七年级数学知识总结汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇七年级数学知识总结范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

篇（1）

七年级上册数学知识11、三角形由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

2、判断三条线段能否组成三角形。

①a+b>c(ab为最短的两条线段)

②a-b

3、第三边取值范围：a-b

4、对应周长取值范围

若两边分别为a,b则周长的取值范围是2a

如两边分别为5和7则周长的取值范围是14

5、三角形中三角的关系

(1)、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。

n边行内角和公式(n-2)

(2)、三角形按内角的大小可分为三类：

(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形;

(2)直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。

(3)钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

(3)、判定一个三角形的形状主要看三角形中角的度数。

(4)、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

6、三角形的三条重要线段

(1)、三角形的角平分线：

1、三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

2、任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

(内心)

(2)、三角形的中线：

1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

2、三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。

(重心)

3、三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形

(3)、三角形的高线：

1、从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。

2、任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

(垂心)

3、注意等底等高知识的考试

7、相关命题：

1)三角形中最多有1个直角或钝角，最多有3个锐角，最少有2个锐角。

2)锐角三角形中的锐角的取值范围是60≤X

3)任意一个三角形两角平分线的夹角=90+第三角的一半。

4)钝角三角形有两条高在外部。

5)全等图形的大小(面积、周长)、形状都相同。

6)面积相等的两个三角形不一定是全等图形。

7)能够完全重合的两个图形是全等图形。

8)三角形具有稳定性。

9)三条边分别对应相等的两个三角形全等。

10)三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

11)两个等边三角形不一定全等。

12)两角及一边对应相等的两个三角形全等。

13)两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等。

14)两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

15)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

16)一条斜边和一直角边对应相等的两个三角形全等。

17)一个锐角和一边(直角边或斜边)对应相等的两个三角形全等。

18)一角和一边对应相等的两个直角三角形不一定全等。

19)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。

8、全等图形

1、两个能够重合的图形称为全等图形。

2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。

9、全等三角形

1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。

2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

10、全等三角形的判定

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

11、做三角形(3种做法：已知两边及夹角、已知两角及夹边、已知三边、已知两角及一边可以转化为已知已知两角及夹边)。

12、利用三角形全等测距离;

13、、直角三角形全等的条件：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

七年级上册数学知识2一理论理解

1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量Y是因变量。

自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。

3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.

2、能确定变量之间的关系式：相关公式①路程=速度×时间②长方形周长=2×(长+宽)③梯形面积=(上底+下底)×高÷2④本息和=本金+利率×本金×时间。

⑤总价=单价×总量。⑥平均速度=总路程÷总时间

二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。

三.关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

四、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象;b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标)，特别是图像的起点、拐点、交点

八、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：

1.随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大));

2.随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而减小).

注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)等等.

九、估计(或者估算)对事物的估计(或者估算)有三种：

1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数-首数)/次数或相差年数)等等;

2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值;

3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.

七年级上册数学知识3一、事件:

1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。

2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。

也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%(或1)。

3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。

也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。

4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。

二、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。

1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P(A)=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。

2、必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1;

3、不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0;

4、不确定事件发生的概率在0—1之间，记作0

三、几何概率

1、事件A发生的概率等于此事件A发生的可能结果所组成的面积(用SA表示)除以所有可能结果组成图形的面积(用S全表示)，所以几何概率公式可表示为P(A)=SA/S全，这是因为事件发生在每个单位面积上的概率是相同的。

2、求几何概率：

(1)首先分析事件所占的面积与总面积的关系;

篇（2）

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）50-0097-02

一、引言

新形势下，随着现代化教育事业的不断发展，以及各种新型教学模式的提出和应用，促使高效课堂在初中院校的开展工作越来越受到人们的普遍关注及重视。高效课堂的教学工作的开展，是各大初中院校紧跟时代步伐的表现，也是各大初中院校实现传统教学模式向新型教学模式转变的有效途径。通过高效课堂的开展，不但能够提高教师的教学质量和效率，保证教师教学任务的顺利完成，同时，还能够有效地提高学生的积极自主能力，提高学生的知识掌握能力。可见，加大开展高效课堂的研究力度有着不容忽视的意义[1，2]。为此，本文通过结合高效课堂在七年级数学教学过程中所涉及的一些知识内容展开讨论，现具体分析如下。

二、七年级数学高效课堂的现状及其存在的问题

1.七年级数学高效课堂的现状分析。高效课堂，作为现阶段师生交流知识、情感及生活的一种理想方式，能够最大限度实现教学过程的最优化，并保证教学效果的理想化。从当前高效课堂在七年级数学教学中的实验情况来看，人们普遍认为，开放式的课堂对于教学工作更具有可行性。尤其是在新课程改革的背景下，采用师生互动、情感教学、任务驱动式教学等高效课堂的教学模式，相对于传统的教学模式来说，更能够满足以“教师为主导，学生为主体”的现代教育理念的要求，促使七年级数学高效课堂的教学在各初中院校均得到了不同程度的应用和发展[3]。不过，就目前来说，在七年级数学中推进高效课堂教学，还受到来自于效率、标准及途径等几个方面教学因素的制约，需要引起各初中院校的高度重视。

2.现阶段七年级数学高效课堂存在的问题。新时期下，推进高效课堂教学模式在七年级数学课程中的应用，是提高数学教学质量、保证教学任务顺利完成的重要途径。不过，由于受到传统教学模式、当前高效课堂开展现状等多种因素的影响，在相当程度上阻碍了高效课堂在七年级数学教学中的推广应用[2]。具体原因有以下几点。（1）传统教学模式给七年级数学高效课堂的开展带来的影响。长期以来，大多数教师都是采用传统的数学教学方式向学生传授知识。传统教学方式主要表现为：①教师单向性传授课本知识，学生一味接收知识，久而久之会导致学生失去主动积极性，对教师产生依赖心理；②一切从学生成绩出发，大搞题海战术，不重视对学生综合素质能力的培养；③部分教师缺乏学习心，对于新知识、新内容学习能力不够等。由于传统教学方式在各大初中院校的教学工作当中根深蒂固，给高效课堂的开展带来了一定的阻力。（2）推进七年级数学高效课堂教学存在的问题。从当前来看，推进七年级数学高效课堂的工作，主要存在以下几个方面的问题。包括：①在数学教师方面，大多数教师的年龄偏高，在与学生交流的过程中，缺乏一定的亲和力，且对于现今学生的认知领域及价值观念不理解；而年轻教师教学任务相对较重，没有充沛的时间、精力开展高效课堂教学；此外，部分数学教师在实施高效课堂教学缺乏经验、在研究高效课堂教学方面存在畏难情绪，或是受自身素质能力限制，研究不够深入等，都给高效课堂的推进带来影响。②在初中院校方面，现阶段大多数初中院校仍处于传统教学与高效课堂教学的转变阶段，学校教学新观念还不够明确；大多数初中院校缺少开展高效课堂教学的资料、培训课程及教学工具等，无法真正投入到高效课堂的教学工作中；此外，初中院校在开展高效课堂教学大多停留在编写模式的理论环节上，对于每个环节的组织不够深入、驾驭能力不高等。

