离散数学论文汇总十篇

序论：好文章的创作是一个不断探索和完善的过程，我们为您推荐十篇离散数学论文范例，希望它们能助您一臂之力，提升您的阅读品质，带来更深刻的阅读感受。

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1.1.1精选部分章节详细讲解我认为应该详细讲述数理逻辑、集合论、图论三大部分，数理逻辑部分主要讲述命题逻辑推理的形式规则，学好此章节有利于培养学生的推理能力，此部分内容广泛应用于人工智能之中，早期的智能系统主要应用的是数理逻辑中的推理规则，将自然语言进行符号化，而语言的符号化就是数理逻辑部分要研究的内容。集合论中有一部分关于集合方面的知识，学生在高中的时候已经接触过，所以不用对此部分进行深入教学，但是集合论中有一部分关于二元论的知识，二元论知识是数据库知识的基础，关系数据库的逻辑结构是由行和列构成的二维表，表之间的操作需要用到离散数学中的笛卡尔积的知识。图论是数据结构的基础，如数据结构中的线性表、栈、队列等都要用到图论的知识，数据结构中的一些算法也会用到此部分的知识，如求最小生成树，最短路程，二叉树的遍历等，同时图论也可以应用到计算机网络中，如求节点间最短路径。所以我认为应在众多的内容之中，重点掌握这三部分知识，让学生在短课时深入理解这三部分内容。其余部分的内容，如果学生在以后的学习与研究中需要利用到离散数学中的知识，就可以再对其他部分的内容进行深入学习与研究。

1.2.2增加实验教学内容目前大多数院校的离散数学教学都是采用纯理论上课的形式，很少有实验部分，从而导致学生认为此门课程无关紧要。为了改变学生的这种错误认识，我认为可以在离散数学的教学中增加实验内容。计算机专业的大一学生已经开始学习C语言课程，有了一定的编程基础，可以设计一些与离散数学有关的题让学生进行编程实现。命题逻辑部分涉及公式的判定类型，可以让学生编写程序实现公式的判定算法；图论中涉及最短路径，可以让学生编写求带权最短路径算法；二元关系中关系的性质具有自反、反自反、对称、反对称、传递五种关系，可以让学生尝试通过编程实现判定关系的算法。通过实验部分增强学生的动手能力，不但可以让学生对所学的内容理解得更好，而且可以让学生将理论与实践相结合学有所用，更与我们院校朝应用型转型相符合。

1.2教学方法改革

为了达到改变学生对待离散数学的错误态度，培养出具有创新能力的学生，我认为很有必要对教学方法进行改革，引导学生自主学习，培养学生的自学能力，达到最终的教学目的。

1.2.1趣味教学教师是教学的主导者，对教学起着重要作用。由于离散数学是一门偏数学的教学，难免会有些枯燥，学生的兴趣度不是很高，因此如果教师能在教学过程中做到幽默风趣，给学生在传授知识的同时，能够把有些同生活密切相关的知识讲得生动具体形象，从而提高学生的学习热情。数理逻辑部分中的命题逻辑部分的知识就有很多和生活密切相关，在讲课的时候，可以告诉学生，我们在生活中每天都会涉及推理，我们判定他人讲的话是真是假的过程，其实就是一个推理的过程。判定一个人是否成熟、讲话是否经过深思熟虑，也可以从他讲话的严谨程度进行判断，这还是一个推理的过程。同时可以告诉学生逻辑推理在我们的公务员考试行政职业能力与测验中经常要用到，如果有对考取公务员感兴趣的同学能深入学习和理解这部分内容，对逻辑推理部分有很大的帮助，从而提高学生对此门课程的关注度。教师在教学过程中应该展现自己的个人魅力，让学生喜爱教师的讲话风格、教态等，从而提高学生的学习兴趣。

1.2.2板书与多媒体相结合目前高校教学普遍采用多媒体进行教学，利用PPT教学可以节约板书时间，更高效地进行教学，但是离散数学与其他学科相比有自己的特点，定理多、概念多、推理多，如果完全采用多媒体教学，则学生难以跟上老师的思路。建议定理和推理采用板书形式，一步一步进行演算，帮助学生理解。一些概念和定义采用多媒体教学，节约板书时间。同时对于一些难以理解的内容如图论中求最短路径可以采用动画的形式进行演示，使其更形象、具体，提高学生的学习热情。

1.3教学手段改革

鉴于离散数学课程不易理解、比较难学的特点，因此我们有必要改革教学手段，使得离散数学的教学更具体形象，让学生更易理解所讲内容，提高学生的学习热情。当今是互联网时代，大家都可以利用网络获取信息资源。建设一个离散数学学习网站，可以帮助学生利用课余时间学习。此网站可上传教师的教学视频，学生可以在课余时间根据自己的学习情况进行有针对性的学习，同时教师也可以将课后习题上传到网站上供大家练习，管理员给每个学生分配一个账号，让学生进行登录观看教学视频、做习题、建立讨论区共同学习探讨，也可以在留言板上给教师留言，等待教师就相关问题作出回答。同时在网站上把离散数学中的一些比较经典的算法和方法，鼓励学生编程实现，学生可以上传其实现的算法，供大家共同学习和探讨，提高大家的动手能力，这也是和目前院校转型为应用型本科是相符合的。通过网络这样一个平台，在课余时间增加同学、师生之间的交流和互动，带动学生学习。

