九年级数学下册汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇九年级数学下册范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

一、选择题（每小题3分，共30分）1. 如果∠A是锐角，且 ，那么∠A＝( )A.30° B.45° C.60° D.90°2. 身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中的是（）同学 甲 乙 丙 丁放出风筝的线长 140 100 95 90 线与地面的夹角 30° 45° 45° 60° A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3. 如图所示为一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（ ）

4. 在同一时刻，身高1.6 m的小强的影长是1.2 m，旗杆的影长是15 m，则 旗杆高为（ ）A.16 m B.18 m C.20 m D.22 m5.如图所示，在RtABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A= ，则下列关系式中不成立的是（）A.tan A•cot A=1 B.sin A =tan A•cos A C.cos A=cot A•sin A D. 6.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sin 的值越大，梯子越陡B．cos 的值越大，梯 子越陡C．tan 的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠ 的函数值无关7．如果用表示一个正方体，用 表示两个正方体叠加，用表示三个正方体叠加，那么图中由6个正方体叠成的几何体的主视图是 ( ) A B C D 8.如图是一块带有圆形 空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（ ） 9.如图，白炽灯下有一个乒乓球，当乒乓球越接近灯泡时，它在地面上的影子（）A.越大 B.越小 C.不变 D.无法确定10.如图所示，下列几何体中主视图、左视图、俯视图都相同的是（）二、填空题（每小题3分，共24分）11. 如图所示，平地上一棵树高为6米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成60°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长_ ． 12. 如图是由两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图，根据图中所标尺寸（单位： ），计算出这个立体图形的表面积是 .13.一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是 . 14.一张桌子上摆放若干碟子，从三个方向上看，三种视图如图所示，则这张桌子上共有碟子 个.15. 若直角三角形ABC的两条直角边AC、BC的长分别是5 cm和12 cm，则此直角三角形内切圆半径为　_________　cm．16. 身高相同的小明和小华站在灯光下的不同位置，如果小明离灯较远，那么小明的投影比小华的投影　 　．17. 如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影长约为10 m，则大树的长约为　 　m（结果精确到1 m，下列数据供选用： ， ）． 第17题图 第18题图18. 如图，小敏在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网　 　米处．三、解答题（共66分）19. （8分）池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的 仰角为 ，测得碑顶在水中倒影的俯角为 （研究问题时可认为碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直） ，求水面到碑顶的高度（精确到0.01米， ） 20. （8分）分别画出图中几何体的主视图、左视图、俯视图.21.（8分）已知：如图， 是 的弦，∠ ， 是优弧 上的一点， ，交 延长线于点 ，连接 （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，∠ ，求 的 半径.

22.（8分）如图， 是 的内接三角形， ， 为 中 上一点，延长 至点 ，使 ．（1）求证： ； （2）若 ，求证： ．23.（8分）某船向正东航行，在A处望 见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°方向，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西 北方向，若船速为每小时20海里.求A、D两点间的距离. （结果保留根号）

24.（8分）超速行驶是引发交通事故的主要原因.上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路 的距离为100米的 处.这时，一辆轿车由西向东匀速驶 来，测得此车从 处行驶到 处所用的时间为3秒，并测得∠ =60°，∠ =45°，试判断此轿车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据： 1.41， 1.73）.25.（8分）如图，是住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30 m，两楼间的距离AC=30 m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．（1）当太阳光线与水平线的夹角为30°角时 ，求甲楼的影子在乙楼上有多高（精确到0.1 m， ≈1.73）.（2）若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳光线与水平线的夹角为多少度？ 26.（10分）如图，阳光通过窗口照到教室内，竖直窗框在地面上留下2.1 m长的影子如图所示，已知窗框的影子DE 的点E到窗下墙脚的距离CE=3.9 m，窗口底边离地面的距离BC=1.2 m，试求窗口的高度（即AB的值）．

篇（2）

单元检测试题

（满分120分；时间：90分钟）

一、选择题

（本题共计

9

小题

，每题

3

分

，共计27分

，

）

1.

已知函数y＝(m+3)x2+4是二次函数，则m的取值范围为（

）

A.m>-3

B.m

C.m≠-3

D.任意实数

2.

抛物线y=-13x2+3x-2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=(

)

A.-13

B.3

C.-3

D.13

3.

在二次函数①y=-3x2，②y=13x2，③y=43x2中，它们的图象在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是(

)

A.②>③>①

B.②>①>③

C.③>①>②

D.③>②>①

4.

在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x-h)2(a≠0)的图象可能是（

）

A.

B.

C.

D.

5.

若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点为(0, -3)，则下列说法不正确的是(

)

A.抛物线开口向上

B.抛物线的对称轴是x=1

C.当x=1时，y的最大值为4

D.抛物线与x轴的交点为(-1, 0)，(3, 0)

6.

二次函数y=3(x-2)2-5与y轴交点坐标为(  )

A.(0, 2)

B.(0, -5)

C.(0, 7)

D.(0, 3)

7.

二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②2a+b＝0；③若m为任意实数，则a+b>am2+bm；④a-b+c>0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中，正确结论的个数为（

）

A.1

B.2

C.3

D.4

8.

已知二次函数y＝-x2-bx+1(-5

）

A.先往右上方移动，再往右平移

B.先往左下方移动，再往左平移

C.先往右上方移动，再往右下方移动

D.先往左下方移动，再往左上方移动

9.

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，与x轴的交点为(x1, 0)、(x2, 0)，其中0

）

A.2

B.3

C.4

D.5

二、填空题

（本题共计

8

小题

，每题

3

分

，共计24分

，

）

10.

将抛物线y=-2(x-1)2向右平移5个单位后，所得抛物线对应的函数解析式为________．

11.

已知二次函数y=-x2+ax-4的图象最高点在x轴上，则该函数关系式为________．

12.

已知抛物线的顶点为(-1, -3)，与y轴的交点为(0, -5)，则此抛物线的解析式是________．

13.

抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2, 1)，经过点B(1, 0)，则函数关系式是________．

14.

用配方法将二次函数y＝x2-6x+11化为y＝a(x-h)2+k的形式，其结果为________．

15.

已知等边三角形的边长为x(cm)，则此三角形的面积S(cm2)关于x的函数关系式是________．

16.

已知方程3x2-5x+m=0的两个实数根分别为x1、x2，且分别满足-2

17.

加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=-0.2x2+1.5x-2，则最佳加工时间为________min．

三、解答题

（本题共计

6

小题，共计69分

，

）

18.

若一次函数

y=(k+1)x+k

的图象过第一、三、四象限，判断二次函数

y=kx2-kx+k有最大值还是最小值，并求出其最值.

19.

抛物线y=x2-4x+m与y轴的交点坐标是(0, 3)．

（1）求m的值．

（2）在直角坐标系中画出这条抛物线．

（3）求这条抛物线与x轴交点坐标，并指出当x取什么值时，y随x的增大而减小？

20.

如图，为美化环境，某校计划在一块长为60m，宽40m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为xm，花圃的面积为S，

（1）求S与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围；

（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求此时通道的宽．

21.

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2-2ax-3a(a≠0)，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）若点P(m, n)是抛物线上的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点D．

①在a>0的条件下，当-2≤m≤2时，n的取值范围是-4≤n≤5，求抛物线的表达式；

②若D点坐标(4, 0)，当PD>AD时，求a的取值范围．

22.

篇（3）

第二十八章

锐角三角函数

章末巩固训练

一、选择题

1.

如图，要测量小河两岸相对的两点P，A间的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于(

)

A．100sin35°米

B．100sin55°米

C．100tan35°米

D．100tan55°米

2.

一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(

)

A.

斜坡AB的坡度是10°

B.

斜坡AB的坡度是tan10°

C.

AC＝1.2tan10°

米

D.