三、构建七年级数学高效课堂的有效途径及实例

1.重视“教师为主导，学生为主体”的现代教学理念。在开展高效课堂的研究工作中，教师应该树立“教师为主导，学生为主体”的现代教学理念，并认真落实到指导学生的学习当中，重视对学生综合素质能力的培养，以及自主、合作及探索能力的培养，从而确保教学工作的质量及效果。例如在学习平行线性质的过程中，教师可以通过指导、引导学生进行自主思考，并给予学生一定的讨论和配合研究时间，让学生在宽松的环境中充分展开想象和联想，最终高效掌握平行线性质，实现对学生逻辑推理思维的锻炼。

2.重视对数学课堂的各个教学环节的优化。在七年级数学的课堂教学中，一般包括了激发学习兴趣及动力，领悟知识、巩固知识、运用知识及检查知识等几个环节。其中，在优化领悟知识的环节上，教师可以通过以下几个步骤进行。一是借助形象有趣的教学内容，例如在空间里的平行关系的学习过程中，教师可以通过实物模型，引导学生对直线与直线、直线与面、面与面等空间平行关系进行自主思考，从而调动学生兴趣；二是发挥学生主体作用，可以通过小组抢答的形式，确保所有学生都参与到课堂教学当中，同时，还需要保证学生有充裕的讨论时间；三是发挥教师的引导作用，要求教师加强理论知识与实际生活的联系，通过实际生活中的事例，提高学生对数学中的重点难点的理解及掌握能力。

3.重视教学环境及氛围的营造。良好的学习环境氛围，能够促使教学工作和学生的知识掌握能力起到事半功倍的效果。通过对营造教学环境及氛围的重视，也是保障高效课堂工作顺利开展的前提条件。对于充分发挥学生的想象力及创造力，培养学生自主学习能力也起到推动作用。为此，教师在七年级数学的教学工作中，应该加强学习环境及氛围的营造，可以通过以下两方面进行。一是创设良好的学习情景，可以借助现代化教学手段、先进的多媒体技术等方式，让教师的授课内容新颖化、趣味化，例如在对函数知识的复习过程中，教师可以将手中的道具“优惠券”发放到每组学生当中，并创设情景“现有一超市搞九折促销活动，另有一超市可凭你们手中的优惠券，享受一次购满200元送八折会员卡优惠，那么，选用哪家超市购物会更为优惠？”将学生的主动性调动起来，让学生在讨论分析的过程中，巩固数学知识。二是巧妙利用易错题，例如在判断“邻补角的两条角平分线构成一个直角”的过程中，可以采用刻度尺进行检验的方式，让学生自己动手测量判断，提高整个课堂教学的高效、趣味性。

4.重视课后的总结与评价及其他工作。课后总结与评价，包括对教学目标、教学内容、教学手段以及学生和教师各自表现等几个方面的总结和评价，对于开展高效课堂所取得的阶段性效果有一个明确的了解，以便及时作出调整；同时，要重视对教师的培训和教育、学校教学模式的转变等工作，以便更好地推动高效课堂在七年级数学课堂上的开展。

参考文献：

篇（3）

兴趣教学即为从直观教学的角度出发，教师通过对多元化教学手段的有效利用，针对教学的对象以及内容实施更具针对性的教学，在此过程中，教师会充分利用学生自身的好奇心、逆反心理以及求新心理，从而在激发学生学习欲望的基础上，使其可以在轻松和愉快的状态下接触到知识，并掌握更多的学习技能，最终对教学效果的有效发挥产生了积极的影响。对于七年级数学教学而言，其在开展的过程中面临着较大的困难和挑战，一方面，相比于其他学科，数学学科的学习内容较为枯燥，反复的运算和演练降低了学生对数学课程的学习兴趣，同时也并未带给学生一定的学习成就与学习乐趣，部分学生甚至对其产生了畏惧心理和厌烦心理，严重阻?K了七年级数学教学工作的顺利开展。另一方面，相比于小学数学，初中数学当中融入了跟更多的运算以及抽象的概念，复杂的知识点使学生在初期进行学习的过程中无法有效的理解，若此时教师未能发挥出积极的以电脑作用，则会导致部分学生出现了刚步入初中就产生了对数学学习的厌烦心理，甚至对其日后其他学科的学习产生影响，不利于学生的全面发展。而通过引进兴趣教学的方式，将有效提高学生的学习兴趣，使学生的自主学习意识得到提升，并使其充分意识到数学学习的重要性，从而为初中数学教育的顺利开展做出了积极的贡献，同时也是开展七年级数学教学的必然趋势。

2七年级数学的兴趣教学途径

2.1培养学生养成良好的学习习惯

在日常教学的过程中，只有充分培养学生养成良好的学习习惯，才能发挥出兴趣教学的核心作用。（1）应当培养学成养成良好的阅读习惯。阅读作为培养学生理解能力的主要途径，在数学教学中，只有确保学生对题目内容的理解，才能提高学生的求知欲望，此时可以通过出示阅读题的方式，积极引导并鼓励学生可以在阅读的过程中找出问题、发现问题，这也在某种程度上增强了学生的成就感，并使其养成了良好阅读的学习习惯。（2）培养学生养成良好的观察习惯。不同于其他学科，数学贯穿于学生日常生活中的各个环节，而学生也可以通过对日常生活或数学实验的耐心观察和思考，学习到更多的数学知识。比如在讲解“平行”这一概念时，可以先向学生举例，或要求学生自己观察生活中的平行事物，随后再开展具有针对性的教学，并引出平行的具体概念以及性质，使学生的观察能力得以提升。（3）培养学生的讨论习惯。学生在讨论的过程中，不仅会加深对知识点的理解能力，同时也将使学生的思维能力得到锻炼，为开拓学生的思维产生了至关重要的影响。在教学过程中，针对部分出现一题多解的数学题，教师可以采取讨论的方式引导学生自行解答，并对相应的解题方法和思路进行总结，发挥出兴趣教学的积极作用。