篇（2）

随着社会信息化的加速，复杂多变的社会对人的思维能力提出了更高的要求，给教育教学也提出了更大的挑战。知识经济时代强烈呼唤学校教育学科教学渗透思维能力的培养，然而学习和思维不是彼此独立的，而是紧密联系在一起的。学生应该在思维活动中学习，并且也学习思维本身。斯腾伯格的思维三元理论为教学提供了新的理论基础。

一、斯腾伯格的思维三元理论

思维三元理论是美国耶鲁大学教授斯腾伯格提出的，根据思维三元理论，思维可以划分为三个层面：分析性思维、创造性思维和实用性思维。分析性思维涉及分析、判断、评价、比较、对比和检验等能力，创造性思维包含创造、发现、生成、想象和假设等能力，实用性思维涵盖实践、使用、运用和实现等能力。这三种思维能力对于所有人来说都很重要，其实，每个人的思维都是分析性、创造性和实用性思维按不同比例合成的产物。擅长于分析性思维的人善于解决熟悉的问题，通常是学术性问题；强于创造性思维的人善于解决相对新奇的问题，善于提出自己的见解，采用独特的策略解决问题；长于实用性思维的人则善于解决日常生活中的问题，能够很好地适应社会和工作的要求。我们的教育需要培养具备三种思维模式的综合思维的人才，而不是仅仅重视其中某一种。当然，对于最具智慧的人，并不需要在这三种类型的思维模式上都具有非常高的水平。真实生活中的聪明意味着能够最大限度利用自己所拥有的资源，而不是必须符合其他任何人对聪明所抱有的刻板定义。

思维三元理论不同于传统智力理论，传统智力理论侧重于学业智力的发展，重视分析性思维，强调学生在学校中的智力发展和成绩表现，而思维三元理论不仅强调IQ式的智力，同时强调情境性智力，情境性智力指个体在现实生活中，有效地适应环境、改造环境并从中获得有用资源的能力。思维三元理论认为脱离情境考察智力是不正确的，有时会的出极端错误的结论，在现实生活中实用性思维能力非常重要，但在学校中却得不到充分的重视。因此思维三元理论强调分析性思维、创造性思维和实用性思维协调发展，健全人格完善智力。

思维三元理论也不同于多重智力理论。加德纳的多重智力理论详细阐述了天赋的领域，而且在应用上，多重智力理论强调这些领域（如音乐的和身体动觉的）应该融入学校课程；而思维三元理论详细阐述了人类知识的用途，即为了分析的、创造的或实用的目的，思维三元理论可以应用在所有的学科和领域。当然，这两大理论也并不抵触，两者往往被结合起来研究。

二、应用思维三元理论进行高中数学教学的必要性

1、传统智力理论下的高中数学教学现状

首先，传统智力理论内涵过于狭窄，把智力局限于学业智力，把思维局限于分析性思维，同时传统教育理念下把数学视为培养逻辑思维能力的工具性学科，忽视了数学的应用价值、人文价值和美学价值。因此，数学教学与评价包括考试，侧重于分析性思维能力培养及测试，一定程度上忽略了对实际工作也同样需要甚至更需要的创造性思维能力与应用性思维能力。其次，传统智力理论下数学教学忽略了数学知识与现实世界的联系。数学跟现实不在于空间上的距离，更在乎教学内容和教学方式上的距离。比如，数学教学中的题目是结构良好的问题，而实际工作生活中真正的问题大多是结构不良的问题。所谓结构良好的问题，就是可以清晰而具体地列出一步步的解决方案，而在现实生活中，结构不良的问题则是无法列出这些具体步骤的，解题条件是复杂的，答案未必是唯一的。一个人适应解决结构良好的问题，未必适应解决实际生活中结构不良的问题。

可见，传统智力理论下的数学教学现状总的缺陷就在于缺乏对学生思维能力的培养，特别忽视思维能力的平衡性。分析性思维能力、创造性思维能力和应用性思维能力各有各的用处，不能相互替代，却可相互促进。每个人所具有的这三种能力是不一样的，有人强于分析性思维能力，弱于创造性思维能力或应用性思维能力，有人却相反。过分关注分析性思维能力的培养和评价，而忽略创造性思维能力和应用企思维能力的培养和评价，造成分析性思维能力强而创造性思维能力或应用性思维能力弱的学生在学校中得宠而在实际生活中失宠，创造性思维能力强或应用性思维能力强而分折性思维能力弱的学生在学校中失宠而在社会上出类拔萃，这样的现象就不难理解了。