AB＝

米

3.

(2019湖南湘西州)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是

A．10

B．8

C．4

D．2

4.

（2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为

（

）

A.

B.

C.

D.

5.

在课题学习后，同学们想为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2.82米，BCD表示直角遮阳篷，已知当地一年中午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳篷中CD的长约是(结果保留小数点后一位．参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)(

)

A．1.2米

B．1.5米

C．1.9米

D．2.5米

6.

（2020·咸宁）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.

7.

如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(

)

A.

30.6

B.

32.1

C.

37.9

D.

39.4

8.

(2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OCOB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于

A．asinx+bsinx

B．acosx+bcosx

C．asinx+bcosx

D．acosx+bsinx

二、填空题

9.

如图，在ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．

10.

齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1

m，则该车大灯照亮的宽度BC是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)

11.

某电动车厂新开发的一种电动车如图7所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1

m，则该车大灯照亮地面的宽度BC约是________m．(不考虑其他因素，结果保留小数点后一位．参考数据：sin8°≈0.14，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18)

12.

如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)

13.

如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10

m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1

m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)

14.

(2019江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__________．

15.

（2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC．若，则________．

16.

【题目】（2020·哈尔滨）在ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝，CD＝1,则BC的长为

.

三、解答题

17.

某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.

(1)求新坡面的坡角α；

(2)天桥底部的正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

18.

阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)，过点C作CDAB于点D，在RtADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝c－bcosA.

在RtBDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，

即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，

整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.

同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)

利用上述结论解答下列问题：

(1)在ABC中，∠A＝45°，b＝2

，c＝2，求a的长和∠C的度数；

(2)在ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．

19.

如图，在ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE.

(1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；

(2)如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．

20.

如图，AD是ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.

求：(1)BC的长；

(2)sin∠ADC的值.

21.

如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为

60

m，随后无人机从A处继续水平飞行30

m到达A′处．

(1)求A，B之间的距离；

(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．

22.

数学建模某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为如图12①所示的滑板车(示意图)或图②的自行车(示意图)，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30

cm，CE＝40

cm，∠ABC＝53°，图①中B，E，C三点共线，图②中的座板DE与地面保持平行，则图①变形到图②后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量．(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)

23.

(2019铜仁)如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，≈1.732)

24.

阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ

tan(α±β)＝

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，

例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋

根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：

(1)计算sin15°；

(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为

米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．

人教版

九年级数学

第二十八章

锐角三角函数

章末巩固训练-答案

一、选择题

1.

【答案】C　[解析]

PAPB，PC＝100米，∠PCA＝35°，PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(米)．

故选C.

2.

【答案】

B　【解析】斜坡AB的坡角是10°，选项A是错误的；坡度＝坡比＝坡角的正切，选项B是正确的；AC＝

米，选项C是错误的；AB＝

米，选项D是错误的．

3.

【答案】D

【解析】∠C=90°，cos∠BDC=，设CD=5x，BD=7x，BC=2x，

AB的垂直平分线EF交AC于点D，AD=BD=7x，AC=12x，

AC=12，x=1，BC=2；故选D．

4.

【答案】

B

【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，在RtACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC，AC＝2，CB＝3，AB，sin∠ABC，∠ADC的正弦值等于，因此本题选B．

5.

【答案】B　[解析]

设CD的长为x米．在RtBCD中，∠BDC＝α＝18°.

tan∠BDC＝，

BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x.

在RtACD中，∠ADC＝β＝66°.

tan∠ADC＝，

AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x.

AB＝AC－BC，

2.82≈2.25x－0.32x，解得x≈1.5.

6.

【答案】C

【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性质，由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，点E是BC中点，，BE=CE=EF=，∠EFC=∠ECF，AE=，∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∠ECF=∠AEB，==，因此本题选C．

7.

【答案】D　【解析】如解图，设AB与DC的延长线交于点G，过点E作EFAB于点F，过点B作BHED于点H，则可得四边形GDEF为矩形．在RtBCG中，BC＝12，iBC＝＝，∠BCG＝30°，BG＝6，CG＝6，BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∠AEF＝α＝45°，AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6＋20，AB＝BF＋AF＝9＋20＋6≈39.4(米)．

8.

【答案】D

【解析】如图，过点A作AEOC于点E，作AFOB于点F，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，

∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∠EAB=x，∠FBA=x，AB=a，AD=b，FO=FB+BO=acosx+bsinx，

故选D．

二、填空题

9.

【答案】2　[解析]

过点A作ADBC，垂足为D，如图所示．

设AC＝x，则AB＝x.

在RtACD中，AD＝AC·sinC＝x，

CD＝AC·cosC＝x.

在RtABD中，AB＝x，AD＝x，

BD＝＝x.

BC＝BD＋CD＝x＋x＝＋，

x＝2.

10.

【答案】1.4　【解析】如解图，作ADMN于点D，由题意得，AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，BD＝＝＝7

m，CD＝＝＝＝5.6

m，BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4

m.

11.

【答案】1.6　[解析]

如图，过点A作ADMN于点D.

由题意可得AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝90°，

BD＝≈，

CD＝≈，

BC＝BD－CD≈1.6(m)．

12.

【答案】11　【解析】∠A＝30°，PM＝PA＝9海里．∠B＝55°，

sinB＝，0.8＝，PB≈11海里．

13.

【答案】10＋1　【解析】如解图，过点A作AEBC，垂足为点E，则AE＝CD＝10

m，在RtAEB中，BE＝AE·tan60°＝10×＝10

m，BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10＋1)m.

14.

【答案】

【解析】如图，过点B作BC1AN，垂足为C1，BC2AM，交AN于点C2，

在RtABC1中，AB=2，∠A=60°，∠ABC1=30°，AC1=AB=1，由勾股定理得：BC1=，在RtABC2中，AB=2，∠A=60°，∠AC2B=30°，AC2=4，由勾股定理得：BC2=2，当ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时

15.

【答案】

【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与O相切于点B，所以ABBC，所以∠ABC＝90°．在RtABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在RtABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在RtOBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本题答案为．

16.

【答案】5或7

【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D在BC延长线上，在ABD中

tan∠ABD＝，＝解得，BC＝BD－

CD＝6－1＝5；②点D在BC上，在ABD中

tan∠ABD＝，＝解得，BC＝BD＋

CD＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．

三、解答题

17.

【答案】

解：(1)新坡面AC的坡度为1∶，

tanα＝＝，

α＝30°.(2分)

答：新坡面的坡角α的度数为30°.(3分)

(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．

理由如下：

如解图所示，过点C作CDAB，垂足为点D，

坡面BC的坡度为1∶1，

BD＝CD＝6米，(4分)

新坡面AC的坡度为1∶，

CD∶AD＝1∶，

AD＝6米，(6分)

AB＝AD－BD＝(6－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM不需拆除．

答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．(7分)

18.

【答案】

[解析]

(1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的长，根据勾股定理的逆定理证明ABC是直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；

(2)把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．

解：(1)在ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2

)2＋22－2×2

×2×＝4，则a＝2(负值已舍)．

22＋22＝(2

)2，即a2＋c2＝b2，

ABC为直角三角形．

又a＝c＝2，∠C＝45°.

(2)b2＝a2＋c2－2accosB，a＝，b＝，cosB＝cos45°＝，

c2－c＋1＝0，

解得c＝.

c＞a＞b，c＝.

19.

【答案】

解：(1)DE垂直平分AB，

EA＝EB，

∠EAB＝∠B＝25°.

又∠C＝90°，

∠CAE＝90°－25°－25°＝40°.

(2)∠C＝90°，

sin∠CAE＝＝.

CE＝2，AE＝3，AC＝.

EA＝EB＝3，BC＝5，

tanB＝＝.

20.