2.2提高课堂教学的趣味性

在对七年级数学教学的内容进行分析时，发现其具有较强的生活化特点，教材中不仅抓住了学生的心理以及生理特点，同时也包含了许多可以激发学生学习兴趣的教学内容，而这也为教学工作的开展提出了更高的要求。第一，加强在课堂当中的教学导入，通过多元化的教学手段和方式，积极调动起学生的学习兴趣，提高学生的参与度；第二，加强对学生的实践教育，通过对数学教学模式的全面改革，安排更多的实践性内容，通过对自制教具等的有效应用，实现对课堂结构的优化，进一步激发学生的学习兴趣。在此过程中，教师应当实现对数学教学内容的有效设计，提高课堂教学的趣味性，使学生可以在良好的学习氛围中进行学习。

2.3发挥出情境创设在教学中的作用

篇（4）

那怎样才能打好七年级的数学基础呢？

（1）细心地挖掘概念和公式

很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：一是，对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。例如，在代数式的概念（用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子是代数式）中，很多同学忽略了"单个字母或数字也是代数式"。二是，对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。三是，一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果你不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢？

（2）总结相似的类型题目

这个工作，不仅仅是老师的事，同学也要学会自己做。当你会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，你才真正的掌握了这门学科的窍门。这个问题如果解决不好，在进入八、九年级以后，同学们会发现，有一部分同学天天做题，可成绩不升反降。其原因就是，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。

（3）收集自己的典型错误和不会的题目

同学们最难面对的，就是自己的错误和困难，但这恰恰又是最需要解决的问题。同学们做题目，有两个重要的目标：一是将所学的知识点和技巧，在实际的题目中演练。另外一个就是找出自己的不足，然后弥补它。这个不足，也包括两个方面，容易犯的错误和完全不会的内容。但现实情况是，同学们只追求做题的数量，而不追求解决出现的问题，更谈不上收集错误。

（4）不懂的问题，积极提问，讨论

发现了不懂的问题，积极向他人请教。但就是这一点，很多同学都做不到。原因可能有两个方面：一是，对该问题的重视不够，不求甚解；二是，不好意思，怕问老师被训，问同学被瞧不起。抱着这样的心态，学习任何东西都不可能学好。知识本身是有连贯性质的，前面的知识不清楚，学到后面，会更难理解。

讨论是一种非常好的学习方法。一个比较难的题目，经过与同学讨论，你就能从对方那里学到好的方法和技巧。需要注意的是，讨论的对象是与自己水平相当的同学，这样有利于大家相互学习。

篇（5）

课前必须预习，只有通过预习，才能带着问题去听讲，提高听课效率。由于七年级学生处于半成熟半幼稚状态，进入中学后，需逐步 发展 抽象思维能力，但他们在小学听惯了详尽、细致、形象的讲解，刚一进入中学就遇到“急转弯”往往很不适应，他们虽然有求知欲和思考能力，但自学能力是较差的。七年级教材涉及数、式、方程，这些内容与小学数学中的算术数、简易方程、算术应用题等知识有关，但七年级数学内容比小学内容更为丰富，抽象，复杂，在教学方法上也不尽相同；而小学学生的数学学习习惯和学习方法与中学生也不尽一致，他们往往认为看书就是预习。因此，找不出要点，也不知自己有无问题，上课时只得把老师讲的内容“胡子眉毛一起抓”。显然，这样做“疲劳有余，效果不佳”。为此，在上某一新课前，应给学生介绍课型、特点及预习方法。如对概念课，一般是针对教材的重点、难点为学生编排相应预习题，让学生看书思考去找答案，达到预习的目的。

二、注重听课方法，向45分钟要效率

七年级学生往往对课程增多、课堂学习容量加大不适应，顾此失彼、精力分散，使听课效率下降，因此，学生只有掌握好正确的听课方法，才能使课堂上的45分钟发挥最大的效益。宋代朱熹在他的“三到读书法”中说过的“三到之中，心到最急”。可见听课必须专心。我结合数学课的特点，要求学生在课堂上必须做到“四到”即“心到、眼到、耳到、手到”。所谓心到：是开动脑筋，积极思维；要求学生会围绕老师讲述展开联想，理清教材文字叙述思路；要善于从特殊到一般，学会分析、判断与推理。遇到问题后，要多想几个“为什么”，思考一下“怎么办”。只有会想，才能会学，也才能学会。眼到：是要善于观察，勤看。既要观察老师表情和手势，因为数学上有许多抽象的概念，通过教师的眼神、手势往往会表达的更生动、更形象，利于理解。又要仔细观察知识语言的表现，多方面增加感性知识。耳到：要求学生学会听，要听出教师讲述的重点难点，听清楚知识的来龙去脉，弄清问题的实质所在；旧知识要耐心听，新知识要仔细听；跨越听课的学习障碍，不受干扰；听完一节课后，概念的实质要明确，主次内容要分明。手到：一是严格按要求进行操作，掌握技能。二是学会做笔记，根据教师讲课特点和板书习惯，抓住中心实质，在理解基础上扼要记下重点、难点；思路有时也可以记下。教师形象比喻，深入浅出的分析等，尤其是技能的形成必须亲手操作才能逐渐形成。显然，在上面“四到”之中，“心到”是关键，善于动脑，勤于思考，是学好数学的先决条件。

三、注重复习方法，培养学生逻辑思维能力和综合概括能力

及时复习是高效率学习的一个重要环节。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念及知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使所学的新知识由“懂”到“会”。复习方法上，让学生学会归纳知识，整理知识，有助于提高学生的思维能力和概括知识的能力。通过比较可以明确本质，辨析异同，从而收到举一反三是效果；通过联想，可以建立知识间的相互联系，有利于形成知识 网络 ；通过概括，可把零碎的知识条理化，系统化，便于记忆，利于掌握，并灵活运用。

篇（6）

        课前必须预习，只有通过预习，才能带着问题去听讲，提高听课效率。由于七年级学生处于半成熟半幼稚状态，进入中学后，需逐步 发展 抽象思维能力，但他们在小学听惯了详尽、细致、形象的讲解，刚一进入中学就遇到“急转弯”往往很不适应，他们虽然有求知欲和思考能力，但自学能力是较差的。七年级教材涉及数、式、方程，这些内容与小学数学中的算术数、简易方程、算术应用题等知识有关，但七年级数学内容比小学内容更为丰富，抽象，复杂，在教学方法上也不尽相同；而小学学生的数学学习习惯和学习方法与中学生也不尽一致，他们往往认为看书就是预习。因此，找不出要点，也不知自己有无问题，上课时只得把老师讲的内容“胡子眉毛一起抓”。显然，这样做“疲劳有余，效果不佳”。为此，在上某一新课前，应给学生介绍课型、特点及预习方法。如对概念课，一般是针对教材的重点、难点为学生编排相应预习题，让学生看书思考去找答案，达到预习的目的。 