2、高中数学新课标的要求

高中数学新课标要求教师注重提高学生的数学思维能力，这是因为数学思维能力在形成学生的理性思维中发挥着独特的作用，而理性思维能力恰是一个生活在信息时代的现代人所必须具备的素质之一。因此在教学中应该体现“以学生为本”“贴近生活实际”的现实要求，努力实现“人人学有价值的数学”“人人都能获得必需的数学”“不同的人在数学上得到不同的发展”。

“人人学有价值的数学”是指作为教育内容的教学，应当是适合学生在有限的学习时间里接触、了解和掌握的数学。有价值的数学应满足素质教育的要求；应有助于健全人格的发展；应对未来学生从事任何事业都有用。“人人都能获得必需的数学”是指作为教育内容的数学，首先要满足学生未来社会生活的需要，这样的数学无论是出发点和归宿都要与学生息息相关的现实生活联系在一起。“不同的人在数学上得到不同的发展”指每个学生都有丰富的知识和生活积累，每个学生都会有各自的思维方式和解决问题的策略，每个学生在思维教学中在三种思维能力上能够得到不同程度的发展。

三、数学教学中应用思维三元理论的实践

1、数学思维技巧的培养

根据思维三元理论，每种思维都是不可或缺的，因此在教学中必须使学生的思维获得全面的发展。当教学和评价着重分析性能力时，就要引导学生比较和对比，分析，评价，批评，问题为什么，解释为什么，解释起因，或者评价假设。当教学和评价强调创造性能力时，就要引导学生创造，发明，想象，设计，展示，假设或预测。当教学和评价强调实用性能力时，就要引导学生应用，使用工具，实践，运用，展示在真实世界中的情形。但不管三种思维过程如何高级和复杂，其背后的思维技巧只有一套。在高中数学教学中无论采用何种教学策略，都必须从七个学习技巧方面培养学生的思维能力。

一是问题的确定，在这个阶段在这个阶段，不仅要确定问题的存在，还要定义这个问题到底是什么。数学测验中，答错的学生经常是因为他们确定的问题并不是题目中所包含的问题，而干扰选项却是这些错误问题的正确答案，于是他们按自己界定的问题选择了这些选项，于是答错了题目。二是程序的选择，要想顺利地解决一个问题，必须选择或找出一套适当的程序。学生首先必须确定从哪些地方可能找到与主题有关的信息，并排除那些无关的信息，再分析各种信息的可信度等。学生为了解答测验问题，必须选择恰当的步骤，以便最终得出正确的答案。三是信息的表征，运用智力解决问题的时候，个体必须把信息表述为有意义的形式，这种表述可以是内部的（在头脑中），也可以是外部（以书面的形式呈现）。如果对信息进行了有效的外部表征，经常会提高问题的解决速度，比如在解数学题时画图，仅用符号是无法做到这一点的。四是策略的形成，在选择程序和表征信息的过程中，必须同时形成一些策略，策略按照信息进行表征的先后，把一个个程序按顺序排列起来，形成步骤。如果步骤缺乏效率，那么不仅浪费时间和精力，还会影响最终的成果。在数学测验中，运用普通的策略也可以解决这些问题，但花的时间就长了，要是稍微马虎一点，最后是对是错还说不定。聪明的学生会用一些创新性的策略来解决这些问题，但要找到这些创新性策略，考生必须花很多时间在策略的选择上，而不是脑子里冒出一个策略，就盲目地采纳这个策略开始答题。五是资源的分配，在实际解决问题时，时间与资源都是有限的。执行任务时，最重要的决策就是决定如何恰到好处地把时间分配给各个部分。时间分配得不合理，本来会很优秀的成果最终会变的平淡无奇。六是问题解决的监控，解决问题的进程中，我们必须随时留意：已经完成了什么、正在做什么和还有什么没做。七是问题解决的评价，它包括能够觉察反馈，并且把反馈转化为实际行动。在执行任务时，经常会遇到各种来源的反馈，包括内部的个体的主观感受和外部的他们的看法。能觉察反馈，个体才有改进其工作和学习的可能。

2、创设情境，在用中学，学以致用

思维三元理论非常重视情境的作用，强调在情境中培养思维，特别是创造性思维和实用性思维。促进思维的教学策略有很多种，可以采用照本宣科策略，或采取以事实为基础的问答策略，或采用最适合培养思维的对话策略。这些教学策略适合不同的教学内容、不同风格的教师和不同的学生，只要适当，每一种策略都是教学的好方法。但有一点不可忽视，培养思维最好的策略必然是创设情境，让学生深入现实的问题中学习科学知识，培养逻辑思维能力和提出自己独特的见解，能够自如地解决生活中的问题。在用中学，学以致用，这是思维教学的一大目的，也是数学教学改革的一大宗旨。

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一、一次函数型

给定一次函数y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

）或）可合并定成

同理，若在[m，n]内恒有f（x）

例1：对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及P，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。

解略

二、二次函数型

若二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，则有

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例2：设f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范围。

分析：题目中要证明f（x）≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞）时恒大于0的问题。

解：设F（x）= f（x）-a=x2-2ax+2-a.