【答案】

[解析]

(1)过点A作AEBC于点E，根据cosC＝，求出∠C＝45°，根据AC＝，求出AE＝CE＝1，根据tanB＝，求出BE的长；

(2)根据AD是ABC的中线，求出CD的长，得到DE的长，进而求得sin∠ADC的值．

解：(1)如图，过点A作AEBC于点E.

cosC＝，

∠C＝45°.

在RtACE中，CE＝AC·cosC＝×＝1，AE＝CE＝1.

在RtABE中，tanB＝，即＝，

BE＝3AE＝3，

BC＝BE＋CE＝4.

(2)AD是ABC的中线，CD＝BD＝2，

DE＝CD－CE＝1.

AEBC，DE＝AE，∠ADC＝45°，

sin∠ADC＝.

21.

【答案】

解：(1)如解图，过点D作DEAA′于点E，由题意得，

AA′∥BC，

∠B＝∠FAB＝30°，(2分)

又AC＝60

m，

在RtABC中，sinB＝，即＝，

AB＝120

m.

答：A，B之间的距离为120

m．(4分)

(2)如解图，连接A′D，作A′EBC交BC延长线于E，

AA′∥BC，∠ACB＝90°，

∠A′AC＝90°，(5分)

四边形AA′EC为矩形，

A′E＝AC＝60

m，

又∠ADC＝∠FAD＝60°，

在RtADC中，

tan∠ADC＝，即＝，

CD＝20

m，(8分)

DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝30＋20＝50

m，(10分)

tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝＝＝，

答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为.(12分)

22.

【答案】

解：图①变形到图②后两轴心BC的长度发生了变化．

如图①，过点D作DFBE于点F，则BE＝2BF.

由题意知BD＝DE＝30

cm，

BF＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，

BE＝2BF≈36(cm)，

则BC＝BE＋CE≈76(cm)．

如图②，过点D作DMBC于点M，过点E作ENBC于点N，则四边形DENM是矩形，

MN＝DE＝30

cm，EN＝DM.

在RtDBM中，BM＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，DM＝BD·sin∠ABC≈30×＝24(cm)，EN≈24

cm.

在RtCEN中，CE＝40

cm，

CN≈32

cm，

则BC≈18＋30＋32＝80(cm)．

80-76＝4(cm)．

故图①变形到图②后两轴心BC的长度发生了改变，增加了约4

cm.

23.

【答案】

由题意得，∠A=30°，∠B=45°，AB=10km，

在RtAPM和RtBPM中，tanA==，tanB==1，

AM==h，BM=h，

AM+BM=AB=10，h+h=10，

解得h=15–5≈6．

答：h约为6km．

24.

【答案】

解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)(2分)

＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(3分)

＝×－×

＝.(4分)

(2)在RtBDE中，

∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，

tan∠BDE＝，即tan75°＝＝2＋，(5分)

BE＝14＋7，(6分)

篇（4）

日

期：___________

2021年九年级下册数学教学总结

回顾九年级数学总复习工作,应当说是取得了一定成绩。现总结如下：

我认为九年级总复习是重要的教学阶段,是学生再学习的过程,也是全面提高学生文化素质,发展学生思维能力,培养学生分析问题解决问题能力的“收获季节“,是学生继续学习和参加工作的准备阶段,每位教师应负起责任,让学生满载着素质教育的丰硕果实结束义务教育。

一、总复习工作面向全体学生

我的具体做法是:

㈠教师的板书与学生的板演

教师的板书应体现知识的发生过程,知识之间的纵横联系,对问题的解答要让学生看解题思路及学生参与情况,教师的板书布局要合理,层次要分明,电教手段运用要和谐。

强化学生板演作用,让不同层次学生都有机会表现,因为学生板演可为教师提供反馈信息,如暴露知识上的缺欠,可弥补讲课中的不足,同时,学生板演中出现的优秀解题方法,为教师提供向学生学习的良好机会;另外也可以培养学生胆识,培养学生独立思考能力,促进记忆。

㈡注重学生解题中的错误分析

在总复习中,学生在解题中出现错误是不可避免,教师针对错误进行系统分析是重要的,首先教师可以通过错误来发现教学中的不足,从而采取措施进行补救;错误从一个特定角度揭示了学生掌握知识的过程,是学生在学习中对所学知识不断尝试的结果,教师认真总结,可以成为学生知识宝库中的重要组成部分,使学生领略解决问题中的探索、调试过程,这对学生能力的培养会产生有益影响。

首先,教师应预防错误的发生,要了解不同层次学生对知识的掌握情况,调查中发现:

⑴字面理解水平;⑵联系的理解水平;⑶创造性水平

其次,在复习过程中,提问是重要复习手段,对于学生错误的回答,要分析其原因进行有针对性的讲解,这样可以利用反面知识巩固正面知识。

最后,课后的讲评要抓住典型加以评述。事实证明,练是实践,评是升华,只讲不评,练习往往走过场。

㈢关心学习上有困难的学生

对学习有困难的学生特别予以关心,反复采取措施,激发他们学习数学的兴趣,指导他们改进学习方法,帮助他们解决学习中的困难,使他们经过努力,能够达到大纲中规定的基本要求,成为一名合格的初中毕业生。

首先,我找他们促膝谈心,把教师的爱倾注给学生,通过我的热心、体贴、耐心的帮助,学生会从心理体会到师生之间真挚情感,从而激发他们的学习信心。

其次,在课堂教学中,特别在题目的选择上要有梯度,符合他们的认知水平,逐步使他们学习质量有所提高。

最后,在班内开展学习中的互相帮助活动,创设一个良好的复习情境,同时,有计划、有针对性地做好课外辅导工作。

二、要把“发展学生思维能力是培养能力的信心“这思想贯穿整个复习的始终。

、变更命题的表现形式,培养学生思维的深刻性。

、寻求不同的解题途径与思维方式,培养学生的思维广阔性。

3、变化几何图形的位置、形状和大小,培养学生思维的灵活性,敏捷性强化题目的条件和结论,培养学生的思维批评性。

5、变封闭题目为开放型题目,培养学生的思维创造性。

三、做好数学技能的再学习,全面培养学生素质

根据数学大纲的规定,一般认为数学技能指以下___种

⑴运算技能

⑵作图和画图技能

⑶推理技能

为此,在数学复习中,特别在学生练习中我做到了下面几个方面:

第一,正确性。要求学生在解题过程中遵循正确思维规律和形式,在

运算、推理、作图中和所得结论中都要准确无误。

第二、速度。

注重解题速度。

第三、协调性。

篇（5）

一、选择题（本大题共 8小题， 每小题3分，共24 分）1．绝对值是6的有理数是 （ ）A．±6 B．6 C．－6 D． 2．计算 的结果是 （ ）A． B． C． 　 D． 3．半径为6的圆的内接正六边形的边长是 （ ）A．2 　 B．4 C．6 D．84．如图是一个几何体的三视图，已知主视图和左视图都是边长为2的等边三角形，则这个几何体的全面积为 （ ）A． B． C． D． 5．某校共有学生600 名，学生上学的方式有乘车、骑车、步行三种. 如图是该校学生乘车、骑车、步行上学人数的扇形统计图.，乘车的人数是 （ ）A．180 　 B．270 　 C．150 D．2006．函数 的自变量X的取值范围是 （ ）A． 　 B． C． 　 D． 7. 如右图, 是一个下底小而上口大的圆台形 容器，将水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入，设注水时间为t，容器内对应的水高度为h，则h 与t的函数图象只可能是 （ ） 8. 如图所示的正方体的展开图是 （ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7 小题，每小题3分，共21分．）9、.若分式 的值为零 , 则 .10. 已知反比例函数 的图象经过点 （3，－4），则这个函数的解析式为 11 已知两圆内切，圆心距 ，一个圆的半径 ，那么另一个圆的半径为 12． 用科学记数法表示20 120427的结果是 （保留两位有效数字）；13．二次函数 的图象向右平移 1个单位，再向下平移1个单位，所得图象的与X轴的交点坐标是： ；14．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，AOD与BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是 ．15. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆 放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 （ 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ． 三、解答题（本大题共10小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17、（本小题5分） 计算: 18. （本小题5分）先化简，再求值 ，其中x= 。 19. （本小题7分） 已知：如图，四边形 是平行四 边形， 于 ， 于 .求证： .