        二、注重听课方法，向45分钟要效率 

        七年级学生往往对课程增多、课堂学习容量加大不适应，顾此失彼、精力分散，使听课效率下降，因此，学生只有掌握好正确的听课方法，才能使课堂上的45分钟发挥最大的效益。宋代朱熹在他的“三到读书法”中说过的“三到之中，心到最急”。可见听课必须专心。我结合数学课的特点，要求学生在课堂上必须做到“四到”即“心到、眼到、耳到、手到”。所谓心到：是开动脑筋，积极思维；要求学生会围绕老师讲述展开联想，理清教材文字叙述思路；要善于从特殊到一般，学会分析、判断与推理。遇到问题后，要多想几个“为什么”，思考一下“怎么办”。只有会想，才能会学，也才能学会。眼到：是要善于观察，勤看。既要观察老师表情和手势，因为数学上有许多抽象的概念，通过教师的眼神、手势往往会表达的更生动、更形象，利于理解。又要仔细观察知识语言的表现，多方面增加感性知识。耳到：要求学生学会听，要听出教师讲述的重点难点，听清楚知识的来龙去脉，弄清问题的实质所在；旧知识要耐心听，新知识要仔细听；跨越听课的学习障碍，不受干扰；听完一节课后，概念的实质要明确，主次内容要分明。手到：一是严格按要求进行操作，掌握技能。二是学会做笔记，根据教师讲课特点和板书习惯，抓住中心实质，在理解基础上扼要记下重点、难点；思路有时也可以记下。教师形象比喻，深入浅出的分析等，尤其是技能的形成必须亲手操作才能逐渐形成。显然，在上面“四到”之中，“心到”是关键，善于动脑，勤于思考，是学好数学的先决条件。

      三、注重复习方法，培养学生逻辑思维能力和综合概括能力 

        及时复习是高效率学习的一个重要环节。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念及知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使所学的新知识由“懂”到“会”。复习方法上，让学生学会归纳知识，整理知识，有助于提高学生的思维能力和概括知识的能力。通过比较可以明确本质，辨析异同，从而收到举一反三是效果；通过联想，可以建立知识间的相互联系，有利于形成知识 网络 ；通过概括，可把零碎的知识条理化，系统化，便于记忆，利于掌握，并灵活运用。 

篇（7）

学生升入七年级伊始，对数学有着浓厚的兴趣，可是没多久，兴趣就慢慢消失了，这几乎成了七年级数学教学的普遍性问题。长期以来，教师为保持学生的学习兴趣一直进行着不懈努力。那么，如何提高七年级学生的学习兴趣呢？经过不断探索和实践，我认为应该从以下几个方面入手。

一、要充分把握入门阶段的教学

“良好的开端是成功的一半”，这是义务教育课程标准试验教科书编写者的指导思想。七年级学生翻开刚拿到的数学课本后，一般都感觉新奇、有趣，想学好数学的求知欲较为迫切。因此，教师要不惜花费时间，深下功夫，让学生在学习的入门阶段留下深刻的印象，产生浓厚的兴趣。为此教师在教学七年级数学上册第一章“几何图形的初步认识”时，可多运用几何体教具进行教学，还有多让学生观察日常生活中的几何体，课上多动手操作，来引发学生的学习兴趣。如在教学第三节“几何体表面展开图”时，让学生以组为单位，剪、展纸盒，通过动手实际操作激起学生的学习兴趣。这样通过第一章的学习，一点点诱发学生的学习兴趣，消除学生害怕学数学的心理，以数学的趣味性、教学的艺术性给学生以感染，使其像磁铁上的铁屑离不开磁铁一样。

二、要保持课堂教学的生动性、趣味性

学生对数学学习有了初步兴趣后，要保持七年级学生学数学的永久兴趣，教师还应抓住七年级学生情绪易变、起伏较大的心理、生理特点，要求以“活的东西去教活的学生”，来培养学生持久的学习兴趣。对此，我的具体做法：

（一）注重课堂教学中的导入环节

一个好的导入设计，能使这堂课先声夺人，引人入胜，更为重要的是，好的导入能激发学生的学习兴趣和旺盛的求知欲，并创造良好的学习氛围，为授课的成功奠定良好的基础。以下是我教学实践过程中总结的几种课堂导入的方法。

1.设置情境，激发兴趣。

创设良好的导入情境，激发探索动机是引导学生探索学习的前提。因而，在导入阶段教师应注重情境的创设，创设好奇、疑惑、生动、有趣的情境，让学生对学习产生兴趣，进而产生主动探索的强烈欲望。如在教学“用平面截几何体”时教师可用实际切豆腐演示的方法导入，从而激发学生的学习兴趣。

2.设置疑点，引起兴趣。

“学贵有疑”，这是常理。学生在学习数学的过程中不断发现问题，学习数学才有兴趣，才会主动。亚里士多德曾说过：“思维是从疑问和惊奇开始的。”因此教师在导入教学过程中，还可以设置障碍，故意制造疑团和悬念，提出一些必须学习了新知识才能解答的问题，点燃学生的好奇之火，激发学生的求知欲，从而形成一种学习的动力。

3.联系生活，灵活应用。

生活中处处有数学的存在。要培养学生数学的应用意识，教会学生去观察生活，领悟生活的数学因素，教师就应注意课堂中实际生活的渗透，巧妙设置情境；启发学生从生活实际中发现某些规律，从而导入新课，这种方法可使学生在发现的喜悦中提高学习的兴趣，同时有利于学生对新知识的理解和记忆。

（二）课堂教学中充分让学生参与实践操作

教材针对七年级学生喜欢观看、喜欢动手的性格特征，安排了大量的实践性内容，以激发学生的学习兴趣。教师要抓住教材这一编排特点在教学中让学生参与实践操作，如在教学“有理数的混合运算”一节时，教师可把学生分成几个小组，每组一副扑克牌（去掉大、小王牌），让学生任意抽取四张牌，然后根据牌面上的数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使运算结果为24或-24，来激发学生的学习兴趣和求知欲。