）当Δ=4（a-1）（a+2）

）当Δ=4（a-1）（a+2）≥0时由图可得以下充要条件：

即得-3≤a≤-2；

综合可得a的取值范围为[-3，1]。

三、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例3：已知当x∈R时，不等式a+cos2x

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x

要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值问题。

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

-a+5>3即>a+2

上式等价于

或

解得a

注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx换元成t，则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。

另解：a+cos2x

a+1-2sin2x

整理得2t2-4t+4-a+>0，（ t∈[-1，1]）恒成立。

设f（t）= 2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1，

f（x）在[-1，1]内单调递减。

只需f（1）>0，即>a-2.（下同）

四、根据函数的奇偶性、周期性等性质

若函数f（x）是奇（偶）函数，则对一切定义域中的x ，f（-x）=-f（x）

（f（-x）=f（x））恒成立；若函数y=f（x）的周期为T，则对一切定义域中的x，f（x）=f（x+T）恒成立。

例4：若f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）为偶函数，求α的值。

分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。

解：由题得：f（-x）=f（x）对一切x∈R恒成立，

sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α）

即sin（x+α）+sin（x-α）=cos（x+α）-cos（x-α）

2sinx・cosα=-2sinx・sinα

sinx（sinα+cosα）=0

对一切x∈R恒成立，只需也必须sinα+cosα=0。

α=k.（k∈Z）

五、直接根据图象判断

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例5：当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

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基本要求重新建立表象推理模式组合定理联想定理

二、操作分析和说明

⒈定理的基本要求

我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。

例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

如：

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。

如：ABC是Rt，CDAB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)ACD∽BCD∽ABC。

学生在书写时果然出现了一些问题：

①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。

②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现××，又××，××的错误。

③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现∠1和∠2是同位角，AB∥CD）；条件重复（如定理49，结论∠APO＝∠BPO已经包括过圆心O，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象

从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：

⑴问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？

答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。

目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。

继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？

答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……

甚至有学生想到了两条平行弦……

目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。

⑵问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？

答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。

⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。

①定理16（延长中线成矩形）定理24（作矩形的外接圆）定理34。

②定理51（一线过圆心，且两线垂直）定理36（一线平移成切线）定理47、48（绕切点旋转）定理50。

③如下图，把EF向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论∠α＝∠D）：

⒊推理模式

从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

①条件结论新结论（结论推新结论式）

②新结论（多个结论推新结论式）

③新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。

⒋组合定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

例1：已知如图，四边形ABCD外接O的半径为5，对角线AC与BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质S/AS/证相似相似三角形性质垂径定理勾股定理三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？

实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌联想定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：如图，O1和O2相交于B、C两点，AB是O1的直径，AB、AC的延长线分别交O2于D、E，过B作O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形②③。

由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④的性质结合在一起，学生就易于思考了。

这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

参考资料：

①高三数学第二轮复习的理论和实践孟祥东等《中学数学教与学》2001、3

②全国初中数学教育第十届年会论文集P380、P470

附录：初中数学几何定理集锦（摘录）

1。同角（或等角）的余角相等。

3。对顶角相等。

5。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

6。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

7。同位角相等，两直线平行。

12。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

16。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

19。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

21。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

22。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

24。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

25。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

27。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

34。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

36。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

43。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

46。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

37．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

47。切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

49。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

50。弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

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中图分类号：I206文献标识码：A文章编号：1009-0118（2012）12-0335-01

一、文学艺术作品结构层次理论和三美论之间的关系

罗曼·英伽登（Roman Ingarden，1893-1970），波兰著名哲学家、美学家和文艺理论家，他将文学作品结构划分为四个层次：

（一）语音层次，具体意义的承载体，是词语能表达其意义的外部结构。在作品构建中，语音的选择决定了文本的节奏。

（二）意义单元层次，为整个作品提供框架。英伽登将“所有和语词发音有联系并且和它一起创造了‘语词’的东西”[1]称为意义。“语词意义是一个具有适应结构的心理经验的意向构成。它或者是由一种心理行为创造性地构成，或者是在这种构成已经发生之后，由心理行为重新构成或再次意指的。”[2]文学作品的属性由句子所构成的意群决定，即意义单元；意义由“语词”构成的句子展现。

（三）图示化观相层次，任何作品只能用有限的语句表现有限空间内事物的某些方面，大量的“未定点”和“空白”，等待读者用想象进行系统组合与填充。

（四）再现的客体层次，“再现的对象只具有实在的外观，并不是真正地在于实在的时间和空间中”。[3]读者通过意义层看到的形象就是作者在作品中虚构的对象，读者通过意识活动以图示化形式“再现”。

这种分层是对作品内部结构的描述与剖析。在此基础上，许教授结合诗歌文体特点提出了“三美”翻译理论。关于“三美”间的关系，意美是最重要的，音美是次要的，形美是更次要的。