20.（本小题7分）. 为了解某住宅区的家庭用水量情况，从该住宅区中随机抽样调查了50户家庭去年每个月的用水量，统计得到的数据绘制了下面的两幅统计图．图1是去年这50户家庭月总用水量的折线统计图，图2是去年这50户家庭月总用水量的不完整的频数分布直方图． （1）根据图1提供的信息，补全图2中的频数分布直方图；（2）在抽查的50户家庭去年月总用水量这12个数据中，极差是 米3，众数是 米3，中位数是 米3；（3）请你根据上述提供的统计数据，估计该住宅区今年每户家庭平均每月的用水量是多少米3？

21. （本小题7分） 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．(1)求摸出1个球是白球的概率；(2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出 的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）；(3)现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为 ，求n的值．22. （本小题7分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中 ，按要求画出A1B1C1和A2B2C2：(1)将ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到A1B1C1；(2)以图中的点O为位似中心，将A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到A2B2C2．

23.（本小题7分） 如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°。求该古塔BD的高度（ ，结果保留一位小数）。 24. （本小题8分）已知关于 的方程 .（1）求证：无论 取任何实数时 ，方程恒有实数根；（2）若 为整数，且抛物线 与 轴两 交点间的距离为2，求抛物线的解析式；（3）若直线 与（2） 中的抛物线没有交点，求 的取值范围. 25、 （本小题10分） 已知：如图， 的角平分线，以 为直径的圆与边 交于点 为弧 的中点，联结 交 于 ， ．（1）求证： 与 相切；（2）若 ， ，求 的长． 26、（本 小题12分）已知二次函数y=x2 + bx + c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0,3）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M．问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得PBC是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

部分答案：23. 解：（1）分两种情况讨论.1. 当 时，方程为 　 　方程有实数根 －－－－－－－－1分②当 ，则一 元二次方程的根的判别式 ＝ 不论 为何实数， 成立，方程恒有实数根 －－－－－－－ －－－－－－－2分综合①、②，可知 取任何实数，方程 恒有实数根 （2）设 为抛物线 与 轴交点的横坐标.令 ， 则 由求根公式得， ， －－－－－－3分抛物 线 不论 为任何不为0的实数时恒过定点 或 ，－－－－－－－－－－－－－－4分 或 （舍去）求抛物线解析式为 ， －－－－－－5分（3）由 ，得 　 直线 与抛物线 没有交点 　 所以 ，当 ， 直线 与（2）中的抛物线没有交点. －－7分25、（本小题1 0分）解：（1）因为二次函数y=x2 + bx + c图象的对称轴是直线x=2，所以 b的值是－4。…1分又因为二次函数y=x2 + bx + c图象的过点A（0,3）．所以c的值是3。…………………3分（2）解方程x2 －4x +3=o得，二次函 数图象与x轴的交点B、C的坐标分别是（1，0）、（3，0）………5分（3）一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M（2，－1）。一次函数的解析式是：y=－x/2. ………………6分存在三点（1，－1/2）、（2，－1），（3，－3/2）。……………………7分能分别证明这三点能与B、C构成直角三角形。各给1分。……………………10分

篇（6）

一、选择题（每小题3分，共30分） 1.在直角三角形 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角 的正弦值和正切值（ ）A.都缩小 B.都扩大2倍 C.都没有变化 D.不能确定 2. 如图是教学用的直角三角板，边AC=30 cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，则边BC的长为（） A.30 cm B.20 cm C.10 cm D.5 cm 3.一辆汽车沿坡角为 的斜坡前进500米，则它上升的高度为（ ） A.500sin B. C.500cos D. 4.如图，在 中， =10，∠ =60°，∠ =45°，则点 到 的距离是（ ）A.10 5 B.5+5 C.15 5 D.15 10 5. 的值等于（ ）A.1 B. C. D.2 6.计算 的结果是( )A. B. C. D. 7.如图，在 中， 则 的值是( )A. B. C. D.

8.上午9时，一船从 处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30 分到达 处，如图所示，从 ， 两处分别测得小岛 在北偏东45°和北偏东15°方向，那么 处与小岛 的距离为（ ）A.20海里 B.20 海里 C.15 海里 D.20 海里9. （2012•山西中考）如图，AB是O的直径，C、D是O上一点，∠CDB=20°，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）　 A． 40° B． 50° C． 60° D． 70° 第9题图10. 如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点，连结 交 于点 ,连结 ,若∠ ＝45°,则下列结论正确的是（ ） A． B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分）11.在离旗杆20 m的地方用测角仪测得旗杆杆顶的仰角为 ，如果测角仪高1.5 m， 那么旗杆的高为________m. 12.如果sin = ，则锐角 的余角是__________. 13.已知∠ 为锐角，且sin = ，则tan 的值为__________. 14.如图，在离地面高度为5 m的 处引拉线固定电线杆，拉线与地面成 角， 则拉线 的长为__________m(用 的三角函数值表示). 15.（2014•成都中考）如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，CD切O于点D，连结AD，若∠ =25°，则∠C =__________度.16.（2014•苏州中考）如图，直线l与半径为4的O相切于点A， P是O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PBl，垂足为B，连结PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的值是 ．17. 如图所示， ， 切O于 ， 两点，若 ，O的半径为 ，则阴影部分的面积为_______. 18. 如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中正方形的边长为 ，则正方形A，B的面积和是_________．三、解答题（共66分） 19.(8分)计算:6tan230°－cos 30°•tan 60°－2sin 45°+cos 60°. 20.(8分)如图，李庄计划在山坡上的 处修建一个抽水泵站，抽取山坡下水池中的水用于灌溉，已知 到水池 处的距离 是50米，山坡的坡角∠ =15°，由于受大气压的影响，此种抽水泵的实际吸水扬程 不能超过10米，否则无法抽取水池中的水，试问抽水泵站能否建在 处? 21.(8分) 如图所示，AB为O的直径，点C在O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q.（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连结DC，试判断CD与O的位置关系，并说明理由；（2）若cos B= ，BP=6，AP=1，求QC的长.22.(8分)在Rt 中，∠ =90°，∠ =50°， =3，求∠ 和a(边长精确到0.1).23.(8分) 在 中， ， ， ．若 ，如图①，根据勾股定理，则 .若 不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜想 与 的关系，并证明你的结论． 24.(8分)某电视塔 和楼 的水平距离为100 m，从楼顶 处及楼底 处测得塔顶 的仰角分别为45°和60°，试求楼高和电视塔高(结果精确到0.1 m). 第24题图25.(8分) 如图，点 在 的直径 的延长线上，点 在 上，且 ，∠ °.（1）求证： 是 的切线；（2）若 的半径为2，求图中阴影部分的面积.26.（10分）（2014•北京中考）如下图，AB是O的直径，C是弧AB的中点，O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交O于点H，连结BH.（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长.