此外，教师可讲与数学知识有关的小故事，做小游戏等，适当增加趣味成分，使看似枯燥的数学变得形象具体，这样也可以使课堂教学变得生动有趣。

三、教学中要注重培养学生学习习惯

七年级数学在每章节内容的编排上安排了“观察与思考”、“一起探究”、“做一做”、“大家谈谈”等栏目，独具匠心、面目一新。其宗旨是设法使学生学有趣、学有法、学有得。为此我在教学实践中从培养学生学习兴趣入手，逐渐使学生养成良好的学习习惯，使数学兴趣真正变成永久兴趣。具体做法：

（一）培养观察习惯

学生对图形、对实验的观察特别感兴趣，教师就可以引导他们有的放矢、积极主动去观察，边观察、边提问、边引导学生进行讨论。根据他们观察、分析的情况逐步引导出知识点。这样能使学生体会观察的收获与兴奋，自觉养成观察的习惯。

（二）培养思考习惯

具体方法是课前或课中出示思考题，如教学“用一元一次方程解决实际问题”时，可出示思考题：你还能想出另外的方法解这道应用题吗？鼓励学生思考多种方法，表扬回答正确的学生，使学生有获得成功之喜悦，从而产生兴趣，养成爱思考的习惯。

（三）培养探究的习惯

教师通过提问，引发学生积极探讨数学知识，逐步培养学生合作探究的习惯。特别是一题多解的题目或需要分类讨论的问题，如在教学“平行线的特征”时，可以让学生进行分组探究。通过探讨，归纳出平行线的性质。

篇（8）

（3分）

1、实数的分类

正有理数

有理数

零

有限小数和无限循环小数

实数

负有理数

正无理数

无理数

无限不循环小数

负无理数

整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a的平方根记做“”。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

（0）

；注意的双重非负性：

-（

3、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a

的立方根（或a

的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，

（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

考点六、实数的运算

（做题的基础，分值相当大）

1、加法交换律

2、加法结合律

3、乘法交换律

4、乘法结合律

5、乘法对加法的分配律

6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？

实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

7、有理数除法运算法则就什么？

有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。

8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？

相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作:

an

9、有理数乘方运算的法则是什么？

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。

10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？

去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

不等式与不等式组知识点归纳

一、不等式的概念

1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5．用数轴表示不等式的解集。

二、不等式的基本性质

1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

说明：

①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

例:

1．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是

。

2．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是

。

3．不等式组的整数解为

。

4．如果关于x的不等式（a-1）x

。

5．已知关于x的不等式组的解集为，那么a的取值范围是

。

6．当

时，代数式的值不大于零

7.若

0（用“>”“=”或“”号填空）

8.不等式>1，的正整数解是

9.　不等式>的解集为

10.若>>，则不等式组的解集是

11.若不等式组的解集是－1

12.有解集2

（写出一个即可）

13.一罐饮料净重约为300g，罐上注有“蛋白质含量”其中蛋白质

的含量为

_____

g

14.若不等式组的解集为>3，则的取值范围是

三、一元一次不等式（重点）

1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2．解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母

（2）去括号

（3）移项

（4）合并同类项

（5）将x项的系数化为1

例：

一、判断题（每题1分，共6分）

1、a＞b，得a＋m＞b＋m

（

）

2、由a＞3，得a＞

（

）

3、x

=

2是不等式x＋3＞4的解

（

）

4、由－＞－1，得－＞－a

（

）

5、如果a＞b，c＜0，则ac2＞bc2

（

）

6、如果a＜b＜0，则＜1

（

）

二、填空题（每题2分，共34分）

1、若a＜b，用“＞”号或“＜”号填空：a－5

b－5；

－

－；－1＋2a

－1＋2b；6－a

6－b；

2、x与3的和不小于－6，用不等式表示为

；

3、当x

时，代数式2x－3的值是正数；

4、代数式＋2x的不大于8－的值，那么x的正整数解是

；

5、如果x－7＜－5，则x

；如果－＞0，那么x

；

6、不等式ax＞b的解集是x＜，则a的取值范围是

；

7、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为

；

8、点A（－5，y1）、B（－2，y2）都在直线y

=

－2x上，则y1与y2的关系是

；

9、如果一次函数y

=（2－m）x＋m的图象经过第一、二、四象限，那么m的取值范围是

；

四、一元一次不等式组

（难点）

1、一元一次不等式组的概念：

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

例：

一、选择题

1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（

）

A．

B．

C．

D．

2．下列说法正确的是（

）

A．不等式组的解集是5

B．的解集是－3

C．的解集是x=2

D．的解集是x≠3

3．不等式组的最小整数解为（

）

A．－1

B．0

C．1

D．4

4．在平面直角坐标系中，点P（2x－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围是（

）

A．3

B．－3

C．－5

D．－5

5．不等式组的解集是（

）

A．x>2

B．x

C．2

D．无解

二、填空题

6．若不等式组有解，则m的取值范围是______．

7．已知三角形三边的长分别为2，3和a，则a的取值范围是_____．

8．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_____个儿童，分_____个橘子．

9．若不等式组的解集是－1

三、解答题

10．解不等式组

11．若不等式组无解，求m的取值范围．

12．为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划．如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约了2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度．若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天计划用电量在什么范围内？

易错点分析：

易错点1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分．

例1

解不等式组

错解：由①，得x＞1，由②，得x＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x＜1．

错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1＜x＜－2或－2＜x＞1等，这些都是错误的．

正解：由①，得x＞1．由②，得x＜－2，所以此不等式组无解．

易错点2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”．

例2解不等式组

错解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．由于x＞－的范围较大，所以不

等式组的解集为x＞－．

错因剖析：本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识．其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设a＜b），

①

②

③

④

利用数可确定它们的解集分别为

①x＞b，②x＜a，③a＜x＜b，④空集．也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”．

正解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．

所以不等式组的解集为x＞5．

易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法．

例3

解不等式组

错解：由①＋②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式组的解集为x≤7．

错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中．产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．

正解：由不等式①，得x≥－17，即x≥－．

由不等式②，得x≤－3，即

x≤－．

所以原不等式组的解集为－≤x≤－．

易错点4：在去分母时，漏乘常数项．

例4

解不等式组

错解：由①，得x＜2．在x－21＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋2≥－2x．于是有x≥－，所以原不等式组的解集为2＞x≥－．

错因剖析：解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分．对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错．本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项．此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“＜”连接．

正解：由①，得x＜2．在＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋4≥－2x．于是有x≥－1，所以原不等式组的解集为－1≤x＜2．

易错点5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错．

例5

解关于x的不等式（－a）x＞1－2a．

错解：去分母，得(1－2a)x＞2(1－2a)．将不等式两边同时除以（1－2a），得x＞2．

错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的(1－2a)，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．