二、许译《天净沙·秋思》中“意、音、形”结合的实例

马致远的《天净沙·秋思》是元曲中的佳作，脍炙人口。小令以秋天借景抒情，寓情于景，在景情交融中构成一种凄凉悲苦的意境引发共鸣。

枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马。

夕阳西下，断肠人在天涯。

此曲共两句，以众多排列的意象寄寓诗人思想的艺术形象。第一句九个名词排列，无任何连词，分为三组，第一组由下及上，藤缠树，树上落鸦；第二组由近由远，桥、桥下水、水边住家；第三组从远方到眼前，古驿道、道上瘦马，“西风”从触觉上增加了意象的跳跃感，又不超出秋景的范围。“枯”“老”“昏”“瘦”使浓郁的秋色中蕴含游子无限凄凉悲苦的情怀。“断肠人在天涯”更有画龙点睛之妙，使前面所描之景成为人活动的环境，作为内心悲凉情感的触发物。寥寥几笔却勾勒丰富而幽深的意境，是这首小令的魅力所在。许教授摆脱原诗的形式，将原诗拆开重构：

Tune：Sunny Sand

Autumn Thoughts

Ma Zhiyuan

Over old trees wreathed with rotten vines fly crows；

Under a small bridge beside a cot a stream flows；

On ancient road in western breeze a lean horse goes.

Westwards declines the setting sun.

Far，far from home is the heart-broken one.

从意义层次看，许教授采用了意译的方法，“wreathed”意为“to be covered in sth”，用动词过去分词表明“trees”和“vines”之间的所属关系。用小屋“cot”，代指抽象名词“人家”。补译介词“Over”、“Under”、“beside”、“on”和“in”，明确描述了事物间的位置关系；增译谓语“fly”，“flow”，“go”，说明了事物间的主谓关系，使前九个原本模糊的意象都或多或少地具体化了，也给原诗并列静态的景物增加了动感，不仅准确地传递了原诗的意义，还表现出“意美”。动词“decline”英语有“become gradually worse in quality”之意，译文词义贴切对应不仅仅译出了“西下”，还使读者产生联想，由深秋的景色衬出了旅人凄苦的心境。最后“far”一词的重复，突出了原诗的主题，把在外漂泊的旅人那黯然神伤刻画得淋漓尽致，令读者回味从而达到移情的效果。

语音层次上，译文语句流畅通顺，韵律和谐自然。原诗“鸦”“马”和“涯”押尾韵/a/，“家”和“下”押/ia/韵，译文在处理时拆开重组，“昏鸦”译为“fly crows”谓语在前主语在后，将“a stream”置于句尾并增译“flows”，“horse”后增译“goes”是为了和“crows”押尾韵/z/。同样“夕阳”和“断肠人”皆置于词尾为了押尾韵/n/，且“人”用代词“one”也是从韵律角度考虑，从而达到“音美”使译文符合英诗“aaabb”的韵脚，读来琅琅上口。

图示观相层上，译文增译冠词“a”并明确了名词的单复数“trees”“vines”“crows”刻画了：深秋的黄昏，一个风尘仆仆的游子骑着一匹瘦马独行在古道上，看到了古藤缠绕的老树、盘旋天际即将回巢的乌鸦，站在小桥上听着潺潺流水，西风吹来更觉凄凉。题目增译“tune”指明是曲牌名。其次，译文根据英语句法规则、表达习惯，增添了冠词、介词和动词，一改原诗顺序。原诗中三组独立的事物组合被译为三个逻辑完整有主语、谓语和状语的句子，且事物间紧密联系由静变动。“bridge”“cot”前加上介词限制，译为状语成份，而“a stream”成为主语，动词“flows”使读者身临其境——看到了小桥，旁边是小屋，似乎还听到了桥下潺潺的溪流声，具有极强的感染力。让画面再现的客体更为生动，引发读者的好奇心——诗人在深秋黄昏是何心境？译文皆用倒装句式流畅自然，第一四五行全部倒装，第二三行部分倒装，如此的“形美”句式使译诗语言符合英诗表达习惯，更生动形象地传递出原曲凄凉的意境，最大限度地给读者留下了想象空间。

三、结语

许教授通过增译使译文符合英诗的文体表达习惯，采用押尾韵和倒装手法，进行文字雕琢。并灵活运用英伽登的“结构层次说”，从意义、语音、图示观想、再现客体层上，即“意、音、形”协调作用下恰如其分地译出了原诗的秋景，由景烘托出意境；四个层次的自身审美价值，即“意美、音美、形美”共同作用达到“复调和谐”的整体审美价值。

参考文献：

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中图分类号:O158文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1120178-01