期中检测题参考答案一、选择题1.C 解析：根据锐角三角函数的概念知，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角 的各三角函数均没有变化．故选C．2.C 解析：在直角三角形ABC中，tan∠BAC= 根据三角函数定义可知：tan∠BAC= ，则BC=AC tan∠BAC=30× =10 (cm)．故选C．3.A 解析：如图，∠ = ， =500米，则 =500sin ．故选A． 第3题答图 第4题答图4.C 解析：如图，作ADBC，垂足为点D.在Rt 中，∠ =60°， = ． 在Rt 中，∠ =45°， = ， =（1+ ） =10．解得 =15﹣5 ．故选C．5.C 6.D 解析： .7.C 解析： . 第8题答图8.B 解析：如图，过点 作 于点 ． 由题意得， =40× =20（海里），∠ =105°．在Rt 中， = • 45°=10 ． 在Rt 中，∠ =60°，则∠ =30°， 所以 =2 =20 （海里）．故选B．9.B 解析：连结OC，如图所示. 圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC， ∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°， ∠BOC=40°，又 CE为 的切线，OCCE，即∠OCE=90°， ∠E=90° 40°=50°． 故选B. 10. A 解析： 是 的直径， 与 切于 点且∠ ＝ , 、 和 都是等腰直角三角形. 只有 成立.故选A. 二、填空题11.（1.5+20tan ） 解析：根据题意可得：旗杆比测角仪高20tan m，测角仪高1.5 m，故旗杆的高为（1.5+20tan ）m．12.30° 解析： sin = ， 是锐角， =60°． 锐角 的余角是90°﹣60°=30°．13. 解析：由sin = = 知，如果设 =8 ，则 17 ，结合 2+ 2= 2得 =15 ． tan = ．14. 解析： 且 =5 m，∠CAD= ， = ． 15.40 解析：连结OD，由CD切O于点D，得∠ODC= . OA=OD, , 16. 2 解析：如图所示，连结 ，过点O作 于点C，所以∠ACO=90°.根据垂径定理可知， .根据切线性质定理得， .因为 ，所以∠PBA=90°, ∥ ,所以 .又因为∠ACO=∠PBA，所以 ∽ ,所以 即 ，所以 ，所以 = ， 所以 的值是2.17. ， 切 于 ， 两点 ，所以∠ =∠ ，所以∠ 所以 所以阴影部分的面积为 = .18.25 解析：设正方形A的边长为 正方形B的边长为 则 ，所以 .三、解答题19.解：原式= .20.解： =50，∠ =15°，又sin∠ = ， = •sin∠ = 50sin 15°≈13 10，故抽水泵站不能建在 处.21. 分析：（1）连结OC，通过证明OCDC得CD是O的切线；（2）连结AC，由直径所对的圆周角是直角得ABC为直角三角形，在RtABC中根据cos B= ，BP=6，AP=1，求出BC的长，在RtBQP中根据cos B= 求出BQ的长，BQ BC即为QC的长.解：（1）CD是O的切线.理由如下：如图所示，连结OC， OC=OB， ∠B=∠1.又 DC=DQ， ∠Q=∠2. PQAB， ∠QPB=90°. ∠B+∠Q=90°. ∠1+∠2=90°. ∠DCO=∠QCB (∠1+∠2)=180° 90°=90°. OCDC. OC是O的半径， CD是O的切线.（2）如图所示，连结AC， AB是O的直径， ∠ACB=90°.在RtABC中， BC=ABcos B=(AP+PB)cos B=(1+6)× = .在RtBPQ中，BQ= = =10. QC=BQ BC=10- = .22.解：∠ =90° 50°=40°. sin = ， =3， sin ≈3×0.766 0≈2.298≈2.3.23.解：如图①，若 是锐角三角形，则有 .证明如下：过点 作 ，垂足为点 ，设 为 ，则有 .根据勾股定理，得 ，即 . . ， ， .如图②，若 是钝角三角形， 为钝角，则有 . 证明如下：过点 作 ，交 的延长线于点 .设 为 ，则有 ，根据勾股定理，得 ，即 . ， ， . 24.解：设 = m， =100 m，∠ =45°， •tan 45°=100(m). =(100+ )m.在Rt 中，∠ =60°，∠ =90°， tan 60°= ， = ，即 +100=100 ， =100 100 73.2(m)，即楼高约为73.2 m，电视塔高约为173.2 m.25．（1）证明：连结 . ， ， . , . . 是 的切线. （2）解: ， . .在RtOCD中, . . 图中阴影部分的面积为 π. 26. （1）证明：如图，连结OC. C是弧AB的中点，AB是 的直径， OCAB. BD是 的切线， BDAB, OC∥BD. AO=BO, AC=CD.(2)解： OCAB，ABBF, OC∥BF， ∠COE=∠FBE. E是OB的中点， OE=BE.在COE和FBE中， COE≌FBE(ASA). BF=CO. OB=OC=2， BF=2. AB是直径， BHAF. ABBF, ABH∽AFB. ,

篇（7）

一、提出问题

有效教学指的是教师遵循一定的教育、教学规律，以尽可能少的时间、精力、教学设施的投入，取得尽可能多的教学效果。有效教学中的所谓“有效”，主要是指通过教师在一段时间的教学之后，学生所获得的具体的进步或发展。也就是说，学生有无进步或发展是教学有没有效益的唯一指标。教学有没有效益，并不是指教师有没有教完内容或教得认真不认真，而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好。如果学生不想学或者学了没有收获，即使教师教得很辛苦也是无效教学。同样，如果学生学得很辛苦，但没有得到应有的发展，也是无效或低效教学。有效教学的核心问题就是教学的效益，即什么样的教学是有效的，是高效、低效还是无效。有效教学策略，是提高数学教学效率的根本。教与学在教学过程中的关系既对立又统一，传统数学教学中，教师过多地强调了自身教学中的主体地位，学生的主体地位凸现不够。新课程改革给有效教学带来了许多策略，那么如何依据有效教学的理念去选择与运用教学策略呢，笔者对教学情境和问题提问两个教学策略进行了实践研究。

二、研究假设

学生是课堂学习活动的主体，没有学生参与，也就没有课堂教学。有效的教学取决于“在现代教育理论的指导下，师生双方进入教学活动，自主地、主动地、创造性地完成教学任务的一种倾向性表现行为”。课堂中学生的行为是否有效，要看课堂中教师情境的创设、问题的设计、正确的引领，要看学生思维的活跃程度、主体的参与广度、问题探讨的深度、时间掌控的尺度。如果学生是在实践中学习，在探讨中自我表现、自我体验、自我建构，在交流中自我反思、自我归纳、自我提升，那么，课堂教学中学生的行为就是切实有效的。

三、研究方法

1.文献法

通过中国知网数据库、万方数据库、龙源数据库以及区图书馆等途径对教学情境和问题提问两种教学策略进行了理论方面和实践方面的对比研究。

2.问卷调查法

为了使两个策略的运用设计有更强的针对性，笔者对自己所任教的班级学生进行了问卷调查，同时也进行了教育问题资料的收集。

3.课堂观察法

（1）学生的参与状态

在课堂上学生主体地位的确立，是以一定的提问参与度作保证的，学生没有参与，提问参与得不够，就算不上“主体”。学生提问的参与状态，既要看参与的广度，又要看参与的深度。就广度而言，学生在参与课堂教学的各个环节，积极进行课堂教学提问；就深度而言，学生积极主动地探究问题，活跃了课堂气氛。课堂中学生全面参与、主动探究、积极表达，肯定是有效的学习活动。

（2）生生的交流状态

课堂上，教师创设了民主、平等、宽松、和谐的学习环境，让学生感到自己在这个环境里是安全的、融洽的、自主能动的，能和同学、教师甚至教材进行平等的提问。他说错了，没有关系；他提出问题，有人关注；他不认同教师，不会受批评；他对教材有异议，也没有人指责。当他学习困难时，会得到善意的帮助；当他取得成功时，会得到诚挚的祝贺。在这个过程中，师生、生生分享彼此的思考、见解和知识，交流彼此的情感、观念与理念，才有可能丰富教学内容，求得新的发展，实现教学相长。这样的课堂提问是有效的。