正解：将不等式变形，得(1－2a)x＞2(1－2a)．

（1）当1－2a＞0时，即a＜时，x＞2；

（2）当1－2a＝0时，即a＝时，不等式无解；

（3）当1－2a＜0时，即a＞时，x＜2．

例6

如果关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜，则关于x的不等式ax＞b的解集是_________．

错解：因为不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，所以＝，则有

解得从而知ax＞b的解集是x＞．

错因剖析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出解得从而错误得到ax＞b的解集是x＞．

正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，得解得所以ax＞b的解集是x＜．

易错点6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况．

例7

若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________________．

错解：由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a＞3．

错因剖析：由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即a＝3，有x≤3及

x＞3，而此时不等式组也是无解的．因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况．

正解：由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a≥3．

例8

已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则

a的取值范围是_________．

错解：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a≤x＜2，这

5个整数解为－3，－2，－1，0，1，从而有a≤－3(或a＝－3)．

错因剖析：本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解．上述解法错在忽视a≤x＜2中有5个整数解时，a虽不唯一，但也有一定的限制，a的取值范围在－3与－4之间，其中包括－3，但不应包括－4，所以错解在确定

a的取值范围时扩大了解的范围．

正解：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a≤x＜2．又知这5个整数解为－3，－2，－1，0，1．故a的取值范围是－4＜a≤－3．

总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊．

中考考点解读：

1.

（2012山东滨州3分）不等式的解集是【

】

A．

B．

C．

D．空集

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，

解得，解得。按同大取大，得不等式组的解集是：．故选A。

2.

（2012山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如

果他骑车和步行的时间分别为分钟，列出的方程是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。

【分析】李明同学骑车和步行的时间分别为分钟，由题意得：

李明同学到学校共用时15分钟，所以得方程：。

李明同学骑自行车的平均速度是250米/分钟，分钟骑了250米；步行的平均速度是80米/分钟，分钟走了80米。他家离学校的距离是2900米，所以得方程：。

故选D。

3.

（2012山东德州3分）已知，则a+b等于【

】

A．3

B．

C．2

D．1

【答案】A。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】两式相加即可得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案：a+b=3。故选A。

4.

（2012山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【

】．

A．

k≥1

B．

k≤1

C．

k>1

D．

k

【答案】D。

【考点】一元二次方程的意义和根的判别式。

【分析】当k=1时，原方程不成立，故k≠1，

当k≠1时，方程为一元二次方程。

此方程有两个实数根，

，解得：k≤1。

综上k的取值范围是k＜1。故选D。

5.

（2012山东菏泽3分）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为【

】

A．±2

B．

C．2

D．

4

【答案】C。

【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根。

【分析】是二元一次方程组的解，，解得。

。即的算术平方根为2。故选C。

6.

（2012山东莱芜3分）对于非零的实数a、b，规定ab＝－．若2(2x－1)＝1，则x＝【

】

A．

B．

C．

D．－

【答案】A。

【考点】新定义，解分式方程。

【分析】ab＝－，2(2x－1)＝1，2(2x－1)＝。

。

检验，合适。故选A。

7.

（2012山东莱芜3分）已知m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，则代数式的值为【

】

A．9

B．±3

C．3

D．5

【答案】C。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，m＋n=，mn=1。

。故选C。

8.

（2012山东临沂3分）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考点】配方法解一元二次方程。

【分析】。故选D。

9.

（2012山东临沂3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此，在数轴上表示为：

故选A。

10.

（2012山东临沂3分）关于x、y的方程组的解是

，则的值是【

】

A．5

B．3

C．2

D．1

【答案】D。

【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值。

【分析】方程组的解是，。

。故选D。

11.

（2012山东日照4分）已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【

】

(A)

k>且k≠2

(B)k≥且k≠2

(C)

k

>且k≠2

(D)k≥且k≠2

【答案】C。

【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。

【分析】方程为一元二次方程，k－2≠0，即k≠2。

方程有两个不相等的实数根，＞0，

（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，

5（4k－3）＞0，k＞。

k的取值范围是k＞且k≠2。故选C。

12.

（2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【

】

（A）29人

（B）30人

（C）31人

（D）32人

【答案】B。

【考点】一元一次不等式组的应用。

【分析】设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶（4x＋28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组：

，

解得：29＜x≤32。

x为整数，x最少为30。故选B。

13.

（2012山东泰安3分）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】C。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，

，由①得，＞3；由②得，≤4。

其解集为：3＜≤4。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此，

3＜≤4在数轴上表示为：

故选C。

14.

（2012山东潍坊3分）不等式组的解等于【

】．

A．

1

B．

x>1

C．

x

D．

x2

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，

解2x＋3＞5得，x＞1；解3x－2＜4得，x＜2，此不等式组的解集为：1＜x＜2。故选A。

15.

（2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【

】．

A．32

B．126

C．135

D．144

【答案】D。

【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。

【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。

x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。

最大数为24，最小数为8。

圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。

第8章

整式的乘法与因式分解

整式的乘法

同底数幂的乘法：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n都是正整数）

幂的乘方：

(am)n

=

a

m

n（m、n都是正整数）

积的乘方：(ab)n

=

a

n

b

n（n为正整数）

同底数幂的除法：

a

m

÷

a

n

=

a

m

-

n（a

≠

，m、n都是正整数，并且m＞n）

零指数幂：a0

=

1（a

≠

）

单项式与单项式相乘，

单项式与多项式相乘，

多项式与多项式相乘。（利用运算律和上面的运算性质解答）

乘法公式

平方差公式：（a+b）（a-b）=

a2

-

b2

完全平方公式：（a+b）2

=

a2

+

2ab

+

b2

（a-b）2

=

a2

-

2ab

+

b2

添括号法则：a+b+c

=

a+(b+c)

a-b-c

=

a

-

(b+c)

举例：a-b+c

=

a

-

(b-c)

因式分解（几个整式乘积的形式）

式子的变形：这个多项式的因式分解

=

把这个多项式因式分解。

1、提公因式法（多项式各项有公因式）

2、公式法（3个乘法公式左右互换）

3、十字相乘法（补充）

分式

9.1

分式：A/B。（A、B表示两个整式，并且B中含有字母。B

≠

0分式才有意义。）

分式的性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

约分、最简分式、通分、最简公分母。

9.2

分式的运算

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

分式的乘方：要把分子、分母分别乘方。

整数指数幂：正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂（a-n

=

1/an

,

a≠0）。

归结：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n是整数）

(am)n

=

a

m

n（m、n是整数）

(ab)n

=

a

n

b

n（n是整数）

备注：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分。

9.3

分式方程

概念：分母中含未知数的方程。

最简公分母不为0是分式方程的解；

步骤：分式方程

整式方程

X

=

a

最简公分母为0

不是分式方程的解。

去分母

解整式方程

检验

相交线与平行线知识点精讲

1.