离散数学是研究离散量的结构和相互关系的数学学科,大多高校在计算机专业和信息专业开设离散数学课程,该课程是许多计算机专业课,如《数据结构》、《操作系统》、《数据库原理和人工智能》、《编译原理》等课的必备基础。离散数学课程重视基本概念、基本理论的讲授与基本方法、基本运算技能的训练,着重培养学生抽象思维、逻辑推理和用数学工具解决实际问题的能力。内容包括数理逻辑、集合论、代数系统和图论四个方面,内容繁杂,覆盖面广,教学课时又不太多,并且概念多,理论性强,高度抽象,所以,怎样帮助学生从繁杂的知识中找出最重要最根本的内容,并在有限的学时内让学生正确理解,通过练习会熟练应用,以达到基本掌握离散数学的目的,是该课程教学的难点,也是师生普遍关心和值得探讨的重要问题。本文结合笔者的教学实践,对课程教学内容、教学方法、教学手段和考核方式等方面进行了探索和研究。

一、根据人才培养目标设计《离散数学》教学内容

应根据不同办学层次,专业背景和人才培养目标构建离散数学课程的教学方案,这是整个一门课程的设计,依据就是不同专业方向的教学培养目标。数学专业的离散数学课程教学内容重在离散数学的数学理论,计算机科学与技术专业本科教育可以分为科学型(计算机科学)、工程型(计算机工程)和应用型(信息技术)三种类型,不同类型可以设计不同的知识单元,对离散数学诸多内容进行适当取舍。

二、教学方法探索

(一)多渠道培养学生兴趣。兴趣是最好的老师,如果学生没有学习兴趣,就谈不上有学习的主动性和创造性,是不可能真正学好一门课程,培养兴趣可以尝试以下几种途径:

1.抓住开头,激发求知欲。俗话说“良好的开端是成功的一半”,一方面,要注重开好这门课的头,第一节课进入理论知识讲授之前,可以通过实际例子,例如“理发师悖论”、“哥底斯堡七桥问题”‘“四色问题”等说明离散数学的应用,另一方面,每节课采用多种方式灵活的开场白,如以知识来源、背景开始,或以实际问题引入,或以逻辑游戏提问,或以前述章节知识的延伸开始等。

2.理论联系实际,培养兴趣。在教学中随时把具体内容和学生的专业课相联系,如利用布尔代数研究开关电路而建立一门完整的数字逻辑的理论,对计算机的逻辑设计起了很大作用;图论中的平面图、树的研究对集成电路的布线、网络信息流量的分析有很大的理论指导作用。

(二)重质疑强调启发式教学。启发式教学是培养学生自主创新能力的重要手段,启发式教学的过程中,如何激发学生对问题的深入理解,刺激他们的求知欲是最关键的,有多种启发教育模式,如对比启发、反例启发、设疑启发、实例启发等。笔者在教学中发现学生在记忆、应用极大项与极小项的性质时经常出问题,掌握不清楚,甚至把常用的记号都记错了,于是将他们写在一起,利用各自成真赋值、成假赋值与记号下标的关系,通过对比找出二者的规律,方便学生记忆。在讲授条件联结词的真值时,我通常举下述容易理解的例子消除学生的模糊性观点:爸爸说:“如果你期末考试得了全班第一名,我将给你买台电脑作奖励。”那么只有当孩子考了第一名但是爸爸没有给他买电脑时,才说明爸爸没有兑现诺言。这样,当条件联结词前件为假,不管后件是真还是假,条件式均为真。

三、教学手段多样化

(一)章节总结,精选习题,举一反三。每章结束后,安排习题课很必要,教师进行系统的章节总结,学生通过教师有条理的总结回顾本章内容,搞清所学知识的本质和内在联系。选择习题时要选至少能说明一个或多个重点问题的题目,且难度适中,讲解时提倡一题多解,启迪思路,同时归纳做题规律和技巧,例如在讲解命题逻辑中判断推理是否正确时,可以采用真值表法、等值演算法和主析取范式法,学生通过练习,就可以体会各种方法的优缺点,总结出什么样的推理用什么样的方法判断更简捷和方便。另外,根据学生的接受能力适当选取一些教材以外的题目,开拓思路。

(二)增加实验教学环节。离散数学有注重应用的一面,笔者认为可以利用上课时间介绍一些基本理论和方法,让学生在课后自由上机完成实验,进行实验教学关键是怎样合理设计实验题目。

(三)多媒体与传统教学手段优势互补。多媒体教学的引入,改变了“一支粉笔,一块黑板和一本教科书”的传统教学模式,教师充分节约了板书时间,有充分的时间解释概念和分析证明思路,还可以组织学生讨论,加深对知识重难点的理解,课后学生从老师那里获得课件进行知识巩固的时候,有利于课堂场景的重现,更加深印象。但是教学也不能仅仅依赖于多媒体,由于信息量增大加上有些推理的过程很需要详加推导和解释,所以要把多媒体教学和传统教学结合起来,优势互补,概念、定理、例题采用多媒体演示,而需要推导或课件上步骤有跳跃的地方采用板书形式。