（3）目标的达成状态

一堂课，课堂教学是否有效，要看学生是否获得了丰富的知识，是否有真挚的情感与探索体验，这就是学生接受知识的程度与效果。在课堂上，如果学生掌握了这些知识，并将这些新知识纳入自己原有的知识体系中进行融会贯通，那么，这样的课堂教学是有效的。

4.座谈法

利用课前和课后的空闲时间与学生座谈，与学生对教师课堂上的教学情境创设和问题提问的有效性进行交流，旨在为后续的提高做好参考。

四、策略设计与实践过程

1.教学情境的构建与实践

（1）利用生活素材创设教学情境

弗赖登塔尔认为，数学的根源在于普通的常识，学生实质上是人们常识的系统化，因而每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践活动来获得这些知识。因此，教师可以通过有目的地向学生提供一些生活素材来创设问题情境，引导学生积极主动的思考。以概念课《余弦定理》教学为例：（备注：以下引用《余杭教育》2004年5月刊的《加强学法指导，促进有效学习――新课程标准下大面积提高普高学生数学成绩的实践与探索》）

问题一：现有皮尺和经纬仪等工具，要测量一山体两底侧A、B两点间的距离（如图） 。 请你想办法解决？

学生A：直接测量，达不到目的。用工具经纬仪可以测角……（陷入沉思）

教师： 需要用角求边长，有边有角，该放在什么地方？

学生B：连结AB，在地面上选一点C，构造三角形ABC，用经纬仪测出角∠ACB=α，在用皮尺测出边长AC=b，BC=a，就可以求AB的长。

教师： 你能肯定这样可以求AB，如何求？

学生B：根据三角形全等的SAS判定定理，三角形ABC 是唯一确定的，因此AB也唯一。但我不会求。

教师： 刚才B同学的判断是正确的，已知两边夹角，可以求第三边。请大家结合三角形的特点，帮助他把AB的长求出来。

学生C：适当选位置C，测出α=90°，再测出a、b，则AB= 。

教师：很好！复杂问题特殊化。直角三角形是三角形的特殊情况，如果能构造直角三角形，角与边的关系就容易处理。

问题二：假设使α=90°的C点落在山上，你也能解决吗？

学生D：如B所说的办法，过B作BCAB，构造RtABC即可。

教师：由于AB连线被山所挡，故无法作BC， RtABC不能完成。怎么办？

学生E：如B所说的办法，构造一般ABC也行。

教师：不妨令α=60°，a=4，b=3，请大家试一试？（要求学生交流协作，教师巡回指导，间或也参与讨论，适时点拨。经过激烈的讨论后，学生中形成两种有代表性的意见。）

学生F：过A作BC的高AD，把ABC分成 RtABD和RtACD，则……

师：你们为什么想到这样做呢？

学生F：前面Rt能解决， 把一般ABC分成几个Rt，也应该能解决。

学生G：正弦定理能解决一般ABC已知两角一边，两边一角求其他边角的问题。此问题是两边一角求边，所以我就去尝试。

教师： 两位同学都说得很好！不熟悉的问题转化为我们熟悉的方法去解决，这是化归思想。我们解决问题常常会用到这种思想。

教师：大家继续思考：既然已知两边及其夹角就能求第三边，那么第三边的值也可以用两边及其夹角来直接表示，你们推导一下，会怎样？（由前面的成功尝试，同学们的积极性很高，纷纷加入讨论，大胆发表看法）

学生H：保持已知边及角的原形，由F可知：

AB2=（3sin60°）2+（4-3cos60°）2=32+42-2*3*4cos60° （*）

教师：两位同学的推导结果是一样的，从中你能发现什么？

学生J：任何一个三角形的一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

教师：你能证明吗？

从上面设计和应用的效果，我的体会是，用学生认知结构中已经具备的旧知识去解决新问题时，学生往往缺乏联系，这时教师可以适当加以引导，启发学生积极寻找新旧知识的生成点，大胆地尝试。实现学习活动及其构成也不能单纯看成是个人的进程，而应该是师生、学生间的共同活动，其中包括一起分析并寻找联系与解答，一起设计与证明，一起检验与评估其结果。通过问题的解决，让学生亲身经历对新知识的“理解”和“消化”的过程，达到认知结构的整合，从而创设一个良好的“学习共同体”。

（2）利用求知欲望创设教学情境

心理学揭示的规律告诉我们，愉悦的情感体验可使学生感知敏锐，思想活跃，积极向上。课堂教学中，教师可创设情感情境，勾起学生强烈的求知欲望，激发起他们的交流冲动和热情。例如，以由概念生成公式课的“对数运算”的教学情境创设为例：首先改变教学的组织形式。前后桌6人一小组，把学生分成若干个小组，营造合作学习的氛围。其次，发放事先印制的表格，明确任务，教师明确要求，对活动做出指导和要求：①下一节课是研究两个（正）数的对数的和、差、积、商与这两个数的和、差、积、商的对数之间的关系。要求学生自己选取M、N的值，用计算器计算后，把数据填写在相关位置，观察同一列中计算结果的关系。②请前桌的学生面向后桌的学生，这样前后桌依次组合6人一小组。③每一个小组选出一个组长。为便于学生研究问题，发放事先印制的表格。这个表格的纵向是开放的，即学生可以自己设立计算项目，如真数乘方或者开方的对数。横向M、N数据也没有给出，学生可以自己任意选取M、N的值，如以大伙的年龄、班级的人数等作为M、N的值，寓教于乐。（详见表1）为说明起见，假定某小组所列出的表格如下：

教师要把教学的重心放在结论的确认上，即便为了训练学生的思维应证明方法的多样性（并不是否认证明的多样性不需要）上。这里的教学设计尝试着让学生利用计算器，经过自己动手计算、观察等一系列数学活动去发现数学结论，大致经历着前人发现对数运算法则的过程。

（3）利用题组对比创设教学情境

课堂教学中有些教学内容可能比较枯燥，这时候需要教师对教学方式作出相应调整，以达到吸引学生注意力、加强教学内容的目的。新课程理念下特别强调学生的活动，数学活动课的形式多种多样。我们可以通过这些活动的设计，创设课堂情景，激发学生提问的兴趣，让他们在提问中发展智力、丰富知识、体验情感、感化熏陶。以复习课“不等式”和“概率”题组对比教学情境设计为例：

题组1：

①若不等式的解集为

则（ ）

②若不等式的解集是

则的值等于（ ）

（A）-10 （B）-14 （C）10 （D）14

③关于x的不等式的解集为或，关于x的不等式的解集是（ ）

（A） （B）

（C） （D）

④若不等式ax2+x+a

（A）a≤-或a≥

（B）a

（C）-≤a≤

（D）a≥

⑤若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是（ ）

⑥若不等式的解集为，则实数等于（ ）

（A）5 （B）2 （C）-1 （D）-2

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【中图分类号】G423 【文献标识码】A 【文章编号】1006-5962（2012）12（a）-0188-01

新课程理念是在“以人为本”的素质教育基本思想中提出的，它充分体现了学生在教学中的主体地位。新课程理念强调学生能够积极主动、勇于探索地进行学习，并且主动参与到学习中去，增进师生之间的交流，提高教学效率。随着课程改革的深入，自主探究的学习模式也逐渐成为了当前教学改革的重点。信息技术是一门理论与实践紧密联系在一起的学科，其具有极强的实践性和创造性，并且是与时展的特点紧密结合在一起的。其教学目的是要培养学生对信息技术学习的基本兴趣，并且掌握基本的知识和技能，适应现代社会的发展。新课程理念下应该如何完善中学信息技术的教学策略是我们值得深思的问题，具体来说笔者认为包括了以下几个方面：