相交线

同一平面中，两条直线的位置有两种情况：

相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：

1，2，3，4；

邻补角：其中1和2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像1和2这样的角我们称他们互为邻补角；

对顶角：1和3有一个公共的顶点O，并且1的两边分别是3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；

1和2互补，2和3互补，因为同角的补角相等，所以1＝3。

所以，对顶角相等

例题：

1.如图，31＝23，求1，2，3，4的度数。

2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且，，则_______，__________。

垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中ABCD，垂足为O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90。

例题：

如图，ABCD，垂足为O，EF经过点O，1＝26，求EOD，2，3的度数。

垂线相关的基本性质：

（1）

经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

（2）

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

（3）

从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？

2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

如上图，直线a与直线b平行，记作a//b

3.同一个平面中的三条直线关系：

三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。

（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决；

例题：

如图，直线AB,CD,EF相交于O点，DOB是它的余角的两倍，AOE＝2DOF,且有OGOA，求EOG的度数。

（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：

*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：

两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；

两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等

两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

如上图，指出相等的各角和互补的角。

例题：

1.如图，已知1＋2＝180，3＝180，求4的度数。

2.如图所示，AB//CD，A＝135，E＝80。求CDE的度数。

平行线判定定理：

两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。

两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：

平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行

如图所示，只要满足1＝2（或者3＝4；5＝7；6＝8），就可以说AB//CD

平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行

如图所示，只要满足6＝2（或者5＝4），就可以说AB//CD

平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行

如图所示，只要满足5+2＝180（或者6+4＝180），就可以说AB//CD

平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行

这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中1＝2＝90就可以得到。

平行线判定定理5：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行

例题：

1.已知：AB//CD，BD平分，DB平分，求证：DA//BC

2.已知：AF、BD、CE都为直线，B在直线AC上，E在直线DF上，且，，求证：。

（3）有三个交点

当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12个角，这是三条直线相交的一般情况。如下图所示：

你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？

三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。

（4）没有交点：

这种情况下，三条直线都平行，如下图所示：

即a//b//c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。

例题：

如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与CD有怎样的位置关系，为什么？

一．选择题：

1.

如图，下面结论正确的是（

）

A.

是同位角

B.

是内错角

C.

是同旁内角

D.

是内错角

2.

如图，图中同旁内角的对数是（

）

A.

2对

B.

3对

C.

4对

D.

5对

3.

如图，能与构成同位角的有（

）

A.

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

4.

如图，图中的内错角的对数是（

）

A.

2对

B.

3对

C.

4对

D.

5对

5．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角是（

）

A.

B.

都是

C.

或

D.

以上都不对

二．填空

1．

已知：如图，。求证：。

证明：（

）

（

）

（

）

（

）

2．

已知：如图，COD是直线，。求证：A、O、B三点在同一条直线上。

证明：COD是一条直线（

）

___________（

）

（

）

____________________

_______________（

）

三．解答题

1．如图，已知：AB//CD，求证：B+D+BED=（至少用三种方法）

2．已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，A=D，1=2，求证：B=C。

3．已知：如图，，且B、C、D在一条直线求证：

4．已知：如图，，DE平分，BF平分，且。

求证：

5．已知：如图，。

求证：

6．已知：如图，。

求证：

相交线与平行线

10.1

相交线

邻补角、对顶角

对顶角相等

直线与直线互相垂直，记作。

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

同位角、内错角、同旁内角

10.2

平行线及其判定

10.2.1

平行线

在同一平面内，当直线与直线不相交时，我们就说直线与直线互相平行，记作.

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

即如果，，那么.

10.2.2

平行线的判定

判定方法1

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

同位角相等，两直线平行。

判定方法2

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

内错角相等，两直线平行。

判定方法3

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

10.3

平行线的性质

性质1

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

两直线平行，同位角相等。

性质2

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

两直线平行，内错角相等。

性质3

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。

10.4

平移

相

交

线

平行公理

同位角、内错角、同旁内角

两条直线被第三条直线所截

两条直线

相交

垂线及其性质

邻补角、

对顶角

点到直线的距离

对顶角相等

平移

判定

性质

篇（9）

小学数学是在算术数中研究问题的，而中学数学一开始就有有理数，因此，从算术数过渡到有理数是一大转折，必须讲清楚具有相反意义的量，是引入负数的关键．这里，可以通过多举些学生熟悉的实际例子，使学生了解引入负数的必要性及负数的意义．例如，如何区别零上度和零下度这两个具有相反意义的量呢？又如，珠穆朗玛峰的海拔高度和吐鲁番盆地的海拔高度是具有相反意义的量等等，在教学中可以多举一些例子，让学生了解为了区别具有相反意义的量必须引入一种新的数――负数．

二、由数过度到代数式

从小学数学的特殊的、具体的数到中学的一般的、抽象的代数式，这是数学思维上的一次飞跃，因此，在教学时，要逐步引导学生过好这一关．

(1)用字母表示数的必要性

以学生在小学学过的用字母表示数的例子，如：加法交换律a+b=b+a；乘法交换律ab=ba及一些公式如速度公式v=s/t．正方形周长、面积公式l=4a，s=a2等，说明由字母表示数能简明、扼要地表达数量之间的关系．可以更方便地研究和解决问题．

(2)加深对字母a的认识

许多学生由于对字母a表示数的意义理解不透，经常错误地认为－a一定是负数，因此，在教学上必须帮助学生理解a的含义，知道a可能是负数，而－a不一定是负数等问题．

首先让学生弄清楚符号“－”的三种作用．①运算符号，如5－3表示5减3，2－4表示2减4；②性质符号，如－1表示负1，5+(－3)表示5加上负3；③在某个数前面加上“－”号，表示该数的相反数，如－3表示3的相反数，－(－3)表示－3的相反数，－a表示a的相反数．

