性排列的知识“打乱”，同时融合不同学科的相关知识，由内在联结将它们串起来，建立网络．这样，学生的火热的思考就在于凸现思维网络的“结点”，在纷繁复杂的干扰中寻找本质的、感性的信息，从而使教学达到对数学内在本质的认识．这里，让我们通过一些案例说明如何认识、组织和设计一些数学联结点，形成学生火热的“联结性”思考．

（1）高中数学中平面向量、解析几何、复数三者之间就存在着必然的联系，其基本的连接点就是“既有方向，又有大小”．于是在这些知识的教学中就要恢复学生火热的思考．使“既有方向，又有大小”这一思想在不同的，或许是相互没有联系的情境中应用．

（2）三角函数的教学，从静态的正弦定理、余弦定理到动态的周期变化、潮水涨落、弹簧波的振动以及在轴上均匀旋转的轮子边缘上荧光点的运动等现象，把代数式、三角形、单位圆、投影、波周期等离散的领域联系在一起，正是三角函数使它们形成一个有机整体，同时它们也是三角函数在不同侧面的反映．因此对于三角函数的教学必须通过再创造来恢复学生火热的思考，使之返璞归真，让三角函数丰满起来，才能把教科书上定义―公式―图像―性质―应用这些冰冷的美丽变成学生丰富的联想，使学生在某一领域孤立学习的主题能迁移到另一领域中．

（3）余弦定理是代数式与三角形的联结点．如下面问题，用余弦定理观察代数式就是关键，是学生火热思考的来源．

篇（10）

一、翻转课堂到底“翻”什么?

学生的学习过程通常由两个阶段组成:第一个阶段是接受教师的“知识传递”,第二个阶段是“知识内化”.在传统的教学模式中,接受教师的“知识传递”是在课堂上进行的,而“知识内化”是在课外通过作业练习完成的.而“翻转课堂”对这一传统模式进行了“翻转”——知识的获得由学生在课前完成,他们通过微课自行学习,教师可以通过微课对特定的问题进行有针对性的讲解、在线辅导等为学生提供帮助;而“知识内化”则是在课堂上通过互动来完成的,教师通过了解学生的学习困难,给予有效辅导,同时通过组织多主体、多层面的相互交流,促进知识的吸收与内化.

二、翻转课堂“本土化”实践立足于什么?

(一)学校实际

云课堂、Ipad需要计算机硬件和软件的支持.但我校是三线城市的面上中学,基础配套设施和财政支持跟不上大城市,无法实现学生人手一台Ipad,构建个性化与协作化学习环境.

(二)学生实际

现在的高中生每个人至少有一台手机,每个家庭也配备有电脑.而微课容量较小,教师通过QQ或微信传送,学生可灵活方便地将其下载保存到手机或电脑上从而实现移动学习.所以,利用微课可随时随地在网络上学习而且效果立杆见影.QQ、微信是常用的交流软件,学生遇到困难,可以随时随地向同学或教师寻求帮助.

(三)学科实际

高中数学知识点明确,很多教学内容只需要清楚地讲授一个概念、一道公式、一道例题、一个实验,其学科特点便于翻转课堂的实施.但不是所有课堂教学中都使用翻转模式，需要重复讲解的内容、基本的事实和定律、已成定论的观点、基本的方法和规律、基本的演示和操作步骤,可以通过制作微课帮助讲解;而思辨性很强的、情感性很强的、生成性很强的内容,以及必须立足于现场的、有赖于灵感激发的内容等必须在课堂上学习.还有,一堂课上,翻转什么,翻转的程度,都是需要根据实际内容来灵活选择的.

三、怎样构建“本土化”翻转课堂的教学模式?

本人在对国内外学者构建的翻转课堂教学模型的分析和认识基础上,结合在本校高中数学课堂新授课的教学实践,构建了“本土化”翻转课堂的教学模式,如下图所示.

(一)课前学习(知识传递)

在课前,教师进行学情分析和导学资料的,课前学习的内容和针对练习的知识层次是在学生的实际发展水平之内的,学习者只需要通过正常的努力学习就可以完成知识的理解和掌握.学生根据《自主学习任务单》的指引,观看微课进行自主学习,在QQ或微信寻求帮助.

(二)课堂学习(知识内化)

在课堂上,教师根据学生的自学反馈,组织协作内化学习活动.课堂学习活动的问题有一定的难度,超出了学生的实际认知水平,学习者一般需要通过小组协助、老师指导下才能顺利完成,这一部分内容学习属于学生的潜在发展水平.学生在自主学习的基础上,再通过课堂学习进行强化和提升,以完成知识的内化.

(三)课后学习(知识拓展)

在课后,教师根据学生的课前、课堂表现,反思《自主学习任务单》的制定及“微课”的制作是否合理,总结不足.在课后学生根据自己实际的学习情况查漏补缺,选择适当的学习资源和作业进行知识的巩固和拓展.此外,学生还可以上网查找一些与实际生活相联系的课外学习拓展资源,迁移应用,并可以在QQ或微信中与老师、同学交流.

四、具体怎样实施“本土化”翻转课堂的教学模式?(教学案例)

(一)明确教学目标(课前、课堂)

三维目标不是彼此独立的离散体,而是一种相互融合的关系,教师应综合考虑三维教学目标,从而更好的设计教学过程.教师需要确定在课前自主学习与课堂协作内化两个不同环节所要达到的教学目标,这是翻转课堂教学设计的首要任务.

(二)制作微课

“微课”是指以视频为主要载体,教师围绕某个知识点(重点难点疑点)或教学环节而开展的精彩教与学的活动.自学微课具有信息化教学前移,“一对一”的效应.这就要求录制的微课能让学生自学,并且不亚于在课堂上讲授的效果;要有足够的趣味性和重要性,学生的注意力集中,受环境干扰很少,就像单独开小灶,提高学习效率.(三)设计《课前自主学习任务单》1.意义:指导学生自主学习的支架,关键是把教学重点、难点及其他知识点转换化为问题2.方法:任务驱动、问题导向3.好处:发展自主学习、独立思考能力案例1《事件的相互独立性》情境引入俗话说:“三个臭皮匠抵个诸葛亮”.我们是如何来理解这句话的?你同意歪歪的想法对?事件的概率可能大于1吗?请你自学微课后再来回答这问题.

(四)课堂教学过程