四、考核方式改革研究

传统的考核方式是试卷考试,考察学生基本概念、基本知识和基本技能的掌握以及解决综合问题的能力,笔者建议可以尝试采取试卷考试、平时考核和撰写离散数学论文三部分成绩有机结合的考核形式,老师大致指定论文范围,由学生在范围内自由选题,这种方式一方面使得学生加深了对所学知识的理解,另一方面在查阅资料的过程中学到了不少在教材中没有的知识。

五、结束语

离散数学课程有益于培养学生的抽象思维、逻辑推理和用数学工具解决实际问题的能力,为后续课程的学习打下坚实的基础,教与学是一个互动的过程,提高教学效果需要在实践中不断探索,不断总结经验,在教学中宜根据学生个体差异因材施教。如何确定教学内容、改进教学方法、丰富教学手段、完善考核方式、加强实践应用,如何提高该课程的教学质量,这仍是今后教学实践中需要不断研究和探索的重要课题。

参考文献:

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一、严格执法——检察执法的基本前提

检察机关是国家的法律监督机关，是推进依法治国进程的重要力量。这就要求检察机关在执法过程中，一是必须树立法治观。要坚持“以事实为根据，以法律为准绳”的法律基本原则，切实转变“以言代法、以权压法”的以人治国、以行政命令代替法律的错误观点和做法。要坚持有法可依、有法必依、执法必严、违法必究的社会主义法制原则，建立与现代法制文明相适应、符合现代法治基本要求的正确法治观。二是必须树立司法公正观。司法公正是社会正义的一个重要组成部分，是司法活动的价值追求。检察机关必须以保障实现公平和正义为目标，突出“强化监督，公正执法”的主题，确保法律的严格统一实施，维护司法公正。三是必须树立平等观。法律面前人人平等，任何人都不存在任何僭越法律的特权，这是现代法治的基石，也是执法者应恪守的准则。检察机关要在执法中强化平等保护的意识，平等地保护每一个利益主体，使法律面前人人平等的宪法原则在检察执法中得到体现。

由于受陈旧执法思想的影响，当前检察机关在执法工作中仍存在一些突出的问题，如重惩治犯罪，轻人权保护问题；重实体，轻程序问题；重打击，轻预防问题；重公正，轻效率问题；重数量，轻质量问题等等，这些都严重影响了检察执法工作的严肃性和公正性。因此，树立“严格执法”的现代执法理念，既是检察执法的基本前提，也是在全社会实现公平和正义的重要保证。

必须树立打击与保护并重的执法理念，切实转变“重惩治犯罪，轻人权保护”的思想。检察机关在履行惩治犯罪职责时，一方面要对犯罪分子坚决予以打击，另一方面也要保障无罪的人不受刑事追究。在追究犯罪分子的刑事责任时，也要保证依法定程序进行，对犯罪分子的合法权益予以保护。要彻底纠正过去那种忽视保障犯罪嫌疑人、被告人、证人等诉讼参与人合法权益的陈旧观念，坚决摒弃漠视当事人诉讼权利等与现代民主法制要求相悖的错误做法，自觉地把人权保护贯穿于检察执法活动的全过程，通过文明执法保护公民的人权。

必须树立实体与程序并重的执法理念，切实转变“重实体，轻程序”的思想。在检察实务中，有的案件存在质量问题，有的证据不被采用，这些都是不严格执行程序法造成的结果。程序法是保障实体法实施的规程和规范，是制约司法人员的执法行为，防止司法腐败，保证案件质量的有效手段。因此，检察机关要严格遵守程序法，严格依法办案，保证实体法得到正确实施，使案件经得起时间的检验。

必须树立惩治与预防并重的执版权所有法理念，切实转变“重办案，轻预防”的思想。要坚持“打防并举，标本兼治”的方针，积极开展职务犯罪预防工作。通过查办具体案件，深入分析研究犯罪的原因、特点和规律，针对发案单位在制度和管理等方面存在的问题，及时提出有情况、有分析、有措施的检察建议，帮助发案单位整章建制，堵塞漏洞，消除隐患。要结合典型案例，积极开展个案预防，达到“查办一个案，教育一条线，治理一大片”的效果。要不断探索预防工作的新途径、新方法，实现预防职务犯罪工作从分散状态到集中状态的转变，从初级形式的预防到系统全面预防的转变，从专门机关预防到全社会预防的转变。

必须树立公正与效率并重的执法理念，切实转变“重公正，轻效率”的思想。公正与效率是刑事诉讼追求的两大目标。但在检察执法中，有时会因片面追求公正而忽视效率，如不切实际地过分强调事实清楚而使案件久拖不决，案件层层把关拉长了办案周期等；有时也会为了提高效率而牺牲公正，如“严打”中过分强调快捕快诉而影响了案件质量等等。无论是偏重哪一方，都会产生弊端，都难以取得最佳的执法效果。因此，检察机关要确立“效率也是一种正义”的观点，迅速、及时、高效地履行检察职能，降低执法成本，提高司法效益。必须树立质量第一的执法理念，切实转变“重数量，轻质量”的思想。数量是质量的载体，质量是数量的灵魂。没有质量，数量只能为零。只追求办案数量，不讲案件质量，必将损害群众的利益，损害法律的尊严。检察机关必须处理好数量与质量的关系，坚持以质量为本，把案件质量作为检察工作的生命线，在办案中严把质量关，把每一宗案件都办成铁案。