然后再说明a表示有理数，可以是正数，可以是负数，亦可以是零．即包括符号和数字，这样，学生才能真正理解a，－a所包含的意义．

(3)加强数学语言的训练及列代数式的训练

如：a是正数表示为a＞0，a是负数表示为a＜ 0，某数a的2倍表示为2a等。

三、由算术解法过度到代数解法

在小学，解应用题采用算术解法，而中学需用代数解法(列方程)．算术解法是把未知量放在特殊地位，设法通过已知量求出未知量；而代数解法是把所求的量与已知量放在平等的地位，找出各量之间的等量关系，建立方程而求出未知量．另外，算术解法较强调套类型，而代数解法则重视灵活运用知识，培养分析问题和解决问题的能力，这是思维方法上的一大转折．但学生开始往往习惯于用算术解法，而对用代数解法不适应，不知道如何找相等关系．因此，在教学中必须做好这方面的衔接，让学生明白有些问题用算术解法是不方使的，最好用代数解法，只要找出相等关系，用等式表示出来就列出了方程，再利用解方程的方法，就可以求出未知数的值．

四、注重预习方法，培养自学能力

课前必须预习，只有通过预习，才能带着问题去听讲，提高听课效率。由于七年级学生处于半成熟半幼稚状态，进入中学后，需逐步 发展 抽象思维能力，但他们在小学听惯了详尽、细致、形象的讲解，刚一进入中学就遇到“急转弯”往往很不适应，他们虽然有求知欲和思考能力，但自学能力是较差的。七年级教材涉及数、式、方程，这些内容与小学数学中的算术数、简易方程、算术应用题等知识有关，但七年级数学内容比小学内容更为丰富，抽象，复杂，在教学方法上也不尽相同；而小学学生的数学学习习惯和学习方法与中学生也不尽一致，他们往往认为看书就是预习。因此，找不出要点，也不知自己有无问题，上课时只得把老师讲的内容“胡子眉毛一起抓”。显然，这样做“疲劳有余，效果不佳”。为此，在上某一新课前，应给学生介绍课型、特点及预习方法。如对概念课，一般是针对教材的重点、难点为学生编排相应预习题，让学生看书思考去找答案，达到预习的目的。

篇（10）

初中数学是一个整体，很多同学在初学时感受不到压力，慢慢积累了很多小问题，这些问题在学习后期逐渐凸现出来。尤其是有一部分新同学就是对七年级数学不够重视，在进入八年级后，发现跟不上老师的进度，感觉学习数学越来越吃力，希望教师辅导来弥补。这个问题究其原因，主要是对七年级数学的基础性重视不够，经常出现一些问题。如对知识点的理解停留在一知半解的层次上；解题始终不能把握其中关键的数学技巧，孤立的看待每一道题，缺乏举一反三的能力；解题时，小错误太多，始终不能完整的解决问题；解题效率低，在规定的时间内不能完成一定量的题目，不适应考试节奏；未养成总结归纳的习惯，不能习惯性的归纳所学的知识点等。以上这些问题如果在七年级阶段不能很好的解决，在八年级的两极分化阶段，同学们可能就会出现成绩的滑坡。相反，如果能够打好七年级数学基础，八年级的学习只会是知识点上的增多和难度的增加，在学习方法上同学们是很容易适应的。

一、初中数学与小学数学的区别

1.初中数学面临三年后的中考，而小学数学却不面临这样的考试。

我们都知道，中考数学试题不只考查基础知识，更注重考查学生的能力，所以中考题有不少有难度的题目。而小学出题重点就是考查基础知识。小学数学侧重于打下数学的基础，初中数学则侧重于培养学生的数学能力，包括计算能力、自学能力、分析问题与解决问题的能力、抽象逻辑思维的能力等。

2.初中数学知识量加大、学习时间短、速度快。

小学数学6年学习一些数学基础知识，而初中三年6本书，其实是两年半学完，要挤出半年的时间进行中考复习。初中数学在内容上增加了复杂的平面几何知识，系统的学习代数知识，运用方程解决实际问题；数扩展到有理数、实数；还有简单的一次函数与二次函数。初中数学的学习内容增多了、加深了，难度增大了，要求也更高了。

二、如何打好七年级的数学基础

1、细心地发掘概念和公式。

很多同学对概念和公式不够重视，这类问题反映在三个方面：（1）对概念的理解只是停留在文字表面，对概念的特殊情况重视不够。例如，在代数式的概念（用字母或数字表示的式子是代数式）中，很多同学忽略了“单个字母或数字也是代数式”。（2）对概念和公式一味的死记硬背，缺乏与实际题目的联系。这样就不能很好的将学到的知识点与解题联系起来。（3）一部分同学不重视对数学公式的记忆。记忆是理解的基础。如果不能将公式烂熟于心，又怎能够在题目中熟练应用呢？对这些问题，应该更细心一点，更深入一点，更熟练一点。

2、总结相似的类型题目。

这个工作，不仅仅是老师的事，学生也要学会自己做。

只有会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，才真正的掌握了这门学科的窍门，才能真正的做到“任它千变万化，我自岿然不动”。这个问题如果解决不好，在进入八年级、九年级以后，有一部分同学就会天天做题，可成绩不升反降。其原因就是，他们天天都在做重复的工作，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。久而久之，不会的题目还是不会，会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握，弄的一团糟。总之，“总结归纳”是将题目越做越少的最好办法。

3、收集自己的典型错误和不会的题目。

同学们最难面对的，就是自己的错误和困难。但这恰恰又是最需要解决的问题。同学们做题目，有两个重要的目的：（1）将所学的知识点和技巧，在实际的题目中演练。（2）找出自己的不足，然后弥补它。这个不足，也包括两个方面，容易犯的错误和完全不会的内容。但现实情况是，同学们只追求做题的数量，草草的应付作业了事，而不追求解决出现的问题，更谈不上收集错误。收集自己的典型错误和不会的题目，是因为一旦做了这件事，就会发现，过去的很多小毛病，现在发现原来就是这一个反复在出现；过去认为自己有很多问题都不懂，现在发现原来就这几个关键点没有解决。做题就像挖金矿，每一道错题都是一块金矿，只有发掘、冶炼，才会有收获。

4、就不懂的问题积极提问、讨论。

发现了不懂的问题，积极向他人请教。这是很平常的道理。但就是这一点，很多同学都做不到。原因可能有两个方面：（1）对该问题的重视不够，不求甚解；（2）不好意思，怕问老师被训，问同学被同学瞧不起。抱着这样的心态，学习任何东西都不可能学好。“闭门造车”只会让的问题越来越多。知识本身是有连贯性的，前面的知识不清楚，学到后面时，会更难理解。这些门题积累到一定程度，就会对该学科慢慢失去兴趣。直到无法赶上步伐。

讨论是一种非常好的学习方法。一个比较难的题目，经过与同学讨论，可能就会获得很好的灵感，从对方那里学到好的方法和技巧。需要注意的是，讨论的对象最好是与自己水平相当的同学，这样有利于大家相互学习。