1 采用目标教学法

目标的确立能够大大提高课堂教学的效率，尤其是在新课程理念下通过确立教学目标，能够大大提高学生参与课程教学的积极性和主动性。学生能够通过从学习需求的角度去主动寻求解决的办法，当学习到相关技能之后能够将其运用到实际操作中去。目标教学的方法是教师采用任务布置的方式，以任务作为驱动力来培养学生自主学习的能力，并且给予学生必要的指示，帮助其更好地实现学习目标。比如在教学生如何在word中插入图片时，可以布置任务让学生制作板报，学生在联系插入图片的同时发挥创造力和想象力，不同的插入方式也会产生不同的美化效果，最终实现不同的排版和要求。

目标教学法是运用任务驱动来推动教学发展的一种重要的教学方法，是信息技术课堂中常用的方法，教师可以设计一些学生感兴趣的任务，提高学生参与课堂的积极性和主动性。

2 构建小组合作学习的教学模式

新课程理念中对学生的团队合作能力以及集体主义精神提出了更高的要求，构建小组合作学习的教学模式对于培养学生合作互助的精神具有重要意义。在小组合作学习的模式下，学生通过分享自己在信息技术学习过程中语带的困难和难题，在小组内寻求帮助，共同解决问题，当出现组内无法解决的问题时，可以寻求教师的帮助，教师通过整合各个小组的实际情况在课堂上予以重点和难点的讲解，引导学生主动探索问题，减少对教师的依赖。

小组合作的模式对于提高学生自主学习的习惯具有重要的意义，它给每一个学生一个参与学习和展示自我的空间，在组内学生可以充分表达自己的观点，通过组内的交流和探讨不断完善自己对知识的认识和理解，同时组内讨论的过程也是思想碰撞和创造力萌生的过程。独立思考与合作学习紧密结合自爱一起，让不同的知识在这里碰撞，不同的观点在这里分享，最终提升信息技术课堂教学的效率。

3 培养学生自主学习的习惯

培养学生自主学习的习惯，是要让学生学会主动去探究和解决问题，这是与新课程理念的要求紧密结合在一起的。传统的教学模式下，学生在学习中处于明显的被动格局，死记硬背、机械地参与课堂训练。因此在新课程理念下，就必须强调学生主动参与的能力，让学生学会主动探究，勤于动手，培养学生主动搜集和处理信息的能力以及获得新的知识的能力。有意识地培养学生自主学习的习惯对于适应新课程理念的要求，提高信息技术教学的效率具有非常重要的意义。例如在信息技术教学中可以通过搭建网络学习平台来促进学生的自主学习，同时通过网络平台促进学生与教师之间的沟通和交流，养成学生自主学习的好习惯。网络平台也是一个分享和下载教学资源、指导学生学习的一个重要平台，它将信息技术的学习从课堂延伸到了课外，为学生提供了一个良好的学习空间，创造了有利的自主学习的条件，从而有利于培养学生自主学习的习惯。

篇（9）

0 引言

初中数学是学生数学学习的关键阶段，尤其是在新课程理念下，在初中数学教学中，突出了以学生为主体的地位。对学生来说，学生的数学学习是根据已有的数学知识，加上教师课堂上的有效教学共同完成的。因此初中数学课堂教学的有效性就变得非常重要，教师需要在充分掌握初中数学教材的基础上，对课堂教学实行针对性的设计，使教学内容能够切实提高初中学生的数学成绩，同时又能锻炼学生的综合素质，以达到素质教育的要求。

1 我国初中数学教学现状分析

1.1 初中数学教学方式陈旧

在新课程理念下，虽然很多教师认识到改变教学方式的重要性，但是从实际来看，初中数学教学课堂上教师教学方式依然过于陈旧。受长期教学经验的影响，在初中数学教学中，教师只是一味对学生进行知识点的讲解，教师保留着教学课堂上绝对的主导地位。受初中数学这门学科的特殊性，学生在课堂学习中容易产生枯燥乏味的现象出现，而传统的教学观念教师和学生之间往往缺乏足够的沟通，使得学生的自主性长期得不到锻炼[1]。在数学学习中学生一直处于被动接受的状态，这导致学生在初中数学课堂上参与性不高，这在很大程度上降低了学生的学习能力。数学学习成绩得不到提高，从而导致学生渐渐失去数学学习的兴趣，因此需要教师在课堂上提高数学教学的设计，重新培养起学生对数学学习的热情。

1.2 初中数学教学不注重理论和实际的结合

从初中数学知识点的情况来看，知识和实际应用之间的关系比较密切，尤其是一些注重实践能力的问题，初中数学知识都有广泛的应用空间。在新课程理念下，更加需要教师在数学教学上充分结合实际情况，着重培养学生将理论知识融进生活的能力，真正实现学以致用。从目前来看，初中数学教师并没有将这种教学方式付诸在教学课堂上加以实现，而是以提高学生解题能力为主要目的，过于对学生进行理论教育，导致学生对数学的魅力了解不够，造成学生丧失继续探索数学实际应用的兴趣[2]。因此应该积极创新自己的教学方式，在数学教学设计上为学生提供将理论和实践联系起来的教学方案。

1.3 初中数学教学没有充分运用先进的教学技术

在初中数学教学课堂上，有些知识点在学习起来比较抽象，也有一些知识点的逻辑性较强，这时候教师在教学设计上应该充分借助学校现有的先进教学技术，帮助学生更加容易理解数学知识点的本质，以促进学习效率的提高[3]。在计算机广泛应用的今天，信息技术应该为初中数学教学所用，教师应该认识到计算机技术对数学教学的价值，在数学教学设计上引入计算机教学方式，这样不仅能为学生营造一个良好的学习氛围，对学生学习兴趣的培养也能起到很好的促进作用，做到寓教于乐。

2 新课程理念下初中数学教学设计的具体方法研究

2.1 教学设计带来教学方式的改变

在初中数学教学中，教师应该对传统教学模式做出改变，特别是在新课程理念下，应该以学生作为教学的主体，积极为学生提供自由发挥的机会，让学生真正成为学习生的主人。首先教师应该改变以往课堂上气氛过于严肃的现象，注意营造起一种轻松的学习氛围，这样学生才能在学习中化被动为主动，在提高学生积极性的同时，增加了教师与学生之间的交流。另外，教师在教学设计中应该注重学生学习兴趣培养，树立起学生对数学学习的热情[4]。针对初中数学中知识点逻辑性较强的特性，首先需要教师在教学设计上为学生的学习提供兴趣切入点，以免学生对数学学习理解困难，造成学习兴趣的丢失。对数学教师来说，教学设计需要从学生身边熟悉的事物着手，合理安排教学内容，通过有效设计教学方案，促进教师教学质量的提高。例如，现如今手机得到了广泛的使用，在初中数学增长率的学习中，教师可以借用手机中支付宝的使用，来提高学生的学习兴趣。在教学设计上，教师可以以自己手机余额宝账户为依据，在余额宝账户中存入一定金额的钱，然后针对余额宝每天利率的不同，让学生计算出账户中每天加了多少钱。在这个过程中，虽然学生需要掌握的知识点具有较强的逻辑性，但是教师选用的是学生比较感兴趣的事情，因此在课堂教学上，学习气氛更够得到很好的改善，与此同时这种生活化的教学设计，能够充分引起学生的学习兴趣，大大增强了学生学习效果的提升。