二、文明执法——检察执法的必然要求

在执法过程中，由于受传统意识和官本位思想的影响，少数执法人员存在特权思想，不尊重当事人，作风粗暴、、刑讯逼供、违法办案等等，这些都严重侵犯了当事人的合法权利，影响了检察机关的形象。因此，树立“文明执法”的现代执法理念，既是检察执法的必然要求，也是弘扬先进文化的具体表现。

检察机关要树立以人为本的执法理念，切实转变“只讲执法，不讲感情”的思想。要避免简单理解严格执法，把执法活动变成冷冰冰的机械式的例行公事。在办案中要充分体现人文关怀精神，如推行“告知犯罪嫌疑人制度”，搜查时避免未成年人、老人及患有严重疾病的人在场，搜查时对工资存折和维持家庭正常开销的费用一般不予扣押，采取强制措施时不侵犯犯罪嫌疑人的尊严和人格等。要通过关心犯罪嫌疑人及其家属的生活，保障他们的合法权利，达到以情感化。

检察机关要在执法过程中深层次地把握现代法制的精髓，坚持以人为本，作到法情相融，体现出对人的价值和存在的充分尊重，充分运用法律和政策，将法的严明公正与符合情理的人文关怀紧密结合起来，推动检察工作朝更加文明、公正的方向健康发展。打铁还须自身硬。要将严格执法、文明执法落到实处，首先得建设一支高素质的检察队伍。

检察机关要以“三个代表”重要思想为指导，坚持从严治检，抓好队伍建设，优化队伍结构，并结合“强化法律监督，维护公平正义”、“强化执法教育，实现执法为民”和纪律教育月等教育活动，不断加强党风廉政建设和机关作风建设，培养“会办案、会电脑、会外语、会驾驶、会调研”的高素质检察人才，努力打造一支政治坚定、业务精通、作风优良、执法公正的司法队伍。

三、为民执法——检察执法的本质特征

检察机关贯彻落实“三个代表”重要思想，本质就是要解决好为民执法的问题，这是党的全心全意为人民服务的宗旨在执法行为中的具体体现。为民执法，决定了维护人民群众的利益是检察工作的出发点和落脚点。这就要求检察机关在履行法律监督职责过程中，必须切实从人民群众的根本利益出发，心里装着群众，凡事想着群众，工作依靠群众，一切为了群众，真正做到权为民所用，情为民所系，利为民所谋。

一是要树立正确的权力观，牢记我们的一切权力都是人民赋予的，检察干警是人民的公仆，是为民掌权，为民执法，为民服务的。二是要认真履行法律监督职能，在检察执法中维护人民群众的根本利益。牢固树立为大局服务的思想，始终坚定不移地将维护社会稳定作为检察工作的首要任务。通过“严打”整治、“两打一扫”、“打黑除恶”等专项斗争，突出打击黑恶势力犯罪、严重暴力犯罪和严重影响群众安全的多发性犯罪，依法快捕快诉，严惩各类刑事犯罪，增强群众的安全感，为人民群众创造一个安全有序的工作生活环境。通过查办贪污贿赂等职务犯罪案件，特别是社会影响恶劣、人民群众反映强烈的大要案，严惩腐败分子，保护国家人民财产，鼓舞人民群众，增强人民群众对反腐败斗争和建设社会主义法治国家的信心。通过强化民事行政诉讼监督，切实纠正民事和行政审判中的违法犯罪现象，增强人民群众对社会主义法制的信任。三是要认真处理好群体性上访和公民的控告申诉工作。要继续实行首办责任制的工作制度和程序，强调谁主管，谁负责，对群众反映的情况绝不推诿和敷衍，将问题解决在首办环节和基层。大力开展文明接待活动，继续保持全国检察机关文明接待示范窗口的形象，热情受理群众的来信来访。四是要广泛听取群众的批评、建议和意见，自觉接受人民群众的监督。要将“检察长接待日”制度、检务公开制度、执法监督员制度、定点挂钩联系等制度进一步完善并发挥其作用。此外，要加强与人大代表的联系，制定检察院与人大代表的联系工作制度，更好地接受人大和社会各界的监督。五是要加大服务力度，切实为人民群众排忧解难。开通“法律咨询服务站”，为人民群众提供法律服务。检察机关要在执法过程中落实总书记在“三个代表”重要思想理论研讨会上提出的“为群众诚心诚意办实事，尽心竭力解难事，坚持不懈做好事”的指示，始终把群众的利益放在第一位，把人民满不满意、拥不拥护、赞不赞成作为检验检察工作成效的根本标准。