2.2 教学设计让理论与实践相结合

总的来说，数学知识是以人们生活息息相关的学科，教师在教学设计的时候，应该注重数学知识点在实际生活中的运用，这样一方面能有效培养学生对数学的学习热情，让学生认识到数学学习在生活中的作用，充分感受到数学学习的魅力，从而为数学学打下坚实的基础[5]。另一方面将数学理论知识和时间结合起来，能够帮助学生对数学抽象知识的理解，使教师的教学实现事半功倍的效果，对提升初中数学教学质量起到很好的促进作用。例如，在学习正方体的过程中，由于正方体相对于平面图形在理解上比较抽象，这就需要教师在教学设计上加以改进。在教学之前，教师可以为学生提供一些正方体的实物，作为教学上的模型，比如魔方等，在教学过程中通过对正方体进行分割处理，让学生全面了解正方体的内部构造，并结合魔方的学习和娱乐，让学生充分对正方体的学习产生一种钻研的态度，进而对长方体、球体等一系列的学习带来推动作用，从而达到举一反三、触类旁通的效果。

2.3 有效利用先进的教学技术

在新课程理念下，教师教学方式的改变不仅仅体现在观念的改变上，还需要在教学设计中积极引进先进的教学工具，以达到教学质量的提升[6]。因此教师应该充分借助学校现有的资源，在熟悉初中数学教材的同时，也应该掌握现代化科技对教学的影响，做到与时俱进，运用先进的教学工具，以促进教师教学质量的提高。例如在学习函数的时候，针对函数的移动关系，学生的头脑中没有形成一个动态的观念，这时候如果教师一味地进行讲述，学生的理解也非常有限。因此教师在进行教学设计的时候，需要借助学校多媒体教学，通过多媒体动画的方式，能够很好地反映出函数的变化规律，这对于学生的理解具有很好的意义。其次多媒体还有反复教学的优势，通过不断演示函数移动中比较难理解的部分，对函数能够获得彻底的学习。此外，在多媒体教学中，教师和学生可以通过边学习边讨论的方式，随时在需要讨论的地方暂停，然后还可以前后对比演示，让学生更加直观的找出函数移动的规律，充分学习到函数的本质，同时对教师教学也是极大的帮助。

3 结语

综上所述，新课程理念下初中数学教学应该更加迎合时代的发展，通过教学设计为学生提供一个全面发展的环境，着重培养学生的创新能力和自主学习的能力，帮助学生养成良好 学习习惯，为今后的学习打下基础。

参考文献：

[1]林长英.新课程理念下初中数学开放式教学对策分析[J].中学课程辅导（教师教育），2016（22）.

[2]吴进权.初中数学教学关键点设计策略与思考[J].数学学习与研究，2016（16）.

[3]王珊珊.初中数学“综合与实践”实施现状的研究[D].延边大学 2016.

篇（10）

课堂导入是教师引导学生参与学习的过程和手段，它是课堂教学的必需环节，也是教师必备的一项教学技能；它既是学生主体地位的依托，也是教师主导作用的体现。恰当的导入利于营造良好的教学情境，集中学生的注意力，激发学习兴趣，启迪学生积极思维，唤起求知欲，为取得良好的教学效果奠定基础。笔者在十余年的数学课教学中深感好的导课方法能激发学生的上课热情和求知欲望，是提高教学质量的一个有效途径。现根据自己和同行的经验，把自己在教学实践中最常使用的几种数学课的导入方法介绍如下，以期和同仁共同探讨。

一、数学课堂的导入方法

1、温固知新导入法

温固知新导入法，可以将新旧知识有机的结合起来，使学生从旧知识的复习中自然获得新知识，解决新问题。例如：在讲八年级下学期分解因式这一章第三节的应用公式法时（八年级数学·下册·54页·北师大版2007年11月第五版），先复习上学年学过的平方差公式（七年级数学·下册·35页·北师大版2005年10月第四版），在此基础上引导学生进行因式分解。这样导入，学生能从旧知识的复习中，自然得到新知识，从而获得解决新问题的快乐感。

2、反馈导入法

根据信息论的反馈原理，在上课前给学生提出一些问题，在上课时根据学生的反馈给予肯定或纠正后导入新课。如在上直角三角形习题课（九年级数学·下册·31页·北师大版2007年5月第四版）时，课前可以先拟一个有代表性的练习题让学生讨论，然后收交学生的练习，根据学生的练习情况，在上课时进行总结并导入新课。

3、直接导入法

它是一上课就把要解决的问题提出来的一种方法。如在讲两条直线平行的定理时（八年级数学·下册·229页·北师大版2007年11月第五版），先将定理的内容写在黑板上，再指导学生进行证明。这类似于目标教学法，学生对当堂所学的内容一目了然，记忆清晰。

4、演示教具导入法

演示教具导入法能使学生把抽象的东西，通过演示教具形象、具体、生动、直观地掌握。例如：在讲直线平行的条件时（七年级数学·下册·139·北师大版2005年10月第四版），教师先做好三根木条A、B、C，用木条C将木条A、B间隔订好，然后固定木条B、C，转动木条A，让学生观察转动木条角度与木条位置的关系，木条A与B何时平行，从而得出结论：同位角相等，两条直线平行。这种教学方法，使学生印象深，易理解，记得牢。

5、设疑式导入法

设疑式导入法是根据中学生追根求源的心理特点，一上课就给学生创设一些疑问，创设矛盾，设置悬念，引起思考，使学生产生迫切学习的浓厚兴趣，诱导学生由疑到思，由思到知的一种方法。

例如：在教三角形全等的条件这一节时，我给同学们提出了这样一个问题：有一个同学家有一块三角形玻璃，他能不能在一块大玻璃上切割出一块同样大小的三角形玻璃呢？同学们议论纷纷。然后，我向同学们说，要解决这个问题要用到三角形的判定。现在我们就解决这个问题--三角形全等的条件。（七年级数学·下册·157页·北师大版2005年10月第四版）

6、亲手实践导入法

亲手实践导入法是组织学生进行实践操作，通过学生自己动手动脑去探索知识，发现真理。例如在讲三角形内角和为180°时，让学生将三角形的三个内角剪下拼在一起，从而从实践中总结出三角形内角和为180°，使学生享受到发现真理的快乐。（七年级数学·下册·139页·北师大版2005年10月第四版）

7、类比导入法

在讲相似三角形的知识时，可以从全等三角形的知识为例进行类比。全等三角形的对应边、对应角、对应线段、对应周长等相等。那么相似三角形这几组量又是怎么样的关系呢？引导学生推导证明。这种方法使学生能从类推中促进知识的迁移，掌握新知识。（八年级数学·下册·127页·北师大版2007年11月第五版）

8、强调式导入法

这是根据中学生对有意义的东西感兴趣的特点，一上课就叙述本课或本章的重要性的一种方法。例如：三角形是平面几何的重点，而圆是平面几何重点的重点，它在中考试题中占有重要地位，是将来学习深造的基础，今天，我们就学习--第三章圆。（九年级数学·下册·89页·北师大版2007年5月第四版）

二、由课堂导入引起的反思

1、导入要有概括性。

课堂导入应当抓住最实质、最主要的内容，做到少而精，以少胜多，以简驭繁。切忌词不达意，南腔北调，天马行空，不着边际，啰嗦不止。最好能用寥寥数语，就使学生怀着迫切的心情进入新课，从而实现"无疑-有疑-无疑"的认知转化过程。

2、导入要有针对性。

导入方式的选择，最根本的还是要依据教学内容，联系学生的实际。在设计导入方式时教师要很好地把握教材内容上的特点，依据学生心理和知识储备的情况，来选择合适的导入方式。同时，选择导入方式的依据，也离不开教师自身的特点。因为，每位教师在性格气质、职业素质上都存在着不同的个体差异，这些都会自觉或不自觉地产生一定的影响。

3、导入要有直观性。

运用多种直观手段，既可使知识具体化、形象化，给学生留下清晰的表象，为学生感知、理解知识创造条件，又可激发起学生的学习兴趣，培养学生的观察力。直观演示式导入能引燃学生好奇心与想象力的火花，使学生迫不及待地进入课本摄取知识营养，更有利于培养学生探索科学奥秘的精神。

4、导入要有启发性。